（Ⅰ）女性人數(shù)與組號（組號變量依次為1，2，3，4，5，…）具有線性相關(guān)關(guān)系，請預(yù)測從第幾組開始女性人數(shù)不低于男性人數(shù)；
參考公式：
（Ⅱ）從10組中隨機抽取3組，求若3組中女性人數(shù)不低于5人的有組，求的分布列與期望；
（Ⅲ）游戲開始后，若傳給相鄰的人得1分，間隔人傳得2分，每擊一次鼓傳一次花，得1分的概率為0.2，得2分的概率為0.8．記鼓聲停止后得分恰為分的概率為，求．
【答案】（Ⅰ）從第8組開始女性人數(shù)不低于男性人數(shù)；（Ⅱ）分布列見解析，；（Ⅲ）.
【解析】（Ⅰ）由題可得，
，
．
則，
，
∴，
當時，，
∴預(yù)測從第8組開始女性人數(shù)不低于男性人數(shù)．
（Ⅱ）由題可知的所有可能取值為0，1，2，3，
，
，
，
，
則的分布列為
∴.
（Ⅲ）在得分為分的基礎(chǔ)上再傳一次，則得分可能為分或分，記“合計得分”為事件，“合計得分”為事件，事件與為對立事件．
∵，，
∴，
∴．
2．（2021·江蘇鼓樓·金陵中學(xué)高三月考）某企業(yè)創(chuàng)新形式推進黨史學(xué)習(xí)教育走深走實，舉行兩輪制的黨史知識競賽初賽，每部門派出兩個小組參賽，兩輪都通過的小組才具備參與決賽的資格，該企業(yè)某部門派出甲、乙兩個小組，若第一輪比賽時兩組通過的概率分別是，，第二輪比賽時兩組通過的概率分別是，，兩輪比賽過程相互獨立．
（1）若將該部門獲得決賽資格的小組數(shù)記為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；
（2）比賽規(guī)定：參與決賽的小組由4人組成，每人必須答題且只答題一次（與答題順序無關(guān)），若4人全部答對就給予獎金，若沒有全部答對但至少2人答對就被評為“優(yōu)秀小組"．該部門對通過初賽的某一小組進行黨史知識培訓(xùn)，使得每個成員答對每題的概率均為（）且相互獨立，設(shè)該參賽小組被評為“優(yōu)秀小組”的概率為，當時，最大，試求的值．
【答案】（1）分布列見解析；期望為1；（2）．
【解析】（1）設(shè)甲乙通過兩輪制的初賽分別為事件，．則
，．
由題意的取值可能為0，1，2，則
，
，
．
那么的分布列為：
．
（2）由題意，小組中2人答對的概率為，3人答對的概率，
則．
，
令得，，，
所以在上，單調(diào)遞增，在上，單調(diào)遞減．
故時，最大．
3．（2021·山西（理））2021年是中國共產(chǎn)黨百年華誕.中國站在“兩個一百年”的歷史交匯點，全面建設(shè)社會主義現(xiàn)代化國家新征程即將開啟.2021年3月23日，中宣部介紹中國共產(chǎn)黨成立100周年慶祝活動八項主要內(nèi)容，其中第一項是結(jié)合鞏固深化“不忘初心?牢記使命”主題教育成果，在全體黨員中開展黨史學(xué)習(xí)教育.這次學(xué)習(xí)教育貫穿2021年全年，總的要求是學(xué)史明理?學(xué)史增信?學(xué)史崇德?學(xué)史力行，教育引導(dǎo)黨員干部學(xué)黨史?悟思想?辦實事，開新局.為了配合這次學(xué)黨史活動，某地組織全體黨員干部參加黨史知識競賽，現(xiàn)從參加人員中隨機抽取100人，并對他們的分數(shù)進行統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖.
（1）現(xiàn)從這100人中隨機抽取2人，記其中得分不低于80分的人數(shù)為，試求隨機變量的分布列及期望；
（2）由頻率分布直方圖，可以認為該地參加黨史知識競賽人員的分數(shù)服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差，經(jīng)計算.現(xiàn)從所有參加黨史知識競賽的人員中隨機抽取500人，且參加黨史知識競賽的人員的分數(shù)相互獨立，試問這500名參賽者的分數(shù)不低于82.3的人數(shù)最有可能是多少？
參考數(shù)據(jù)：，，，.
