專題12 二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)-【真題匯編】2024年中考數(shù)學真題專題分類匯編練習（原卷版+解析版）-試卷下載-教習網(wǎng)

一、選擇題
1. （2024陜西省）已知一個二次函數(shù)的自變量x與函數(shù)y的幾組對應值如下表，
則下列關(guān)于這個二次函數(shù)的結(jié)論正確的是（）
A. 圖象的開口向上B. 當時，y的值隨x的值增大而增大
C. 圖象經(jīng)過第二、三、四象限D(zhuǎn). 圖象的對稱軸是直線
【答案】D
【解析】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)．先利用待定系數(shù)法求得二次函數(shù)解析式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可．
【詳解】解：由題意得，解得，
∴二次函數(shù)的解析式為，
∵，
∴圖象的開口向下，故選項A不符合題意；
圖象的對稱軸是直線，故選項D符合題意；
當時，y值隨x的值增大而增大，當時，y的值隨x的值增大而減小，故選項B不符合題意；
∵頂點坐標為且經(jīng)過原點，圖象的開口向下，
∴圖象經(jīng)過第一、三、四象限，故選項C不符合題意；
故選：D．
2. （2024四川涼山）拋物線經(jīng)過三點，則的大小關(guān)系正確的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】本題主要考查二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)可進行求解．
【詳解】由拋物線可知：開口向上，對稱軸為直線，
該二次函數(shù)上所有的點滿足離對稱軸的距離越近，其對應的函數(shù)值也就越小，
∵，，，
而，，，
∴點離對稱軸最近，點離對稱軸最遠，
∴；
故選：D．
3. （2024湖北省）拋物線的頂點為，拋物線與軸的交點位于軸上方．以下結(jié)論正確的是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系．根據(jù)二次函數(shù)的解析式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，畫出草圖，逐一分析即可得出結(jié)論．
【詳解】根據(jù)題意畫出函數(shù)的圖像，如圖所示：
∵開口向上，與軸的交點位于軸上方，
∴，，
∵拋物線與軸有兩個交點，
∴，
∵拋物線的頂點為，
∴，
觀察四個選項，選項C符合題意，
故選：C．
4. （2024福建?。┮阎魏瘮?shù)的圖象經(jīng)過，兩點，則下列判斷正確的是（）
A. 可以找到一個實數(shù)，使得B. 無論實數(shù)取什么值，都有
C. 可以找到一個實數(shù)，使得D. 無論實數(shù)取什么值，都有
【答案】C
【解析】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)題意得到二次函數(shù)開口向上，且對稱軸為，頂點坐標為，再分情況討論，當時，當時，，的大小情況，即可解題．
【詳解】二次函數(shù)解析式為，
二次函數(shù)開口向上，且對稱軸為，頂點坐標為，
當時，，
當時，，
，
當時，，
，
故A、B錯誤，不符合題意；
當時，，
由二次函數(shù)對稱性可知，，
當時，，由二次函數(shù)對稱性可知，，不一定大于，
故C正確符合題意；D錯誤，不符合題意；
故選：C．
5. （2024四川眉山）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于點，與軸交于點，對稱軸為直線，下列四個結(jié)論：①；②；③；④若，則，其中正確結(jié)論的個數(shù)為（）
A. 1個B. 2個C. 3個D. 4
【答案】C
【解析】此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵，利用開口方向和對稱軸的位置即可判斷①，利用對稱軸和特殊點的函數(shù)值即可判斷②，利用二次函數(shù)的最值即可判斷③，求出，進一步得到，又根據(jù)得到，即可判斷④.
