考點鞏固卷19 雙曲線方程及其性質（六大考點）-2025年高考數(shù)學一輪復習考點通關卷（新高考通用）-試卷下載-教習網(wǎng)

考點01：雙曲線的定義（妙用）
結論 1：雙曲線第一定義。
結論 2：標準方程由定義即可得雙曲線標準方程。
結論 3：雙曲線第二定義。
雙曲線（a＞0,b＞）的焦半徑公式： ,
當在右支上時，,.
當在左支上時，,.
證明：由第二定義得：M在右支時，
M在左支時，。
1．已知雙曲線的左、右焦點分別為，直線與的一條漸近線平行，若點在的右支上，點，則的最小值為（）
A．B．6C．D．8
【答案】C
【分析】由直線與的一條漸近線平行，可求得，從而可求出，則可求出的坐標，結合圖形可知，從而可求得答案.
【詳解】因為雙曲線，所以雙曲線的漸近線方程為，
因為直線與的一條漸近線平行，
所以，得，
所以，
所以，
因為，所以，
因為點在的右支上，
所以，
所以的最小值為，
故選：C
2．若點P是雙曲線C：上一點，，分別為C的左、右焦點，則“”是“”的（）
A．既不充分也不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．充分不必要條件
【答案】D
【分析】首先求得焦半徑的最小值，然后結合雙曲線定義以及充要條件的定義即可得解.
【詳解】，
當點在左支時，PF1的最小值為，
當點在右支時，PF1的最小值為，
因為，則點在雙曲線的左支上，
由雙曲線的定義，解得；
當，點在左支時，；在右支時，；推不出；
故為充分不必要條件，
故選：D.
3．已知雙曲線的右焦點為，動點在直線上，線段交于點，過作的垂線，垂足為，則的值為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】設出點的坐標為，由已知，用表示出和PF，進而得到的值.
【詳解】由雙曲線的對稱性，不妨設點在軸上及其上方，如圖，

