（1）當(dāng)時，求，兩點的坐標(biāo)；
（2）連接，，，，若△的面積與的面積相等，求的值；
（3）試探究直線是否經(jīng)過某一定點．若是，請求出該定點的坐標(biāo)；若不是，請說明理由．
【答案】見解析
【詳解】（1）當(dāng)時，直線為，
由得：或，
，；
（2）當(dāng)時，如圖：
△的面積與的面積相等，
，
，
、關(guān)于軸對稱，
，，
，
，
，，
，
，
在中，令得，
，，
，，
在中，令得，
解得或，
，，
把，代入得：
，
解得；
當(dāng)時，過作交軸于，如圖：
在中，令得，
，，
△的面積與的面積相等，
，
、關(guān)于軸對稱，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
在中，令得，
解得或，
，，
把，代入得：
，
解得，
綜上所述，的值為或；
（3）直線經(jīng)過定點，理由如下：
由得：，
設(shè)二根為，，
，，，，
、關(guān)于軸對稱，
，
設(shè)直線解析式為，將，代入得：
，
解得：，
，，
，，
直線解析式為，
令得，
直線經(jīng)過定點．
2．（2021?成都）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸相交于，兩點，頂點的坐標(biāo)為．點為拋物線上一動點，連接，，過點的直線與拋物線交于另一點．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）若點的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等，，且點位于軸上方，求點的坐標(biāo)；
（3）若點的橫坐標(biāo)為，，請用含的代數(shù)式表示點的橫坐標(biāo)，并求出當(dāng)時，點的橫坐標(biāo)的取值范圍．
【答案】見解析
【詳解】（1）拋物線，頂點的坐標(biāo)為，
，，即拋物線為，
拋物線經(jīng)過，即的圖象過，
，解得，
拋物線的函數(shù)表達(dá)為；
（2）在中，令得，
解得或，
或，
①當(dāng)時，過作交拋物線于，此時，如圖：
在中，令，得，
解得或，
，
設(shè)直線解析式為，將、代入得：
，解得，
直線解析式為，
，
設(shè)直線解析式為，將代入得，
直線解析式為，
由得（此時為點，舍去）或，
；
②當(dāng)時，過作軸于，過作軸于，作關(guān)于的對稱點，作直線交拋物線于，連接，如圖：
，，
，，
中，，
，，
，，
中，，
，
關(guān)于的對稱點，
，
，即是滿足條件的點，
設(shè)，
關(guān)于的對稱點，
，，
，
兩式相減變形可得，代入即可解得（此時為，舍去）或，
，，
設(shè)直線解析式為，將，，代入得；
，解得，
直線解析式為，
解得或（此時為，舍去），
，
綜上所述，坐標(biāo)為或；
（3）設(shè)交軸于，過作軸于，過作于，如圖：
點的橫坐標(biāo)為，
，又，
，，，
，
，
且，
，
，即
，
，
，
設(shè)直線解析式為，
將代入得，
，
直線解析式為，
由得，
解得的橫坐標(biāo)），，
點的橫坐標(biāo)為；
當(dāng)時，
，
時，最小值是12，此時，
當(dāng)時，點的橫坐標(biāo)的取值范圍是．
3．（2020?成都）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）如圖1，點為第四象限拋物線上一點，連接，交于點，連接，記的面積為，的面積為，求的最大值；
（3）如圖2，連接，，過點作直線，點，分別為直線和拋物線上的點．試探究：在第一象限是否存在這樣的點，，使？若存在，請求出所有符合條件的點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】見解析
【詳解】（1）設(shè)拋物線的解析式為．
將代入得：，解得，
拋物線的解析式為，即．
（2）過點作軸于點，交于點，過點作軸交的延長線于點，
，
，
，
，
設(shè)直線的解析式為，
，解得，
直線的解析式為，
，
，
，
設(shè)，則，
．
．
當(dāng)時，有最大值，最大值是．
（3）存在．符合條件的點的坐標(biāo)為或．
，
直線的解析式為，
設(shè)，，
①當(dāng)點在直線右側(cè)時，如圖2，過點作軸于點，過點作直線于點，
，，，
，，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，，
，，
，，
將點的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得，
解得（舍去）或．
．
②當(dāng)點在直線左側(cè)時，
由①的方法同理可得點的坐標(biāo)為，．
此時點的坐標(biāo)為．
4．（2019?成都）如圖，拋物線經(jīng)過點，與軸相交于，兩點．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）點在拋物線的對稱軸上，且位于軸的上方，將沿直線翻折得到△，若點恰好落在拋物線的對稱軸上，求點和點的坐標(biāo)；
（3）設(shè)是拋物線上位于對稱軸右側(cè)的一點，點在拋物線的對稱軸上，當(dāng)為等邊三角形時，求直線的函數(shù)表達(dá)式．
【答案】見解析
【詳解】（1）由題意得：
解得，
拋物線的函數(shù)表達(dá)式為．
（2）拋物線與軸交于，，
，拋物線的對稱軸為直線，
如圖，設(shè)拋物線的對稱軸與軸交于點，則點的坐標(biāo)為，，
由翻折得，
在中，由勾股定理，得，
點的坐標(biāo)為，，，
，
由翻折得，
在中，，
點的坐標(biāo)為．
（3）解：取（2）中的點，，連接，
，，
△為等邊三角形．分類討論如下：
①當(dāng)點在軸的上方時，點在軸上方，連接，．
，△為等邊三角形，
，，，
，
△，
．
點在拋物線的對稱軸上，
，
，
又，
垂直平分，
由翻折可知垂直平分，
點在直線上，
設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為，
則，解得，
直線的函數(shù)表達(dá)式為．