【答案】（1）分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：；（2）人數(shù)最有可能是79.
【解析】（1）100人中得分不低于80分的人數(shù)為，
隨機變量可能的取值為0，1，2.
又，，，
則的分布列為：
.
（2）.
，
，
每位參賽者分數(shù)不低于82.3的概率為0.15865，記500位參賽者中分數(shù)不低于82.3的人數(shù)為隨機變量，則，其中，
所以恰好有個參賽者的分數(shù)不低于82.3的概率為，，1，2，…，500.
由，
得.
所以當時，，
當時，
由此可知，在這500名參賽者中分數(shù)不低于82.3的人數(shù)最有可能是79.
4．（2021·遼寧鐵嶺·高三二模）一批新能源汽車的鋰電池在出廠前要進行一次質(zhì)量檢測，檢測方案是：從這批鋰電池中隨機抽取4個，對其一個一個地進行檢測，若這4個都為優(yōu)質(zhì)品，則這批鋰電池通過這次質(zhì)量檢測，若檢測出非優(yōu)質(zhì)品，則停止檢測，并認為這批鋰電池不能通過這次質(zhì)量檢測.假設(shè)抽取的每個鋰電池是優(yōu)質(zhì)品的概率都為.
（1）設(shè)一次質(zhì)量檢測共檢測了個鋰電池，求的分布列；
（2）設(shè)，已知每個鋰電池的檢測費用都是1000元，對這批鋰電池進行一次質(zhì)量檢測所需的費用記為(單位：元)，求的數(shù)學(xué)期望的最小值.
【答案】（1）分布列答案見解析；（2）最小值3439元.
【解析】（1）由題意知可取1，2，3，4.
，，，.
因此的分布列為
（2）由（1）知.
因為.
于是.
設(shè)，
由，，均在單調(diào)遞增，
可知在單調(diào)遞增，因此當時，取得最小值3439.
因此的數(shù)學(xué)期望的最小值3439元.
5．（2021·福建高三三模）某同學(xué)利用假期到一超市參加社會實踐活動，發(fā)現(xiàn)該超市出售種水果禮盒，每天進貨一次，每銷售1個水果盒可獲利50元，賣不完的水果禮盒則需當天降價處理，每盒虧損10元.若每天該禮盒的需求量在(單位：個)范圍內(nèi)等可能取值.
（1）求該禮盒的日需求量不低于15盒的概率；
（2）若某日超市進貨13個水果禮盒，請寫出該水果禮盒日銷售利潤(元)的分布列，并求出的數(shù)學(xué)期望；
（3）這位同學(xué)想讓水果禮盒的日銷售利潤最大，他應(yīng)該建議超市日進貨多少個水果禮盒？請說明理由.
【答案】（1）；（2）分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：；（3）建議超市日進貨18個水果禮盒，理由見解析．
【解析】（1）每天該禮盒的需求量在(單位：個)范圍內(nèi)等可能取值，
則該禮盒的日需求量不低于15盒的概率；
（2）的可能取值為470，530，590，650，
所以，
，
，
，
所以的分布列為：
故；
（3）設(shè)水果禮盒的日進貨量為個，
銷售該禮盒的日利潤為元．則的分布列為
所以
，
因，所以進貨量n為18時，可獲得期望的最大值．
6．（2021·云南曲靖一中（理））澳大利亞Argyle鉆石礦石全球最重要的粉鉆和紅鉆出產(chǎn)地，占全球供應(yīng)的90%．該鉆石礦曾發(fā)現(xiàn)一顆28.84ct的寶石級鉆石原石——[ArgyleOctavia]，為該礦區(qū)27年來發(fā)現(xiàn)最大的鉆石原石之一．如圖，這顆鉆石擁有完整的正八面體晶形，其命名[ArgyleOctavia]特別強調(diào)鉆石的正八面體特征——[Octavia]在拉丁語中是[第八]的意思．如圖設(shè)為隨機變量，從棱長為1的正八面體的12條棱中任取兩條，當兩條棱相交時，；當兩條棱平行時，的值為兩條棱之間的距離；當兩條棱異面時，．
（1）求概率；
（2）求的分布列，并求其數(shù)學(xué)期望．
【答案】（1）；（2）分布列見解析，.
