第7講 數(shù)列求和9種常見題型總結(jié) 題型目錄 題型一：等差等比通向求和公式應(yīng)用 題型二：分析通項(xiàng)，構(gòu)造新數(shù)列求和 題型三：錯(cuò)位相減法求和 題型四：分組求和法 題型五：裂項(xiàng)相消法求和 題型六：倒序相加法求和 題型七：并項(xiàng)求和問題 題型八：先求和，再證不等式 題型九：先放縮，再求和 典型例題 題型一：等差等比通向求和公式應(yīng)用 根據(jù)通項(xiàng)公式的特點(diǎn)求和： （1）等差數(shù)列求和公式： （2）等比數(shù)列求和公式： 【例1】（2022·寧夏·平羅中學(xué)高二階段練習(xí)（理））已知數(shù)列為等差數(shù)列，，． (1)求數(shù)列的通項(xiàng)； (2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和. 【例2】（2022陜西·安康市教學(xué)研究室一模）已知數(shù)列為等比數(shù)列，，且是與的等差中項(xiàng)． (1)求的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和． 【例3】（2022·江西·蘆溪中學(xué)高三階段練習(xí)（文））已知數(shù)列的前n項(xiàng)和. (1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式； (2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和. 【例4】（2022·陜西·西鄉(xiāng)縣教學(xué)研究室一模（文））己知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，___________. 在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面問題中，并解答.（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答給分） (1)求的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)，求的前n項(xiàng)和. 【題型專練】 1.（2022·廣東汕尾·高二期末）記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和.已知，. (1)求的通項(xiàng)公式； (2)求，判斷，，是否成等差數(shù)列并說明理由. 2.（2022·廣東·江門市第二中學(xué)高二期中）設(shè)是首項(xiàng)為的等比數(shù)列，且、、成等差數(shù)列． (1)求的通項(xiàng)公式； (2)記為的前項(xiàng)和，求的前項(xiàng)和． 3.（2022·北京八中高三階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，請(qǐng)?jiān)冖?；②成等比?shù)列；③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上面題干中，并解答下面問題. (1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式； (2)若數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，，求數(shù)列的前項(xiàng)和. 題型二：分析通項(xiàng)，構(gòu)造新數(shù)列求和 【例1】（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)（文））在公差不為零的正項(xiàng)等差數(shù)列中，為數(shù)列的前項(xiàng)和，請(qǐng)?jiān)?①，； ②； ③，，成等比數(shù)列，三個(gè)條件中，任選一個(gè)完成下面的問題． (1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式； (2)正項(xiàng)數(shù)列滿足，求． 注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分． 【例2】（2022·遼寧·本溪滿族自治縣高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)）在等差數(shù)列中，已知，， (1)求此數(shù)列的通項(xiàng)公式； (2)若從此數(shù)列中依次取出第二項(xiàng)，第四項(xiàng)，第八項(xiàng)，……，第項(xiàng)，……并按原來的先后順序組成一個(gè)新的數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和. 【例3】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知公比大于的等比數(shù)列滿足，. (1)求的通項(xiàng)公式； (2)求. 【題型專練】 1．（2022·廣東廣州·一模）已知公差不為0的等差數(shù)列中，，是和的等比中項(xiàng). (1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式： (2)保持?jǐn)?shù)列中各項(xiàng)先后順序不變，在與之間插入，使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列，記的前n項(xiàng)和為，求的值. 2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，記，其中表示不超過的最大整數(shù)，如. (1)求； (2)求數(shù)列的前2022項(xiàng)和. 3．（2022·云南·高三階段練習(xí)）已知等差數(shù)列滿足，設(shè). (1)求的通項(xiàng)公式，并證明數(shù)列為等比數(shù)列； (2)將插入中，插入中，插入中，，依此規(guī)律得到新數(shù)列，求該數(shù)列前20項(xiàng)的和. 4．（2022·甘肅·永昌縣第一高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)（文））已知數(shù)列滿足，設(shè). (1)證明：是等比數(shù)列； (2)求. 題型三：錯(cuò)位相減法求和 通項(xiàng)公式特點(diǎn)：等差等比，比如，其中代表一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式（關(guān)于的一次函數(shù)），代表一個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式（關(guān)于的指數(shù)型函數(shù)），那么便可以使用錯(cuò)位相減法 方法詳解：以為例，設(shè)其前項(xiàng)和為 ①先將寫成項(xiàng)和的形式 （前三后二，等差求出來，等比不要?jiǎng)樱? ② 兩邊同時(shí)乘以等比部分的公比，得到一個(gè)新的等式，與原等式上下排列（兩邊同時(shí)乘以公比，后錯(cuò)一位） 發(fā)現(xiàn)乘完公比后，對(duì)比原式項(xiàng)的次數(shù)，新等式的每項(xiàng)向后挪了一位。 ③ 然后兩式相減： 除了首項(xiàng)與末項(xiàng)，中間部分呈等比數(shù)列求和特點(diǎn)，代入公式求和，再解出即可 所以 【例1】（2022·四川資陽·高一期末）給出以下條件： ①，，成等比數(shù)列；②，，成等比數(shù)列；③．從中任選一個(gè)條件，補(bǔ)充在題目中的橫線上，再解答． 已知單調(diào)遞增的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，______． (1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式； (2)若是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，求數(shù)列的前n項(xiàng)的和． 【例2】（2022·安徽·合肥工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)高二期末）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，再?gòu)囊韵氯齻€(gè)條件中，任意選擇一個(gè)，并解決下面兩個(gè)問題． ①； ②； ③． (1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式， (2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和． 注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分． 【例3】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”出自我國(guó)古代典籍《莊子·天下》，其中蘊(yùn)含著等比數(shù)列的相關(guān)知識(shí).已知長(zhǎng)度為4的線段，取的中點(diǎn)，以為邊作等邊三角形（如圖①），該等邊三角形的面積為，在圖①中取的中點(diǎn)，以為邊作等邊三角形（如圖②），圖②中所有的等邊三角形的面積之和為，以此類推，則___________；___________. 【例4】（2022·河北·高三階段練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，. (1)證明：為等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式； (2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和. 【例5】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列{}為等差數(shù)列，，，數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，且滿足． (1)求{}和{}的通項(xiàng)公式； (2)若，數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，且對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍． 【題型專練】 1.（2022·廣東佛山·高三階段練習(xí)）已知公差不為零的等差數(shù)列和等比數(shù)列，滿足，，． (1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式； (2)記數(shù)列的前n項(xiàng)和為．若表示不大于m的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，求． 2.（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)（文））若數(shù)列滿足，，． (1)求的通項(xiàng)公式； (2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和． 3.（2022·內(nèi)蒙古赤峰·高一期末（文））已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且． (1)求的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和． 4.（2022·湖南·高二期末）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，．正項(xiàng)等比數(shù)列中，，． (1)求與的通項(xiàng)公式； (2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和． 題型四：分組求和法 分組求和：如果通項(xiàng)公式是前幾種可求和形式的和與差，那么在求和時(shí)可將通項(xiàng)公式的項(xiàng)分成這幾部分分別求和后，再將結(jié)果進(jìn)行相加。 例： 可知通項(xiàng)公式為，那么在求和的過程中可拆成3部分：分別求和后再相加 【例1】（2022·廣西柳州·模擬預(yù)測(cè)（理））已知數(shù)列{}滿足，． (1)證明{}是等比數(shù)列，并求{}的通項(xiàng)公式； (2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和． 【例2】（2022·北京房山·高二期末）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且． (1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式； (2)證明數(shù)列是等比數(shù)列； (3)求數(shù)列的前n項(xiàng)和． 【例3】（2022·上海松江·二模）在等差數(shù)列中，已知，． (1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式； (2)若數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和． 【例4】（2022·廣東廣州·高二期末）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為 (1)求的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和． 【題型專練】 1.（2022·廣東韶關(guān)·高二期末）已知數(shù)列滿足，且． (1)若，證明：數(shù)列是等比數(shù)列； (2)求數(shù)列的前項(xiàng)和． 2.（2022·青?！ず|市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，且． (1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式； (2)求數(shù)列的前項(xiàng)和． 