【詳解】解：①函數(shù)圖象開口方向向上，
；
對稱軸在軸右側(cè)，
、異號，
，
∵拋物線與軸交點在軸負半軸，
，
，故①錯誤；
②二次函數(shù)的圖象與軸交于點，與軸交于點，對稱軸為直線，
，
，
時，，
，
，
，故②正確；
③對稱軸為直線，，
最小值，
，
∴，
故③正確；
④，
∴根據(jù)拋物線與相應方程的根與系數(shù)的關(guān)系可得，
，
，
，
，
，
，
故④正確；
綜上所述，正確的有②③④，
故選：C
6. （2024貴州省）如圖，二次函數(shù)的部分圖象與x軸的一個交點的橫坐標是，頂點坐標為，則下列說法正確的是（）

A. 二次函數(shù)圖象的對稱軸是直線
B. 二次函數(shù)圖象與x軸的另一個交點的橫坐標是2
C. 當時，y隨x的增大而減小
D. 二次函數(shù)圖象與y軸的交點的縱坐標是3
【答案】D
【解析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，對稱性，增減性判斷選項A、B、C，利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式，再求出與y軸的交點坐標即可判定選項D．
∵二次函數(shù)的頂點坐標為，
∴二次函數(shù)圖象的對稱軸是直線，故選項A錯誤；
∵二次函數(shù)的圖象與x軸的一個交點的橫坐標是，對稱軸是直線，
∴二次函數(shù)圖象與x軸的另一個交點的橫坐標是1，故選項B錯誤；
∵拋物線開口向下，對稱軸是直線，
∴當時，y隨x的增大而增大，故選項C錯誤；
設(shè)二次函數(shù)解析式為，
把代入，得，
解得，
∴，
當時，，
∴二次函數(shù)圖象與y軸的交點的縱坐標是3，故選項D正確，
故選D．
7. （2024內(nèi)蒙古赤峰）如圖，正方形的頂點，在拋物線上，點在軸上．若兩點的橫坐標分別為（），下列結(jié)論正確的是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，解題時要熟練掌握并能靈活運用是關(guān)鍵．依據(jù)題意，連接、交于點，過點作軸于點，過點作于點，先證明．可得，．點、的橫坐標分別為、，可得，．，，，設(shè)，則，，，，，．再由，進而可以求解判斷即可．
【詳解】如圖，連接、交于點，過點作軸于點，過點作于點，
四邊形是正方形，
、互相平分，，，
，，
．
，，
．
，．
點、的橫坐標分別為、，
，．
，，，
設(shè)，則，，
，，，．
又，，
，．
．
．
．
點、在軸的同側(cè)，且點在點的右側(cè)，
．
．
故選：B．
8. （2024四川遂寧）如圖，已知拋物線（a、b、c為常數(shù)，且）的對稱軸為直線，且該拋物線與軸交于點，與軸的交點在，之間（不含端點），則下列結(jié)論正確的有多少個（）
①；
②；
③；
④若方程兩根為，則．
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】本題主要考查二次函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)題干可得，，，即可判斷①錯誤；根據(jù)對稱軸和一個交點求得另一個交點為，即可判斷②錯誤；將c和b用a表示，即可得到，即可判斷③正確；結(jié)合拋物線和直線與軸得交點，即可判斷④正確．
【詳解】由圖可知，
∵拋物線的對稱軸為直線，且該拋物線與軸交于點，
∴，，
則，
∵拋物線與軸的交點在，之間，
∴，
則，故①錯誤；
設(shè)拋物線與軸另一個交點，
∵對稱軸為直線，且該拋物線與軸交于點，
∴，解得，
則，故②錯誤；
∵，，，
∴，解得，故③正確；
根據(jù)拋物線與軸交于點和，直線過點和，如圖，
方程兩根為滿足，故④正確；
故選：B．
9. （2024黑龍江齊齊哈爾）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于，，其中．結(jié)合圖象給出下列結(jié)論：

①；②；
③當時，隨的增大而減小；
④關(guān)于的一元二次方程的另一個根是；
⑤的取值范圍為．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)判斷結(jié)論①②③正誤；由二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系判斷結(jié)論④；利用結(jié)論④及題中條件可求得的取值范圍，再由結(jié)論②可得取值范圍，判斷⑤是否正確．
【詳解】由圖可得：，對稱軸，
，
，①錯誤；
由圖得，圖象經(jīng)過點，將代入可得，
，②正確；
該函數(shù)圖象與軸的另一個交點為，且，
對稱軸，