【解析】（1）若兩條棱相交，則交點必為正八面體6個頂點中的1個，
又過任意頂點有4條棱，所以共有對相交棱，
所以；
（2）由題意，的所有可能取值為0，1，2.
若兩條棱平行，則它們之間的距離為1，一共有6對，
，
，
所以的分布列為：
.
7．（2021·安徽馬鞍山·（理））為保護長江流域漁業(yè)資源，2020年國家農(nóng)業(yè)農(nóng)村部發(fā)布《長江十年禁漁計劃》.某市為了解決禁漁期漁民的生計問題，試點推出面點?汽修兩種職業(yè)技能培訓(xùn)，一周內(nèi)漁民可以每天自由選擇其中一個進行職業(yè)培訓(xùn)，七天后確定具體職業(yè).政府對提供培訓(xùn)的機構(gòu)有不同的補貼政策：面點培訓(xùn)每天200元/人，汽修培訓(xùn)每天300元/人.若漁民甲當天選擇了某種職業(yè)培訓(xùn)，第二天他會有0.4的可能性換另一種職業(yè)培訓(xùn).假定漁民甲七天都參與全天培訓(xùn)，且第一天選擇的是汽修培訓(xùn)，第天選擇汽修培訓(xùn)的概率是(，2，3，…，7).
（1）求；
（2）證明：(，2，3，…，7)為等比數(shù)列；
（3）試估算一周內(nèi)政府漁民甲對培訓(xùn)機構(gòu)補貼總費用的數(shù)學(xué)期望(近似看作0).
【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）元.
【解析】（1）因為當天選擇了某種職業(yè)培訓(xùn)，第二天他會有0.4的可能性換另一種職業(yè)培訓(xùn)，
所以，，；
（2）當?shù)谔爝x擇汽修培訓(xùn)時，第天選擇汽修培訓(xùn)的概率為，
當?shù)谔爝x擇面點培訓(xùn)時，第天選擇汽修培訓(xùn)的概率為，
則，而，
所以是以0.5為首項，0.2為公比的等比數(shù)列；
（3）設(shè)第天政府的補貼費為，則，
又因為是以0.5為首項，0.2為公比的等比數(shù)列，
所以，
所以，
故一周內(nèi)政府因漁民甲對培訓(xùn)機構(gòu)補貼總費用的數(shù)學(xué)期望為元.
8（2021·青龍滿族自治縣第一中學(xué)高三月考）中國乒乓球隊是中國體育軍團的王牌之師，屢次在國際大賽上爭金奪銀，被體育迷們習(xí)慣地稱為“夢之隊”.小明是一名乒乓球運動愛好者，為提高乒乓球水平，決定在假期針對乒乓球技術(shù)的五個基本因素：弧線、力量、速度、旋轉(zhuǎn)和落點進行訓(xùn)練.假設(shè)小明每天進行多次分項（將五個因素分別對應(yīng)五項，一次練一項）訓(xùn)練，為增加趣味性，計劃每次（從第二次起）都是從上次未訓(xùn)練的四個項目中等可能地隨機選一項訓(xùn)練.
（1）若某天在五個項目中等可能地隨機選一項開始訓(xùn)練，求第三次訓(xùn)練的是“弧線”的概率；
（2）若某天僅進行了次訓(xùn)練，五個項目均有訓(xùn)練，且第次訓(xùn)練的是“旋轉(zhuǎn)”，前后訓(xùn)練項不同視為不同的訓(xùn)練順序，設(shè)變量為次訓(xùn)練中“旋轉(zhuǎn)”項訓(xùn)練的次數(shù)，求的分布列及期望；
（3）若某天規(guī)定第一次訓(xùn)練的是“力量”，從第二次起，后面訓(xùn)練項的選擇服從上述計劃的安排，設(shè)表示第次訓(xùn)練的是“力量”的概率，求的值.
【答案】（1）；（2）分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望為；（3）.
