（1）在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，與始終保持相似關(guān)系，請(qǐng)說明理由．
【深入探究】
（2）若，隨著點(diǎn)位置的變化，點(diǎn)的位置隨之發(fā)生變化，當(dāng)是線段中點(diǎn)時(shí)，求的值．
【拓展延伸】
（3）連接，，當(dāng)是以為腰的等腰三角形時(shí)，求的值（用含的代數(shù)式表示）．
【答案】見解析
【詳解】解：（1）四邊形和四邊形是矩形，
，
，
，
，
在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，與始終保持相似關(guān)系；
（2）如圖1，是線段中點(diǎn)，
，
設(shè)，，則，，，
由（1）知：，
，即，
，
，
，
，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，；
綜上，的值是．
（3）分兩種情況：
①如圖2，，
設(shè)，，
四邊形是矩形，
，，
，
，
矩形矩形，
，
，
，
由（1）知：，
，
，
，
，
；
②如圖3，，
矩形矩形，
，，
，
，
，
，，共線，
，
，
，
，
，
，，
，
由①可知：，，，
由勾股定理得：，
，
（負(fù)值舍），
，
綜上，的值是或．
2．（2021?成都）在中，，，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△，其中點(diǎn)，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)，．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)落在的延長(zhǎng)線上時(shí)，求的長(zhǎng)；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)落在的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接，交于點(diǎn)，求的長(zhǎng)；
（3）如圖3，連接，，直線交于點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接．在旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】見解析
【詳解】解：（1），，，
，
，繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△，點(diǎn)落在的延長(zhǎng)線上，
，，
△中，，
；
（2）過作交于，過作于，如圖：
繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△，
，，
，
，
，
，
中，，，，，
，
中，，
同理，
，，
，
，
，
；
（3）存在最小值1，理由如下：
過作交延長(zhǎng)線于，連接，如圖：
繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△，
，，，
，
而，
，
，
，
，
，
，
，
在和△中，
，
△，
，即是中點(diǎn)，
點(diǎn)為的中點(diǎn)，
是△的中位線，
，
要使最小，只需最小，此時(shí)、、共線，的最小值為，
最小為．
3．（2020?成都）在矩形的邊上取一點(diǎn)，將沿翻折，使點(diǎn)恰好落在邊上點(diǎn)處．
（1）如圖1，若，求的度數(shù)；
（2）如圖2，當(dāng)，且時(shí)，求的長(zhǎng)；
（3）如圖3，延長(zhǎng)，與的角平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的值．
【答案】見解析
【詳解】解：（1）四邊形是矩形，
，
將沿翻折，使點(diǎn)恰好落在邊上點(diǎn)處，
，，，
，
，
，
四邊形是矩形，
，
，
；
（2）將沿翻折，使點(diǎn)恰好落在邊上點(diǎn)處，
，，
又矩形中，，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
．
（3）過點(diǎn)作于點(diǎn)，
，
，
，
，
，，
，
，
設(shè)，
平分，，，
，，
設(shè)，則，
，
，
解得．
．
．
4．（2019?成都）如圖1，在中，，，點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)，重合）．以為頂點(diǎn)作，射線交邊于點(diǎn)，過點(diǎn)作交射線于點(diǎn)，連接．
（1）求證：；
（2）當(dāng)時(shí)（如圖，求的長(zhǎng)；
（3）點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)的過程中，是否存在某個(gè)位置，使得？若存在，求出此時(shí)的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】見解析
【詳解】（1）證明：，
，
，，
，
．
（2）解：如圖2中，作于．
在中，設(shè)，則，
由勾股定理，得到，
，
或（舍棄），
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
（3）點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)的過程中，存在某個(gè)位置，使得．
理由：作于，于，于．則，
四邊形為矩形，
，，
，，
，
，
，
在中，由勾股定理，得，
，，
，
，
，
，
，
，
，
當(dāng)時(shí)，由點(diǎn)不與點(diǎn)重合，可知為等腰三角形，
，
，
，
點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)的過程中，存在某個(gè)位置，使得，此時(shí)．
5．（2018?成都）在中，，，，過點(diǎn)作直線，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△（點(diǎn)，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，，射線，分別交直線于點(diǎn)，．