②當(dāng)點在軸的下方時，點在軸下方．
，△為等邊三角形，
，，．
，
△，
，
，，
．
，
設(shè)與軸相交于點，
在中，，
點的坐標(biāo)為．
設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為，
則，解得，
直線的函數(shù)表達(dá)式為．
綜上所述，直線的函數(shù)表達(dá)式為或．
5．（2018?成都）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以直線對稱軸的拋物線與直線交于，兩點，與軸交于，直線與軸交于點．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）設(shè)直線與拋物線的對稱軸的交點為，是拋物線上位于對稱軸右側(cè)的一點，若，且與面積相等，求點的坐標(biāo)；
（3）若在軸上有且僅有一點，使，求的值．
【答案】見解析
【詳解】（1）由題意可得，
解得，，；
二次函數(shù)的解析式為：，
（2）作軸，軸，垂足分別為，，設(shè)對稱軸交軸于．
則，
，
，，；
，
解得，
，，
同理可求，，
，
①在下方），，
，
解得，，，
，
，
．
②在上方時，直線與關(guān)于對稱，
，
，
解得，，
，
，
，，
綜上所述點的坐標(biāo)為，，．
（3）由題意可知：，
，
，
，
解得，，
，
如圖，設(shè)中點為，
點有且只有一個，
以為直徑的圓與軸只有一個交點，且為切點，
軸，
為的中點，
，，
，
，
，
，
，
．
6．（2022?武侯區(qū)校級模擬）【閱讀理解】對于平面直角坐標(biāo)系中的圖形，，給出如下定義：為圖形上任意一點，為圖形上任意一點，如果，兩點間的距離有最小值，那么稱這個最小值為圖形，間的“閉距離”，記作．
【遷移應(yīng)用】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線的圖象與坐標(biāo)軸交于，兩點，點的坐標(biāo)為，拋物線的圖象經(jīng)過，，三點．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）點為第一象限拋物線上的一點，連接交于點，連接，記的面積為，的面積為，若，求（點，的值；
（3）已知坐標(biāo)系中有一直線，若，求的取值范圍．
【答案】見解析
【詳解】（1）對，當(dāng)時，，當(dāng)時，，
，，
拋物線經(jīng)過點，
設(shè)拋物線的解析式為，
將點代入得，，
，
拋物線的表達(dá)式為．
（2），
，
，
設(shè)點的坐標(biāo)為，則點的坐標(biāo)為，，
將點的坐標(biāo)代入拋物線，得，
解得：，
點，點，
如圖1，連接，過點作于點，過點作于點，則軸，
點，
，，，
，
，
（點，；
（3），
直線與拋物線沒有交點，且最近的距離為2，
如圖2，當(dāng)直線與拋物線只有一個交點時，得到直線，則
方程只有一個實數(shù)根，
△，
，
記直線與拋物線的交點為，與軸的交點為點，則，
將直線沿垂直于直線的方向平移2個單位，即可得滿足條件的直線，記為直線，
此時，，
過點作軸，交直線于點，則，
，
是等腰直角三角形，
，
記直線與軸的交點為，則四邊形為平行四邊形，
，
點的坐標(biāo)為，
的取值范圍為．
7．（2022?武侯區(qū)模擬）【閱讀理解】
定義：在平面直角坐標(biāo)系中，點為拋物線的頂點，直線與拋物線分別相交于，兩點（其中點在點的右側(cè)），與拋物線的對稱軸相交于點，若記，則稱是直線與拋物線的“截積”．
【遷移應(yīng)用】
根據(jù)以上定義，解答下列問題：
如圖，若直線的函數(shù)表達(dá)式為．
（1）若拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，分別求出點，的坐標(biāo)及的值；
（2）在（1）的基礎(chǔ)上，過點作直線的平行線，現(xiàn)將拋物線進(jìn)行平移，使得平移后的拋物線的頂點落在直線上，試探究是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由；
（3）設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，若，，且點在點的下方，求的值．
【答案】見解析
【詳解】（1）直線的函數(shù)表達(dá)式為①，
拋物線的函數(shù)表達(dá)式為②，
聯(lián)立①②解得，或，
，，，
針對于直線，令，則，
，
拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，
頂點，
，；
（2）是定值，其值為；
由（1）知，，
，
直線的解析式為①，
設(shè)平移后的拋物線的頂點坐標(biāo)為，
拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，
平移后的拋物線的解析式為②，
，
，
直線的函數(shù)表達(dá)式為①，
聯(lián)立①②整理得，，
或，
，，，
，
，
即是定值，其值為．
（3）拋物線的函數(shù)表達(dá)式為①的頂點坐標(biāo)為，
，
，
，
，
，
直線的函數(shù)表達(dá)式為②，
聯(lián)立①②整理得，，
設(shè)，，，，
，，
，
，
，
，
或，
點在點下方，
，
．
8．（2022?成華區(qū)模擬）如圖，直線分別交，軸于點，，經(jīng)過點，的拋物線與軸的另一交點為點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點為第一象限內(nèi)拋物線上一動點，連接，交于點，求的最大值及此時點的坐標(biāo)；
（3）若點在軸上，點在拋物線的對稱軸上，以點，，，為頂點的四邊形為平行四邊形，請直接寫出點的坐標(biāo)．
【答案】見解析
【詳解】（1）直線與軸、軸的交點分別為、，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
點、的坐標(biāo)分別為、，
拋物線過點，，
，解得，
拋物線的解析式為；
（2）作軸交于，作軸交于，
，
，
