專(zhuān)題11 平行四邊形中動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題全攻略 例1．如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB、AD上，將△AEF沿EF折疊，點(diǎn)A恰好落在BC邊上的點(diǎn)G處．若∠A=45°，AB=6，5BE=AE．則AF長(zhǎng)度為_(kāi)____． 例2.如圖，在平行四邊形中，．點(diǎn)M是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)N是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．將沿所在的直線翻折到，連接．則線段長(zhǎng)度的最小值為（????） A．5 B．7 C． D． 例3．如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為8，∠BAD＝60°，點(diǎn)E是邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，則EF+BF的最小值為（　　） A．8 B．4 C．4 D．4 例4．如圖，在平行四邊形中，，E為邊上的一動(dòng)點(diǎn)，那么的最小值等于______． 例5.如圖，在平行四邊形ABCD中，，，點(diǎn)H、G分別是邊DC、BC上的動(dòng)點(diǎn)，其中點(diǎn)H不與點(diǎn)C重合，連接AH、HG，點(diǎn)E為AH的中點(diǎn)，點(diǎn)F為GH的中點(diǎn)，連接EF，則EF的最小值為_(kāi)_____． 【變式訓(xùn)練1】如圖，菱形ABCD的對(duì)角線，面積為24，△ABE是等邊三角形，若點(diǎn)P在對(duì)角線AC上移動(dòng)，則的最小值為（??） A．4 B．4 C．2 D．6 【變式訓(xùn)練2】如圖，在矩形中，，，為上兩點(diǎn)，且，則四邊形周長(zhǎng)的最小值為（????） A．9 B．10 C．11 D．12 【變式訓(xùn)練3】如圖，在平行四邊形中，，，，點(diǎn)、分別是邊、上的動(dòng)點(diǎn)．連接、，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，則的最大值與最小值的差為（　?。? A． B． C． D． 【變式訓(xùn)練4】如圖，在中，，線段繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到，連接，E為的中點(diǎn)，連接，設(shè)的最大值為m，最小值為n，則（????） A．3.6 B．4.8 C．5 D．6 課后訓(xùn)練 1．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，若D，E是邊AB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是邊AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，DE＝，則CD+EF的最小值為(???) A．﹣ B．3﹣ C．1+ D．3 2．如圖，中，，點(diǎn)、分別在邊、上，，且，若，，則的長(zhǎng)度為_(kāi)________________． 3．如圖，在平行四邊形ABCD中，BC=6，∠ABC=60°，BE平分∠ABC，點(diǎn)F為BC上一點(diǎn)，點(diǎn)G為BE上一點(diǎn)，連接CG，F(xiàn)G，則CGFG的最小值為_(kāi)________． 4．如圖，，，，，，射線交邊于點(diǎn)，點(diǎn)為射線上一點(diǎn)，以，為邊作平行四邊形，連接，則最小值為_(kāi)_____． 5．如圖，在平行四邊形ABCD中，，是銳角，于點(diǎn)E，，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)，連接BF，EF．若，則DE的長(zhǎng)為_(kāi)_____． 6．如圖，在平行四邊形中，，，點(diǎn)為射線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，則的最小值是______． 7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，D是平行四邊形ABOC內(nèi)一點(diǎn)，CD與x軸平行，AD與y軸平行，已知，，，，則D點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)______． 8．如圖，在?ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠ABC＝60°，P是?ABCD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且S△PBC＝S△PAD，則PA＋PD的最小值為_(kāi)_____． 9．如圖，在平行四邊形ABCD中，，∠ABC＝45°，點(diǎn)E為射線AD上一動(dòng)點(diǎn)，連接BE，將BE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BF，連接AF，則AF的最小值是_____． 專(zhuān)題11 平行四邊形中動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題全攻略 例1．如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB、AD上，將△AEF沿EF折疊，點(diǎn)A恰好落在BC邊上的點(diǎn)G處．若∠A=45°，AB=6，5BE=AE．則AF長(zhǎng)度為_(kāi)____． 