依題意，，設，則，
由得，
所以，
所以.
故選：D．
4．過雙曲線x24?y212=1的右支上一點P，分別向和作切線，切點分別為M，N，則的最小值為（）
A．28B．29C．30D．32
【答案】C
【分析】求得兩圓的圓心和半徑，設雙曲線x24?y212=1的左右焦點為，，連接，，，F(xiàn)2N，運用勾股定理和雙曲線的定義，結合三點共線時，距離之和取得最小值，計算即可得到所求值．
【詳解】由雙曲線方程x24?y212=1可知：，
可知雙曲線方程的左、右焦點分別為，，
圓的圓心為（即），半徑為；
圓的圓心為（即），半徑為．
連接，，，F(xiàn)2N，則，
可得
，
當且僅當P為雙曲線的右頂點時，取得等號，即的最小值為30.
故選：C.
5．已知、是雙曲線或橢圓的左、右焦點，若橢圓或雙曲線上存在點，使得點，且存在，則稱此橢圓或雙曲線存在“阿圓點”，下列曲線中存在“阿圓點”的是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
利用橢圓定義和題給條件求得PF1,PF2的值，再利用到焦點距離的取值范圍檢驗，進而判斷選項AB；利用雙曲線定義和題給條件求得PF1,PF2的值，再利用到焦點距離的取值范圍檢驗，進而判斷選項CD.
【詳解】對于A選項，，、，，
所以，，到焦點距離的最小值為，最大值為，
假設存在點，滿足，則，
解得，不合乎題意，
所以A選項中的橢圓不存在“阿圓點”；
對于B選項，，、，，
所以，，
到焦點距離的最小值為，最大值為，
假設存在點，滿足，則，
解得，不合乎題意，
所以B選項中的橢圓不存在“阿圓點”；
對于C選項，雙曲線的方程為，
則雙曲線的兩個焦點為，、，．
到焦點距離的最小值為，
若雙曲線上存在點，使得點到兩個焦點、的距離之比為，
可得
所以C選項中的雙曲線存在“阿圓點”；
對于D選項，雙曲線的標準方程為，
則，，、，所以，，
到焦點距離的最小值為，
若雙曲線上存在點，使得點到兩個焦點、的距離之比為，
則，解得，
所以D選項中的雙曲線不存在“阿圓點”．
故選：C．
6．已知，為雙曲線的左、右焦點，點P是C的右支上的一點，則的最小值為（）
A．16B．18C．D．
【答案】A
【分析】利用雙曲線的定義表示PF1，結合基本不等式求解最小值.
【詳解】因為，為雙曲線的左、右焦點，P是C的右支上的一點，
所以，
所以
，當且僅當，即時，等號成立；
因為，所以，所以成立，的最小值為16.
故選：A.
7．設點P是圓上的一動點，，，則的最小值為（）．
A．B．C．6D．12
【答案】B
【分析】設，根據(jù)雙曲線的定義，將題意轉化為雙曲線與圓有公共點，再聯(lián)立雙曲線與圓的方程，根據(jù)二次方程有解結合判別式求解即可.
【詳解】設，
則點P的軌跡為以A，B為焦點，為實軸長的雙曲線的上支，
∴點P的軌跡方程為，依題意，雙曲線與圓有公共點，
將圓的方程代入雙曲線方程得，
即，
判別式，解得，
當時，，且，
∴等號能成立．∴．
故選：B
8．已知雙曲線C：的左右焦點為，，點P在雙曲線C的右支上，則（）
A．－8B．8C．10D．－10
【答案】A
【分析】先由雙曲線的方程求出其實半軸長，然后利用雙曲線的定義可求得答案.
【詳解】設雙曲線的實半軸長為，
則，所以，
因為雙曲線C的左右焦點為，，點P在雙曲線C的右支上，
所以，
故選：A
9．設，為雙曲線C：的左、右焦點，Q為雙曲線右支上一點，點P（0，2）．當取最小值時，的值為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
結合雙曲線定義數(shù)形結合判斷取最小值時，三點共線，聯(lián)立直線及雙曲線方程解出Q的坐標為，即可求解的值.
【詳解】由雙曲線定義得,
故
如圖示，當三點共線，即Q在M位置時，取最小值，
，故方程為，
聯(lián)立，解得點Q的坐標為 (Q為第一象限上的一點)，
故
故選：A
10．已知是雙曲線的左、右焦點，為雙曲線左支上一點，若的最小值為，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由定義知：|PF2|-|PF1|=2a，|PF2|=2a+|PF1|，==+4a+|PF1| ≥8a，當且僅當=|PF1|，即|PF1|=2a時取得等號.再由焦半徑公式得雙曲線的離心率的取值范圍.
【詳解】由雙曲線定義可得：
|PF2|-|PF1|=2a，|PF2|=2a+|PF1|，==+4a+|PF1| ≥8a，
當且僅當=|PF1|，即|PF1|=2a時取得等號.此時
由雙曲線的幾何性質可得，，即可，又雙曲線的離心率，∴.
故選:C.
考點02：雙曲線的焦點三角形問題
已知雙曲線方程為如圖，頂點在第一象限，對于雙曲線焦點三角形，有以下結論：
1.如圖，、是雙曲線的焦點，設P為雙曲線上任意一點，記，則的
面積.
證明：由余弦定理可知．
由雙曲線定義知||，可得
所以
則．
2.如圖，有，
3.離心率.
4.若，則有.
5.若，則有.
6.焦半徑公式：如圖，對于雙曲線，，對雙曲線，其焦半徑的范圍為.
7.雙曲線中，焦點三角形的內(nèi)心的軌跡方程為.
證明：設內(nèi)切圓與的切點分別為，則由切線長定理可得,因為，，所以，所以點的坐標為，所以點的橫坐標為定值a.
8.如圖，直線與雙曲線交于兩點，的左右焦點記為，則為平行四邊形.
結論9.已知具有公共焦點的橢圓與雙曲線的離心率分別為是它們的一個交點，且，則有.
證明：依題意，在中，由余弦定理得
，
所以，即.
結論10.如圖，過焦點的弦的長為，則的周長為.
11．已知雙曲線（，）的左、右焦點分別為，，過且斜率為的直線與雙曲線在第一象限的交點為A，若，則此雙曲線的標準方程可能為（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】，由雙曲線的定義可得，再由三角形的余弦定理，可得，，即可判斷出所求雙曲線的可能方程．
【詳解】因為，
由雙曲線的定義可知，
可得，
由于過的直線斜率為，
所以在等腰三角形中，，則，
由余弦定理得：，
化簡得，可得，即，，
可得，，
所以此雙曲線的標準方程可能為：.
故選：C
12．已知雙曲線:的左焦點為，過的直線交圓于，兩點，交的右支于點，若，則的離心率為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】設雙曲線的右焦點為，連接，過作與，易得，，設，結合雙曲線的定義分別求出對應邊，在和中，由勾股定理得和之間的關系，即可求解.
【詳解】
設雙曲線的右焦點為，連接，過作與，則，
因為，，
所以，
因為，所以，即為線段FQ的中點，
因為為的中點，所以，
所以，，
設，
則，，
，
所以，
在中，由勾股定理可得，
即，
解得，
所以，
，
在中，由勾股定理得，
即，
解得，所以.
故選：.
13．已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，點是雙曲線右支上一點，直線交雙曲線的左支于點．若，，，且的外接圓交雙曲線的一條漸近線于點，則的值為（）
A．B．C．D．3
【答案】D
【分析】根據(jù)雙曲線定義得到，，由勾股定理逆定理得為直角，在中，由勾股定理得，故，設的外接圓交雙曲線的一條漸近線于點Px0,y0，得到方程組，聯(lián)立得
【詳解】因為點M，N分別在雙曲線C的右支和左支上，
所以．
又，，，所以，
解得，，
所以，所以是直角．
在中，，所以，
解得，
所以，即．
又的外接圓交雙曲線的一條漸近線于點Px0,y0，
所以，所以點Px0,y0的坐標滿足，解得，
所以，故.
故選：D．
14．如圖，已知為雙曲線的焦點，過作垂直于x軸的直線交雙曲線于點P，且，則雙曲線得漸近線方程為（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)雙曲線的定義及含有的直角三角形的三邊關系，求得之間的關系，進而得解.
【詳解】由題意
所以，
所以，，
雙曲線得漸近線方程為，即.
故選：B.
15．雙曲線的左、右頂點分別為，左、右焦點分別為，過作直線與雙曲線的左、右兩支分別交于M，N兩點.若，且，則直線與的斜率之積為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】設，由雙曲線定義和題目條件，表達出，，，在中，由余弦定理得，則，在中，由余弦定理得，故，設，求出直線與的斜率之積為.
【詳解】設，則，
由雙曲線定義得，，
在中，由余弦定理得
，
解得，
則，，
在中，由余弦定理得
，
解得，則，，
設，則，
將代入得，
則直線與的斜率之積為.
故選：D
16．已知雙曲線的左、右焦點分別為，.過作直線與雙曲線的右支交于，兩點，若的周長為，則雙曲線的離心率的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由雙曲線的定義可得的周長為，求得AB，再由過焦點的弦長的最小值，結合雙曲線的性質，即可求解.
【詳解】由雙曲線的定義可得，
兩式相加可得，
則的周長為，即，
再由，可得，解得，
由.
故選：A
17．已知雙曲線的左，右焦點分別為，以為直徑的圓在第一象限與雙曲線交于一點，且的面積為4，若雙曲線上一點到兩條漸近線的距離之積為，則該雙曲線的離心率為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】設，根據(jù)雙曲線的定義得到，再由得到，的面積得到，求出，設雙曲線上一點，求出點到兩漸近線的距離，由距離之積為求出、，即可求出離心率.
【詳解】設，則由定義可得，即，
又因為為直徑，所以，得，
因為的面積為4，所以，即，
由以上三式可得，即，所以.
設雙曲線上一點，
則點到漸近線的距離為，
點到另一條漸近線的距離為，
故點到兩條漸近線的距離之積為，
因為，即，所以，
又，所以，則，所以雙曲線的離心率.
故選：B.
18．已知雙曲線的左焦點為，過坐標原點的直線與雙曲線交于兩點，且點在第一象限，滿足.若點在雙曲線上，且，則雙曲線的離心率為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用三角形一邊中線等于這一邊的一半，則這是一個直角三角形，可得是直角，再利用雙曲線的定義，及已知的兩焦半徑關系，結合勾股定理，可得長度關系，即可求得離心率.
【詳解】
設雙曲線右焦點為，連接，
由題意可知關于原點對稱，所以，
所以是直角，由，可設，則，即
由雙曲線的定義可知：，，
則，，
由是直角得：，
則，解得：m=a，
又由是直角得：，
則，解得：，所以離心率
故選：B.
19．已知分別是雙曲線的左、右焦點，過作雙曲線的漸近線的垂線，垂足為，且與雙曲線的左支交于點，若（為坐標原點），則雙曲線的離心率為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分別在和利用三角函數(shù)的定義和余弦定理，得到關于的等式，解得，再根據(jù)離心率公式即可求解.
【詳解】因為是的中點，所以，所以為的中點，