（1）如圖1，當(dāng)與重合時(shí)，求的度數(shù)；
（2）如圖2，設(shè)與的交點(diǎn)為，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，求線段的長(zhǎng)；
（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點(diǎn)，分別在，的延長(zhǎng)線上時(shí)，試探究四邊形的面積是否存在最小值．若存在，求出四邊形的最小面積；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】見解析
【詳解】解：（1）由旋轉(zhuǎn)可得：，
，，，
，
，，
，
，
，
；
（2）為的中點(diǎn)，
，
由旋轉(zhuǎn)可得，，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3），
最小，即最小，
，
法一：（幾何法）取的中點(diǎn)，
，
，即，
當(dāng)最小時(shí)，最小，
，即與重合時(shí)，最小，
，，
的最小值，；
法二（代數(shù)法）設(shè)，，
由射影定理得：，
當(dāng)最小時(shí)，最小，
，
當(dāng)時(shí)，“”成立，
，
的最小值，．
6．（2022?武侯區(qū)校級(jí)模擬）在菱形中，，，是射線上一點(diǎn)，連接，將沿折疊，得到△．
（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)在左側(cè)，且時(shí)，求的度數(shù)；
（2）當(dāng)時(shí)，求線段的長(zhǎng)；
（3）連接，當(dāng)時(shí)，求線段的長(zhǎng)．
【答案】見解析
【詳解】解：（1）如圖1中，設(shè)交于點(diǎn)．
由翻折的性質(zhì)可知，，，
，
，
；
（2）如圖2中，過點(diǎn)作于點(diǎn)．
四邊形是菱形，
，
，
，
由翻折的性質(zhì)可知，
，
，
，
，
在中，，，
，
；
（3）如圖3中，連接，，過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)交于點(diǎn)．
，
，
，
，
，，
，
，
，
可以假設(shè)，，
，，
，
，
在中，則有，
解得或（舍去），
，
，
，
設(shè)，則，，，
，
，
，
經(jīng)檢驗(yàn)，是分式方程的解，
．
如圖4中，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，同法可得，，，
，
設(shè)，則，，，
，
，
，
經(jīng)檢驗(yàn)，是分式方程的解，
，
綜上所述，滿足條件的的值為或．
7．（2022?武侯區(qū)模擬）如圖，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，在線段上取一點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接．
（1）如圖1，若．
（?。┊?dāng)，且時(shí)，求的度數(shù)；
（ⅱ）試探究線段與之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（2）如圖2，若，當(dāng)時(shí)，求的值．
【答案】見解析
【詳解】解：（1）將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，
，，
，
，
，
，
將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，
，，
，
；
，理由如下：
過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，
，，
，
，
，
又，，
，
，
，，
，
，
，
又，
，
；
（3）過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，
，，
，
，
，
又，，
，
，，
設(shè)，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
8．（2022?成華區(qū)模擬）在中，，，點(diǎn)為斜邊上一動(dòng)點(diǎn)，將沿直線折疊，使得點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為．
（1）如圖1，若，求證：；
（2）如圖2，若，求的值；
（3）連接，是否存在點(diǎn)，使，若存在，請(qǐng)直接寫出此時(shí)的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】見解析
【詳解】（1）證明：，，
，
，
沿直線折疊，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，
，
，
；
（2）解：設(shè)，、交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖：
，，
，，
，
，，
由折疊可知，，，
又，
，
又，
．
，
設(shè)，則，
，
，
，
，
解答，
，
，，
△是等腰直角三角形，
，
，
，
答：的值為；
（3）解：存在點(diǎn)，使，理由如下：
①當(dāng)在左側(cè)時(shí)，過作于，如圖：
沿直線折疊，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，
，
，
，
△是等邊三角形，
，
，
，，
，
，
在中，設(shè)，則，，
、是等腰直角三角形，
，
，，
；
②當(dāng)在右側(cè)時(shí)，過作于，如圖：
同理可得，△是等邊三角形，
，
，
、是等腰直角三角形，
，
在中，設(shè)，則，，
，
，，
，
綜上所述，的值為或．
9．（2022?錦江區(qū)模擬）如圖1，在矩形中，平分交于，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．
（1）求證：①；②；
（2）求證：；
（3）如圖2，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到，連接，．若，，當(dāng)有最大值時(shí)，求的長(zhǎng)．
【答案】見解析
【詳解】（1）證明：①如圖1中，