，
，
，
拋物線的解析式為，直線，
，，，
設(shè)，
，
，
，
設(shè)，則，
，
，
當(dāng)時，的最大值為，
，
，；
（3）①為平行四邊形的邊時，如圖，
當(dāng)四邊形是平行四邊形時，
，，
點在拋物線的對稱軸上，
對稱軸為，
，
，
，
，
點的坐標(biāo)為；
當(dāng)四邊形是平行四邊形時，
，，
點在拋物線的對稱軸上，
對稱軸為，
，
，
點的坐標(biāo)為；
②為平行四邊形的對角線時，如圖，
四邊形是平行四邊形，
，，
點在拋物線的對稱軸上，
對稱軸為，
，
，
，
，
點的坐標(biāo)為；
綜上，點的坐標(biāo)為或或．
9．（2022?錦江區(qū)模擬）如圖，拋物線與軸交于點，，與軸交于點，頂點為，點是拋物線段上一點．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）如圖1，連接，，過點作交軸于點，連接交于，若與的面積相等，求點的坐標(biāo)；
（3）如圖2，點是線段上一點，連接，始終滿足軸，過點作軸交線段于點，連接，若和的面積相等，求證：．
【答案】見解析
【詳解】（1）解：拋物線頂點為，
，
，
拋物線的表達(dá)式為；
（2）解：由（1）知，拋物線的表達(dá)式為，
令，則，
或，
，，
，
，
與的面積相等，
，
，
點是由點先向右平移一個單位，再向下平移個單位，
點是由點先向右平移一個單位，再向下平移個單位，
點的橫坐標(biāo)為，
將代入中，得，
；
（3）證明：
設(shè)，，
，，
，
，
過點作軸于，則，，
，
，
，
軸，軸，
，
延長交軸于，則，
，
，，
過點作，
，
，
，
和的面積相等，
，
，
，
（舍或，
，
，
，
，，
．
10．（2022?金牛區(qū)模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與軸交于點，，與軸交于點，點為拋物線的頂點，如圖．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點是對稱軸左側(cè)拋物線上的一點，連接、、，記的面積為，的面積為，若，求點坐標(biāo)；
（3）點是對稱軸左側(cè)拋物線上的一點（不與點、、重合），連接，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，旋轉(zhuǎn)角等于，連接，，若，求點的坐標(biāo)．
【答案】見解析
【詳解】（1）拋物線與軸交于點，
，
將點，代入，
得，
解得，
，
（2）過點作軸交于點，交于點，
設(shè)直線的解析式為，
，
，
，
設(shè)，則，
，
，
，
，，
，
，
解得或或，
點是對稱軸左側(cè)拋物線上的一點，
，
，
，；
（3）過點作軸交于，過點作軸交于點，交于點，
設(shè)，
繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，
，
旋轉(zhuǎn)角等于，
，
，，是拋物線的頂點，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得或或或，
點是對稱軸左側(cè)拋物線上的一點，
，
，
．
11．（2022?天府新區(qū)模擬）如圖，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，在直線上方的拋物線上有一動點，過點作軸于，交直線于點，過點作于點．
（1）求拋物線及直線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）設(shè)為，為，當(dāng)時，求點的坐標(biāo)．
（3）在（2）的條件下，在軸上是否存在點，使得？若存在，請直接寫出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】見解析
【詳解】（1）把代入拋物線中得：，
，
拋物線的解析式為：，
當(dāng)時，，
解得：，，
，
當(dāng)時，，
，
設(shè)直線的解析式為：，
則，解得：，
直線的解析式為：；
（2）如圖1，設(shè)，則，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，（舍，
；
（3）分兩種情況：
①當(dāng)點在軸的正半軸上時，如圖2，
過點作于，過點作軸于點，過點作軸，交于，過點作于，
，
，
，
，
，，
，
，
設(shè)，，則，，
，
，
，，
的解析式為：，
；
②當(dāng)點在軸的負(fù)半軸上時，同理得：，
綜上，點的坐標(biāo)為或．
12．（2022?青羊區(qū)模擬）如圖1，拋物線交軸于，兩點，與軸交于點，連接，．點是第二象限內(nèi)拋物線上的一個動點，點的橫坐標(biāo)為，過點作軸，垂足為，交于點．
（1）求此拋物線的表達(dá)式；
（2）過點作，垂足為，請用含的代數(shù)式表示線段的長，并求出當(dāng)為何值時有最大值，最大值是多少？
（3）如圖2，連接，，，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)，的對應(yīng)點為，連接和，若△面積與面積比為，求點坐標(biāo)．
【答案】見解析
【詳解】（1）拋物線交軸于，兩點，
，
解得：，
此拋物線的表達(dá)式為；
（2）與軸交于點，
，
設(shè)直線的解析式為，
則，
解得：，
直線的解析式為，
設(shè)，則，
，
軸，軸，
，
，
，
，
，
，
在中，，，
，
，
，
當(dāng)時，有最大值，最大值是；
（3）如圖2，過點作軸于點，
則，
軸，
，
，
將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得，
，，
，
，
△，
，，
，，
，
，
△面積與面積比為，即，
，
，
解得：，，
當(dāng)時，點與點重合，不符合題意，舍去，
當(dāng)時，，
，．
13．（2022?高新區(qū)模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸分別交于點，點，與軸交于點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，連接，點是直線上方拋物線上一動點，連接，交于點，若，求點的坐標(biāo)；