因為，所以點到漸近線的距離，
又，所以，
連接，易知，
則由雙曲線的定義可知，
在中由余弦定理，得，
整理得，所以雙曲線的離心率為，
故選：B
20．已知為雙曲線的兩個焦點，為雙曲線右支上的動點（非頂點），則的內(nèi)切圓恒過定點（）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由雙曲線的幾何性質，圓的切線長定理，可得的內(nèi)切圓與的切點為定點.
【詳解】雙曲線，，則長軸長為，焦距為，
為雙曲線右支上的動點（非頂點），為雙曲線的兩個焦點，
設的內(nèi)切圓與分別切于，如圖所示，

則根據(jù)雙曲線的定義及圓的性質可知：，
又，得，故為雙曲線的右頂點.
同上分析，當雙曲線方程為時，
為雙曲線的兩個焦點，為雙曲線右支上的動點（非頂點），
設的內(nèi)切圓與分別切于，
可知為雙曲線的右頂點，此時雙曲線長軸長為，右頂點坐標.
所以此時的內(nèi)切圓恒過定點.
故選：B.
考點03：雙曲線的簡單幾何性質
雙曲線的幾何性質
2.要點理解
(1)B1(0,－b)，B2(0，b)不是雙曲線上的點，不能稱為頂點．
(2)雙曲線的離心率刻畫了雙曲線的“張口”大小，e越大，開口越大．
(3)雙曲線的漸近線方程要注意焦點所在軸的位置．
(4)焦點到漸近線的距離為b.
3.等軸雙曲線：實軸與虛軸等長的雙曲線叫等軸雙曲線．為了便于研究，方程一般寫為x2－y2＝m(m≠0)．
21．下列選項中，所得到的結果為4的是（）
A．雙曲線的焦距
B．的值
C．函數(shù)的最小正周期
D．數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)
【答案】C
【分析】根據(jù)雙曲線關系，求，求焦距，判斷；運用二倍角變形公式化簡，判斷；依據(jù)正切型函數(shù)的最小正周期，代入求解，判斷；按照求解百分位數(shù)的步驟，直接求解，判斷.
【詳解】對于，，雙曲線的焦距為，故錯誤；
對于，，故錯誤；
對于，最小正周期，故正確；
對于，一共有12個數(shù)據(jù)，，
所以這組數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)是從小往大排列，第3個和第4個的平均數(shù)，
即，故錯誤.
故選：C.
22．過雙曲線的右焦點F作與其中一條漸近線垂直的直線分別與這兩條漸近線交于兩點，若，則該雙曲線的焦距為（）
A．2B．3C．D．4
【答案】D
【分析】求出雙曲線的漸近線方程，由向量關系可得，再結合三角形面積關系列式計算得解.
【詳解】雙曲線的漸近線為，令，由對稱性不妨令直線垂直于直線，
而，則，由，得，則，
顯然，，由，
得，解得，則，
所以該雙曲線的焦距為4.
故選：D
23．若拋物線的準線經(jīng)過雙曲線的右焦點，則的值為（）
A．B．4C．D．8
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，分別求得雙曲線的右焦點以及拋物線的準線方程，代入計算，即可得到結果.
【詳解】因為雙曲線的右焦點為，
又拋物線的準線方程為，則，即.
故選：C
24．若拋物線的準線經(jīng)過雙曲線的右焦點，則的值為（）
A．4B．C．2D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意，求出拋物線的準線方程列式運算求得的值.
【詳解】雙曲線的右焦點為，所以拋物線的準線為，
，解得.
故選：D.
25．已知雙曲線的一條漸近線方程為，則的焦點坐標為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由題意判斷，由雙曲線方程寫出其漸近線方程，比較即得，代入方程即可求得其焦點坐標.
【詳解】易知，令，解得，依題有，即，
雙曲線方程為，從而，從而的焦點坐標為.
故選：A.
26．已知雙曲線C：的焦點為，則C的方程為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)雙曲線的標準方程計算即可.
【詳解】因為雙曲線C的焦點為在縱軸上，所以，
且雙曲線C方程滿足，
故，則C的方程為．
故選：D．
27．等軸雙曲線經(jīng)過點，則其焦點到漸近線的距離為（）
A．B．2C．4D．
【答案】A
【分析】由題意，先求出等軸雙曲線的方程，得到焦點坐標和漸近線方程，再利用點到直線的距離公式進行求解即可．
【詳解】因為該曲線為等軸雙曲線，