該圖象中，當時，隨著的增大而減小，當時，隨著的增大而增大，
當時，隨著的增大而減小，
③正確；
，，
關(guān)于一元二次方程的根為，
，
，，
④正確；
，即，
解得，
即，
，
，
⑤正確．
綜上，②③④⑤正確，共個．
故選：．
【點睛】本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、拋物線與軸的交點問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)與不等式的關(guān)系等知識，解題關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．
10. （2024黑龍江綏化）二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，對稱軸為直線，則下列結(jié)論中：
① ②（m為任意實數(shù)） ③
④若、是拋物線上不同的兩個點，則．其中正確的結(jié)論有（）
A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個
【答案】B
【解析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，根據(jù)拋物線的開口方向，對稱軸可得，即可判斷①，時，函數(shù)值最大，即可判斷②，根據(jù)時，，即可判斷③，根據(jù)對稱性可得即可判段④，即可求解．
【詳解】∵二次函數(shù)圖象開口向下
∴
∵對稱軸為直線，
∴
∴
∵拋物線與軸交于正半軸，則
∴，故①錯誤，
∵拋物線開口向下，對稱軸為直線,
∴當時，取得最大值，最大值為
∴（m為任意實數(shù)）
即，故②正確；
∵時，
即
∵
∴
即
∴，故③正確；
∵、是拋物線上不同的兩個點，
∴關(guān)于對稱，
∴即故④不正確
正確的有②③
故選：B
11. 拋物線與軸交于兩點，其中一個交點的橫坐標大于1，另一個交點的橫坐標小于1，則下列結(jié)論正確的是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，設(shè)拋物線與軸交于兩點，橫坐標分別為，依題意，，根據(jù)題意拋物線開口向下，當時，，即可判斷A選項，根據(jù)對稱軸即可判斷B選項，根據(jù)一元二次方程根的判別式，即可求解．判斷C選項，無條件判斷D選項，據(jù)此，即可求解．
【詳解】解：依題意，設(shè)拋物線與軸交于兩點，橫坐標分別為
依題意，
∵，拋物線開口向下，
∴當時，，即
∴，故A選項正確，符合題意；
若對稱軸為，即，
而，不能得出對稱軸為直線，
故B選項不正確，不符合題意；
∵拋物線與坐標軸有2個交點，
∴方程有兩個不等實數(shù)解，即，又
∴，故C選項錯誤，不符合題意；
無法判斷的符號，故D選項錯誤，不符合題意；
故選：A．
二、填空題
1. （2024四川成都市）在平面直角坐標系中，，，是二次函數(shù)圖象上三點．若，，則______（填“”或“”）；若對于，，，存在，則的取值范圍是______．
【答案】 ①. ②.
【解析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、不等式的性質(zhì)以及解不等式組，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．先求得二次函數(shù)的對稱軸，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．
【詳解】解：由得拋物線的對稱軸為直線，開口向下，
∵，，
∴，
∴；
∵，，，，
∴，
∵存在，
∴，，且離對稱軸最遠，離對稱軸最近，
∴，即，且，
∵，，
∴且，
解得，
故答案為：；．
2. （2024四川內(nèi)江）已知二次函數(shù)的圖象向左平移兩個單位得到拋物線，點，在拋物線上，則________（填“＞”或“＜”）；
【答案】
【解析】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的平移以及二次函數(shù)的性質(zhì)，由平移的規(guī)律可得出拋物線的解析式為，再利用二次函數(shù)圖象的性質(zhì)可得出答案．
【詳解】，
∵二次函數(shù)的圖象向左平移兩個單位得到拋物線，
∴拋物線的解析式為，
∴拋物線開口向上，對稱軸為，
∴當時，y隨x的增大而增大，
∵，
∴，
故答案為：．
3. （2024江蘇蘇州）二次函數(shù)的圖象過點，，，，其中m，n為常數(shù)，則的值為______．
【答案】##
【解析】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，把A、B、D的坐標代入，求出a、b、c，然后把C的坐標代入可得出m、n的關(guān)系，即可求解．