【解析】（1）第一次訓(xùn)練選擇“弧線”，且第三次訓(xùn)練的是“弧線”的概率為，
第一次訓(xùn)練未選擇“弧線”，且第三次訓(xùn)練的是“弧線”的概率為，
所以第三次訓(xùn)練的是“弧線”的概率為；
（2）由題意知“旋轉(zhuǎn)”項最多訓(xùn)練次，所以的不同取值為、，
（后五次訓(xùn)練次序列表）
①后五次訓(xùn)練中未練“旋轉(zhuǎn)”：另四項中有一項訓(xùn)練了次，
四項中選一項練次，可放、、、、、，
共有種；
②“旋轉(zhuǎn)”項練了次：“旋轉(zhuǎn)項”可在、、、位置，故有種.
所以，，.
所以分布列如下表所示：
所以，；
（3）由題意，表示第次訓(xùn)練的是“力量”的概率，
則第次訓(xùn)練的不是“力量”的概率為，則，
，，即，
數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，
所以，即，，則.
9．（2021·山東肥城·）俗話說：“天上蟠桃，人間肥桃．”肥桃又名佛桃、壽桃，因個大，味兒美，營養(yǎng)豐富，被譽為“群桃之冠”，迄今已有1200多年的栽培歷史，自明朝起即為皇室貢品．七月份，肥城桃——“大紅袍”上市了，它滿身紅撲撲的，吃起來脆脆甜甜，感覺好極了，吸引著全國各地的采購商．
山東省肥城桃開發(fā)總公司從進入市場的“大紅袍”中隨機抽檢個，利用等級分類標準得到數(shù)據(jù)如下：
（1）以表中抽檢的樣本估計全市“大紅袍”等級，現(xiàn)從全市上市的“大紅袍”中隨機抽取個，若取到個級品的可能性最大，求值；
（2）一北京連鎖超市采購商每年采購級“大紅袍”，前 20年“大紅袍”在此超市的實際銷量統(tǒng)計如下表：
今年級“大紅袍”的采購價為萬元/噸，超市以萬元/噸的價格賣出，由于桃不易儲存，賣不完當垃圾處理．超市計劃今年購進噸或噸“大紅袍”，你認為應(yīng)該購進噸還是噸？請說明理由．
【答案】（1）；（2）噸；理由見解析.
【解析】（1）由題意可知，從全市上市的“大紅袍”中隨機抽取1個，
取到A級品的概率
從全市上市的“大紅袍”中隨機抽取10個，取到A級品的個數(shù)
由
得
所以當時概率最大，所以．
（2）超市購進噸“大紅袍”時，利潤為，賣出的噸數(shù)為
的可能取值為，的可能取值為

的分布列為

超市購進噸“大紅袍”時，利潤為，賣出的噸數(shù)為
的可能取值為， 的可能取值為

利潤的分布列為

所以超市應(yīng)該購進噸“大紅袍”．
10．（2021·皇姑·遼寧實驗中學(xué)）冠狀病毒是一個大型病毒家族，已知可引起感冒以及中東呼吸綜合征(MERS)和嚴重急性呼吸綜合征(SARS)等較嚴重疾病.新型冠狀病毒是以前從未在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新毒株，人感染了冠狀病毒后常見體征有呼吸道癥狀?發(fā)熱?咳嗽?氣促和呼吸困難等.日前正在世界范圍內(nèi)廣泛傳播，并對人類生命構(gòu)成了巨大威脅.針對病毒對人類的危害，科研人員正在不斷研發(fā)冠狀病毒的抑制劑.某種病毒抑制劑的有效率為60%，現(xiàn)設(shè)計針對此抑制劑的療效試驗：每次對病毒使用此抑制劑，如病毒被抑制，得分為2分，如抑制劑無效，得分1分，持續(xù)進行試驗.設(shè)得分為時的概率為.
（1）進行兩次試驗后，總得分為隨機變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（2）求證：.
【答案】（1）分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：；（2）證明見解析.