四邊形是矩形，
，，
平分，
，
，
，
．
②證明：連接交于點(diǎn)，連接，
，
，
四邊形是矩形，
，
，
，
，，，，五點(diǎn)共圓，
．
（2）證明：，
又，
，
，
，都是等腰直角三角形，
，，
，
，
；
（3）解：四邊形是矩形，
，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
當(dāng)，，共線時(shí)，的值最大，
如圖中，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，在中，
，
；
如圖中，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，同法可得，
綜上所述，的長(zhǎng)為或．
10．（2022?金牛區(qū)模擬）已知是矩形的對(duì)角線，將沿折疊得到，與交點(diǎn)為．
（1）如圖1，求證：；
（2）連接交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，如圖2，
①若，，求的值；
②若，求的值．
【答案】見解析
【詳解】（1）證明：將沿折疊得到，
，
，，
四邊形是矩形，
，，
，，
，
，
；
（2）解：①如圖，連接，
將沿折疊得到，
，平分，
垂直平分，
，
四邊形是矩形，
，，
，
，
在中，，
①設(shè)與相交于點(diǎn)，則，，
，，，
，
，
在中，，
，
的值為，
②由①知，是的中位線，
，，
設(shè)，，
則，
，
，
，
，
解得，
，，
．
11．（2022?天府新區(qū)模擬）如圖1，和中，，，邊與相交于點(diǎn)，且，連接，．
（1）求的值；
（2）如圖2，連接，，將繞著點(diǎn)在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中是否為定值，若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由；
（3）在（2）的條件下，若，，當(dāng)，，三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，求的長(zhǎng)度．
【答案】見解析
【詳解】解：（1）不妨設(shè)，，
，
，
，
，
；
（2），理由如下：
，
，
即：，
，
，
，
，
即：，
又，
，
；
（3）如圖1，
當(dāng)點(diǎn)在上是，
由（2）得，，
，
，
，
同理可得：，，
，
，
如圖2，
當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，
，
綜上所述：或．
12．（2022?青羊區(qū)模擬）在中，，，是邊上一點(diǎn)，連接．
（1）如圖1，是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，與垂直，求證：；
（2）如圖2，過點(diǎn)作，為垂足，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，求證：；
（3）如圖3，將（1）中的以點(diǎn)為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得△，，對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是，，為上任意一點(diǎn)，為的中點(diǎn)，連接，若，，最大值為，最小值為，求的值．
【答案】見解析
【詳解】（1）證明：如圖1，
設(shè)的延長(zhǎng)線交于，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）證明：如圖2，
作交的延長(zhǎng)線于，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
（3）解：如圖3，
點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡是以為圓心，為半徑的圓，
設(shè)上的高是，垂足為，則的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，
運(yùn)動(dòng)的軌跡是大圓和小圓圍成的圓環(huán)，
當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)與小圓交于，此時(shí)最小，為，
，
延長(zhǎng)交大圓于，最大，
，，，
，
，
，
．
13．（2022?高新區(qū)模擬）在中，，，點(diǎn)，分別是，邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接，作關(guān)于對(duì)稱的圖形△．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)恰好與點(diǎn)重合，求的長(zhǎng)；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)落在的延長(zhǎng)線上，且，求的長(zhǎng)；
（3）如圖3，若，連接，是的中點(diǎn)，連接，在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，求線段長(zhǎng)度的最大值．
【答案】見解析
【詳解】解：（1）由題意可得：，，
，
，
，
；
（2）如圖，過點(diǎn)作于，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，
，，
，
，
設(shè)，，
，
，
，，
，
，
，
，
設(shè)，，
則，
，
，
，
，
，，
由題意可得：，
，
，
；
（3）如圖，過點(diǎn)作于，取的中點(diǎn)，連接，，過點(diǎn)作于，
，
，
點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，
，
點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，
當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，有最大值，
，點(diǎn)是的中點(diǎn)，
，，
，
又，
，
，
，，
，
在中，由勾股定理可得：，
的最大值為．
