學習重難點
教材分析
本節(jié)課是立體幾何的起始課，是立體幾何全部理論的基礎，起到了奠基的作用.它是把三維空間圖形轉化為二維平面圖形的主要媒介，在立體幾何問題平面化的過程中具有重要的橋梁作用.
學情分析
通過基礎模塊下第七章的學習，學生從整體的角度對空間幾何體有了一定程度的認識，初步掌握了柱、錐、球體的結構特征以及它們的表面積和體積，學生已經具備了一定的空間想象能力．
教學工具
教學課件
課時安排
2課時
教學過程
我們知道,構成空間的基本要素是點、線、面,在平面幾何中,我 們學習的重點是點與直線,下面我們先重點學習平面.
4.1.1平面的特征和表示
（一）創(chuàng)設情境，生成問題
情境與問題
茶卡鹽湖被稱為“中國的天空之鎮(zhèn)”,當其湖面平靜之時就像一面鏡子,給人很“平”的印象.面對浩瀚的大海時,我們會感慨大?！耙煌麩o際”.茶卡鹽湖湖面和海面都可以用“平面”來描述.類似地,課桌桌面、書本封面也可以用“平面”來描述.這些平面有什么共同特征呢？
【設計意圖】創(chuàng)設情境，幫助學生直觀感受平面的特征
（二）調動思維，探究新知
這些面都是平的,可以向各個方向無限延展.數(shù)學中的平面具有平和無限延展的特征.
怎樣畫出具有無限延展性的平面呢？
數(shù)學中,因直線具有無限延伸性,所以人們作直線時實際只畫出直線的一部分來表示整條直線.
類似地,我們用平面的一部分來表示平面.通常我們用平行四邊形三角形、圓等平面圖形來表示平面.
觀察右圖粉筆盒的正面、頂面、側面所在平面可以分別畫成下圖所示的三個圖形.
為敘述方便,常常把幾何對象用字母表示.例如,點可以用大寫英文字母A、B、?表示.直線可以用小寫英文字母l、m 、?表示,也可以用直線上兩點的字母AB、CD、?表示.
類似地,可以用小寫希臘字母α、β、?表示平面,如平面α 、平面β;也可以用多邊形的頂點字母表示平面,對于平行四邊形,可選用其中一組對角線的頂點字母表示平面.
平面可表示為平面ABCD或平面AC.
如圖所示,ΔABC所在的平面可表示為面ABC,?ABCD所在的平面可表示為平面ABCD或平面AC.
考慮到直線和平面均可看作由無數(shù)個點組成的點集,當點P在直線l或平面α內時,可分別表示為P∈l, P∈α.當點P不在直線l或不在平面α內時,可分別表為P?l, P?α.
【設計意圖】引導學生領悟平面是無限延伸的，聯(lián)系生活認識問題，說明自然語言、圖形語言三者之間的關系.
（三）鞏固知識，典例練習
【典例1】用符號語言表示以下點與直線,平面的位置關系,并畫出滿足條件的一個圖形.
（1）點A在直線l上,且在平面α內.
（2）點C 不在平面β內,直線m經過點C且與平面β有一個公共點B.
解：（1） A∈l且 A∈α,如圖所示.
畫法：
①畫平行四邊形表示平面α；
②將點A畫在平行四邊形的內部；
③經過點A畫直線l.
（2） C ? β,C∈m,B∈m, B∈ β ,如圖所示.
畫法：
①畫平行四邊形表示平面β ；
②將點C畫在平行四邊形的外部；
③將點B畫在平行四邊形內；
④連接點C與點B并向兩個方向延長,將直線CB標注為直線m,并將直線被平面遮擋部分擦除或畫為虛線.
畫直線與平面相交時,直線被平面遮擋的部分畫出虛線或不畫.
【設計意圖】例1幫助學生了解空間中點與線、和面關系的符號表示，初步體會自然語言、符號語言、圖語言三者之間的聯(lián)系.
（四）鞏固練習，提升素養(yǎng)
【鞏固】表示出正方體（如圖）的6個面．
【說明】如圖所示的正方體一般寫作正方體，也可以簡記作正方體 .

