第四章 數(shù)列 章節(jié)復(fù)習(xí) 夯實(shí)、拓展、感悟與提升 一、夯實(shí)雙基，逐層認(rèn)知 本章知識(shí)網(wǎng)絡(luò) 重點(diǎn)1 數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式、前項(xiàng)和、遞推關(guān)系 例1（1）已知數(shù)列滿足，則 【解析】 ， 【答案】0,1 （2）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為且第項(xiàng)滿足則（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 【解析】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故 由，故選B （3）已知數(shù)列滿足， （1）證明是等差數(shù)列，并求出公差； （2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式. 【解析】（1）由已知，，又， 所以是以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列. （2）由（1）得 當(dāng)時(shí)，，驗(yàn)證與不符 所以 重點(diǎn)2 等差數(shù)列及其性質(zhì)、前項(xiàng)和 例2（1）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則______. 【解析】由已知，得 【答案】100 例2（2）在等差數(shù)列中，，則__________ 【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)知. 【答案】74 例2（3）已知為等差數(shù)列，其公差為，且是與的等比中項(xiàng)，為的前項(xiàng)和， 則的值為（ ） A． 　　 B． 　　 C． 　 D． 【解析】∵，∴，解之得， ∴. 故選D. 例2（4）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,,則當(dāng)取最小值時(shí)等于（ ） A． B． C． D． 【解析】設(shè)該數(shù)列的公差為，則，解得， 方法一：，所以當(dāng)時(shí)，最小，故選A 方法二：，由， 因?yàn)?，所以，于是?dāng)時(shí)，最小，故選A. 例2（5）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （Ⅲ）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，不等式對(duì)任意的正整數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 【解析】（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，有，因?yàn)?，所以? 當(dāng)時(shí)，有，解得． （Ⅱ）由于， ① 則有 ② ②－①，得 由于，所以 ③ 同樣有，， ④ ③－④，得． 所以，又， 即對(duì)都成立 所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列． 所以． （Ⅲ） 所以 又 所以數(shù)列是遞增數(shù)列，故 要使不等式對(duì)任意的正整數(shù)恒成立 只須，又 ，所以 所以 實(shí)數(shù)的取值范圍是 重點(diǎn)3 等比數(shù)列及其性質(zhì)、前項(xiàng)和 例3（1）若等比數(shù)列滿足，則公比為（ ） A. B. C. D. 【解析】由題有，故選B. 例3（2）記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和.若，，則（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【解析】方法一：，相除得， 所以，故選A 方法二：∵為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，∴成等比數(shù)列 ∴，，∴，∴.故選A. 例3（3）等比數(shù)列中，． （1）求的通項(xiàng)公式； （2）記為的前項(xiàng)和．若，求． 【解析】（1）設(shè)的公比為，由題設(shè)得． 由已知得，解得（舍去），或． 所以或． （2）若，則．由得，此方程沒(méi)有正整數(shù)解． 若，則．由得，解得． 綜上，． 例3（4）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為 已知. （Ⅰ）設(shè)，證明數(shù)列是等比數(shù)列； （Ⅱ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式. 【解析】（Ⅰ）由及，有 由， 得，相減得，即 方法一：（目標(biāo)明確的證明框架） 所以數(shù)列是以2為公比，3為首項(xiàng)的等比數(shù)列 方法二：由得，即 所以數(shù)列是以2為公比，3為首項(xiàng)的等比數(shù)列 （Ⅱ）由（Ⅰ）可得，兩邊同時(shí)除以得 （如果不這樣，就要用到累差法了） 　　　數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等比數(shù)列． 　　　， 所以 例3（5）等比數(shù)列中，分別是下表第一、二、三行中的某一個(gè)數(shù)，且中的任何兩個(gè)數(shù)不在下表的同一列. （Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）若數(shù)列滿足：，求數(shù)列的前項(xiàng)和. 【解析】（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，不合題意；當(dāng)時(shí)，不合題意. 當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，符合題意； 因此 所以 （Ⅱ）因?yàn)? 重點(diǎn)4 數(shù)學(xué)歸納法及其簡(jiǎn)單應(yīng)用 例4 設(shè)數(shù)列滿足． （1）計(jì)算，猜想的通項(xiàng)公式并加以證明； （2）求數(shù)列的前項(xiàng)和． 【解析】（1）由題意可得，， 可猜想數(shù)列是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，即， 用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：  = 1 \* GB3 ①當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，猜想成立.  = 2 \* GB3 ②假設(shè)時(shí)，猜想成立，即. 