14．（2022?雙流區(qū)模擬）如圖，在菱形中，過點(diǎn)作于點(diǎn)，菱形的對(duì)角線交于點(diǎn)，連接．已知，．
（1）求證：；
（2）連接交于點(diǎn)，求的值；
（3）已知點(diǎn)為折線上一動(dòng)點(diǎn)，連接．當(dāng)線段的長(zhǎng)為何值時(shí)，與互為余角，并求此時(shí)直線與直線所夾銳角的正切值．
【答案】見解析
【詳解】（1）證明：四邊形是菱形，
，，
在和中，
，
，
；
（2）解：如圖1中，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
；
（3）如圖2中，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，連接，連接交于點(diǎn)，設(shè)交于點(diǎn)．
與互為余角，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
．
如圖3中，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，連接交于點(diǎn)，設(shè)交于點(diǎn)．
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
綜上所述，滿足條件的直線與直線所夾銳角的正切值為或1．
15．（2022?溫江區(qū)模擬）在中，，點(diǎn)為邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），連接，若，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接和，與交于點(diǎn)．
（1）求證：；
（2）若，點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)的過程中，求的最小值；
（3）試探究、、之間滿足的數(shù)量關(guān)系（用含的式子表示），并證明．
【答案】見解析
【詳解】（1）證明：，，
，
，，
，
，
，
，
；
（2）解：如圖2，，
，
，
，
，，
，
，，
，，
，
取的中點(diǎn)，連接，
，
，
設(shè)，，
，
，，，
，，
，
，
當(dāng)時(shí)，的最小值為；
（3）解：．
證明：如圖2，取的中點(diǎn)，
，
，
，，
，
，
，，
為的中點(diǎn)，
，，
在中，，
．
16．（2022?新都區(qū)模擬）如圖，在中，，，，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度先沿方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，再沿方向向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，以、為鄰邊構(gòu)造，設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒．
（1）當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，求和的面積；
（2）當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，設(shè)的面積為，求與之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）連接，直接寫出將分成的兩部分圖形面積相等時(shí)的值．
【答案】見解析
【詳解】解：（1）當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，，
，
，
，
，
為的中位線，
，
；
（2）①如圖1，當(dāng)時(shí)，作于，
則，，
；
②如圖，當(dāng)時(shí)，作于，
則，，
同法可得；
綜上：；
（3）當(dāng)點(diǎn)落在直線上時(shí)，將分成的兩部分面積相等，有兩種情況：
①當(dāng)點(diǎn)在上，且點(diǎn)在上時(shí)，如圖，
過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，
，，
，
四邊形是平行四邊形，
，
在與中，
，
，
，
，，
，
，
，
解得，
當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，此時(shí)點(diǎn)在上符合題意，作于，
，
，
，
，
，，
，
解得，
綜上：或．
17．（2022?青羊區(qū)校級(jí)模擬）（1）如圖①，在三角形紙片中，，，，將折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕為，求的長(zhǎng)；
（2）如圖②，在三角形紙片中，，，將折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕為，求的值；
（3）如圖③，在三角形紙片中，，，，將沿過頂點(diǎn)的直線折疊，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，折痕為．
（?。┣缶€段的長(zhǎng)；
（ⅱ）若點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將沿折疊得到△，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，與交于點(diǎn)，求的取值范圍．
【答案】見解析
【詳解】解：（1），，，
，
將折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，
，
，
，，
，
，
；
（2）如圖②中，
，
，
由題意垂直平分線段，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）（ⅰ）如圖③中，
由折疊的性質(zhì)可知，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（ⅱ）如圖③中，
，，
，
，
，
，
點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，，，
，
．
18．（2022?龍泉驛區(qū)模擬）圖形的世界豐富且充滿變化，用數(shù)學(xué)的眼光觀察它們，奇妙無比．