不妨設該雙曲線的方程為，
因為等軸雙曲線經(jīng)過點，
所以，
解得，
則，
所以該雙曲線的一個焦點坐標為，
易知該雙曲線的一條漸近線方程為，
則點到直線的距離．
故選：A．
28．雙曲線和雙曲線具有相同的（）
A．焦點B．頂點C．漸近線D．離心率
【答案】D
【分析】分別計算出兩雙曲線的焦點坐標、頂點坐標、漸近線方程與離心率即可得.
【詳解】雙曲線的焦點坐標為、左右頂點坐標為、
漸近線方程為、離心率為；
雙曲線的焦點坐標為、上下頂點坐標為、
漸近線方程為、離心率為；
故其離心率相同.
故選：D.
29．已知橢圓與雙曲線有公共焦點，記與在軸上方的兩個交點為，，過的右焦點作軸的垂線交于，兩點，若，則的離心率為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】依題將橢圓與雙曲線方程聯(lián)立求出點坐標，計算出，再由兩曲線共焦點得出，最后由雙曲線的通徑，代入，消去，得到，將值替換并化成的方程分解因式即得.
【詳解】
如圖，由聯(lián)立消去可得：，不妨設A(x1,y1),B(x2,y2)，
由題意，，則①；
又因橢圓與雙曲線有公共的焦點，故有，即②
將代入可求得利用對稱性可得③ ，
將① 、③代入可得，
化簡得，將②式代入并化簡，，
將代入并化簡得，即，
分解因式得：，解得，舍去另兩個負值.
故選：D.
30．已知雙曲線與橢圓有相同的焦點，則的最小值為（）
A．6B．7C．8D．9
【答案】D
【分析】首先得到橢圓的焦點坐標，依題意可得，利用乘“1”法及基本不等式計算可得.
【詳解】橢圓的焦點為，
依題意可得，
所以，
當且僅當，即，時取等號，
故的最小值為.
故選：D
考點04：求雙曲線離心率及取值范圍
離心率
(1)離心率的意義：e越大，開口越大
在橢圓中，橢圓的離心率可以刻畫橢圓的扁平程度．在雙曲線中，雙曲線的“張口”大小是圖象的一個重要特征．因為，所以當?shù)闹翟酱?，漸進線的斜率越大，雙曲線的“張口”越大，也就越大，故反映了雙曲線的“張口”大小，即雙曲線的離心率越大，它的“張口”越大．
(2)離心率的求法
①直接法：若可求得a，c，則直接利用e＝eq \f(c,a)得解．
②齊次式法：若得到的是關于a，c的齊次方程pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r為常數(shù)，且p≠0)，則轉化為關于e的方程pe2＋q·e＋r＝0求解．
31．過雙曲線的右焦點向雙曲線的一條漸近線作垂線，垂足為，線段FD與雙曲線交于點，過點向另一條漸近線作垂線，垂足為，若，則雙曲線的離心率為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)點到直線的距離公式可以求出|的長，再根據(jù)列出等式即可尋找a,b,c的關系，進而可以得到雙曲線的離心率.
【詳解】由題意，知雙曲線的漸近線方程為．
設雙曲線的半焦距為，則右焦點到漸近線的距離．
設點，則，即．
又，
所以，
解得．
故選：A．
32．已知，分別為雙曲線C：的左，右焦點，過作C的兩條漸近線的平行線，與兩條漸近線分別交于A，B兩點．若，則C的離心率為（）
A．3B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意可知四邊形為菱形，從而求得，，再進行計算即可.
【詳解】如圖，連接交軸于.
根據(jù)題意易知點，關于軸對稱，所以四邊形為菱形，且，
故，且.
雙曲線的漸近線方程為，令，得.
在中，，解得，
所以.
故選：.
33．已知雙曲線的左右焦點分別為，過點且與漸近線垂直的直線與雙曲線左右兩支分別交于兩點，若，則雙曲線的離心率為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求得到漸近線的距離為，從而可求得的值，再在中利用正弦定理求出，然后結合雙曲線的定義和余弦定理求解即可.
【詳解】由題意知，點到漸近線的距離為，
所以，
因為，，所以，
所以，
因為，所以，
得，則，
在中，由正弦定理得，
即，得，
由雙曲線的定義知，
所以，
在中，由余弦定理得，
即，
整理得，即，
所以離心率為.
故選：A
34．已知雙曲線的左、右焦點分別為，若上存在點，使得，則的離心率的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)雙曲線定義和，得到，結合，得到不等式，又雙曲線的離心率大于1，得到答案.
【詳解】因為，所以，又，
所以，所以離心率，又雙曲線的離心率大于1，所以．
故選：D．
35．雙曲線C：的左、右焦點為，，直線l過點且平行于C的一條漸近線，l交C于點P，若，則C的離心率為（）
A．B．2C．D．3
【答案】C
【分析】設Px,y，通過題意求出直線的方程、直線的方程，之后聯(lián)立直線的方程、直線的方程及雙曲線方程，計算即可得出答案．
【詳解】設Px,y，由對稱性可知P點在x軸上方或者下方不影響結果，不妨令P點在x軸下方，如圖：
設F1?c,0、，，雙曲線其中一條漸近線為，
直線的方程為，①
由，得，即直線的斜率為，直線方程為，②
由點Px,y在雙曲線上，得，③
聯(lián)立①③，得，聯(lián)立①②，得，
則，即，因此，
所以離心率．
故選：C
36．已知雙曲線的左、右焦點分別為，P是雙曲線C的一條漸近線上的點，且線段的中點N在另一條漸近線上．若，則雙曲線C的離心率為（）
A．B．C．2D．
【答案】A
【分析】利用平方關系、商數(shù)關系求出，再由得出可得答案.
【詳解】因為N，O分別是的中點，所以，
又，
，
所以，
所以，故．
故選：A．
37．已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)，直線與雙曲線交于，兩點，直線y=?b與雙曲線交于，兩點，若MN=2PQ，則雙曲線的離心率等于（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】雙曲線方程分別于直線、直線y=?b聯(lián)立求出MN,PQ，利用MN=2PQ可得答案.
【詳解】由y=ax2a2?y2b2=1，得y=ax=?acb，或y=ax=acb，所以MN=2acb，
由y=?bx2a2?y2b2=1，得y=?bx=?2a，或y=?bx=2a，所以PQ=22a，
因為MN=2PQ，所以2acb=2×22a，
整理得c=2b=2c2?a2，得c2a2=43，所以.
故選：C.
38．已知，分別為雙曲線的左、右焦點，O為坐標原點，點B是雙曲線上位于第二象限的點．直線與雙曲線交于另一點A，，，則雙曲線的離心率為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】設，，根據(jù)雙曲線定義和勾股定理解得，計算出，，再次在中利用勾股定理得，最后整理成關于的齊次方程計算即可.
【詳解】設，，，
因為，則，則，解得
又因為，，則為的中點，所以，
則，在直角三角形中，，
即，化簡得，
將代入上式得，
則，
化簡得，兩邊同除得，
解得或1（舍去），則.
故選：A.