【詳解】把，，代入，
得，
解得，
∴，
把代入，
得，
∴，
∴，
故答案為：．
4. （2024武漢市）拋物線（a，b，c常數(shù)，）經(jīng)過，兩點，且．下列四個結(jié)論：
①；
②若，則；
③若，則關(guān)于x的一元二次方程無實數(shù)解；
④點，在拋物線上，若，，總有，則．
其中正確的是__________（填寫序號）．
【答案】②③④
【解析】本題考查了二次函數(shù)性質(zhì)，根據(jù)題意可得拋物線對稱軸，即可判斷①，根據(jù)，兩點之間的距離大于，即可判斷②，根據(jù)拋物線經(jīng)過得出，代入頂點縱坐標，求得縱坐標的最大值即可判斷③，根據(jù)④可得拋物線的對稱軸，解不等式，即可求解．
【詳解】解：∵（a，b，c是常數(shù)，）經(jīng)過，兩點，且．
∴對稱軸為直線，，
∵，
∴，故①錯誤，
∵
∴，即，兩點之間距離大于
又∵
∴時，
∴若，則，故②正確；
③由①可得，
∴，即，
當時，拋物線解析式為
設(shè)頂點縱坐標為
∵拋物線（a，b，c是常數(shù)，）經(jīng)過，
∴
∴
∴
∵，，對稱軸為直線，
∴當時，取得最大值為，而，
∴關(guān)于x的一元二次方程無解，故③正確；
④∵，拋物線開口向下，點，在拋物線上，，，總有，
又，
∴點離較遠，
∴對稱軸
解得：，故④正確．
故答案為：②③④．
5. （2024山東煙臺）已知二次函數(shù)的與的部分對應值如下表：
下列結(jié)論：；關(guān)于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根；當時，的取值范圍為；若點，均在二次函數(shù)圖象上，則；滿足的的取值范圍是或．其中正確結(jié)論的序號為______．
【答案】
【解析】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用待定系數(shù)法求出的值即可判斷；利用根的判別式即可判斷；利用二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷；利用對稱性可判斷；畫出函數(shù)圖形可判斷；掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：把，，代入得，
，
解得，
∴，故正確；
∵，，，
∴，
當時，，
∴，
∵，
∴關(guān)于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，故正確；
∵拋物線的對稱軸為直線，
∴拋物線的頂點坐標為，
又∵，
∴當時，隨的增大而增大，當時，隨的增大而減小，當時，函數(shù)取最大值，
∵與時函數(shù)值相等，等于，
∴當時，的取值范圍為，故錯誤；
∵，
∴點，關(guān)于對稱軸對稱，
∴，故正確；
由得，
即，
畫函數(shù)和圖象如下：
由，解得，，
∴，，
由圖形可得，當或時，，即，故錯誤；
綜上，正確的結(jié)論為，
故答案為：．
三、解答題
1. （2024北京市）在平面直角坐標系中，已知拋物線.
（1）當時，求拋物線的頂點坐標；
（2）已知和是拋物線上的兩點.若對于，，都有，求的取值范圍.
【答案】（1）；（2）或
【解析】（）把代入，轉(zhuǎn)化成頂點式即可求解；
（）分和兩種情況，畫出圖形結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；
本題考查了求二次函數(shù)的頂點式，二次函數(shù)的性質(zhì)，運用分類討論和數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關(guān)鍵．
【小問1詳解】
解：把代入得，，
∴拋物線的頂點坐標為；
【小問2詳解】
解：分兩種情況：拋物線的對稱軸是直線；
當時，如圖，此時，
∴，
又∵，
∴；
當時，如圖，此時，
解得，
又∵，
∴；
綜上，當或，都有．
2. （2024福建?。┤鐖D，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點，與軸交于點，其中．
（1）求二次函數(shù)的表達式；
（2）若是二次函數(shù)圖象上的一點，且點在第二象限，線段交軸于點的面積是的面積的2倍，求點的坐標．
【答案】（1）（2）
【解析】本題考查二次函數(shù)表達式、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二元一次方程組、一元二次方程、三角形面積等基礎(chǔ)知識，考查運算能力、推理能力、幾何直觀等.