（3）直線與拋物線交于，兩點，取點，連接，，求面積的最小值．
【答案】見解析
【詳解】（1）將，代入得：
，
解得：，
拋物線的解析式為；
（2），
拋物線的對稱軸為，
，
，
，
如圖，過點作軸的平行線，交于點，
設(shè)直線的解析式為，
則，
解得：，
直線解析式：，
設(shè)點，，
，，
，
．
，，
，
，
，
，
或，
或；
（3）直線，
直線過定點，記為點，
又，
軸且，
，
，
，
由韋達(dá)定理得：，
，
當(dāng)時，有最小值，
面積的最小值為．
14．（2022?雙流區(qū)模擬）如圖，拋物線與軸相交于，兩點（點在點的左側(cè)），已知點的橫坐標(biāo)是2，拋物線的頂點為．
（1）求的值及頂點的坐標(biāo)；
（2）點是軸正半軸上一點，將拋物線繞點旋轉(zhuǎn)后得到拋物線，記拋物線的頂點為，拋物線與軸的交點為，（點在點的右側(cè)）．當(dāng)點與點重合時（如圖，求拋物線的表達(dá)式；
（3）如圖2，在（2）的條件下，從，，中任取一點，，，中任取兩點，若以取出的三點為頂點能構(gòu)成直角三角形，我們就稱拋物線為拋物線的“勾股伴隨同類函數(shù)”．當(dāng)拋物線是拋物線的勾股伴隨同類函數(shù)時，求點的坐標(biāo)．
【答案】見解析
【詳解】（1）由得，
頂點的坐標(biāo)為，
點在拋物線上，
，
解得：；
（2）如圖1，連接，作軸于，作軸于，
根據(jù)題意，點，關(guān)于點成中心對稱，
過點，且，
在和中，
，
，
，，
拋物線的頂點的坐標(biāo)為，
拋物線由繞點旋轉(zhuǎn)后得到，
拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；
（3）拋物線由繞軸上的點旋轉(zhuǎn)后得到，
頂點，關(guān)于點成中心對稱，由（2）知：點的縱坐標(biāo)為8，
設(shè)點，
如圖2，作軸于，軸于，于，
旋轉(zhuǎn)中心在軸上，
，
點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，
根據(jù)勾股定理得，，
顯然，和不可能是直角三角形，
①當(dāng)是直角三角形時，顯然只能有，
根據(jù)勾股定理得：
，
，
，
解得：，
，
點的坐標(biāo)為，；
②當(dāng)是直角三角形時，顯然只能有，
根據(jù)勾股定理得：
，
，
，
解得：，
，
點的坐標(biāo)為，，
③當(dāng)是直角三角形時，
，
，
當(dāng)時，，
即，
解得：，
，
點的坐標(biāo)為，；
當(dāng)時，，
即，
解得：，
，
點的坐標(biāo)為，；
，
，
綜上所述，當(dāng)拋物線是拋物線的勾股伴隨同類函數(shù)時，點的坐標(biāo)為，或，或，．
15．（2022?溫江區(qū)模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與軸交于，，與軸交于點．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）點為拋物線上一點，過點作軸的垂線，垂足為，若，求點的坐標(biāo)；
（3）點為拋物線上一點，若，求點的坐標(biāo)．
【答案】見解析
【詳解】（1）將，，代入得，
，
解得，
拋物線的解析式為：；
（2）如圖，
，，，
，
設(shè)，則，，
，解得或，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
點的坐標(biāo)為，或，；
（3），，
，
，，
如圖，延長交軸于點，
又，
，
在中，，，
，，
，
過點作交于點，則，
在中，，
又，
，
，
即，
設(shè)，則，
在中，，
整理得，，
解得，（負(fù)值，舍去），，
即，
則，
則點，
設(shè)直線的解析式為，
則，
解得，
故直線的解析式為，
聯(lián)立，
解得（為點坐標(biāo)，舍去），．
所以點，．
16．（2022?新都區(qū)模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）連接，在軸上求作一點，使有最小值，求出此時的度數(shù)和點的坐標(biāo)；
（3）為線段中點，為拋物線上一點，將點繞著點旋轉(zhuǎn)后得點，當(dāng)四邊形為菱形時，求點坐標(biāo)．
【答案】見解析
【詳解】（1）令，
函數(shù)圖象與軸交于，兩點，
；
（2）如圖，過點作，交軸負(fù)半軸于點，過點作于點，交軸于點，
在中，，
，
，
當(dāng)，，三點共線時，有最小值，即有最小值．
在中，，，
，
，
，
，
在中，，
，
直線的解析式為：，
，且，
的解析式為：，
當(dāng)時，，
，；
（3），，，
線段的中點坐標(biāo)為，，
四邊形為菱形時，且直線過點，
直線的表達(dá)式為：，
令，
解得或，
點的坐標(biāo)為或；
由中點坐標(biāo)公式可得，或．
17．（2022?青羊區(qū)校級模擬）拋物線與軸交于點，兩點，與軸交于點，點是拋物線上的一個動點．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）如圖1，點在線段上方的拋物線上運(yùn)動（不與，重合），過點作，垂足為，交于點．作，垂足為，求的面積的最大值；
（3）如圖2，點是拋物線的對稱軸上的一個動點，在拋物線上，是否存在點，使得以點，，，為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出所有符合條件的點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
【答案】見解析
【詳解】（1）拋物線與軸交于點，兩點，
設(shè)，把代入，得：，
解得：，
，
該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；
（2），，
，
，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