39．如圖，已知為雙曲線上一動點，過作雙曲線的切線交軸于點，過點作于點，，則雙曲線的離心率為（）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由與雙曲線相切，可得，即可得，作軸于點，結合相似三角形的性質可得，計算即可得的值，從而求出離心率.
【詳解】設，則，令，則，故，
過點作軸于點，則，
由，軸，故與相似，
故，及，
即.
又，所以，所以，
即，則．
其中雙曲線上一點的切線方程，證明如下：
不妨先探究雙曲線在第一象限的部分（其他象限由對稱性同理可得）．
由，得，所以，
則在的切線斜率，
所以在點處的切線方程為：，
又有，化簡即可得切線方程為：．
故選：B.

40．設雙曲線：的左、右焦點分別為，，過坐標原點的直線與雙曲線C交于A，B兩點，，，則C的離心率為（）
A．B．C．D．2
【答案】B
【分析】由雙曲線的對稱性可得，且四邊形為平行四邊形，由數(shù)量積的定義，結合余弦定理代入計算，即可得離心率.
【詳解】
由雙曲線的對稱性可知，，有四邊形為平行四邊形，
令，則，
由雙曲線定義可知，故有，即，
即，，
則
，
即，，所以.
故選：B
考點05：雙曲線的中點弦問題
雙曲線的中點弦斜率公式
(1) 若 Mx0,y0 為雙曲線 x2a2?y2b2=1弦 AB ( AB 不平行 y 軸) 的中點, 則
kAB?kOM=b2a2=e2?1
(2) 若 Mx0,y0 為雙曲線 y2a2?x2b2=1弦 AB ( AB 不平行 y 軸) 的中點, 則
kAB?kOM=a2b2=1e2?1
在雙曲線 x2a2?y2b2=1 中, 以 Px0,y0 為中點的弦所在直線的斜率 k=b2x0a2y0;
41．已知雙曲線，過其右焦點作一條直線分別交兩條漸近線于兩點，若為線段的中點，且，則雙曲線的漸近線方程為（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
由題設有雙曲線漸近線為，，且，求坐標，根據(jù)得到齊次方程，即可得漸近線.
【詳解】由題設作出圖形，雙曲線漸近線為，，則直線，
故，可得，故，即，
又三角形BOF為等腰三角形，所以，則，
整理得，即雙曲線的漸近線方程為.
故選：B