【答案】 【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)B作BM⊥AD于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥BC于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)E作EN⊥CB延長(zhǎng)線于點(diǎn)N， 得矩形BHFM， ∴∠MBC=90°，MB=FH，F(xiàn)M=BH， ∵AB=6，5BE=AE， ∴AE=5，BE=， 由折疊的性質(zhì)可知：GE=AE=5，GF=AF， ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴∠ABN=∠A=45°， ∴△BEN和△ABM是等腰直角三角形， ∴EN=BN=BE=1，AM=BM=AB=6， ∴FH=BM=6， 在Rt△GEN中，根據(jù)勾股定理，得 ， ∴， 解得GN=±7（負(fù)值舍去）， ∴GN=7， 設(shè)MF=BH=x,則GH=GN-BN-BH=7-1-x=6-x，GF=AF=AM+FM=6+x， 在Rt△GFH中，根據(jù)勾股定理，得 ， ∴， 解得x=， ∴AF=AM+FM=6+=． ∴AF長(zhǎng)度為． 故答案為：． 例2.如圖，在平行四邊形中，．點(diǎn)M是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)N是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．將沿所在的直線翻折到，連接．則線段長(zhǎng)度的最小值為（????） A．5 B．7 C． D． 【答案】A 【詳解】解：如圖：連接，作， ∵四邊形是平行四邊形， ∴，∴且， ∴，∴； ∵M(jìn)是中點(diǎn)，∴，∴，∴； ∵折疊，∴，∴當(dāng) 三點(diǎn)共線時(shí)，的長(zhǎng)度最小， ∴此時(shí)， 故選：A． 例3．如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為8，∠BAD＝60°，點(diǎn)E是邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，則EF+BF的最小值為（　?。? A．8 B．4 C．4 D．4 【答案】C 【詳解】如圖，連接交于，過(guò)作于，交于， 四邊形是菱形，是對(duì)角線， 點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)， 點(diǎn)E是邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)， ， 當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合， 點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，取得最小值， 最小值為的長(zhǎng)， 菱形ABCD的邊長(zhǎng)為8，∠BAD＝60°， ， ， ． 取得最小值為: ． 故答案為：C． 例4．如圖，在平行四邊形中，，E為邊上的一動(dòng)點(diǎn)，那么的最小值等于______． 【答案】3 【詳解】解：如圖，過(guò)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)， ∵四邊形為平行四邊形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，線段的和最小， ∵，， ∴， 即：的最小值等于3； 故答案為：3． 例5.如圖，在平行四邊形ABCD中，，，點(diǎn)H、G分別是邊DC、BC上的動(dòng)點(diǎn)，其中點(diǎn)H不與點(diǎn)C重合，連接AH、HG，點(diǎn)E為AH的中點(diǎn)，點(diǎn)F為GH的中點(diǎn)，連接EF，則EF的最小值為_(kāi)_____． 【答案】 【詳解】如圖，連接AG， 因?yàn)辄c(diǎn)E為AH的中點(diǎn)，點(diǎn)F為GH的中點(diǎn)， 所以EF=，故EF的最小值， 只有當(dāng)AG取得最小值時(shí)，才能成立，AG的最小值為垂線段AG， 過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BC，垂足為M， 因?yàn)椋?所以BM=2， AM=， 故EF的最小值為= 故答案為：． 【變式訓(xùn)練1】如圖，菱形ABCD的對(duì)角線，面積為24，△ABE是等邊三角形，若點(diǎn)P在對(duì)角線AC上移動(dòng)，則的最小值為（??） A．4 B．4 C．2 D．6 【答案】C 【詳解】解：如圖，連接BD交AC于O，連接PB． ∵S菱形ABCD=?AC?BD， ∴24=×12×BD， ∴BD=4， ∵OA=AC=6，OB=BD=2，AC⊥BD， ∴AB=， ∵AC與BD互相垂直平分， ∴PD=PB，PE+PD=PE+PB， ∵PE+PB≥BE， ∴當(dāng)E、P、B共線時(shí)，PE+PD的值最小，最小值為BE的長(zhǎng)， ∵△ABE是等邊三角形， ∴BE=AB=2， ∴PD+PE的最小值為2， 故選：C． 【變式訓(xùn)練2】如圖，在矩形中，，，為上兩點(diǎn)，且，則四邊形周長(zhǎng)的最小值為（????） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【詳解】解：如圖，作交AD于M，作M關(guān)于BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，， ∴， 在矩形ABCD中，， ∴四邊形APQM為平行四邊形， ∴， ∵，， ∴， 若使其周長(zhǎng)最小，即最小，即：即為所求， ∵，， ∴，， ∴在中，， 故最小值為：． 故選B． 【變式訓(xùn)練3】如圖，在平行四邊形中，，，，點(diǎn)、分別是邊、上的動(dòng)點(diǎn)．