如圖1，過點作于點，
則，
，
當(dāng)最大時，最大，
設(shè)直線的解析式為，
則，
解得：，
直線的解析式為，
設(shè)，則，
，
，
當(dāng)時，取得最大值，
，
的面積的最大值為；
（3）①當(dāng)為平行四邊形的邊時，則有，且，
如圖2，過點作對稱軸的垂線，垂足為，設(shè)交對稱軸于點，
則，
在和中，
，
，
，
點到對稱軸的距離為3，
又，
拋物線對稱軸為直線，
設(shè)點，則，
解得：或，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
點坐標(biāo)為或；
②當(dāng)為平行四邊形的對角線時，
如圖3，設(shè)的中點為，
，，
，，
點在對稱軸上，
點的橫坐標(biāo)為，設(shè)點的橫坐標(biāo)為，
根據(jù)中點公式得：，
，此時，
；
綜上所述，點的坐標(biāo)為或或．
18．（2022?龍泉驛區(qū)模擬）如圖，若拋物線與直線的兩個交點，關(guān)于原點對稱，則稱線段為拋物線的“對稱弦”，該直線為拋物線的“對稱弦直線”．已知拋物線交軸于點，與其“對稱弦直線” 交于點，．
（1）若該拋物線的“對稱弦直線”為，求拋物線的函數(shù)解析式；
（2）在（1）的條件下，點為拋物線上點右側(cè)一點，連接交于點，連接，，當(dāng)時，求點坐標(biāo)；
（3）當(dāng)該拋物線對稱軸在軸左側(cè)時，拋物線上是否存在點，使得是以“對稱弦” 為斜邊的等腰直角三角形，若存在，請求出此時拋物線解析式；若不存在，請說明理由．
【答案】見解析
【詳解】（1）拋物線交軸于點，
，
，
拋物線的解析式為：，
該拋物線與其“對稱弦直線”交于點，，
設(shè)，則．
令，整理得，，
，
解得，
拋物線的解析式為：．
（2）由（1）知，拋物線的解析式為：，
設(shè)點的橫坐標(biāo)為，則，
，
點是的中點，
，，
點在直線上，
，解得（負(fù)值舍去）．
，．
（3）存在，理由如下：
①當(dāng)點在直線的上方時，如圖，過點作軸的線，分別過點，作軸的平行線交于點，，連接，
，
，
，
，
，
，，
設(shè)點的橫坐標(biāo)為，
令，
可得，
解得，
，．
，，
，解得，
，
是等腰直角三角形，
，
，
解得或，（負(fù)值舍去），
當(dāng)是，點與點重合，不符合題意；
拋物線的解析式為：．
②當(dāng)點在直線的下方時，如圖，過點作軸的線，分別過點，作軸的平行線交于點，，連接，
同理可得，，
，，
設(shè)點的橫坐標(biāo)為，
令，
可得，
解得，
，．
，，
，解得，
，
是等腰直角三角形，
，
，
解得或，（負(fù)值舍去），
當(dāng)是，點與點重合，不符合題意；
拋物線的解析式為：．
綜上，拋物線的解析式為：或．
19．（2022?錦江區(qū)校級模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸從左至右依次交于，兩點，交軸于點，連接，．
（1）求，兩點以及拋物線頂點的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)時，直線平行于且與拋物線只有一個交點，求點的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)時，二次函數(shù)有最小值，求的值．
【答案】見解析
【詳解】（1）拋物線與軸從左至右依次交于，兩點，
令，即，解得或，
，，
，
該拋物線的頂點坐標(biāo)，．
（2）當(dāng)時，代入拋物線，得，
，，
當(dāng)時，代入拋物線，得，
；
直線的解析式為：，
直線平行于，
，
與只有一個交點，
令，整理得只有一個解，
△，解得．
把代入上式得，解得，
．
（3）二次函數(shù)，
由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)，則，則，
同理，當(dāng)，即，
由二次函數(shù)的圖象性質(zhì)可得，當(dāng)時，，
解得或，均不符合題意，舍去，
同理，當(dāng)，則，
由二次函數(shù)的圖象性質(zhì)可得，當(dāng)時，，
解得或，均不符合題意，舍去；
綜上，的值為．
20．（2022?新都區(qū)模擬）如圖1，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，，點橫坐標(biāo)為2，延長矩形的邊交拋物線于．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖2，若點是直線上方的拋物線上的一個動點，過點作軸的垂線交直線于點，求的最大值；
（3）如圖3，如果點是拋物線對稱軸上一點，拋物線上是否存在點，使得以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出所有滿足條件的點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】見解析
【詳解】（1）由題意得，
，，
，
，
拋物線的解析式是：；
（2）拋物線對稱軸是直線：，，
，
直線的解析式是：，
設(shè)點，，
，
當(dāng)時，最大值是；
（3）當(dāng)以，，，為頂點的平行四邊形是時，
點，，，
點的橫坐標(biāo)是：，
當(dāng)時，，
，
當(dāng)以，，，為頂點的平行四邊形時，
可得點橫坐標(biāo)是，
當(dāng)時，，
，
當(dāng)以，，，為頂點的平行四邊形時，
點橫坐標(biāo)是：，
當(dāng)時，，
，
綜上所述點或或．
21．（2022?錦江區(qū)校級模擬）如圖，拋物線與軸交于點和點，與軸交于點，連接，，點是拋物線第一象限上的一動點，過點作軸于點，交于點．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）如圖1，作于點，使，以，為鄰邊作矩形．當(dāng)矩形的面積與的面積相等時，求點的坐標(biāo)；
（3）如圖2，當(dāng)點運(yùn)動到拋物線的頂點時，點在直線上，若為鈍角，請直接寫出點縱坐標(biāo)的取值范圍．
【答案】見解析
【詳解】（1）拋物線經(jīng)過點，點，