42．已知雙曲線的左焦點為，圓.若過的直線分別交的左、右兩支于兩點，且圓與相切于點，則下列結論錯誤的是（）
A．若，則直線與沒有交點
B．若為線段的中點，則離心率
C．不可能為線段AB的中點
D．若的離心率為，到的漸近線的距離為，則
【答案】D
【分析】根據(jù)雙曲線方程和題中條件，結合各個選項的條件進行判斷；
【詳解】對于A，此時直線為的一條漸近線，A正確.
對于B，若為線段的中點，則，由雙曲線定義可知，即離心率，B正確.
對于C，若為線段AB的中點，則.設Ax1,y1，Bx2,y2，，
聯(lián)立方程組，消去y得，
所以，，
所以，可知，
即M不可能為線段AB的中點，C正確.
對于D，由，得， .
因為到C的漸近線的距離為，所以，解得，，.
聯(lián)立方程組，消去得.
設Ax1,y1，Bx2,y2，則，，
所以，D錯誤.
故選：D.
43．在平面直角坐標系中，過點的直線與雙曲線的兩條漸近線相交于兩點，若線段的中點是，則的離心率為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】設出直線的方程，由雙曲線方程得到兩漸近線方程，分別聯(lián)立直線與兩漸近線方程，得到點坐標，結合的中點為，可得結論．
【詳解】
直線的斜率不存在時，應該在軸上，不符合題意，
直線的斜率為0時，兩點重合，不符合題意，
所以直線的斜率存在且不為0，設直線，
雙曲線的兩條漸近線方程分別為，
聯(lián)立解得，不妨令，
聯(lián)立，解得，則，
因為線段的中點為，所以，即，
②式兩邊分別平方得③，將①代入③并化簡可得，
所以離心率.
故選：D．
44．已知雙曲線，、分別為左、右焦點，若雙曲線右支上有一點P使得線段與y軸交于點E，，線段的中點H滿足，則雙曲線的離心率為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由，設，表示出的方程求得，則，由表示出P的坐標，代入雙曲線方程，整理計算即可求解.
【詳解】由，得的橫坐標為c2，設，
則直線的方程為，令，得，即，
所以線段的中點，則，
由，得，則，
即，代入雙曲線方程得，
即，整理得，
由，解得.
故選：A
45．在平面直角坐標系中，已知直線與雙曲線的左右兩支分別交于兩點，是線段的中點，是軸上一點(非原點)，且，則的離心率為（）
A．B．C．2D．3
【答案】B
【分析】設，則由已知可得，設直線的方程為，，將直線方程代入雙曲線方程化簡利用根與系數(shù)的關系，可得，再由，是線段的中點，可得，兩式結合化簡可求出離心率.
【詳解】設且，則，
因為，所以，得，
設直線的方程為，，
由，得，
由，得，
所以，
所以，①
，
因為，是線段的中點，
所以，即，化簡得，
由①，得，所以，
所以，
所以離心率，
故選：B
46．已知F是雙曲線（，）的右焦點，O是坐標原點，F(xiàn)是OP的中點，雙曲線E上有且僅有一個動點與點P之間的距離最近，則E的離心率的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由題知，，設是雙曲線E上的一個動點，利用兩點間的距離可得，分類討論可求在處取得最小值，進而可求得橢圓的離心率的范圍.
【詳解】由題知，，設是雙曲線E上的一個動點，∴，即，
∴．
易知最小時，M為E的右頂點，則，
∴當時，在處取得最小值，不符合題意，
故，此時在處取得最小值，符合題意，
故．
故選：B．
47．已知雙曲線C：的右焦點為F，B為虛軸上端點.M是中點，O為坐標原點，OM交雙曲線右支于N，若垂直于x軸，則雙曲線C的離心率為（）
A．B．2C．D．
【答案】A
【分析】由圖，可得點M，N坐標，后由可得，即可得答案.
【詳解】如圖，由題意可知
注意到，又由題，，則.
因M是中點，則，則.
由題，，則，故.
故選：A.
48．在圓錐中，已知高，底面圓的半徑為4，M為母線的中點，根據(jù)圓錐曲線的定義，下列四個圖中的截面邊界曲線分別為圓、橢圓、雙曲線及拋物線，下面四個命題，正確的個數(shù)為（）

①圓的面積為；
②橢圓的長軸長為；
③雙曲線兩漸近線的夾角正切值為；
④拋物線的焦點到準線的距離為
A．1個B．2個C．3個D．4個
【答案】B
【分析】對于①，利用圓錐的幾何性質確定圓的半徑，即可求得圓的面積；對于②，結合圓錐的軸截面可求得橢圓的長軸長；對于③，建立平面直角坐標系，設雙曲線方程，確定雙曲線上的點的坐標，即可求得雙曲線方程，進而求得雙曲線兩漸近線的夾角正切值；對于④，建立平面直角坐標系，設拋物線方程，確定拋物線上的點的坐標，即可求得參數(shù)，由此可判斷出答案.
【詳解】對于①，M為母線的中點，因此截面圓的半徑為底面圓的半徑的，

即截面圓半徑為2，則圓的面積為，故①正確；
對于②，如圖，在圓錐的軸截面中，作,垂足為C，
由題意可得M為母線的中點，則,

故橢圓的長軸長為,②正確；
對于③，如圖，在與平面垂直且過點M的平面內(nèi)，建立平面直角坐標系，
坐標原點與點P到底面距離相等，

則點M坐標為，雙曲線與底面圓的一個交點為D，其坐標為，
則設雙曲線方程為，
則，將代入雙曲線方程，得，
設雙曲線的漸近線與軸的夾角為，則，
故雙曲線兩漸近線的夾角正切值為，③錯誤；
對于④，如圖，建立平面直角坐標系，
設拋物線與底面圓的一個交點為H，

