題型一、正負解問題
例．如果關于x的方程的解是正數(shù)，那么m的取值范圍是（ ）
A．B．且
C．D．且
【變式訓練1】若整數(shù)a使得關于x的分式方程的解為非負數(shù)，且一次函數(shù)的圖象經(jīng)過一、二、三象限，則所有符合條件的a的和為（ ）
A．﹣3B．2C．1D．4
【變式訓練2】若關于x的一元一次不等式組恰好有1個整數(shù)解，且關于y的分式方程有正數(shù)解，則符合條件的所有整數(shù)a的積為（ ）
A．－6B．8C．24D．6
【變式訓練3】已知關于x的方程的解是負數(shù)，則m的取值范圍為______．
【變式訓練4】關于x的分式方程的解是正數(shù)，則a的取值范圍是______________．
題型二、整數(shù)解問題
例．若關于x的一元一次不等式組的解為，且關于y的分式方程 的解是正整數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是（ ）
A．B．C．D．0
【變式訓練1】若整數(shù)k關于x的一元一次不等式組的解集是，且使關于y的分式方程有非負整數(shù)解，則符合條件的所有整數(shù)k的值之和為（ ）
A．B．C．D．0
【變式訓練2】若關于的一元一次不等式組的解集為，關于的分式方程有整數(shù)解，則符合條件的所有整數(shù)的和為（ ）
A．5B．6C．11D．12
【變式訓練3】從，，，，0，，1，2，3這9個數(shù)中隨機抽取一個數(shù)，記為m，若數(shù)m使關于x的不等式組無解，且使關于x的分式方程有非負整數(shù)解，那么從這9個數(shù)中抽到滿足條件的m的概率是__．
【變式訓練4】若數(shù)a使關于x的分式方程的解為非負數(shù)，且使關于y的不等式組的解集為，則符合條件的所有整數(shù)a的和為________．
題型三、無解問題
例．已知關于的方程無解．則______．
【變式訓練1】若關于x的分式方程無解，則實數(shù)________．
【變式訓練2】若關于x的方程無解，則a的值為______．
【變式訓練3】已知關于x的分式方程無解，則m的取值為（ ）
A．B．或2C．或或2D．不能確定
題型三、增根問題
例．若分式方程有增根，則a的值為（ ）
A．4B．2C．1D．0
【變式訓練1】關于的分式方程有增根，則此分式方程的增根為________．
【變式訓練2】關于的分式方程有增根，則增根為______．
【變式訓練3】關于的分式方程有增根，則的值為__________．
【變式訓練4】已知關于的分式方程有增根，則的值為___________．
專題09 分式方程的四種特殊解問題全攻略
題型一、正負解問題
例．如果關于x的方程的解是正數(shù)，那么m的取值范圍是（ ）
A．B．且
C．D．且
【答案】D
【詳解】解：
解得：
方程的解是正數(shù)，
即
且
故選：D
【變式訓練1】若整數(shù)a使得關于x的分式方程的解為非負數(shù)，且一次函數(shù)的圖象經(jīng)過一、二、三象限，則所有符合條件的a的和為（ ）
A．﹣3B．2C．1D．4
【答案】D
【詳解】解：
去分母得：，
去括號得：，
移項，合并同類項得：，
系數(shù)化為1得：，
∵整數(shù)a使得關于x的分式方程的解為非負數(shù)，
∴，
∴且（a為整數(shù)），
∵一次函數(shù)的圖象經(jīng)過一、二、三象限，
∴，
∴，
∴且（a為整數(shù)），
∴a的值可以為，
∴所有符合條件的a的和為，
故選D．
【變式訓練2】若關于x的一元一次不等式組恰好有1個整數(shù)解，且關于y的分式方程有正數(shù)解，則符合條件的所有整數(shù)a的積為（ ）
A．－6B．8C．24D．6
【答案】B
【詳解】解：
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∵該不等式組只有1個整數(shù)解，
∴，解得；
去分母，得：，
去括號，得：，
移項、合并同類項，得：，
解得：，
當時，分式方程產(chǎn)生增根，分式方程無解，
∵且分式方程有正數(shù)解，
∴整數(shù)a的值為2或4，
則符合條件的所有整數(shù)a的積為8，
故選：B．
【變式訓練3】已知關于x的方程的解是負數(shù)，則m的取值范圍為______．
【答案】m>－6且m≠－2
【詳解】解：原方程，
解得．
因為，即，
因為解是負數(shù)，即，
所以，
所以m的取值范圍是且．
故答案為：且
【變式訓練4】關于x的分式方程的解是正數(shù)，則a的取值范圍是______________．
【答案】且
【詳解】解：，
，解得：，
∵分式方程的解是正數(shù)，
∴且，
∴，
且；
故答案為：且
題型二、整數(shù)解問題
例．若關于x的一元一次不等式組的解為，且關于y的分式方程 的解是正整數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是（ ）