，
解得：，
該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）如圖1，由，得：，，
，
設(shè)直線的解析式為，
則，
解得：，
直線的解析式為，
設(shè)，則，
，
，，
，
矩形的面積與的面積相等，
，
解得：，
點的坐標(biāo)為；
（3），
拋物線對稱軸為：直線，
，，
設(shè)，，，
當(dāng)點在點上方時，，如圖2，過點作于點，連接、，
則，，，，，
，，
，
，
，即，
解得：，
，
，
當(dāng)點在點下方時，，如圖3，過點作于點，連接、，
則，，，，，
，，
，
，
，即，
解得：，
，
，
當(dāng)為鈍角時，或．
22．（2022?高新區(qū)校級模擬）平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線為常數(shù)）與軸交于點，兩點（點在點左邊），與軸交于點．
（1）若，求點，，的坐標(biāo)；
（2）如圖1，在（1）的條件下，為拋物線軸上方一點，連接，若，求點的坐標(biāo)；
（3）如圖2，將拋物線向左平移個單位長度與直線交于，（點在點右邊），若，求，之間的數(shù)量關(guān)系．
【答案】見解析
【詳解】（1）當(dāng)時，拋物線為，
令得，
，
令得，
解得或，
，；
答：的坐標(biāo)為，的坐標(biāo)為，的坐標(biāo)為；
（2）過作軸于，過作于，如圖：
由（1）知，，，
，，，
在中，，
，
，
，
又，
，
，
，
設(shè)，則，，
，
解得或（舍去），
，；
（3）過作軸交軸于點，過作軸，過作軸交于點，如圖：
拋物線，
將其向左平移個單位，得到的拋物線的解析式為，
當(dāng)時，，，，當(dāng)時，，，，
①當(dāng)，，，時，
由設(shè)直線的解析式為，將代入得，
解得，
直線的解析式為，
由，得，
設(shè)點、的橫坐標(biāo)分別為、，則，，
，，
，
，
，
，
，即，
，
，
，
，
，
，
，
整理得．
②當(dāng)，，，時，直線的解析式為，
由得，
同①可得，
綜上所述，，之間的數(shù)量關(guān)系為或．
23．（2022?郫都區(qū)模擬）如圖，拋物線與軸交于，兩點在的左側(cè)），與軸交于點，點為線段上一個動點（與點，不重合），過點作軸的垂線與線段交于點，與拋物線交于點，連接，與軸交于點．
（1）求、、三點的坐標(biāo)；
（2）求的最大值；
（3）連接，當(dāng)線段時，求的值．
【答案】見解析
【詳解】（1）在拋物線中，
令，則，
解得：，，
點坐標(biāo)為，點坐標(biāo)，
令，則，
點坐標(biāo)為；
（2）過點作于點，
由（1）知，，，，
，
，
，
，，，
，，
，，
，
，
在中，，
，
，
當(dāng)時，的最大值為4；
（3），當(dāng)時，有兩種情況
①當(dāng)四邊形為平行四邊形時，則，如圖：
，點為，
點坐標(biāo)為，點坐標(biāo)為，
，
，
點坐標(biāo)為，
因為點、、三點在一條直線上，
設(shè)直線的解析式為，
將點、、代入得：
，
解得：（舍去）或；
②當(dāng)四邊形為等腰梯形時，則點、關(guān)于垂直平分線的對稱，
即、的中點縱坐標(biāo)相同，如圖：
，點為，
點坐標(biāo)為，點坐標(biāo)為．，點坐標(biāo)為
因為點、、三點在一條直線上，
設(shè)直線的解析式為，
將點、、代入得：
，
解得：（不合題意，舍去）或（不合題意，舍去）或，
綜上所述：當(dāng)或時，．
24．（2022?成都模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與軸交于點，，與軸交于點．
（1） ， ；
（2）若點為第四象限內(nèi)拋物線上的一個動點，過點作軸交于點，過點作于點，過點作軸于點，求出的最大值及此時點的坐標(biāo)；
（3）若點是該拋物線對稱軸上的一點，點為坐標(biāo)平面內(nèi)一點，那么在拋物線上且位于軸上方是否存在點，使四邊形為正方形？若存在，請直接寫出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】見解析
【詳解】（1）將點，代入，
，
，
，
故答案為：，；
（2）延長交軸于點，延長交于點，
令，則，
，
設(shè)直線的解析式為，
，
解得，
，
設(shè)，則，
，
，
，
，
，
，
，
，
當(dāng)時，有最大值，
此時，；
（3）存在點，使四邊形為正方形，理由如下：
，
拋物線的對稱軸為直線，
設(shè)，，，
過點作軸，過點作交于，過點作交于點，
四邊形為正方形，
，
，
，
，
，
，
，，
是正方形的對角線，
，①，
當(dāng)點在第一象限時，如圖2，
，，，，
②，
由①②可得，
解得，
，；
當(dāng)點在第二象限時，如圖3，
，，，，
③，
由①③可得，
解得，
，；
綜上所述：點的坐標(biāo)為，或，．
25．（2022?青羊區(qū)校級模擬）如圖，拋物線交軸于、兩點，交軸于點，連接．直線經(jīng)過點、．
（1）求拋物線的解析式；
（2）為拋物線上一點，連接，若將的面積分成相等的兩部分，求點坐標(biāo)；
（3）在直線上是否存在點，使直線與直線形成的夾角（銳角）等于的2倍？若存在，請求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】見解析
【詳解】解（1）由得點坐標(biāo)，點坐標(biāo)為，
把，代入拋物線得，
，解得，，
拋物線；
（2）作的中點，連接并延長交拋物線于，如圖：
為中點，
直線將的面積分成相等的兩部分，即是滿足條件的點，
，，為中點，
，，
設(shè)，
解得：，，
，
設(shè)直線解析式為，
將，，代入得：，
解得：，
直線解析式為，
解方程組，
解得：或，
，；
（3）存在點，使與直線的夾角等于的2倍，
設(shè)拋物線的對稱軸與直線相交于點，
分兩種情況：
①點在左邊時，
，，
，
，
點在直線上，
設(shè)點的坐標(biāo)為，
根據(jù)兩點間距離公式，
，
，
，解得，
點的坐標(biāo)為，，
②點在右邊，
此時，
，
，
點是的中點，