解 這6個面可以分別表示為：平面、平面、平面、平面、平面、平面．
【設計意圖】通過練習及時掌握學生的知識掌握情況，查漏補缺
（五）鞏固練習，提升素養(yǎng)
1. 判斷下列說法是否正確.
（1）平整的課桌面是一個平面的一部分；
（2）不同平面的大小是不同的：
（3）光滑的玻璃球的表面是一個平面；
（4）長方體 ABCD-A1B1C1D1中,四邊形ABB1A1,所在平面可表示為平面AB1；
（5）把一塊長為3m、寬為1.5m 的黑板看作一個平面，這個平面的面積是 4.5 m.
2.已知ABCD-A1B1C1D1,如圖所示.試用符號“∈”或“?”填空.
A 直線 AD, A 直線 A1B1 , A 平面BD, A 平面BC1.
3. 請畫出符合下列條件的一個圖形.
（1） A ? l, A∈α; （2） B ? l, B ? β.
4. 觀察自己身邊有哪些事物可以看作平面的一部分.
【設計意圖】通過練習及時掌握學生的知識掌握情況，查漏補缺
4.1.2 平面的基本性質
（一）創(chuàng)設情境，生成問題
情境與問題
如圖所示,分別嘗試用一個指尖、兩個指尖、三個指尖頂起一塊硬紙板,看看哪種方式能比較穩(wěn)地將硬紙板頂起來？
你有什么發(fā)現(xiàn)？
【設計意圖】紙板實驗操作性強，方便學習公理1
（二）調動思維，探究新知
嘗試后發(fā)現(xiàn),當三個指尖不在同一條直線上時,能將硬紙板平穩(wěn)地頂起來.
這個現(xiàn)象蘊含著平面的如下重要性質.
公理1 經過不在同一條直線上的三點,有且只有一個平面.
這個公理也可以說成“不共線的三點確定一個平面”.
如圖所示,點A、B、C不共線．由公理 1可知,存在唯一的平面α,使得A∈α, B∈α, C∈α.
容易看出,經過一個點、兩個點或共線的三個點有無數(shù)個平面,也可以說成“一個點，兩個點或共線的三個點不能確定一個平面”.
將一根細線拉直,然后把它的兩個端點固定在桌面上,如圖所示,觀察細線上其他的點與桌面的關系.如果抓住細線中的一點并拉離桌面,細線還是直線嗎？
容易看出,當把拉直的細線的兩個端點放在桌面上時,細線上的所有點都在桌面上.
如果將細線抽象為直線,桌面抽象成平面,可以得出平面的如下性質.
公理2 如果一條直線上的兩個點在一個平面內,那么這條直線上的所有點都在這個平面內.有且只有一個平面.
當一條直線上的所有點都在平面內時,稱直線在平面內,或者說平面經過直線.
因為直線和平面都是由點組成的集合,所以直線m在平面α內可表示為m?α .當直線m不在平面α內時,表示為 m?α ,此時直線與平面有一個公共點或沒有公共點.
如圖所示,由A∈α, B∈α,可知AB?α .
溫馨提示
表示直線在平面內時,要把直線畫在表示平面的圖形的內部.
【設計意圖】用圖形再次強調三點不能共線，繩子實驗方便學生學習公理2，學習圖形語言的表達.
由公理1、2得到以下結論.
推論1 經過一條直線和該直線外的一點有且只有一個平面.
如圖所示,A∈l,存在唯一的平面α,使得A∈α,l?α.
推論2 經過兩條相交直線有且只有一個平面.
如圖所示,直線m與直線n相較于點A,存在唯一的平面α,使得m?α,n?α.
推論3 經過兩條平行直線有且只有一個平面.
如圖所示, m∥n,存在唯一的平面α,使得m?α,n?α.
【設計意圖】學生利用公理進行討論并完成對推論的證明，提升邏輯推理核心素養(yǎng)
將一塊薄的硬紙板平放到桌面上,可視作硬紙板和桌面所在的平面重合,如圖所示.抬起硬紙板的一端,讓另一端緊貼桌面,則硬紙板和桌面所在臺面有一條公共直線.繼續(xù)抬起硬紙板,將紙板的一角支在桌面上,則支點就是硬紙板和桌面所在平面的一個公共點.這時,它們所在的平面就只有這一個公共點么？
考慮到平面具有無限延展性,我們把硬紙板向下延展.容易看出,硬紙板所在的平面與桌面所在的平面有一條公共直線由此,得到平面的性質：
公理3 如果兩個平面有一個公共點,那么它們有且只有一條經過該點的公共直線.
此時,稱兩個平面相交,并把公共直線稱為兩個平面的交線.當平面α與平面β相交于直線l 時,記作α?β=l.
如圖所示,A∈α, A∈β,存在唯一的直線l,使得A∈l, α?β=l.
溫馨提示
畫兩個平面相交時,一定要畫出它們的交線,平面被遮擋部分用虛線表示或者不畫.
【設計意圖】折紙實驗方便學生學習公理3
（四）鞏固知識，典例練習
【典例2】試用符號語言表示下列語句,并畫出相應的圖形.
（1）點A、B在直線l上,直線l 在平面α內.
（2）平面α和平面β相交于直線l.
解：（1） A、B ∈l, l ?α,如圖所示.
畫法：
①畫平行四邊形表示平面α；
②在平行四邊形內畫點A、B ；
③連接A、B并延長,在直線AB上標出直線l.