【解析】（1）解：兩次試驗后，隨機變量可能取值為2?3?4
的分布列為
的學(xué)期望為
（2）證明：
由已知，
所以，即是以為首項，為公比的等比數(shù)列，
．
11．（2021·山西臨汾·高三模擬預(yù)測（文））在區(qū)間上產(chǎn)生兩組均勻隨機數(shù)，，…，和，，…，，由此得到個點，統(tǒng)計的點數(shù)目為.
（1）當時，求的概率；
（2）設(shè)平面區(qū)域：.
（i）求的面積；
（ii）某計算機興趣小組用以上方法估計的面積，當時，求其估計值與實際值之差在區(qū)間內(nèi)的概率.
附表：.
【答案】（1）；（2）（i）；（ii）0.94311.
【解析】（1）當時，，即在，內(nèi)隨機產(chǎn)生了一個點，并且這個點位于直線下方.
由幾何概型可知.
（2）（i）由圖可知.
（ii）設(shè)面積的估計值為，則，
因為面積誤差在區(qū)間，即，
得，
所以，
.
12（2021·河南高三月考（理））一鮮花店銷售某種玫瑰花，根據(jù)以往的日銷售記錄，這種玫瑰花的日銷售額(單位：元)服從正態(tài)分布在銷售記錄中，隨機抽取天，至少有一天日銷售額在之外的概率約為0.0257．在這天里，鮮花店老板每天給表現(xiàn)最好的5位員工每位兩次抽獎的機會，每次抽獎結(jié)果只有“100元和50元”兩種結(jié)果，由于某種原因，二者出現(xiàn)的概率不一定是等可能的，設(shè)出現(xiàn)“100元”的概率為，各次抽獎相互獨立．
（1）求的值；
（2）當有10人次參與抽獎時，恰有6人次得到100元的概率為，求的最大值點，當時，設(shè)每位員工抽獎得到的金額為，預(yù)計在這天里，鮮花店老板需要拿出的抽獎金額的期望是多少？
附：若隨機變量服從正態(tài)分布，則.
【答案】（1）；（2），期望是(元)．
【解析】（1）根據(jù)已知，隨機抽取的一天中日銷售額在之內(nèi)的概率為0.9974，抽取天，日銷售額全在之內(nèi)的概率為，則至少有一天日銷售額不再之內(nèi)的概率為
所以，即，所以；
（2）有10人次參與抽獎，恰有6人次得到100元的概率為，
則，
當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，所以當時，最大，所以最大值點為；
由題意知，的所有可能取值為100，150，200，
則，，
，
所以的分布列為
，
所以這10天里，鮮花店老板需要拿出的抽獎金額的期望是(元)．
13（2021·福建廈門·高三三模）每天鍛煉一小時，健康工作五十年，幸福生活一輩子．某公司組織全員每天進行體育鍛煉，訂制了主題為“百年風(fēng)云”的系列紀念幣獎勵員工，該系列紀念幣有，，，四種．每個員工每天自主選擇“球類”和“田徑”中的一項進行鍛煉．鍛煉結(jié)束后員工將隨機等可能地獲得一枚紀念幣．
（1）某員工活動前兩天獲得，，則前四天恰好能集齊“百年風(fēng)云”系列紀念幣的概率是多少？
（2）通過抽調(diào)查發(fā)現(xiàn)：活動首日有的員工選擇“球類”，其余的員工選擇“田徑”；在前一天選擇“球類”的員工中，次日會有的員工繼續(xù)選擇“球類”，其余的選擇“田徑”；在前一天選擇“田徑”的員工中，次日會有的員工繼續(xù)選擇“田徑”，其余的選擇“球類”．用頻率估計概率．記某員工第天選擇“球類”的概率為．
①計算，，并求；
②該集團公司共有員工1400人，經(jīng)過足夠多天后，試估計該公司接下來每天各有多少員工參加“球類”和“田徑”運動？
【答案】（1）；（2）①，，；②“球類”為600人，“田徑”為800人.
