我們知道,構(gòu)成空間的基本要素是點(diǎn)、線、面,在平面幾何中,我們學(xué)習(xí)的重點(diǎn)是點(diǎn)與直線,下面我們先重點(diǎn)學(xué)習(xí)平面.
4.1.1 平面的特征和表示
? 茶卡鹽湖被稱為“中國的天空之鎮(zhèn)”,當(dāng)其湖面平靜之時(shí)就像一面鏡子,給人很“平”的印象.面對(duì)浩瀚的大海時(shí),我們會(huì)感慨大?！耙煌麩o際”.茶卡鹽湖湖面和海面都可以用“平面”來描述.類似地,課桌桌面、書本封面也可以用“平面”來描述.這些平面有什么共同特征呢？
這些面都是平的,可以向各個(gè)方向無限延展.數(shù)學(xué)中的平面具有平和無限延展的特征.
數(shù)學(xué)中,因直線具有無限延伸性,所以人們作直線時(shí)實(shí)際只畫出直線的一部分來表示整條直線. 類似地,我們用平面的一部分來表示平面.通常我們用平行四邊形三角形、圓等平面圖形來表示平面.
怎樣畫出具有無限延展性的平面呢？
觀察左圖粉筆盒的正面、頂面、側(cè)面所在平面可以分別畫成下圖所示的三個(gè)圖形.
為敘述方便,常常把幾何對(duì)象用字母表示.例如,點(diǎn)可以用大寫英文字母A、B、?表示.直線可以用小寫英文字母l、m 、?表示,也可以用直線上兩點(diǎn)的字母AB、CD、?表示.
類似地,可以用小寫希臘字母α、β、?表示平面,如平面α 、平面β;也可以用多邊形的頂點(diǎn)字母表示平面,對(duì)于平行四邊形,可選用其中一組對(duì)角線的頂點(diǎn)字母表示平面.平面可表示為平面?ABCD?或平面AC.?
如圖所示,ΔABC?所在的平面可表示為面?ABC,??ABCD?所在的平面可表示為平 面?ABCD?或平面AC.?
考慮到直線和平面均可看作由無數(shù)個(gè)點(diǎn)組成的點(diǎn)集,當(dāng)點(diǎn)P在直線l或平面α內(nèi)時(shí),可分別表示為P∈l, P∈α.當(dāng)點(diǎn)P不在直線l或不在平面α內(nèi)時(shí),可分別表為P?l, P?α.
典例1 用符號(hào)語言表示以下點(diǎn)與直線,平面的位置關(guān)系,并畫出滿足條件的一個(gè)圖形.（1）點(diǎn)A在直線l上,且在平面α內(nèi).（2）點(diǎn)C 不在平面β內(nèi),直線m經(jīng)過點(diǎn)C且與平面β有一個(gè)公共點(diǎn)B.
解:（1） A∈l且 A∈α,如圖所示.畫法：①畫平行四邊形表示平面α；②將點(diǎn)A畫在平行四邊形的內(nèi)部；③經(jīng)過點(diǎn)A畫直線l.
典例1 用符號(hào)語言表示以下點(diǎn)與直線,平面的位置關(guān)系,并畫出滿足條件的一個(gè)圖形.（2）點(diǎn)C 不在平面β內(nèi),直線m經(jīng)過點(diǎn)C且與平面β有一個(gè)公共點(diǎn)B.
解: （ 2） C ? β,C∈m,B∈m, B∈ β ,如圖所示.畫法：①畫平行四邊形表示平面β ；②將點(diǎn)C畫在平行四邊形的外部；③將點(diǎn)B畫在平行四邊形內(nèi)；④連接點(diǎn)C與點(diǎn)B并向兩個(gè)方向延長,將直線CB標(biāo)注為直線m,并將直線被平面遮擋部分擦除或畫為虛線.
畫直線與平面相交時(shí),直線被平面遮擋的部分畫出虛線或不畫.
【鞏固】表示出正方體 （如圖）的6個(gè)面．
1.?判斷下列說法是否正確.?（1）平整的課桌面是一個(gè)平面的一部分； （2）不同平面的大小是不同的：? （3）光滑的玻璃球的表面是一個(gè)平面；? （4）長方體?ABCD-A1B1C1D1中,四邊形ABB1A1,所在平面可表示為平面AB1；? （5）把一塊長為3m、寬為1.5m?的黑板看作一個(gè)平面，這個(gè)平面的面積是?4.5?m.
2.已知ABCD-A1B1C1D1,如圖所示.試用符號(hào)“∈”或“?”填空.? A 直線?AD, A 直線?A1B1 , A 平面BD, A 平面BC1.