則，則,
設拋物線方程為，則，
即拋物線的焦點到準線的距離為，④錯誤，
故正確的命題有2個，
故選：B
49．在平面直角坐標系中，已知雙曲線的左?右焦點分別為，，過的直線與雙曲線的右支相交于點，過點作，垂足分別為N,M，且為線段的中點，，則雙曲線的離心率為（）
A．2B．C．D．
【答案】D
【分析】由條件證明為線段的中點，由此可得，結合雙曲線的定義可得，由勾股定理可得的關系，由此可求曲線的離心率.
【詳解】因為，為雙曲線的左?右焦點，
所以，
因為
所以，又為線段的中點，
所以為線段的中點，且，
又為線段的中點，
所以，
在中，，，
所以，
所以，
因為點在雙曲線的右支上，
所以，
故，
在中，，，，
由勾股定理可得：，
所以，即，
所以，又，
故，
所以，
故選：D.
50．已知雙曲線右支上的一點P，經(jīng)過點P的直線與雙曲線C的兩條漸近線分別相交于A，B兩點．若點A，B分別位于第一、四象限，O為坐標原點．當點P為AB的中點時，（）
A．B．9C．D．
【答案】B
【分析】設，，，，，結合點P為AB的中點求得，，再代入雙曲線方程求得，進而即可求解的值．
【詳解】設，，，，，
由點P為AB的中點，得，，
將P點代入雙曲線方程可得，化簡得，
所以，
故選：B．
考點06：直線與雙曲線的綜合問題
（1）設直線方程，設交點坐標為；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關于（或）的一元二次方程，注意的判斷；
（3）列出韋達定理；
（4）將所求問題或題中的關系轉化為、（或、）的形式；
（5）代入韋達定理求解.
51．已知雙曲線分別是的左、右焦點．若的離心率，且點在上．
(1)求的方程；
(2)若過點的直線與的左、右兩支分別交于兩點，與拋物線交于兩點，試問是否存在常數(shù)，使得為定值？若存在，求出常數(shù)的值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)x24?y212=1
(2)存在，為定值．
【分析】（1）根據(jù)已知列方程組求解求出雙曲線方程；
（2）先聯(lián)立方程組求出兩根和兩根積，再應用弦長公式，最后計算得出定值.
【詳解】（1）設雙曲線的半焦距為cc>0，
由題意可得，解得，所以的方程為x24?y212=1．
（2）
假設存在常數(shù)滿足條件，由（1）知，
設直線，
聯(lián)立方程得，消去，整理可得，
所以，，
．
因為直線過點且與的左、右兩支分別交于，兩點，所以兩點在軸同側，所以．
此時，即，所以．
設，將代入拋物線方程，得，
則，
所以
．
所以．
故當時，為定值，所以，當時，為定值．
52．已知雙曲線的中心為坐標原點，點在雙曲線上，且其兩條漸近線相互垂直.
(1)求雙曲線的標準方程；
(2)若過點的直線與雙曲線交于，兩點，的面積為，求直線的方程.
【答案】(1)(2)或．
【分析】（1）設所求雙曲線方程為，，把點代入，即可得出答案．
（2）根據(jù)題意設直線的方程為，聯(lián)立直線與雙曲線的方程，分別用點到直線的距離公式，弦長公式，三角形面積公式，建立方程，即可得出答案．
【詳解】（1）因為雙曲線的兩條漸近線互相垂直，
所以雙曲線為等軸雙曲線，
所以設所求雙曲線方程為，，
又雙曲線經(jīng)過點，
所以，即，
所以雙曲線的方程為，即．
（2）根據(jù)題意可知直線的斜率存在，又直線過點，
所以直線的方程為，
所以原點到直線的距離，
聯(lián)立，得，
所以且，
所以，且，
所以，
所以的面積為，
所以，解得，所以，
所以直線的方程為或．
53．如圖，已知雙曲線的離心率為2，點在C上，A，B為雙曲線的左、右頂點，為右支上的動點，直線AP和直線x＝1交于點N，直線NB交C的右支于點Q．
(1)求C的方程；
(2)探究直線PQ是否過定點，若過定點，求出該定點坐標，請說明理由；
(3)設S1，S2分別為△ABN和△NPQ的外接圓面積，求的取值范圍．
【答案】(1)x24?y212=1(2)直線PQ過定點（4，0），理由見解析(3)
【分析】（1）因為離心率，將點代入雙曲線方程得，又，解得a，b，即可得出答案．
（2）設，直線PQ的方程為，聯(lián)立雙曲線的方程，結合韋達定理可得，，寫出直線AP的方程，進而可得N點的坐標，又N，B，Q三點共線，則，解得，即可得出答案．
（3）設△ABN和△NPQ的外接圓半徑分別為R1，R2，由正弦定理可得，又，可得，設直線PQ的方程為，與雙曲線C的方程，可得，，由韋達定理得m的范圍，結合弦長公式及函數(shù)性質進而可得答案．
【詳解】（1）因為離心率，
所以
雙曲線的方程為，
將點代入雙曲線方程得，
所以，
所以雙曲線C的方程為x24?y212=1．
（2）直線PQ過定點，理由如下：
設，
直線PQ的方程為，
聯(lián)立，
整理得，
則，
直線，
所以，
又N，B，Q三點共線，
所以，即，
即，
即．
因為，
所以，
代入上式得，
所以．所以PQ過定點.
（3）設△ABN和△NPQ的外接圓半徑分別為
由正弦定理可得，
又，
所以，即．
設直線PQ的方程為x＝my+4，
與C的方程聯(lián)立，
整理得，
則，
又，即，
解得，
又因為，
所以．
54．已知雙曲線的虛軸長為，點在上.設直線與交于A，B兩點（異于點P），直線AP與BP的斜率之積為.
(1)求的方程；
(2)證明：直線的斜率存在，且直線過定點.
【答案】(1)(2)證明見解析
【分析】（1）借助虛軸定義得，將的坐標代入方程得，即可求解雙曲線方程；
（2）設出直線方程，代入曲線中，可得與交點橫坐標有關韋達定理，借助韋達定理計算斜率之積可得直線l中參數(shù)關系，即可得其定點.
【詳解】（1）因為虛軸長為，所以，
將的坐標代入方程，得，解得，
故的方程為.
（2）設Ax1,y1,Bx2,y2，直線AP的斜率為，直線BP的斜率為．
當直線的斜率不存在時，設，聯(lián)立得，
即，
由，得，解得（舍去）或（舍去），
所以直線的斜率存在，設直線的方程為，
代入的方程得，
則，
由，
可得，
即，
化簡得，即，
所以或，
當時，直線的方程為，直線過點，
與條件矛盾，舍去；
當時，直線的方程為，直線過定點
55．已知橢圓的左右焦點分別是，雙曲線的頂點恰好是、，且一條漸近線是．
(1)求的方程：
(2)若上任意一點（異于頂點），作直線交于，作直線交于，求的最小值．
【答案】(1);
(2).
【分析】（1）利用雙曲線漸近線斜率已知，結合頂點坐標的性質，即可求出方程；
（2）設直線的方程為：，利用弦長公式可求出AB與的關系式，同理再設直線的方程為：，也可求出PQ與的關系式，然后利用這兩直線的交點在雙曲線上，得到，從而可求的最小值.
【詳解】（1）由橢圓得：左右焦點分別是，
因為雙曲線的頂點恰好是、，設雙曲線的方程為：，
所以，
又由一條漸近線是，可得，所以，
即雙曲線的方程為：，
（2）
設直線的方程為：，與橢圓聯(lián)立得：
，
可設Ax1,y1,Bx2,y2，則
則，
同理可設直線的方程為：，與橢圓聯(lián)立得：
，
可設，則
則，
再由直線的方程為：與直線的方程為：聯(lián)立解得：
，
由于這兩直線交點就是點，則把點的坐標代入雙曲線的方程得：
，化簡得：，
點（異于頂點），所以，即，
則
，
當且僅當，即時，有最小值.
56．已知雙曲線：的實軸長為2，設F為C的右焦點，T為C的左頂點，過F的直線交C于A，B兩點，當直線斜率不存在時，的面積為9.
(1)求C的方程；
(2)當直線斜率存在且不為0時，連接，分別交直線于P，Q兩點，設M為線段的中點，證明：.
【答案】(1)(2)證明見解析
【分析】（1）由題意可得，求得兩點坐標，利用的面積為9，可求，可求橢圓方程；
（2）設，設Ax1,y1，Bx2,y2，可得直線的方程，聯(lián)立方程組可得，，求得兩點坐標，進而求得的坐標，可求得，可證結論.
【詳解】（1）依題意，的方程.
當直線斜率不存在時，不妨取，.
因為此時的面積為9，所以，于是
因此.
故的方程.
（2）設，則：，由
得，
因為，所以設Ax1,y1，Bx2,y2，
則，.
直線：，令，得，故.
同理.
所以
.
所以，故.
因此.
57．已知雙曲線的一條漸近線方程為，點在上.
(1)求雙曲線的方程；
(2)過雙曲線的左焦點作互相垂直的兩條直線，且與交于兩點，與交于兩點，為線段的中點，為線段的中點，證明：直線過定點.
【答案】(1)(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)漸近線方程及雙曲線上點的坐標列方程組求解即可.
（2）當與坐標軸平行時，直線與軸重合；當不與坐標軸平行時，設直線的方程為，與雙曲線方程聯(lián)立，韋達定理，從而求出，同理可得，求出直線的方程，即可求解直線恒過的定點.
【詳解】（1）由雙曲線的一條漸近線方程為，
且點在上，
有解得故雙曲線的方程為.
（2）由題意可知不與漸近線平行，
當與坐標軸平行時，顯然直線與軸重合.
當不與坐標軸平行時，左焦點為，
不妨設直線的方程為，聯(lián)立
消去并整理得，，
設Ax1,y1,Bx2,y2，則
所以，所以.
又直線互相垂直，用替換，則可得.
當，即時，直線的方程為，直線過；
當時，直線的斜率為，
所以直線的方程為，
令，所以直線過.
綜上，直線恒過點.