A．B．C．D．0
【答案】D
【詳解】解：，由①得：，由②得：
∵不等式組的解集為，∴，∴，
∵，
方程兩邊同乘得：，解得：，
由于方程的解為正整數(shù)，且由題意知：，
∴且，∴且，
∴且，∴為，，，，
由于為正整數(shù)，所以為3的正整數(shù)倍數(shù)，∴，
∴所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是0，故D正確．
故選：D．
【變式訓練1】若整數(shù)k關于x的一元一次不等式組的解集是，且使關于y的分式方程有非負整數(shù)解，則符合條件的所有整數(shù)k的值之和為（ ）
A．B．C．D．0
【答案】B
【詳解】解：解不等式得：，
∵整數(shù)k使關于x的一元一次不等式組的解集是，
∴，
解分式方程得： ，
則是非負整數(shù)，
∴或或，
當時，是方程的增根，舍去，
∴或，
∴符合條件的所有整數(shù)k的值之和為，
故選：B．
【變式訓練2】若關于的一元一次不等式組的解集為，關于的分式方程有整數(shù)解，則符合條件的所有整數(shù)的和為（ ）
A．5B．6C．11D．12
【答案】A
【詳解】解：由一元一次不等式組可得且，
∵一元一次不等式組的解集為，
∴，
分式方程變形為：，
∵，
∴，
∴
∴，
∵分式方程有整數(shù)解，
∴為整數(shù)，
∴或或
解得或或4或0或3或1，
∵，且
∴符合條件的所有整數(shù)m分別是：4、3、0，
∴符合條件的所有整數(shù)m的和為，
故選：A．
【變式訓練3】從，，，，0，，1，2，3這9個數(shù)中隨機抽取一個數(shù)，記為m，若數(shù)m使關于x的不等式組無解，且使關于x的分式方程有非負整數(shù)解，那么從這9個數(shù)中抽到滿足條件的m的概率是__．
【答案】
【詳解】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
∵不等式組無解，
∴，
∴符合此條件的有，，，，0，，1這7個數(shù)，
解分式方程得，
∵方程有非負整數(shù)解，
∴在以上7個數(shù)中，符合此條件的有﹣3、﹣1這2個，
∴從這9個數(shù)中抽到滿足條件的m的概率是，
故答案為：．
【變式訓練4】若數(shù)a使關于x的分式方程的解為非負數(shù)，且使關于y的不等式組的解集為，則符合條件的所有整數(shù)a的和為________．
【答案】
【詳解】解：原分式方程可化為：
，
等式兩邊同乘得：，
解得：，
由題意可知：，且，
解得：且；
解不等式組：得：，
∵關于的不等式組的解集為，
∴，
解得：，
∴，且；
∵為整數(shù)，
∴為、、、，
∴符合條件的所有整數(shù)的和為：，
故答案為：．
題型三、無解問題
例．已知關于的方程無解．則______．
【答案】
【詳解】解：分式方程去分母得：
解得：，
∵分式方程無解，
∴
即，
解得：，
故答案為：．
【變式訓練1】若關于x的分式方程無解，則實數(shù)________．
【答案】或
【詳解】解：去分母得，
整理得．
當，即時，方程無解；
當時，由分式方程無解得，即，
把代入整式方程得，解得．
綜上所述，或．
故答案為：或．
【變式訓練2】若關于x的方程無解，則a的值為______．
【答案】或或
【詳解】∵，
∴，
整理，得，
當時，方程無解，
解得；
∵的增根為，
∴，
解得，
故答案為：．
【變式訓練3】已知關于x的分式方程無解，則m的取值為（ ）
A．B．或2C．或或2D．不能確定
【答案】C
【詳解】解：
去分母得：，
整理得：，
當時，方程無解，此時；
當時，，
∵分式方程無解，
∴或，
∴或，
解得：或．
綜上所述， m的取值為或或2．
故選∶C
題型三、增根問題
例．若分式方程有增根，則a的值為（ ）
A．4B．2C．1D．0
【答案】A
【詳解】解：原方程可化為，
∴，
∵分式方程無解，
∴，
∴，
∴．
故選A
【變式訓練1】關于的分式方程有增根，則此分式方程的增根為________．
【答案】
【詳解】解：由可知當時，分式方程有增根，
∴該分式方程的增根為；
故答案為．
【變式訓練2】關于的分式方程有增根，則增根為______．
【答案】
【詳解】解：關于的分式方程有增根，且分式方程最簡公分母為，
分式方程的增根為，
故答案為：．
【變式訓練3】關于的分式方程有增根，則的值為__________．
【答案】
【詳解】解：∵解分式方程：
∴去分母得：
∴解得
∵關于的分式方程有增根
∴該分式方程的增根為：
∴
∴
故答案為：
【變式訓練4】已知關于的分式方程有增根，則的值為___________．
【答案】或
【詳解】解：
，
當，即或時，分式方程有增根，
當時，，解得；
當時，，解得；
故m的值是或，
故答案為：或．

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