【解析】（1）設(shè)事件為：“他恰好能集齊這四枚紀念幣”，
由題意，基本事件總數(shù)有個，
事件包含基本事件的個數(shù)為個，
所以他恰好能集齊這四枚紀念幣的概率．
（2）①由題可知：，
，所以，
當時，，
所以，
又因為，即是以為首項，以為公比的等比數(shù)列．
所以，所以．
②依題意得，當足夠大時，選擇“球類”的概率近似于，
假設(shè)用表示一天中選擇“球類”的人數(shù)，則，
所以，
即選擇“球類”的人數(shù)的期望為600，選擇“田徑”的人數(shù)的期望為800．
14．（2021·四川省綿陽南山中學(xué)高三模擬預(yù)測（理））某中學(xué)組織學(xué)生前往電子科技產(chǎn)業(yè)園，學(xué)習(xí)加工制造電子產(chǎn)品．該電子產(chǎn)品由A、B兩個系統(tǒng)組成，其中A系統(tǒng)由3個電子元件組成，B系統(tǒng)由5個電子元件組成．各個電子元件能夠正常工作的概率均為，且每個電子元件能否正常工作相互獨立每個系統(tǒng)中有超過一半的電子元件正常工作，則該系統(tǒng)可以正常工作，否則就需要維修．
（1）當時，每個系統(tǒng)維修費用均為200元．設(shè)為該電子產(chǎn)品需要維修的總費用，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；
（2）當該電子產(chǎn)品出現(xiàn)故障時，需要對該電子產(chǎn)品A，B兩個系統(tǒng)進行檢測．從A，B兩個系統(tǒng)能夠正常工作概率的大小判斷，應(yīng)優(yōu)先檢測哪個系統(tǒng)？
【答案】（1）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為200；（2）分類討論，答案見解析．
【解析】（1）A系統(tǒng)需要維修的概率為，
B系統(tǒng)需要維修的概率為，
設(shè)X為該電子產(chǎn)品需要維修的系統(tǒng)個數(shù)，則，．
，
∴的分布列為
∴．
（2）A系統(tǒng)3個元件至少有2個正常工作的概率為，B系統(tǒng)5個元件至少有3個正常工作的概率為，則
．
∵．令，解得．
所以，當時，B系統(tǒng)比A系統(tǒng)正常工作的概率大，當該產(chǎn)品出現(xiàn)故障時，優(yōu)先檢測A系統(tǒng)；
當時，A系統(tǒng)比B系統(tǒng)正常工作的概率大，當該產(chǎn)品出現(xiàn)故障時，優(yōu)先檢測B系統(tǒng)；
當時，A系統(tǒng)與B系統(tǒng)正常工作的概率相等，當該產(chǎn)品出現(xiàn)故障時，A，B系統(tǒng)檢測不分次序．
15．（2021·安徽蚌埠·高三模擬預(yù)測（理））排球隊的名隊員進行傳球訓(xùn)練，每位隊員把球傳給其他人的概率相等，由甲開始傳球
（1）求前次傳球中，乙恰有次接到球的概率；
（2）設(shè)第次傳球后球在乙手中的概率為，求．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）記事件為“前次傳球中，乙恰有次接到球”，
；
（2）由題意，，，
，，且，
所以，數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，
，因此，．
16．（2021·福建龍巖·高三三模）甲?乙兩人進行對抗比賽，每場比賽均能分出勝負.已知本次比賽的主辦方提供8000元獎金并規(guī)定：①若有人先贏4場，則先贏4場者獲得全部獎金同時比賽終止；②若無人先贏4場且比賽意外終止，則甲?乙便按照比賽繼續(xù)進行各自贏得全部獎金的概率之比分配獎金.已知每場比賽甲贏的概率為，乙贏的概率為，且每場比賽相互獨立.
（1）設(shè)每場比賽甲贏的概率為，若比賽進行了5場，主辦方?jīng)Q定頒發(fā)獎金，求甲獲得獎金的分布列；
（2）規(guī)定：若隨機事件發(fā)生的概率小于0.05，則稱該隨機事件為小概率事件，我們可以認為該事件不可能發(fā)生，否則認為該事件有可能發(fā)生.若本次比賽，且在已進行的3場比賽中甲贏2場?乙贏1場，請判斷：比賽繼續(xù)進行乙贏得全部獎金是否有可能發(fā)生，并說明理由.
【答案】（1）分布列答案見解析；（2）乙不可能贏得全部獎金，理由見解析.