（2） α?β=l,如左圖所示.
畫法：
①畫線段 AB表示交線l,如右圖所示；
②過點A畫與l不同的兩條相交線段CD、EF,再過點B畫 C'D'與E'F' ,使C'D'∥CD、E'F'∥EF , C'D'=CD,E'F'=EF；
③連接 CC' 、DD'、EE'、FF',分別將平面 CD'和平面EF'標注為平面α和平面β,再將被遮擋部分改為虛線或不畫,最后擦去字母A、B、C、D、A'、B'、C'、D'.
【典例3】判斷下列說法是否正確.
（1）經過三個點有且只有一個平面；
（2）如果直線l與平面α有三個公共點,那么l ?α；
（3）用三角板的一個頂點與桌面接觸,只有一個公共點,故兩 個平面可以只有一個公共點.
（1）錯誤.經過不共線的三點有且只有一個平面.當三點共線時,經過這三個點有無數(shù)個平面；
（2）正確.當一條直線有兩個點在平面內時,這條直線就在平面內；
（3）錯誤.當兩個平面有一個公共點時,這兩個平面就有一條經過該點的公共直線,因此它們一定有無數(shù)個公共點.
【典例4】在正方體ABCD-A1B1C1D1[圖(1)]中,找出符合下列條件的平面.
（1）經過點A1、B、D的平面；
（2）經過直線BC和點D1的平面；
（3）經過直線BD和DD1的平面；
（4）經過直線AB和C1D1的平面；
解：（1）經過點A1、B、D的平面是平面A1BD,如圖(2)所示；
（2）經過直線BC和點D1平面是平面BCD1,如圖(3)所示；
（3）經過直線BD和DD1的平面是平面BDD1,如圖(4)所示；
（4）經過直線AB和C1D1的平面是平面ABC1D1,如圖(5)所示.
【設計意圖】例2幫助學生進一步熟練使用自然語言、符號語言、圖形語言表達數(shù)學對象，培養(yǎng)學生的作圖能力
（四）鞏固練習，提升素養(yǎng)
【鞏固】用符號語言表示下列語句，并畫出圖形.
(1)三個平面α、β、γ相交于一點P，且平面α與平面β交于PA，平面α與平面γ交于PB，平面β與平面γ交于PC；
(2)平面ABD與平面BCD交于BD，平面ABC與平面ADC交于AC.
[解析] (1)符號語言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC.
圖形表示：如圖1所示．
(2)符號語言表示：平面ABD∩平面BCD＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC.
圖形表示：如圖2所示．
【設計意圖】通過練習及時掌握學生的知識掌握情況，查漏補缺
（五）鞏固練習，提升素養(yǎng)
1.判斷下列說法是否正確.
（1）經過直線m和點A的平面有且只有一個；
（2）兩條相交直線可以確定一個平面；
（3）同時經過兩條平行直線的平面不止一個；
（4）兩個平面可以只有一條公共線段.
2. 根據(jù)平面的基本性質和推論證明平行四邊形是平面圖形(填空).
已知：四邊形 ABCD 是一個平行四邊形.
求證：AB、BC、CD、DA 四條邊共面.
證明：因為 AB∥CD,所以 AB 和CD 確定平面α,如圖所示.
因為A∈AB,B∈AB,C∈CD,D∈CD,
所以A、B、C、D均在平面α內.
從而,有AD? ,BC? , AB? , CD? .
所以,AB、BC、CD、DA四條邊共面.
3.試用12根長短相等的小木棍(或鐵絲等) 制作正方體模型 ABCD-A1B1C1D1, 并指出由頂點A和棱CC1所確定的平面.
【設計意圖】通過練習及時掌握學生的知識掌握情況，查漏補缺
（六）課堂小結，反思感悟
1.知識總結：
2.自我反思：
（1）通過這節(jié)課，你學到了什么知識？


（2）在解決問題時，用到了哪些數(shù)學思想與方法？


（3）你的學習效果如何？需要注意或提升的地方有哪些？


【設計意圖】培養(yǎng)學生反思學習過程的能力
（七）作業(yè)布置，繼續(xù)探究
(1)讀書部分： 教材章節(jié)4.1；
(2)書面作業(yè)： P86習題4.1的1，2，3，4，5.
（八）教學反思

知識
能力與素養(yǎng)
（1）了解平面的概念、平面的基本性質；
（2）掌握平面的表示法與畫法．
（1）畫出平面及兩個相交平面的直觀圖；
（2）利用平面的性質和三個結論，解釋生活空間的一些實例；
（3）培養(yǎng)學生的空間想象能力和數(shù)學思維能力．
重點
難點
平面的表示法與畫法．
對平面的概念及平面的基本性質的理解．

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版本： 高教版（2021）

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