連接、，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，則的最大值與最小值的差為（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【詳解】解：連接，如圖： 點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)， 是的中位線， ， 當(dāng)最小時(shí)，最小，當(dāng)最大時(shí)，最大， 當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí)也最小，如圖： ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 最小為； 當(dāng)與重合時(shí)，最大，此時(shí)也最大，過(guò)作于，如圖： 同上可得是等腰直角三角形，， ， ， ， 最大為； 的最大值與最小值的差為， 故選：B． 【變式訓(xùn)練4】如圖，在中，，線段繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到，連接，E為的中點(diǎn)，連接，設(shè)的最大值為m，最小值為n，則（????） A．3.6 B．4.8 C．5 D．6 【答案】D 【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出． 如圖，取的中點(diǎn)F，連接． ∵， ∴， ∴是等邊三角形． ∵E、F分別是的中點(diǎn)， ∴． 如圖，當(dāng)在上方時(shí)， 此時(shí)，如果C、E、F三點(diǎn)共線，則有最大值，最大值為，即； 如圖，當(dāng)在下方時(shí)， 此時(shí)，如果C、E、F三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，最小值為，即， ∴． 故選D． 課后訓(xùn)練 1．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，若D，E是邊AB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是邊AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，DE＝，則CD+EF的最小值為(???) A．﹣ B．3﹣ C．1+ D．3 【答案】B 【詳解】解：如圖，過(guò)C作AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C1，連接CC1，交AB于N；過(guò)C1作C1C2∥AB，且C1C2＝，過(guò)C2作C2F⊥AC于F，交AB于E，C2F的長(zhǎng)度即為所求最小值， ∵C1C2∥DE，C1C2＝DE， ∴四邊形C1DEC2是平行四邊形， ∴C1D＝C2E， 又∵CC1關(guān)于AB對(duì)稱(chēng)， ∴CD＝C1D， ∴CD+EF＝C2F， ∵∠A＝30°，∠ACB＝90°， ∴AC＝BC＝2， ∴CN＝，AN＝3， 過(guò)C2作C2M⊥AB，則C2M＝C1N＝CN＝， ∴C2M∥C1N，C1C2∥MN， ∴MN＝C1C2＝， ∵∠MEC2＝∠AEF，∠AFE＝∠C2ME＝90°， ∴∠MC2E＝∠A＝30°， 在Rt△C2ME中，ME＝，C2M＝1，C2E＝2， ∴AE＝AN﹣MN﹣ME＝3﹣﹣1＝2﹣， ∴EF， ∴C2F． 故選：B． 2．如圖，中，，點(diǎn)、分別在邊、上，，且，若，，則的長(zhǎng)度為_(kāi)________________． 【答案】 【詳解】解：如圖，連接，過(guò)點(diǎn)E作于M， 在中，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，即， ∴， 將順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，連接，則，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 過(guò)點(diǎn)N作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G， ∵， ∴， ∴CG= ∴ ∴ ∴ 故答案為． 3．如圖，在平行四邊形ABCD中，BC=6，∠ABC=60°，BE平分∠ABC，點(diǎn)F為BC上一點(diǎn)，點(diǎn)G為BE上一點(diǎn)，連接CG，F(xiàn)G，則CGFG的最小值為_(kāi)________． 【答案】 【詳解】在上取一點(diǎn)，使， 平分， ， ， 當(dāng)、、在同一直線上，且時(shí)， 最小，最小值為． ，，，， ，．故答案為：． 4．如圖，，，，，，射線交邊于點(diǎn)，點(diǎn)為射線上一點(diǎn)，以，為邊作平行四邊形，連接，則最小值為_(kāi)_____． 【答案】 【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)到，使得，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)． 四邊形是平行四邊形， ，， ， ， 四邊形是平行四邊形， ， ， ，，， ，， ， ， ， ， ， 點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，的值最小， 在中，，，， ， ． 的最小值為． 故答案為：． 5．如圖，在平行四邊形ABCD中，，是銳角，于點(diǎn)E，，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)，連接BF，EF．若，則DE的長(zhǎng)為_(kāi)_____． 【答案】4 【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)BF交AD的延長(zhǎng)線于Q，連接BE，設(shè)DE=x，?? ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴DQ∥BC，AD=BC=5， ∴∠Q=∠CBF， ∵DF=FC，∠DFQ=∠BFC， ∴△BCF≌△QDF（AAS）， ∴BC=DQ，QF=BF， ∵∠EFB=90°， ∴EF⊥QB， ∴EQ=BE=x+5， ∵CE⊥AD，BC∥AD， ∴CE⊥BC， ∴∠DEC=∠ECB=90°， ∵CE2=EB2-BC2， ∴， 整理得：x2+10x-56=0， 解得x=4或-14（舍棄）， ∴DE=4． 