題型五：裂項(xiàng)相消法求和 通項(xiàng)公式特點(diǎn)：的表達(dá)式能夠拆成形如的形式（），從而在求和時(shí)可以進(jìn)行相鄰項(xiàng)（或相隔幾項(xiàng)）的相消。從而結(jié)果只存在有限幾項(xiàng)，達(dá)到求和目的。其中通項(xiàng)公式為分式和根式的居多 方法詳解：以為例 ① 裂項(xiàng)：考慮（這里），在裂項(xiàng)的過程中把握兩點(diǎn)：一是所裂兩項(xiàng)要具備“依序同構(gòu)”的特點(diǎn)，比如這里的結(jié)構(gòu)相同，且分母為相鄰的兩個(gè)數(shù)；二是可以先裂再調(diào)：先大膽的將分式裂成兩項(xiàng)的差，在將結(jié)果通分求和與原式進(jìn)行比較并調(diào)整（調(diào)整系數(shù)），比如本題中，在調(diào)整系數(shù)使之符合通項(xiàng)公式即可 ② 求和：設(shè)前項(xiàng)和為 ，求和的關(guān)鍵在于確定剩下的項(xiàng)。通過觀察可發(fā)現(xiàn)正項(xiàng)中沒有消去，負(fù)項(xiàng)中沒有消去。 所以 一般來說，裂開的項(xiàng)中有個(gè)正項(xiàng)，個(gè)負(fù)項(xiàng)，且由于消項(xiàng)的過程中是成對(duì)消掉。所以保留項(xiàng)中正負(fù)的個(gè)數(shù)應(yīng)該相同。 【例1】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知是公差為的等差數(shù)列． (1)求的通項(xiàng)公式； (2)證明：． 【例2】（2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的首項(xiàng)為正數(shù)，其前項(xiàng)和滿足． (1)求實(shí)數(shù)的值，使得是等比數(shù)列； (2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和． 【例3】（湖北省二十一所重點(diǎn)中學(xué)2023屆高三上學(xué)期第三次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，且數(shù)列為等差數(shù)列. (1)證明：數(shù)列為常數(shù)列； (2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求的通項(xiàng)公式. 【例4】（2022·吉林·東北師大附中模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列中，，是數(shù)列的前項(xiàng)和，且. (1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式： (2)證明：. 【例5】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））已知正項(xiàng)數(shù)列{}中，，是其前n項(xiàng)和，且滿足 (1)求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式： (2)已知數(shù)列{}滿足，設(shè)數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，求的最小值. 【例6】（2022·廣東·揭東二中高三階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，． (1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式； (2)，是數(shù)列的前項(xiàng)和，求． 【例7】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列前n項(xiàng)和為，且，記. (1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求. 【例8】（2022·江西九江·三模（理））已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，. (1)求； (2)求數(shù)列的前項(xiàng)和. 【例9】（2022·廣東·大埔縣虎山中學(xué)高三階段練習(xí)）已知各項(xiàng)均不相等的等差數(shù)列的前4項(xiàng)和為10，且是等比數(shù)列的前3項(xiàng). (1)求； (2)設(shè)，求的前n項(xiàng)和. 【例10】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，，，數(shù)列滿足． (1)求出，的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：． 【題型專練】 1．（2022·廣東·開平市忠源紀(jì)念中學(xué)高三階段練習(xí)）記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和.已知，且成等差數(shù)列. (1)求的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，求. 2.（2022·河南·洛寧縣第一高級(jí)中學(xué)一模（文））已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列． (1)求的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和． 3.（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，且． (1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式； (2)已知數(shù)列滿足________，記為數(shù)列的前項(xiàng)和，證明：． 從①???②兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在第（2）問中的橫線上并作答. 4．（2022·山西長(zhǎng)治·高三階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足（），且． (1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式； (2)若數(shù)列滿足（），且，求數(shù)列的前項(xiàng)和． 5.（2022·湖南·一模）已知等差數(shù)列中，前項(xiàng)和為，，為等比數(shù)列且各項(xiàng)均為正數(shù)，，且滿足，. (1)求與； (2)設(shè)，，求的前項(xiàng)和. 6.（2022·廣東惠州·高三階段練習(xí)）記是公差不為零的等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，是和的等比中項(xiàng). (1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式； (2)記，求數(shù)列的前20項(xiàng)和. 7.