根據(jù)中點坐標(biāo)公式得，，
點的坐標(biāo)為，或，．
26．（2022?錦江區(qū)校級模擬）如圖，拋物線的圖象與軸從左至右依次交于，兩點，與軸交于點，其頂點為．
（1）如圖1，，，，四點的坐標(biāo)依次為 ， ， ， ；
（2）順次連接，，三點得，點為拋物線上一點（點不與點重合），若的面積等于的面積，求點的橫坐標(biāo)；
（3）如圖2，過點作軸交拋物線于另一點，其對稱軸與交于點，將拋物線向右平移個單位得拋物線，過點作軸的垂線交拋物線于點，點與點平移后的對應(yīng)點分別為點，，記點與，與之間的距離分別為，，若，請直接寫出符合要求的的值．
【答案】見解析
【詳解】（1）拋物線中，
當(dāng)時，；當(dāng)時，或3；
，，；
，
；
故，，，
故答案為：，，，；
（2），，，
，
，
，
，
是直角三角形，，
設(shè)直線的解析式為，
將代入得，，
，
直線的解析式為，
分兩種情況：
①點在上方時，過點作交拋物線于點，
的面積等于的面積，
直線的解析式為，，
設(shè)直線的解析式為，
將代入得，，
，
直線的解析式為，
聯(lián)立拋物線得，
解得，，
點的橫坐標(biāo)為2；
②點在下方時，過點作，使，過作交拋物線于點，作軸于，
的面積等于的面積，
，
，
，
，
，
軸，
，
，
的坐標(biāo)為，
設(shè)的解析式為，
將代入得，，
，
直線的解析式為，
聯(lián)立拋物線得，
解得，，
點的橫坐標(biāo)為或；
綜上，點的橫坐標(biāo)為2或或；
（3）如圖2，
點，軸，拋物線，
當(dāng)時，，
解得，，
點，拋物線的對稱軸為，
直線的解析式為，
當(dāng)時，，
點，
將拋物線向右平移個單位得拋物線，
拋物線，
，，
，，
點與，與之間的距離分別為，，，
，化簡得，或，化簡得，
或，或，或（無解），
解得，（不合題意，舍去）或，（不合題意，舍去），，（不合題意，舍去），
綜上所述，的值為3或2或1．
27．（2022?郫都區(qū)模擬）如圖，邊長為5的正方形的兩邊在坐標(biāo)軸上，以點為頂點的拋物線經(jīng)過點，點是拋物線段上一動點，過點作于點，點，連接、．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當(dāng)，求點的坐標(biāo)；
（3）求周長的取值范圍．
【答案】見解析
【詳解】（1）拋物線的頂點為，
設(shè)拋物線的解析式為，
將點代入，
，
；
（2）邊長為5的正方形的兩邊在坐標(biāo)軸上，
，，，
設(shè)，
，
，
，
，
，
，
，
是等邊三角形，
，
，
解得，
，
點在第一象限內(nèi)，
，
，；
（3）當(dāng)點與重合時，的周長最大，此時，，，
，，，
的周長的最小值為．
當(dāng)點與重合時，，，
，此時三角形不存在，
的周長．
解法二：．
的周長．
當(dāng)時，隨的增大而增大，隨的增大而增大，
隨的增大而增大，
的周長．
28．（2022?雙流區(qū)校級模擬）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸、軸分別交于點和點，拋物線經(jīng)過點，且與直線的另一個交點為．
（1）求的值和拋物線的解析式；
（2）點在拋物線上，且點的橫坐標(biāo)為．軸交直線于點，點在直線上，且四邊形為矩形（如圖．若矩形的周長為，求與的函數(shù)關(guān)系式以及的最大值；
（3）是平面內(nèi)一點，將繞點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)后，得到△，點、、的對應(yīng)點分別是點、、．若△的兩個頂點恰好落在拋物線上，請直接寫出點的橫坐標(biāo)．
【答案】見解析
【詳解】（1）直線經(jīng)過點，
，
直線的解析式為，
直線經(jīng)過點，
，
拋物線經(jīng)過點和點，
，
解得，
拋物線的解析式為；
（2）令，則，
解得，
點的坐標(biāo)為，，
，
在中，，
，
軸，
，
在矩形中，，
，
，
點的橫坐標(biāo)為，
，，
，
，
，且，
當(dāng)時，有最大值；
（3）繞點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)，
軸時，軸，設(shè)點的橫坐標(biāo)為，
①如圖1，點、在拋物線上時，點的橫坐標(biāo)為，點的橫坐標(biāo)為，
，
解得，
②如圖2，點、在拋物線上時，點的橫坐標(biāo)為，點的縱坐標(biāo)比點的縱坐標(biāo)大，
，
解得，
綜上所述，點的橫坐標(biāo)為或．
29．（2022?簡陽市模擬）已知拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，拋物線的對稱軸交軸于點，連接、．求的周長及的值；
（3）如圖2，過點的直線，點是直線上方拋物線上一動點，過點作，垂足為點，連接，，，．當(dāng)四邊形的面積最大時，求點的坐標(biāo)及四邊形面積的最大值．
【答案】見解析
【詳解】（1）將，分別代入得：，
解得，
．
（2）由解析式可得，，
．
的周長為．
如圖1，過點作于點，
，
．
．
．
．
（3）由題意可知：，
過點的直線，
．
，，
．
拋物線交軸于點，
．
．
如圖2，過點作軸，垂足為點，交于點，
直線的解析式為：．
設(shè)，則，
點是直線上方拋物線上一動點，
．
則．
．
當(dāng)時，四邊形的面積最大，最大面積為．
此時，點的坐標(biāo)為．
30．（2022?武侯區(qū)校級模擬）【閱讀理解】
定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對于一個動點，若，都可以用同一個字母表示，那么點的運(yùn)動路徑是確定的．若根據(jù)點坐標(biāo)求出點運(yùn)動路徑所對應(yīng)的關(guān)系式是函數(shù)，則稱由點坐標(biāo)求函數(shù)表達(dá)式的過程叫做將點“去隱”．
例如，將點，為任意實數(shù)）“去隱”的方法如下：
設(shè)①，②
由①得③
將③代入②得，整理得
則直線是點的運(yùn)動路徑．
【遷移應(yīng)用】