故答案為：4． 6．如圖，在平行四邊形中，，，點(diǎn)為射線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，則的最小值是______． 【答案】 【詳解】解：如圖，以AB為邊向右作等邊△ABK，由可知點(diǎn)K在BC上，連接EK， ∵BE＝BF，BK＝BA，∠EBF＝∠ABK＝60°， ∴∠ABF＝∠KBE， ∴△ABF≌△KBE（SAS）， ∴AF＝EK， 根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)KE⊥AD時(shí)，EK的值最小，即AF的值最小， ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AD∥BC， ∴∠EAK＝∠AKB＝60°， ∴∠AKE＝30°， ∵AB＝AK＝2， ∴AE＝AK＝1， ∴EK＝， ∴AF的最小值為． 故答案為：． 7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，D是平行四邊形ABOC內(nèi)一點(diǎn)，CD與x軸平行，AD與y軸平行，已知，，，，則D點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)______． 【答案】（-2，8） 【詳解】過(guò)點(diǎn)B作BE⊥y軸于E點(diǎn)，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F， ∵四邊形ABOC是平行四邊形， ∴AC=OB，AC∥OB， ∴∠OGC=∠BOE， ∵AD∥y軸， ∴∠DAC=∠OGC， ∴∠BOE=∠DAC， 在△BOE和△CAD中， ， ∴△BOE≌△CAD（AAS）， ∴OE=AD=2，BE=CD=8， ∵S△ABD=6， ∴AD?BF=6， ∴×2×BF=6， ∴BF=6， ∴EF=BE-BF=2， ∵∠ADB=135°， ∴∠BDF=45°， ∴BF=DF=6， ∵DF+OE=6+2=8 ∴D（-2，8）， 故答案為：（-2，8）． 8．如圖，在?ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠ABC＝60°，P是?ABCD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且S△PBC＝S△PAD，則PA＋PD的最小值為_(kāi)_____． 【答案】 【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)P作直線，作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接交直線l于E，交BC于F，連接，則，垂直于直線l， ∴， ∴當(dāng)、P、D三點(diǎn)共線時(shí)，PA+PD有最小值，即， ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴，AD=BC， ∴， ∵AB=6，∠AFB=90°，∠ABC=60°， ∴∠BAF=30°， ∴BF=3， ∴， ∵S△PBC＝S△PAD， ∴， ∴， 又∵AE+EF=AF， ∴， ∴， ∴， ∴PA+PD的最小值為， 故答案為：． 9．如圖，在平行四邊形ABCD中，，∠ABC＝45°，點(diǎn)E為射線AD上一動(dòng)點(diǎn)，連接BE，將BE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BF，連接AF，則AF的最小值是_____． 【答案】 【詳解】解：如圖，以AB為邊向下作等邊△ABK，連接EK，在EK上取一點(diǎn)T，使得AT＝TK． ∵BE＝BF，BK＝BA，∠EBF＝∠ABK＝60°， ∴∠ABF＝∠KBE， ∴△ABF≌△KBE（SAS）， ∴AF＝EK， 根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)KE⊥AD時(shí)，KE的值最小， ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴ADBC， ∵∠ABC＝45°， ∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝135°， ∵∠BAK＝60°， ∴∠EAK＝75°， ∵∠AEK＝90°， ∴∠AKE＝15°， ∵TA＝TK， ∴∠TAK＝∠AKT＝15°， ∴∠ATE＝∠TAK+∠AKT＝30°， 設(shè)AE＝a，則AT＝TK＝2a，ET＝a， 在Rt△AEK中，∵AK2＝AE2+EK2， ∴a2+（2a+a）2＝4， ∴a＝， ∴EK＝2a+a＝， ∴AF的最小值為：． 故答案為：．

英語(yǔ)朗讀寶
相關(guān)資料 更多
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
初中數(shù)學(xué)北師大版（2024）八年級(jí)下冊(cè)電子課本

章節(jié)綜合與測(cè)試

版本： 北師大版（2024）

年級(jí)： 八年級(jí)下冊(cè)

切換課文
  • 課件
  • 教案
  • 試卷
  • 學(xué)案
  • 更多
所有DOC左下方推薦
歡迎來(lái)到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬(wàn)優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬(wàn)優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬(wàn)教師選擇，專(zhuān)業(yè)更值得信賴(lài)
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過(guò)期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部