【解析】（1）因為進行了5場比賽，所以甲?乙之間的輸贏情況有以下四種情況：甲贏4場，乙嬴1場；甲贏3場，乙贏2場；甲贏2場，乙贏3場；甲贏1場，乙贏4場.
5場比賽不同的輸贏情況有種，即28種.
①若甲贏4場，乙贏1場；甲獲得全部獎金8000元；
②若甲贏3場，乙贏2場；當比賽繼續(xù)下去甲贏得全部獎金的概率為，所以甲分得6000元獎金；
③若甲贏2場，乙贏3場；當比賽繼續(xù)下去甲贏得全部獎金的概率為，所以甲分得2000元獎金；
④甲贏1場，乙贏4場.甲沒有獲得獎金.
設(shè)甲可能獲得的獎金為x元，則甲獲得獎金的所有可能取值為8000，6000，2000，0，；；
；.
∴甲獲得獎金數(shù)的分布列：
（2）設(shè)比賽繼續(xù)進行場乙贏得全部獎金，則最后一場必然乙贏
當時，乙以贏，；
當時，乙以贏，；
所以，乙贏得全部獎金的概率為
設(shè)
因為所以所以在上單調(diào)遞減，
于是.
故事件“乙贏得全部獎金”是小概率事件.
所以認為比賽繼續(xù)進行乙不可能贏得全部獎金.
17．（2021·山西（理））為了適應(yīng)教育改革新形勢，某實驗高中新建實驗樓、置辦實驗儀器、開設(shè)學(xué)生興趣課堂，將分子生物學(xué)知識和技術(shù)引入其中，激發(fā)了廣大學(xué)生的學(xué)習(xí)和科研熱情．現(xiàn)已知該生物科研興趣小組共有9名學(xué)生．在一次制作熒光標記小鼠模型時，將9名學(xué)生分成3組，每組3人．
（1）若將實驗進程分為三個階段，各個階段由一個成員獨立完成．現(xiàn)已知每個階段用時1小時，每個階段各成員成功率為．若任意過程失敗，則該實驗須重新開始．求一個組在不超過4個小時完成實驗任務(wù)的概率；
（2）現(xiàn)某小組3人代表學(xué)校組隊外出參加生物實驗競賽，其中一項賽程為小鼠灌注實驗．該賽程規(guī)則為：三人同時進行灌注實驗，但每人只有一次機會，每個隊員成功的概率均為．若單個隊員實驗成功計2分，失敗計1分．
①設(shè)小組總得分為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；
②主辦方預(yù)計通過該賽程了解全國生物興趣課程的開設(shè)情況．現(xiàn)從所有參賽隊員中抽取人成績計入總得分，若總得分大于的概率為，求數(shù)列的前15項和．
【答案】（1）；（2）①分布列見解析；期望為5；②．
【【解析】（1）一個組失誤0次的概率為；
僅第一步失誤一次的概率為，
則一個組在不超過4小時完成任務(wù)的概率為．
（2）①隨機變量的可能取值為3，4，5，6，
，，
，．
則的分布列為：
．
②總得分大于的概率為，
則的前15項和為
18．（2021·福建漳州·）某種玩具啟動后，該玩具上的燈會亮起紅燈或綠燈(紅燈和綠燈不會同時亮起)，第1次亮燈時，亮起紅燈的概率為，亮起綠燈的概率為.若第n次亮起的是紅燈，則第次亮起紅燈的概率為，亮起綠燈的概率為；若第n次亮起的是綠燈，則第次亮起紅燈的概率為，亮起綠燈的概率為.記第n次亮燈時，亮起紅燈的概率為.該玩具啟動前可輸入，玩具啟動后，當且第n次亮起紅燈時，該玩具會唱一首歌曲，否則不唱歌.
（1）若輸入，記該玩具啟動后，前3次亮燈中亮起紅燈的次數(shù)為X，求X的分布列和期望；
（2）若輸入，
（i）求數(shù)列的通項公式；
（ii）該玩具啟動后，在前20次亮燈中，該玩具最多唱幾次歌？
【答案】（1）分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：；（2）（i）；（ii）最多唱7次歌.
【解析】（1）由題意，得X的所有取值為0，1，2，3，
因為表示前3次亮燈的顏色為“綠綠綠”，
所以.