（2022·安徽·合肥一中高二期末）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，是與的等比中項(xiàng). (1)求的通項(xiàng)公式； (2)若，求. 8．（2022河南信陽·高二期中（文））若正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，首項(xiàng)，點(diǎn)在曲線上． (1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)，表示數(shù)列的前n項(xiàng)和，若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍． 9.（2022·山西大同·高三階段練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足. (1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列； (2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：. 10.（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，；數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，數(shù)列的，． (1)求數(shù)列、的通項(xiàng)公式； (2)若數(shù)列滿足：，當(dāng)時(shí)，求證：． 11.（山東省日照市2021-2022學(xué)年高二下學(xué)期期末校際聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題）已知為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，，. (1)求，； (2)若數(shù)列的前項(xiàng)和為，求滿足的最小正整數(shù)n. 12.（2022·河南新鄉(xiāng)·高二期末（理））已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，. (1)求的通項(xiàng)公式； (2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和. 13.（2022·天津南開·三模）已知數(shù)列是公比的等比數(shù)列，前三項(xiàng)和為13，且，，恰好分別是等差數(shù)列的第一項(xiàng)，第三項(xiàng)，第五項(xiàng)． (1)求和的通項(xiàng)公式； (2)已知，數(shù)列滿足，求數(shù)列的前2n項(xiàng)和； (3)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和． 題型六：倒序相加法求和 【例1】（2022·河北·高三階段練習(xí)）德國(guó)大數(shù)學(xué)家高斯年少成名，被譽(yù)為數(shù)學(xué)屆的王子，19歲的高斯得到了一個(gè)數(shù)學(xué)史上非常重要的結(jié)論，就是《正十七邊形尺規(guī)作圖之理論與方法》．在其年幼時(shí)，對(duì)的求和運(yùn)算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成，因此，此方法也稱之為高斯算法，現(xiàn)有函數(shù)，設(shè)數(shù)列滿足，若，則的前n項(xiàng)和_________． 【例2】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，點(diǎn)均在函數(shù)的圖象上，函數(shù). (1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式； (2)求的值； (3)令，求數(shù)列的前2020項(xiàng)和. 【例3】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，則值是多少？. 【題型專練】 1.（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））已知數(shù)列，滿足，，. （1）證明為等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式； （2）求. 2.（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)對(duì)任意的，都有，數(shù)列滿足….求數(shù)列的通項(xiàng)公式. 3.（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，點(diǎn)均在函數(shù)的圖象上． （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）若函數(shù)，令，求數(shù)列的前2020項(xiàng)和． 題型七：并項(xiàng)求和問題 【例1】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知的通項(xiàng)公式為，求的前n項(xiàng)和． 【例2】（2022·四川內(nèi)江·高一期末（理））已知數(shù)列滿足：，. (1)①直接寫出，的值； ②求的通項(xiàng)公式； (2)求數(shù)列的前項(xiàng)和. 【例3】（2022·福建·廈門一中模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，，，． (1)計(jì)算的值，求的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和． 【例4】（2022·河北·滄縣中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列為等差數(shù)列，為其前n項(xiàng)和，若． (1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式； (2)若，求數(shù)列的前18項(xiàng)和． 【例5】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足. (1)求的通項(xiàng)公式； (2)在和中插入個(gè)相同的數(shù)，構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，，，，，，，，，，，求的前項(xiàng)和． 【題型專練】 1.（2022·河南·汝州市第一高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））在數(shù)列中，，且. (1)證明：為等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式； (2)令，求數(shù)列的前項(xiàng)和. 2.（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，. (1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列. (2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和. 3.