58．設雙曲線C：（，）的一條漸近線為，焦點到漸近線的距離為1．，分別為雙曲線的左、右頂點，直線過點交雙曲線于點，，記直線，的斜率為，．
(1)求雙曲線的方程；
(2)求證為定值．
【答案】(1)(2)證明見解析
【分析】（1）借助漸近線定義及點到直線距離公式計算即可得；
（2）設出直線方程，聯(lián)立曲線可得與交點縱坐標有關韋達定理，作商即可得所設參數(shù)與縱坐標的關系，借助斜率公式表示出斜率后，消去所設參數(shù)即可得證.
【詳解】（1）由題意可得，解得，
故雙曲線的方程為；
（2）由雙曲線的方程為，則，，
由題意可知直線斜率不為，故可設，Mx1,y1，，
聯(lián)立，消去可得，
，即，
則，，
則，即，
，，
則
，
即為定值.

59．設雙曲線的左、右頂點分別為，，左、右焦點分別為，，，且的漸近線方程為，直線交雙曲線于，兩點.
(1)求雙曲線的方程；
(2)當直線過點時，求的取值范圍.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由題意可得，解方程即可得出答案；
（2）討論直線的斜率存不存在，存在時設直線的方程為，，聯(lián)立直線與雙曲線的方程，將韋達定理代入，由反比例函數(shù)的單調性即可得出答案.
【詳解】（1）由題意可得：，解得：，，.
雙曲線的方程為：.
（2）當直線的斜率不存在時，，A?2,0，
此時，，所以，
當直線的斜率存在時，設Px1,y1，Qx2,y2，因為直線過點，
設直線的方程為：，
聯(lián)立可得：，
當時，，
，，
，
令，則，令，在，上單調遞減，
又，所以，
所以的取值范圍為.
60．已知雙曲線的左?右焦點分別為，點為雙曲線上一點，且
(1)求雙曲線的標準方程及其漸近線方程；
(2)已知直線與雙曲線交于兩點，且，其中為坐標原點，求的值.
【答案】(1)；(2)或
【分析】（1）根據(jù)已知條件及雙曲線的定義即可求解；
（2）將直線與雙曲線方程聯(lián)立方程組，利用韋達定理及點到直線的距離公式，結合弦長公式及三角形的面積公式即可求解.
【詳解】（1）由及雙曲線的定義知，，即，
所以雙曲線的方程為：，其漸近線方程為；
（2）由題意可知，作出圖形如圖所示
設，由題可知，
聯(lián)立，
所以，
點到直線的距離，
所以，
令，化簡得：，解得：或，
所以或.
焦點位置
焦點在x軸上
焦點在y軸上
標準方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)
圖形
性質
范圍
x≥a或x≤－a
y≤－a或y≥a
對稱性
對稱軸：坐標軸；對稱中心：原點
頂點坐標
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
漸近線
y＝±eq \f(b,a)x
y＝±eq \f(a,b)x
離心率
e＝eq \f(c,a)，e∈(1，＋∞)，其中c＝eq \r(a2＋b2)

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