問題情景：數(shù)學(xué)課上，老師讓同學(xué)們以等腰三角形紙片為背景進(jìn)行探究性活動(dòng)．如圖，已知為等腰三角形，，，為邊上一點(diǎn)（不與，重合），將沿翻折后得到，連接．
操作發(fā)現(xiàn)：
（1）如圖1，與交于點(diǎn)，求證：；
探究發(fā)現(xiàn)：
（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，探究線段，，之間的數(shù)量關(guān)系；
探究拓廣：
（3）若，當(dāng)時(shí)，求的面積．
【答案】見解析
【詳解】（1）證明：，
，
將沿翻折后得到，
，
，
，
，
，
；
（2）延長(zhǎng)到，使，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
，
，
，
設(shè)，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
將沿翻折后得到，
，
又，，
，
，
又，
△，
，
又，
，
，
即，
，
即；
（3）①在上截取，使，連接，過點(diǎn)作于，
設(shè)，
，
，
，
，
解得，
，，
，
，，
，
折疊，
，
，
，
，
，
，
，，
，
是直角三角形，，
，，
，
，
，
，
；
②如圖，
在上截取，使，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
同理求出，，
，
是直角三角形，，
，
．
19．（2022?錦江區(qū)校級(jí)模擬）（1）模型研究如圖①，在中，，為邊延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且．則 ；
（2）模型應(yīng)用如圖②，在中，．若，，求的長(zhǎng)；
（3）模型遷移如圖③，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，，，交的延長(zhǎng)線于．若，，求的面積．
【答案】見解析
【詳解】解：（1）在中，
，，
，
是的外角，
，
故答案為：；
（2）如圖1，
以為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧交于，作于，
，
，
由（1）得，
，
，
，
，
，
，
；
（3）如圖2，
作交延長(zhǎng)線于，以點(diǎn)為圓心，為半徑畫弧，交于，作于，
，，，
設(shè)，則，，
，
由（1）知：，
，
，
由（2）模型知：，
，
四邊形是矩形，
，，
，
，
，
．
20．（2022?新都區(qū)模擬）如圖，和是有公共頂點(diǎn)的等腰直角三角形，，把繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)為射線與的交點(diǎn)．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，求證：；
（2）若，，
①如圖2，當(dāng)點(diǎn)在延長(zhǎng)線上時(shí)，求的長(zhǎng)；
②在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)四邊形為正方形時(shí)，直接寫出線段長(zhǎng)度的值．
【答案】見解析
【詳解】（1）證明：和是等腰直角三角形，，
，，，
，
，
，
又是等腰直角三角形，
，
；
（2）解：①和是等腰直角三角形，，
，，
，
，
，
，
，
又，，，
，，
，
；
②當(dāng)四邊形為正方形時(shí)，點(diǎn)在線段上，
，，，
，
；
如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，
同理．
綜上所述可得的長(zhǎng)為或．
21．（2022?錦江區(qū)校級(jí)模擬）如圖1，在正方形中，，點(diǎn)是射線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，以為邊在上方作正方形，連接，，交于點(diǎn)．
（1）求證：；
（2）如圖2，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)．若，求線段的長(zhǎng)；
（3）在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，求的最小值．
【答案】見解析
【詳解】（1）證明：四邊形是正方形，
，，
四邊形是正方形，
，，
，
在和中，
，
；
（2）解：作于，
，，，
，
，，
設(shè)，
，
，
，
，
，
解得（負(fù)值舍去），
；
（3）解：四邊形是正方形，
，
作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，
則的最小值為的長(zhǎng)，
由勾股定理得，，
的最小值為．
22．（2022?高新區(qū)校級(jí)模擬）（1）問題探究：如圖1，在正方形中，點(diǎn)，分別在邊、上，于點(diǎn)，點(diǎn)，分別在邊、上，．
①判斷與的數(shù)量關(guān)系： ；
②推斷：的值為 ；（無需證明）
（2）類比探究：如圖（2），在矩形中，為常數(shù)）．將矩形沿折疊，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，得到四邊形，交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．試探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（3）拓展應(yīng)用：如圖3，四邊形中，，，，，點(diǎn)、分別在邊、上，求的值．
【答案】見解析
【詳解】解：（1）①證明：四邊形是正方形，
，．
．
，
．
．
，
．
故答案為：．
②結(jié)論：．
理由：，，
，
，
四邊形是平行四邊形，
，
，
，
．
故答案為：1．
（2）結(jié)論：．
理由：如圖2，作于．
，
，
，，
，
，
，
，
四邊形是矩形，
，
．
（3）如圖3，過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過點(diǎn)作，連接，
，，，
四邊形是矩形，
，，，
，，，
，
，
，且，
，且，
，
，
，，
，
，
（不合題意，舍去），，
，