（山東省淄博市2021-2022學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）記等差數(shù)列的公差為d，前n項(xiàng)和為．已知，，且，，成等比數(shù)列． (1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式； (2)若，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求． 4.（2022·廣東廣州·高二期末）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為 (1)求的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和． 5.（2022·浙江·溫州中學(xué)高二期末）已知數(shù)列滿足 (1)記，寫出，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式； (2)求數(shù)列的前2022項(xiàng)和. 6.（2022·上海普陀·二模）設(shè)是各項(xiàng)為正的等比數(shù)列的前項(xiàng)的和，且，，. (1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式； (2)在數(shù)列的任意與項(xiàng)之間，都插入（）個(gè)相同的數(shù)，組成數(shù)列，記數(shù)列的前項(xiàng)的和為，求的值. 7．（2022·江蘇鹽城·高二期末）已知數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且． (1)求數(shù)列、的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)其中，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求的值． 題型八：先求和，再證不等式 【例1】（2022江西豐城九中高二階段練習(xí)）等差數(shù)列中，前三項(xiàng)分別為，前項(xiàng)和為，且. (1)求和的值； (2)求= (3)證明: 【例2】（2022陜西安康市教學(xué)研究室高一期末）已知數(shù)列滿足，． (1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，證明：． 【例3】（2022·浙江·高二期末）已知數(shù)列滿足，. (1)證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若存在，使，求的取值范圍. 【題型專練】 1．（2022·河南·南陽中學(xué)三模（文））已知數(shù)列{}的前項(xiàng)和為，， (1)求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)，為數(shù)列的前項(xiàng)和.證明： 2.（2022·江西萍鄉(xiāng)·三模（理））已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和滿足：，且成等差數(shù)列. (1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式； (2)令，求證：數(shù)列的前項(xiàng)和. 3.（2022·四川·射洪中學(xué)高二開學(xué)考試）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，其中. (1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式； (2)若數(shù)列滿足，， （i）證明：數(shù)列為等差數(shù)列； （ii）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求成立的的最小值. 4．（2022·安徽·高三開學(xué)考試）已知數(shù)列滿足且，且. (1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式; (2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：. 題型九：先放縮，再求和 【例1】（2022·重慶·高三階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足：，，. (1)設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)，，求證：. 【例2】（2022·黑龍江·哈爾濱市第六中學(xué)校高三階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足， (1)求和 (2)求證：． 【例3】（2022·廣東汕頭·一模）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，. (1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的前n項(xiàng)和為； (2)設(shè)，證明：. 【例4】（2022·遼寧·高二期中）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且滿足，. (1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式； (2)證明：對(duì)一切正整數(shù)，有. 【題型專練】 1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列前n項(xiàng)積為，且． (1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列； (2)設(shè)，求證：． 2．（2022·浙江省義烏中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列單調(diào)遞增且，前項(xiàng)和滿足，數(shù)列滿足，且，. (1)求數(shù)列、的通項(xiàng)公式; (2)若，求證：. 3．（2022·重慶市云陽江口中學(xué)校高三期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足． (1)求及數(shù)列的通項(xiàng)公式； (2)求數(shù)列的前項(xiàng)和； (3)求證：． 4．（2022·云南·昆明市第一中學(xué)西山學(xué)校高三階段練習(xí)（文））已知數(shù)列滿足，且,是的前項(xiàng)和. (1)求； (2)若為數(shù)列的前項(xiàng)和，求證：. 5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，且． (1)求； (2)求證：．

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