4.4.2 數(shù)學(xué)歸納法的簡(jiǎn)單應(yīng)用
一、教學(xué)目標(biāo)
1、正確理解數(shù)學(xué)歸納法原理，培養(yǎng)不完全歸納法下的歸納、猜想與證明思維體系；
2、通過(guò)數(shù)學(xué)歸納法原理證明簡(jiǎn)單的猜想，如等式、不等式命題等.
二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)
重點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法原理
難點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法原理的應(yīng)用.
三、學(xué)法與教學(xué)用具
1、學(xué)法：學(xué)生在老師的引導(dǎo)下，通過(guò)閱讀教材，自主學(xué)習(xí)、思考、交流、討論和概括，從而完成本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo).
2、教學(xué)用具：多媒體設(shè)備等
四、教學(xué)過(guò)程
（一）創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題
【回顧】
【用途】數(shù)學(xué)歸納法用于解決關(guān)于正整數(shù)的猜想與命題.
（二）閱讀精要，研討新知
【例題研討】閱讀領(lǐng)悟課本例2、例3、例4（用時(shí)約為3-5分鐘，教師作出準(zhǔn)確的評(píng)析.）
例2用數(shù)學(xué)歸納法證明： ①
證明：（1）當(dāng)時(shí)，①式的左邊，右邊, 所以①式成立.
（2） 假設(shè)當(dāng)時(shí)，①式成立，即
所以時(shí)，
即當(dāng)時(shí)，①式也成立.
由（1）（2）可知，①式對(duì)任何都成立.
例3已知數(shù)列滿(mǎn)足，試猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.
解：由，可得
由可得，同理可得
歸納上述結(jié)果，猜想 ①
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)猜想.
（1）當(dāng)時(shí)，①式的左邊，右邊, 猜想成立.
（2） 假設(shè)當(dāng)時(shí)，①式成立，即
那么
即當(dāng)時(shí)，猜想也成立.
由（1）（2）可知，猜想對(duì)任何都成立.
例4 設(shè)為正實(shí)數(shù)，為大于1的正整數(shù)，若數(shù)列
的前項(xiàng)和為，試比較與的大小，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論.
解法1：由已知可得
當(dāng)時(shí)，,由，可得；
當(dāng)時(shí)，,由，可得
由此，我們猜想，當(dāng)且時(shí)，.
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)猜想.
（1） 當(dāng)時(shí)，由上述過(guò)程知，不等式成立.
（2） 假設(shè)當(dāng),且時(shí)，不等式成立，即，
由，可得，所以
于是
所以，當(dāng)時(shí)， 不等式也成立.
由（1）（2）可知，不等式對(duì)任何大于1的正整數(shù)都成立.
解法2：顯然，所給數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，于是
當(dāng)時(shí)，,由，可得；
當(dāng)時(shí)，,由，可得
由此，我們猜想，當(dāng)且時(shí)，.
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)猜想.
（1） 當(dāng)時(shí)，由上述過(guò)程知，不等式成立.
（2） 假設(shè)當(dāng),且時(shí)，不等式成立，即，
由，知
所以

又，所以
所以，當(dāng)時(shí)，不等式也成立.
由（1）（2）可知，不等式對(duì)任何大于1的正整數(shù)都成立.
【小組互動(dòng)】完成課本練習(xí)1、2、3、4，同桌交換檢查，老師答疑.
【練習(xí)答案】
（三）探索與發(fā)現(xiàn)、思考與感悟
1. 設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,且對(duì)任意都有.
（1）求；
（2）猜想的表達(dá)式并予以證明.
解：（1）由已知，當(dāng)時(shí)，，所以.
又.
（2）猜想.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:
①當(dāng)時(shí), ，猜想正確；
②假設(shè)當(dāng)時(shí),猜想正確,即,
那么,
即時(shí),猜想也成立,
由①②可知，猜想對(duì)任何都成立.
2. 已知的三個(gè)內(nèi)角分別對(duì)應(yīng)于三邊，其中三邊長(zhǎng)都是有理數(shù).
（1）求證：是有理數(shù)；
（2）求證：對(duì)任意正整數(shù)是有理數(shù).
解：（1）由為有理數(shù)及余弦定理知 是有理數(shù).
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明和都是有理數(shù).
①當(dāng)時(shí)，由（1）知是有理數(shù)，從而有也是有理數(shù).
②假設(shè)當(dāng)時(shí)，和都是有理數(shù).
當(dāng)時(shí)，由，
，
由①和歸納假設(shè)，知和都是有理數(shù).
即當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立.
由①、②可知，對(duì)任意正整數(shù)是有理數(shù).
3. 用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)一切大于1的自然數(shù)，不等式成立．
證明：（1）當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，左邊右邊，不等式成立
（2）假設(shè)時(shí)不等式成立，即
那么，
即時(shí)不等式也成立．
由（1）（2）可知，對(duì)一切大于1的正整數(shù)不等式都成立.
（四）歸納小結(jié)，回顧重點(diǎn)
（五）作業(yè)布置，精煉雙基
1.完成課本習(xí)題4.4 4、5、6、7、8、9、10
2.閱讀課本《小結(jié)》
3.逐步完成 復(fù)習(xí)參考題4
五、教學(xué)反思：（課后補(bǔ)充，教學(xué)相長(zhǎng)）
數(shù)學(xué)歸納法(mathematical inductin)
（1）歸納奠基
證明當(dāng) 時(shí)命題成立
（2）歸納遞推
以“當(dāng)時(shí)命題成立”為條件，
推出“當(dāng)時(shí)命題也成立”.
由（1）（2）可知，命題對(duì)任何都成立.
數(shù)學(xué)歸納法(mathematical inductin)
（1）歸納奠基
證明當(dāng) 時(shí)命題成立
（2）歸納遞推
以“當(dāng)時(shí)命題成立”為條件，
推出“當(dāng)時(shí)命題也成立”.
由（1）（2）可知，命題對(duì)任何都成立.

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4.4* 數(shù)學(xué)歸納法

版本： 人教A版 (2019)

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