那么時(shí)，也成立. 由 = 1 \* GB3 ① = 2 \* GB3 ②可知，對(duì)任意的，都有成立. （2）由（1）可知， 所以， ， 相減得 ， 所以. 二、拓展思維，熟知方法 重點(diǎn)5 數(shù)列的求和 例5（1）若數(shù)列的通項(xiàng)公式是,則（ ） A. B. C. D. 【解析】方法一：分別求出前10項(xiàng)相加即可得出結(jié)論； 方法二：，所以.故選A. 例5（2）設(shè)，則等于 （ ） A． B. C． D． 【解析】由已知數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為的等比數(shù)列，有項(xiàng) 所以.故選D 例5（3）設(shè)若，則________ 【解析】 由得 ，相加得 ， 【答案】1011 例5（4）數(shù)列為等差數(shù)列，為正整數(shù)，其前項(xiàng)和為，數(shù)列為等比數(shù)列，且， 數(shù)列是公比為64的等比數(shù)列，. （Ⅰ）求； （Ⅱ）求證. 【解析】（Ⅰ）設(shè){}公差為，由題意易知，且 則{}通項(xiàng)， 前項(xiàng)和 再設(shè){}公比為，則{}通項(xiàng) 由可得 ① 又{}為公比為64的等比數(shù)列， ∴，∴ ② 聯(lián)立①、②及，且可解得 ∴{}通項(xiàng)，，的通項(xiàng)， （Ⅱ）由（Ⅰ）知， ∴ 例5（5）設(shè)數(shù)列滿足 （Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和. 【解析】（Ⅰ）由已知 ① 當(dāng)時(shí)， ② 兩式相減得， 在①中，令，得，所以 （Ⅱ） ③ ④ 相減得 重點(diǎn)6 簡(jiǎn)單的遞推數(shù)列的求解 例6 根據(jù)下列條件，求數(shù)列的通項(xiàng)公式 （1） （待定系數(shù)法） 【解析】由， 所以是以為公比，為首項(xiàng)的等比數(shù)列 所以 （2）（換元法） 【解析】由， 是以公差，1為首項(xiàng)的等差數(shù)列 于是 （3） （累差法、換元法、待定系數(shù)法） 【解析】由已知，兩邊除以得，令， 則 是以為公比，為首項(xiàng)的等比數(shù)列， 于是 所以 （4） （累積法） 【解析】由已知得 ， 以上各式相乘，得 ， 于是 （5） （換元法） 【解析】由已知 是以為公比，為首項(xiàng)的等比數(shù)列， 所以 三、感悟問(wèn)題，提升能力 1. 等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和為，設(shè)甲：，乙：是遞增數(shù)列，則（ ） A. 甲是乙的充分條件但不是必要條件 B. 甲是乙的必要條件但不是充分條件 C. 甲是乙的充要條件 D. 甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件 【解析】由已知，當(dāng)數(shù)列為時(shí)，滿足，但不是遞增數(shù)列，所以甲不是乙的充分條件．若是遞增數(shù)列，則必有成立，若不成立，則會(huì)出現(xiàn)一正一負(fù)的情況，是矛盾的，則成立，所以甲是乙的必要條件．故選B． 2. 等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，公差不為0，若成等比數(shù)列，則前6項(xiàng)的和為( ) A． B． C．3 D．8 【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，且， 由，， 又，所以，，故選A. 3. 數(shù)列是等差數(shù)列，,其中，數(shù)列前項(xiàng)和存在最小值. （Ⅰ）求通項(xiàng)公式; （Ⅱ）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和 【解析】（Ⅰ）∵ ∴ 又?jǐn)?shù)列是等差數(shù)列， ∴ ∴，解得或 當(dāng)時(shí)，，此時(shí)公差， 當(dāng)時(shí)，，公差，此時(shí)數(shù)列前項(xiàng)和不存在最小值，故舍去. ∴ （Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以 ∴ （點(diǎn)評(píng)：此處有一項(xiàng)為0，但是必須寫(xiě)上，否則會(huì)引起混亂） 所以 （點(diǎn)評(píng)：不能打亂原有的結(jié)構(gòu)） 相減得 4. 設(shè)數(shù)列滿足且 （Ⅰ）求的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）設(shè)記證明： 【解析】（Ⅰ）由已知，是公差為1的等差數(shù)列， ， . （Ⅱ） 5. 已知數(shù)列滿足. （Ⅰ）證明是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）證明 【解析】（Ⅰ）由得 又，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列. ，因此的通項(xiàng)公式為. （Ⅱ）由（Ⅰ）知 因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以。 于是 所以 6. 已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，記為的前項(xiàng)和，從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立． ①數(shù)列是等差數(shù)列：②數(shù)列是等差數(shù)列；③． 注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分． 【解析】方案一：選①②作條件證明③： 設(shè)，則， 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，， 因?yàn)橐彩堑炔顢?shù)列，所以，解得, 所以，所以. 方案二：選①③作條件證明②： 因?yàn)?，是等差?shù)列，所以公差， 所以，即， 因?yàn)椋?所以是等差數(shù)列. 方案三：選②③作條件證明①： 設(shè)，則， 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，， 因?yàn)?，所以，解得或?當(dāng)時(shí)，， 當(dāng)時(shí)，，滿足等差數(shù)列的定義，此時(shí)為等差數(shù)列. 當(dāng)時(shí)，，不合題意，舍去. 綜上可知為等差數(shù)列. 第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818

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