由（2）的結(jié)論可知：．
23．（2022?郫都區(qū)模擬）在四邊形中，點(diǎn)，分別是邊，上的點(diǎn)，連接、并延長(zhǎng)，分別交，的延長(zhǎng)線于點(diǎn)、．
（1）如圖1，若四邊形是正方形，，連接，求證：；
（2）如圖2，若四邊形是菱形，，，設(shè)，，求與的函數(shù)關(guān)系式；
（3）如圖3，若四邊形是矩形，，，，求的長(zhǎng)．
【答案】見解析
【詳解】（1）證明：四邊形是正方形，
，
，
，
，
，
同理，
，，
，，
，，
，，
；
（2）解：四邊形是菱形，
，
，
，
，
，
，
同理，
，，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如圖，取中點(diǎn)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，
，
，且是中點(diǎn)，
，
，，，
，
，
，，
，
，
，
，
，，
，且，
四邊形是平行四邊形，且，，
四邊形是正方形，
，
四邊形是正方形，且，由（2）可得：，
，
，，
，，
，
，
故的長(zhǎng)為．
24．（2022?成都模擬）如圖，在矩形中，，，平分交于點(diǎn)．連接，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到△．
（1）如圖1，連接，，求證：；
（2）當(dāng)點(diǎn)恰好落在直線上時(shí)，若，求的值；
（3）如圖3，連接，當(dāng)與交于點(diǎn)時(shí)，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并證明．
【答案】見解析
【詳解】（1）證明：，
，
，
，
，
，
即，
；
（2）如圖1，
四邊形是矩形，
，
平分，
，
，
，
，
，
由（1）知：，
，
，
，
在中，由勾股定理得，
，
，
，
綜上所述：；
（3）如圖2，
，理由如下：
于，
（1）得，，
，，
，
，
設(shè)，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
．
25．（2022?青羊區(qū)校級(jí)模擬）【探究發(fā)現(xiàn)】
（1）如圖①，已知四邊形是正方形，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合）．連接，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，連接，．
①小明探究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)點(diǎn)在上移動(dòng)時(shí)，，并給出如下不完整的證明過程，請(qǐng)幫他補(bǔ)充完整．
證明：延長(zhǎng)交于點(diǎn)．
②進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，的度數(shù)為 ．
【類比遷移】
（2）如圖②，四邊形為矩形，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，連接，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，連接，，，當(dāng)，，時(shí)，求的長(zhǎng)；
【拓展應(yīng)用】
（3）如圖③，已知四邊形為菱形，，，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，連接，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，若恰好落在菱形的邊上（不與頂點(diǎn)重合），求的長(zhǎng)．
【答案】見解析
【詳解】（1）①證明：如圖①，延長(zhǎng)由對(duì)稱可知，，
，
，
四邊形是正方形，
，，
在和中，
，
．
②解：如圖1，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，由對(duì)稱可知，
四邊形是正方形，
，
，
由①得到，
，
故答案為：．
（2）解：如圖2，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，
由對(duì)稱可知，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，
，
，
是的中位線，
點(diǎn)是的中點(diǎn)，
，
，
由（1）①得，，，
，
，
，
，
，
是的中位線，
．
（3）解：如圖3，當(dāng)落在上時(shí)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，
四邊形是菱形，，
，，，
，
同理證得，
，
，
；
如圖4，當(dāng)落在上時(shí)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，
由軸對(duì)稱的性質(zhì)得出，，
，
四邊形是菱形，
，，，，
，
，
，
，
又，，
，
，
設(shè)，則，
，
，
解得，
，
綜上所述，或．
26．（2022?錦江區(qū)校級(jí)模擬）取一張矩形紙片，為邊上一動(dòng)點(diǎn)，將沿直線折疊得．
（1）如圖1，連接，，，當(dāng)時(shí)，試判斷的形狀；
（2）如圖2，連接，當(dāng)，的最大值與最小值的和為20時(shí)，求線段的值；
（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)落在邊上，分別延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得△，分別連接，，取中點(diǎn)連接，試探究線段與的數(shù)量關(guān)系．
【答案】見解析
【詳解】解：（1）結(jié)論：是等邊三角形．
理由：如圖1中，
由翻折變換的性質(zhì)可知，，
四邊形是矩形，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
是等邊三角形；
（2）如圖2中，連接，
由題意，的最大值為線段的長(zhǎng)，設(shè)，則最小值為，
當(dāng)，，共線時(shí)，的值最小，
，
，
，
，
，
；
（3）結(jié)論：．