在平面直角坐標(biāo)系中，已知動點，為任意實數(shù)）的運(yùn)動路徑是拋物線．
（1）請將點 “去隱”，得到該拋物線表達(dá)式；
（2）記（1）中拋物線為（如圖），與軸交于點，在的左側(cè)），其頂點為點，現(xiàn)將進(jìn)行平移，平移后的拋物線始終過點，點的對應(yīng)點為．
ⅰ試確定點運(yùn)動路徑所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
ⅱ在直線的左側(cè)，是否存在點，使為等腰三角形？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】見解析
【詳解】（1）設(shè)①，②，
由①得③，
；
（2），
，
令，則，
解得或，
，，
ⅰ設(shè)拋物線的解析式為，
，
經(jīng)過點，
，
令，，
；
ⅱ存在點，使為等腰三角形，理由如下：
在上，
點關(guān)于直線的對稱點為，
此時，為等腰三角形；
設(shè)，
當(dāng)時，，
解得或（舍，
，；
當(dāng)時，只能在右側(cè)，此時不符合題意；
綜上所述：或，．
31．（2022?青羊區(qū)校級模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與兩坐標(biāo)軸分別相交于，，三點．
（1）求證：；
（2）點是第一象限內(nèi)拋物線上的動點，過點作軸的垂線交于點，交軸于點．
①求的最大值；
②點是的中點，若以點，，為頂點的三角形與相似，求點的坐標(biāo)．
【答案】見解析
【詳解】（1）證明：中，令得，令得，，
，，，
，，，，
，，
，
而，
，
；
（2）解：①設(shè)直線解析式為，將，代入可得：，
解得，
直線解析式為，
由（1）知，，，
，
軸，
，
，
設(shè)第一象限，則，
，，
，
當(dāng)時，的最大值是9；
②由（1）知，
，
軸于，
，
，
（一當(dāng)與對應(yīng)時，
以點，，為頂點的三角形與相似，只需或，
而為中點，，，
，，，
由①知：，，
，
當(dāng)時，，解得或（此時與重合，舍去）
，
當(dāng)時，，解得或（舍去），
，
在中，是中點，
，
，即，
，
（二當(dāng)與對應(yīng)時，
以點，，為頂點的三角形與相似，只需或，
與答案相同，同理與或答案相同，
綜上所述，以點，，為頂點的三角形與相似，則的坐標(biāo)為或．
32．（2022?成都模擬）如圖①，已知拋物線交軸于，兩點，交軸于點，是拋物線上的動點，且滿足．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點在第一象限，直線經(jīng)過點且與直線交于點，設(shè)點的橫坐標(biāo)為，當(dāng)線段的長度隨著的增大而減小時，求的取值范圍；
（3）如圖②，過點作的平行線，與拋物線交于另一點．點在直線上方，點在線段上，若與相似，且點與點是對應(yīng)點，求點的坐標(biāo)．
【答案】見解析
【詳解】（1）拋物線的對稱軸為直線，，
，，
，，
把代入，得，
解得：，
，
該拋物線的解析式為；
（2）設(shè)，
，
，
直線的解析式為，
設(shè)直線的解析式為，
，，
，
解得：，
直線的解析式為，
過點作軸交于點，過點作于點，如圖①，
則，
，
聯(lián)立得：，
解得：，
，，
，
，，
，
，
，
當(dāng)時，線段的長度隨著的增大而減小，
又點在第一象限，，
當(dāng)線段的長度隨著的增大而減小時，；
（3）直線，
設(shè)直線的解析式為，把代入得：，
解得：，
直線的解析式為，
當(dāng)時，
則，，
過點作軸于點，過點作于點，
，，
，
則，，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
，，
把，代入，得，
解得：或，
或，；
當(dāng)時，
，，
同理可得：，，，
代入，得，
解得：，
點在直線上方，
，
，或，；
綜上所述，點的坐標(biāo)為或，或，或，．
33．（2022?郫都區(qū)模擬）如圖1所示，直線與軸、軸分別相交于點，點，點在經(jīng)過點，的二次函數(shù)的圖象上．
（1）求拋物線的解析式：
（2）點為線段上（不與端點重合）的一動點，過點作軸交拋物線于點，求取得最大值時點的坐標(biāo)；
（3）如圖2，連接并延長，交軸于點，為第三象限拋物線上一點，連接，點為軸上一點，且，直線與交于點，點在線段上，且，連接交于點，已知，求點的坐標(biāo)．
【答案】見解析
【詳解】（1）直線與軸、軸分別相交于點，點，
，，
點在經(jīng)過點，的二次函數(shù)的圖象上．
，
，
；
（2）如圖，作于，
設(shè)，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
當(dāng)時，取得最大值，
，
，；
（3）如圖，作于，作于，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
直線的解析式為：，
，，
直線的解析式為：，
由得，，
，
．
34．（2022?青白江區(qū)模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與軸，軸分別相交于，，三點，點是二次函數(shù)圖象的頂點．
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）點為拋物線上異于點的一點，連接，若，求點的坐標(biāo)；
（3）是第四象限內(nèi)一動點，且，連接，，求的最小值．
【答案】見解析
【詳解】（1）將，，三點代入中，
，
解得，
；
（2）設(shè)直線的解析式為，
，
解得，
，
過點與直線平行的直線解析式為，
直線關(guān)于直線對稱的直線解析式為，
聯(lián)立方程組，
解得或，
點坐標(biāo)為，或，；
（3）以為圓心，為半徑做圓，取的中點，
連接，，
，，
，
點在圓上，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
的最小值為．

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