3.?請(qǐng)畫出符合下列條件的一個(gè)圖形.? （1）?A ? l, ?A∈α; （2）?B ? l, B ? β. ?4.?觀察自己身邊有哪些事物可以看作平面的一部分.
4.1.2平面的基本性質(zhì)
如圖所示,分別嘗試用一個(gè)指尖、兩個(gè)指尖、三個(gè)指尖頂起一塊硬紙板,看看哪種方式能比較穩(wěn)地將硬紙板頂起來？
你有什么發(fā)現(xiàn)？
嘗試后發(fā)現(xiàn),當(dāng)三個(gè)指尖不在同一條直線上時(shí),能將硬紙板平穩(wěn)地頂起來.
這個(gè)現(xiàn)象蘊(yùn)含著平面的如下重要性質(zhì).?
公理1 經(jīng)過不在同一條直線上的三點(diǎn),有且只有一個(gè)平面.?
這個(gè)公理也可以說成“不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面”.?
如圖所示,點(diǎn)A、B、C不共線．由公理?1可知,存在唯一的平面α,使得A∈α, B∈α, C∈α.
容易看出,經(jīng)過一個(gè)點(diǎn)、兩個(gè)點(diǎn)或共線的三個(gè)點(diǎn)有無數(shù)個(gè)平面,也可以說成“一個(gè)點(diǎn)，兩個(gè)點(diǎn)或共線的三個(gè)點(diǎn)不能確定一個(gè)平面”.
將一根細(xì)線拉直,然后把它的兩個(gè)端點(diǎn)固定在桌面上,如圖所示,觀察細(xì)線上其他的點(diǎn)與桌面的關(guān)系.如果抓住細(xì)線中的一點(diǎn)并拉離桌面,細(xì)線還是直線嗎？
容易看出,當(dāng)把拉直的細(xì)線的兩個(gè)端點(diǎn)放在桌面上時(shí),細(xì)線上的所有點(diǎn)都在桌面上.
如果將細(xì)線抽象為直線,桌面抽象成平面,可以得出平面的如下性質(zhì).?
公理2 如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線上的所有點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi).有且只有一個(gè)平面.?
當(dāng)一條直線上的所有點(diǎn)都在平面內(nèi)時(shí),稱直線在平面內(nèi),或者說平面經(jīng)過直線.
如圖所示,由A∈α, B∈α,可知AB?α .
因?yàn)橹本€和平面都是由點(diǎn)組成的集合,所以直線m在平面α內(nèi)可表示為m?α .當(dāng)直線m不在平面α內(nèi)時(shí),表示為?m?α ,此時(shí)直線與平面有一個(gè)公共點(diǎn)或沒有公共點(diǎn).
表示直線在平面內(nèi)時(shí),要把直線畫在表示平面的圖形的內(nèi)部.
由公理1、2得到以下結(jié)論.?
推論1 經(jīng)過一條直線和該直線外的一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面.?
如圖所示,A∈l,存在唯一的平面α,使得A∈α,l?α.
推論2 經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個(gè)平面.?
如圖所示,直線m與直線n相較于點(diǎn)A,存在唯一的平面α,使得m?α,n?α.
推論3 經(jīng)過兩條平行直線有且只有一個(gè)平面.?
如圖所示, m∥n,存在唯一的平面α,使得m?α,n?α.
將一塊薄的硬紙板平放到桌面上,可視作硬紙板和桌面所在的平面重合,如圖所示.抬起硬紙板的一端,讓另一端緊貼桌面,則硬紙板和桌面所在臺(tái)面有一條公共直線.繼續(xù)抬起硬紙板,將紙板的一角支在桌面上,則支點(diǎn)就是硬紙板和桌面所在平面的一個(gè)公共點(diǎn).這時(shí),它們所在的平面就只有這一個(gè)公共點(diǎn)么？
畫兩個(gè)平面相交時(shí),一定要畫出它們的交線,平面被遮擋部分用虛線表示或者不畫.
典例2試用符號(hào)語言表示下列語句,并畫出相應(yīng)的圖形. （1）點(diǎn)A、B在直線l上,直線l 在平面α內(nèi).
（1） A、B ∈l, l ?α,如圖所示.畫法：①畫平行四邊形表示平面α；②在平行四邊形內(nèi)畫點(diǎn)A、B ；③連接A、B并延長,在直線AB上標(biāo)出直線l.
典例2試用符號(hào)語言表示下列語句,并畫出相應(yīng)的圖形. （2）平面α和平面β相交于直線l.