理由：如圖3中，延長(zhǎng)到，使得，連接，，．
，，，
△，
，，
由翻折的性質(zhì)可知，
，
，
，
，
，
又，
，
，
△，
，，
，
，
，
，，
△是等腰直角三角形，
．
27．（2022?郫都區(qū)模擬）如圖，矩形 中，點(diǎn)為對(duì)角線上一點(diǎn)，過點(diǎn)作交邊于點(diǎn)．
（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，求證：；
（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，連接，探究線段、、的數(shù)量關(guān)系；
（3）如圖3，在（2）的條件下，連接，若面積的最大值為6，求的長(zhǎng)．
【答案】見解析
【詳解】（1）證明：如圖1，
連接，
四邊形是矩形，，
四邊形是正方形，
，，，
在和中，
，
，
，，
，
，
在四邊形中，
，
，
，
，
，
；
（2）如圖2，
作于，作于，
，
四邊形是矩形，
，
四邊形是矩形，
，
，
，
即：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，設(shè)，，
，
，
，
，
，，
，
；
（3）如圖3，
作于，
設(shè)，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
28．（2022?雙流區(qū)校級(jí)模擬）如圖1，在菱形中，是對(duì)角線，，點(diǎn)、分別是邊、上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，連接與相交于點(diǎn)．
（1）求的度數(shù)．
（2）如圖2，作交于點(diǎn)，若，，求的值．
（3）如圖3，點(diǎn)為線段中點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，當(dāng)構(gòu)成等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)．
【答案】見解析
【詳解】解：（1）四邊形是菱形，，
，
，是等邊三角形．
，
，
，
，
；
（2）如圖2中，延長(zhǎng)至點(diǎn)使得．
，
，
，
，
，
，，，
，，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
是等邊三角形，
，，
，，
；
（3）如圖中，當(dāng)時(shí)，連接交于點(diǎn)，連接，．
，
點(diǎn)在的垂直平分線上，
垂直平分線段，
點(diǎn)在上，
，，
是等邊三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
．
如圖中，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，，
延長(zhǎng)交于點(diǎn)，設(shè)，，，
，，
，
，
，
，，
在中，，，
在中，，
，
整理得，，
解得或（舍棄），
，
．
綜上所述，或．
29．（2022?簡(jiǎn)陽市模擬）已知在正方形中，是邊上一動(dòng)點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，交于點(diǎn)，連結(jié)．
（1）如圖1，求的度數(shù)；
（2）如圖2，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連結(jié)，．若，試探究四邊形的形狀，并說明理由；
（3）如圖3，連結(jié)，在上截取，點(diǎn)，分別是，上的動(dòng)點(diǎn)．若正方形的面積為32，直接寫出周長(zhǎng)的最小值．
【答案】見解析
【詳解】解：（1）如圖1，連結(jié)，
點(diǎn)、關(guān)于對(duì)稱，
，
四邊形是正方形，
，．
．
，．
在四邊形中，
，
．即；
（2）四邊形是平行四邊形，理由如下：
如圖2，連接．
，
．
，
．
在中，，
，
又四邊形是正方形，
，
，
又，
．
．
，
．
．
又．
四邊形是平行四邊形；
（3）周長(zhǎng)的最小值為．
如圖3，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連結(jié)，，．連結(jié)交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連結(jié)．，則周長(zhǎng)的最小值為的長(zhǎng)，
由對(duì)稱知．．．，
．．
．
，．
．，
．
，
．
于點(diǎn)，
點(diǎn)在以為直徑的圓弧上運(yùn)動(dòng)，
取中點(diǎn)，則．
當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)最?。?br>最小值為，
最小值為．
周長(zhǎng)的最小值為．
30．（2022?武侯區(qū)校級(jí)模擬）在矩形中，點(diǎn)為射線上一動(dòng)點(diǎn)，連接．
（1）當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，將沿翻折，使點(diǎn)恰好落在對(duì)角線上點(diǎn)處，交于點(diǎn)．
①如圖1，若，求的度數(shù)；
②如圖2，當(dāng)，且時(shí)，求的長(zhǎng)．
（2）在②所得矩形中，將矩形沿進(jìn)行翻折，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，當(dāng)點(diǎn)，，三點(diǎn)共線時(shí)，求的長(zhǎng)．
【答案】見解析
【詳解】解：（1）①四邊形是矩形，
，，
，
，
，
，
由折疊的性質(zhì)得：，
是等邊三角形，
，
；
②由折疊的性質(zhì)得：，，
，
，
，
，
四邊形是矩形，
，，
，，
，
，
，
，即，
解得：（負(fù)值已舍去），
即的長(zhǎng)為；
（2）當(dāng)點(diǎn)，，三點(diǎn)共線時(shí)，分兩種情況：
、如圖3，由②可知，，
四邊形是矩形，
，，，，
，，
由折疊的性質(zhì)得：，，
，，
△，
，
，
；
、如圖4，
由折疊的性質(zhì)得：，
，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