（1）根據(jù)待定系數(shù)法求解即可；
（2）設(shè)，因為點在第二象限，所以．依題意，得，即可得出，求出，由，求出，即可求出點的坐標．
【小問1詳解】
解：將代入，
得，
解得，
所以，二次函數(shù)的表達式為．
【小問2詳解】
設(shè)，因為點在第二象限，所以．
依題意，得，即，所以．
由已知，得，
所以．
由，
解得（舍去），
所以點坐標為．
3. （2024江蘇揚州）如圖，已知二次函數(shù)的圖像與軸交于，兩點．
（1）求的值；
（2）若點在該二次函數(shù)的圖像上，且的面積為，求點的坐標．
【答案】（1）
（2）
【解析】【分析】本題主要考查二次函數(shù)與幾何圖形的綜合，掌握待定系數(shù)法求解析式，解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．
（1）運用待定系數(shù)法即可求解；
（2）根據(jù)題意設(shè)，結(jié)合幾何圖形面積計算方法可得點的縱坐標，代入后解一元二次方程即可求解．
【小問1詳解】
解：二次函數(shù)的圖像與軸交于，兩點，
∴，
解得，，
∴；
【小問2詳解】
解：由（1）可知二次函數(shù)解析式為：，，，
∴，
設(shè)，
∴，
∴，
∴，
∴當時，，無解，不符合題意，舍去；
當時，，；
∴．
4. （2024云南省）已知拋物線的對稱軸是直線．設(shè)是拋物線與軸交點的橫坐標，記．
（1）求值；
（2）比較與的大?。?br>【答案】（1）
（2）當時，；當時，．
【解析】【分析】（1）由對稱軸為直線直接求解；
（2）當時，；當時，．
【小問1詳解】
解：∵拋物線的對稱軸是直線，
∴，
∴；
【小問2詳解】
解：∵是拋物線與軸交點的橫坐標，
∴，
∴，
∴，
∴，
而
代入得：，
∴，
∴，
∵，
解得：，
當時，
∴；
當時，，
∴．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)的對稱軸公式，與x軸交點問題，解一元二次方程，無理數(shù)的大小比較，解題的關(guān)鍵是對進行降次處理．
5. （2024陜西?。┮粭l河上橫跨著一座宏偉壯觀的懸索橋．橋梁的纜索與纜索均呈拋物線型，橋塔與橋塔均垂直于橋面，如圖所示，以O(shè)為原點，以直線為x軸，以橋塔所在直線為y軸，建立平面直角坐標系．

已知：纜索所在拋物線與纜索所在拋物線關(guān)于y軸對稱，橋塔與橋塔之間的距離，，纜索的最低點P到的距離（橋塔的粗細忽略不計）
（1）求纜索所在拋物線的函數(shù)表達式；
（2）點E在纜索上，，且，，求的長．
【答案】（1）；（2）的長為．
【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)的應用，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，根據(jù)題意求得函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)題意設(shè)纜索所在拋物線的函數(shù)表達式為，把代入求解即可；
（2）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到纜索所在拋物線的函數(shù)表達式為，由，把代入求得，，據(jù)此求解即可．
【小問1詳解】
解：由題意得頂點P的坐標為，點A的坐標為，
設(shè)纜索所在拋物線的函數(shù)表達式為，
把代入得，
解得，
∴纜索所在拋物線的函數(shù)表達式為；
【小問2詳解】
解：∵纜索所在拋物線與纜索所在拋物線關(guān)于y軸對稱，
∴纜索所在拋物線的函數(shù)表達式為，
∵，
∴把代入得，，
解得，，
∴或，
∵，
∴的長為．
6. （2024上海市）在平面直角坐標系中，已知平移拋物線后得到的新拋物線經(jīng)過和．
（1）求平移后新拋物線表達式；
（2）直線（）與新拋物線交于點P，與原拋物線交于點Q．
①如果小于3，求m的取值范圍；
②記點P在原拋物線上的對應點為，如果四邊形有一組對邊平行，求點P的坐標．
【答案】（1）或；
（2）①；②．
【解析】【分析】（1）設(shè)平移拋物線后得到的新拋物線為，把和代入可得答案；
（2）①如圖，設(shè)，則，，結(jié)合小于3，可得，結(jié)合，從而可得答案；②先確定平移方式為，向右平移2個單位，向下平移3個單位，由題意可得：在的右邊，當時，可得，結(jié)合平移的性質(zhì)可得答案如圖，當時，則，過作于，證明，可得，設(shè)，則，，，再建立方程求解即可.
【小問1詳解】
解：設(shè)平移拋物線后得到的新拋物線為，
把和代入可得：
，
解得：，
∴新拋物線為；
【小問2詳解】
解：①如圖，設(shè)，則，
∴，
∵小于3，
∴，
∴，
∵，
∴；
②∵，
∴平移方式為，向右平移2個單位，向下平移3個單位，
由題意可得：在的右邊，當時，
∴軸，
∴，
∴，
由平移的性質(zhì)可得：，即；
如圖，當時，則，
過作于，
∴，
∴，
∴，
設(shè)，則，，，
∴，
解得：（不符合題意舍去）；
綜上：；
【點睛】本題屬于二次函數(shù)的綜合題，拋物線的平移，利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì) ，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練的利用數(shù)形結(jié)合的方法解題是關(guān)鍵.
x
…
0
3
5
…
y
…
0
…

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