（2） α?β=l,如左圖所示.畫法：①畫線段 AB表示交線l,如右圖所示；②過點(diǎn)A畫與l不同的兩條相交線段CD、EF,再過點(diǎn)B畫?C'D'與E'F' ,使C'D'∥CD、E'F'∥EF , C'D'=CD,E'F'=EF；③連接?CC'?、DD'、EE'、FF',分別將平面?CD'和平面EF'標(biāo)注為平面α和平面β,再將被遮擋部分改為虛線或不畫,最后擦去字母A、B、C、D、A'、B'、C'、D'.
典例3判斷下列說法是否正確.? （1）經(jīng)過三個(gè)點(diǎn)有且只有一個(gè)平面； （2）如果直線l與平面α有三個(gè)公共點(diǎn),那么l ?α； （3）用三角板的一個(gè)頂點(diǎn)與桌面接觸,只有一個(gè)公共點(diǎn),故兩個(gè)平面可以只有一個(gè)公共點(diǎn).
（1）錯(cuò)誤.經(jīng)過不共線的三點(diǎn)有且只有一個(gè)平面.當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí),經(jīng)過這三個(gè)點(diǎn)有無數(shù)個(gè)平面；?
（2）正確.當(dāng)一條直線有兩個(gè)點(diǎn)在平面內(nèi)時(shí),這條直線就在平面內(nèi)；?
（3）錯(cuò)誤.當(dāng)兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),這兩個(gè)平面就有一條經(jīng)過該點(diǎn)的公共直線,因此它們一定有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn).
典例4在正方體ABCD-A1B1C1D1[圖(1)]中,找出符合下列條件的平面.? （1）經(jīng)過點(diǎn)A1、B、D的平面；
（1）經(jīng)過點(diǎn)A1、B、D的平面是平面A1BD,如圖(2)所示；
典例4在正方體ABCD-A1B1C1D1[圖(1)]中,找出符合下列條件的平面.? （2）經(jīng)過直線BC和點(diǎn)D1的平面；
（2）經(jīng)過直線BC和點(diǎn)D1平面是平面BCD1,如圖(3)所示；
典例4在正方體ABCD-A1B1C1D1[圖(1)]中,找出符合下列條件的平面.? （3）經(jīng)過直線BD和DD1的平面；
（3）經(jīng)過直線BD和DD1的平面是平面BDD1,如圖(4)所示；
典例4在正方體ABCD-A1B1C1D1[圖(1)]中,找出符合下列條件的平面.? （4）經(jīng)過直線AB和C1D1的平面；
（4）經(jīng)過直線AB和C1D1的平面是平面ABC1D1,如圖(5)所示.
【鞏固】用符號(hào)語言表示下列語句，并畫出圖形.(1)三個(gè)平面α、β、γ相交于一點(diǎn)P，且平面α與平面β交于PA，平面α與平面γ交于PB，平面β與平面γ交于PC；(2)平面ABD與平面BCD交于BD，平面ABC與平面ADC交于AC.
[解析]　(1)符號(hào)語言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC.圖形表示：如圖1所示．(2)符號(hào)語言表示：平面ABD∩平面BCD＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC.圖形表示：如圖2所示．
1.判斷下列說法是否正確.?（1）經(jīng)過直線m和點(diǎn)A的平面有且只有一個(gè)；（2）兩條相交直線可以確定一個(gè)平面；?（3）同時(shí)經(jīng)過兩條平行直線的平面不止一個(gè)；?（4）兩個(gè)平面可以只有一條公共線段.?
?2.?根據(jù)平面的基本性質(zhì)和推論證明平行四邊形是平面圖形(填空).?已知：四邊形?ABCD?是一個(gè)平行四邊形.求證：AB、BC、CD、DA?四條邊共面.?證明：因?yàn)?AB∥CD,所以?AB?和CD?確定平面α,如圖所示.?因?yàn)锳∈AB,B∈AB,C∈CD,D∈CD,所以A、B、C、D均在平面α內(nèi).從而,有AD? ,BC? , AB? , CD? .所以,AB、BC、CD、DA四條邊共面.
3.試用12根長短相等的小木棍(或鐵絲等) 制作正方體模型?ABCD-A1B1C1D1,?并指出由頂點(diǎn)A和棱CC1所確定的平面.
(1) 讀書部分： 教材章節(jié)4.1； (2) 書面作業(yè)： P107習(xí)題4.1的1，2，3，4，5.
數(shù)學(xué)是一種別具匠心的藝術(shù)

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4.1 平面

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