；
綜上所述，的長(zhǎng)為或．
31．（2022?青羊區(qū)校級(jí)模擬）在中，，，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與、重合），連接，分別以，為斜邊向右側(cè)作等腰直角三角形和等腰直角三角形，連接．
（1）當(dāng)點(diǎn)在的外部時(shí)，求證：；
（2）如圖1，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，求的面積；
（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，其它條件不變，連接，若，求的長(zhǎng)．
【答案】見解析
【詳解】證明：（1）和是等腰直角三角形，
，，
，
即，
在中，，
在中，，
，
；
（2），，三點(diǎn)共線，
，
，
，
過點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖1，
，，
，
在中，，
在中，，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
，
；
（3）過作于點(diǎn)，過作于點(diǎn)，如圖2，
由（2）可得：，
在中，，
，，，
在中，，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
．
32．（2022?成都模擬）如圖，在等腰中，，，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，過點(diǎn)作分別交，于點(diǎn)，，連接，，且滿足．
（1）求證：；
（2）當(dāng)時(shí)，求的值；
（3）當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)的過程中，是否存在某個(gè)位置，使得？若存在，求出此時(shí)的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】見解析
【詳解】（1）證明：，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：如圖1，
作于，
，，
，
，
在中，，
，
，
，，
在中，，，
，
，
，
，
，
，
在中，
，
，
；
（3）解：如圖2，
存在點(diǎn)，使得，
連接并延長(zhǎng)交于，延長(zhǎng)至，使，
，
，
，
由（2）至：，
，
，
，
，
，
設(shè)，，
則，，，
，
點(diǎn)，，，共圓，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，（已證），
，
，
，
，
，（舍去），
．
33．（2022?郫都區(qū)模擬）（1）如圖①，已知四邊形是正方形，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），連接，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，．求證：；
（2）如圖②，四邊形為矩形，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，連接，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，連接，，．如果，，，求的長(zhǎng)；
（3）如圖③，已知四邊形為方形，，，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在菱形的邊上時(shí)（頂點(diǎn)除外），如果，請(qǐng)直接寫出此時(shí)的長(zhǎng)．
【答案】見解析
【詳解】（1）證明：如圖①，延長(zhǎng)由對(duì)稱可知，，
，
，
四邊形是正方形，
，，
在和中，
，
．
（2）解：如圖2，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，
由對(duì)稱可知，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的中位線，
點(diǎn)是的中點(diǎn)，
，
，
由（1）得，，，
，
，
，
，
，
是的中位線，
．
（3）解：以點(diǎn)為圓心，的長(zhǎng)為半徑作圓弧，與和的交點(diǎn)即為點(diǎn)，
①如圖3，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，
由（1）可得，，
四邊形為菱形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
；
②如圖4，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則，，
，
，
四邊形是菱形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，，
，
，
設(shè)，則，
在中，，
，
解得：，
，
綜上所述，的長(zhǎng)為或．
34．（2022?青白江區(qū)模擬）（1）如圖1，在正方形中，點(diǎn)、分別在邊和上，于點(diǎn)，求證：；
（2）如圖2，在矩形中，將矩形折疊，得到四邊形，交于點(diǎn)，點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，折痕交邊于，交邊于，連接交于點(diǎn)；
①若，且，，求與的長(zhǎng)；
②先閱讀下面內(nèi)容，再解決提出的問題，當(dāng)時(shí)，我們可以利用配方法求出此時(shí)的取值范圍．由題意可知，即，顯然此時(shí)或，所以或，如圖3，若，，請(qǐng)根據(jù)前述方法直接寫出的最大值及此時(shí)的長(zhǎng)．
【答案】見解析
【詳解】（1）證明：在正方形中，，
，
，
又，，
，
；
（2）解：①作于，作于，
由（1）可得，
，
，
，
，
，
設(shè)，則，，
，
，
，，
，，
，
，，
又，
，
，
，；
②設(shè)，，則，
在中，由勾股定理得，
，
，
設(shè)，由，
，
化簡(jiǎn)得，
由△，
即，
或，
（舍或，
的最大值為2，
此時(shí)，，．

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