因為表示前3次亮燈的顏色為“紅綠綠”或“綠紅綠”或“綠綠紅”，
所以.
因為表示前3次亮燈的顏色為“紅紅綠”或“紅綠紅”或“綠紅紅”，
所以.
因為表示前3次亮燈的顏色為“紅紅紅”，
所以.
所以X的分布列為
所以.
（2）（i）由題意，得，
所以，
因為，所以，
所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，
所以，
所以.
（ii）由，得，又，所以n為正奇數(shù)，
由，得，
當n為奇數(shù)時，，所以，
所以該玩具啟動后，在前20次亮燈中，當，9，11，13，15，17，19時，該玩具可能唱歌，所以該玩具啟動后，在前20次亮燈中，該玩具最多唱7次歌.
19．（2021·山東淄博·高三三模）某電臺舉辦有獎知識競答比賽，選手答題規(guī)則相同.甲每道題自己有把握獨立答對的概率為，若甲自己沒有把握答對，則在規(guī)定時間內(nèi)連線親友團尋求幫助，其親友團每道題能答對的概率為p，假設(shè)每道題答對與否互不影響.
（1）當時，
（i）若甲答對了某道題，求該題是甲自己答對的概率；
（ii）甲答了4道題，計甲答對題目的個數(shù)為隨機變量X，求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（2）乙答對每道題的概率為(含親友團)，現(xiàn)甲乙兩人各答兩個問題，若甲答對題目的個數(shù)比乙答對題目的個數(shù)多的概率不低于，求甲的親友團每道題答對的概率p的最小值.
【答案】（1）（i）；（ii）分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：；（2）最小值為.
【解析】（1）（i）記事件A為“甲答對了某道題”，事件B為“甲確實會做”，
則，所以.
（ii）隨機變量X可取，甲答對某道題的概率為，
則，則，
則隨機變量X的分布列為
則.
（2）記事件為“甲答對了i道題”，事件為“乙答對了i道題”，
其中甲答對某道題的概率為，
答錯某道題的概率為
則，，
，，
所以甲答對題數(shù)比乙多的概率為
解得，即甲的親友團助力的概率P的最小值為.
20．（2021·全國（理））元旦期間某牛奶公司做促銷活動．一箱某品牌牛奶盒，每盒牛奶可以參與刮獎中獎得現(xiàn)金活動，但其中只有一些中獎．已知購買一盒牛奶需要元，若有中獎，則每次中獎可以獲得代金券元（可即中即用）．顧客可以在一箱牛奶中先購買盒，然后根據(jù)這盒牛奶中獎結(jié)果決定是否購買余下盒．設(shè)每盒牛奶中獎概率為，且每盒牛奶是否中獎相互獨立．
（1）若，顧客先購買盒牛奶，求該顧客至少有一盒中獎的概率；
（2）設(shè)先購買的盒牛奶恰好有一盒中獎的最大概率為，以為值．某顧客認為如果中獎后售價不超過原來售價的四折（即）便可以購買如下的盒牛奶，據(jù)此，請你判斷該顧客是否可以購買余下的盒牛奶.
【答案】（1）；（2）該顧客可以買下余下的盒牛奶.
【解析】（1）依題意有盒至少一盒中獎的概率為；
（2）盒牛奶恰有盒中獎的概率為，
令，則，
當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增；
當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減.
當時，有最大值，
設(shè)余下盒牛奶中獎為盒，中獎后實際付款為元，，，
，，
該顧客可以買下余下的盒牛奶．1
2
3
4
5
2
2
3
3
4
0
1
2
3
0
1
2
0
1
2
1
2
3
4
470
530
590
650
…
P
…
0
1
2
P
等級
級
級
級
個數(shù)
40
40
20
銷量（噸）
15
16
17
18
19
20
年數(shù)
2
4
5
6
2
1
10.4
12
13.6
P
9.6
11.2
12.8
14.4
P
2
3
4
39
40
41
59
60
61
0.01760
0.02844
0.04431
0.97155
0.98239
0.98951
100
150
200
0
200
400
P
8000
6000
2000
0
3
4
5
6
X
0
1
2
3
P
X
0
1
2
3
4
P

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