學(xué)習(xí)重難點(diǎn)
教材分析
本節(jié)課主要學(xué)習(xí)直線和平面垂直的定義，判定定理以及初步應(yīng)用，本節(jié)內(nèi)容是本章中研究直線、平面平行和垂直關(guān)系中重要的一節(jié).
學(xué)情分析
學(xué)生在初中對平面幾何平行線及前階段空間平行公理的學(xué)習(xí)和研究，已經(jīng)具備了較為初步的空間認(rèn)知和一定的操作實(shí)驗(yàn)?zāi)芰Γ莆樟搜芯款愃茊栴}的一些基本方法，但是學(xué)生的抽象概括能力，空間想象力還有待提高，線面垂直的定義比較抽象，要讓學(xué)生體會“與平面內(nèi)任何一條直線”有一定困難，所以，適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)，相應(yīng)的練習(xí)有助于認(rèn)識問題的本質(zhì)．
教學(xué)工具
教學(xué)課件
課時安排
2課時
教學(xué)過程
4.3.2 直線與平面垂直
（一）創(chuàng)設(shè)情境，生成問題
某型號無人機(jī)如圖所示,其每根螺旋槳(如BC)與旋轉(zhuǎn)軸AB均垂直,垂足是B.設(shè)螺旋槳旋轉(zhuǎn)時構(gòu)成的平面為α,顯然,無人機(jī)的每根螺旋槳都在平面α內(nèi).試問,平面α與旋軸AB之間有怎樣的位置關(guān)系？
【設(shè)計意圖】從線面垂直的形成過程引入
（二）調(diào)動思維，探究新知
容易看出,平面α內(nèi)經(jīng)過點(diǎn)B的螺旋槳所在直線都與旋轉(zhuǎn)軸 AB 垂直.對于平面α內(nèi)不過點(diǎn)B的任意一條直線,它一定與平面α內(nèi)過點(diǎn)B的某條直線平行.由異面直線所成角的定義可知,這條直線也與旋轉(zhuǎn)軸AB 垂直.因此,平面α內(nèi)的每一條直線都與AB 垂直.
據(jù)此,有如下定義：
如果一條直線和一個平面內(nèi)的任何一條直線都垂直，那么稱這條直線和這個平面互相垂直.這條直線稱為這個平面的垂線,這個平面稱為這條直線的垂面,直線與平面的交點(diǎn)稱為垂足.直線l與平面α垂直記作l ⊥α.
如圖所示,若l⊥α,m?α,根據(jù)直線與平面垂直的定義可知l⊥m.這是利用“直線與平面垂直”推出“直線與直線垂直”的主要方法.
畫豎直的直線與水 平平面垂直時,應(yīng) 將直線畫成與表示平面的平行四邊形的橫邊垂直．
在日常生活和生產(chǎn)中,常常需要判斷直線與平面的垂直關(guān)系.例如,國旗的旗桿與地面垂直、建筑的立柱與地面垂直等.但是,判斷直線與平面內(nèi)每一條直線都垂直是很難做到的.
經(jīng)過觀察研究,人們發(fā)現(xiàn)以下判定直線與平面垂直的方法：
直線與平面垂直的判定定理 如果一條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,那么這條直線與這個平面垂直.
如圖所示,若m、n是平面α內(nèi)的兩條相交直線,且直線l⊥m, l⊥n,則l⊥α.
【設(shè)計意圖】通過線線垂直來說明線面垂直.
（三）鞏固知識，典例練習(xí)
【典例1】四個面都是正三角形的四面體稱為正四面體.已知正四面體ABCD,如圖所示.求證：BD⊥AC.
證明：設(shè)BD的中點(diǎn)為O,連接 AO 、CO.
因?yàn)檎拿骟w ABCD 的四個面都是正三角形，所以AO⊥BD,CO ⊥BD.
又AO∩CO=O,且AO、CO ?平面AOC,故BD⊥平面AOC.
根據(jù)直線與平面垂直的定義,由AC ?平面AOC,可知BD⊥AC.
【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生在空間怎樣通過做輔助線來建立輔助面.
【典例2】證明: 如果兩條平行線中有一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面.
已知: m∥n,m⊥α,如圖所示.
求證: n⊥α.
證明:在平面α內(nèi)任取兩條相交直線c和d ,因?yàn)?m⊥α,c?α,
d ? α,所以m⊥c,m⊥d. 又m∥n,故n⊥c,n⊥d, 根據(jù)直線與平面垂直的判定定理,由c與d相交,n⊥α.
【設(shè)計意圖】鞏固線面垂直定理的同時，介紹了線面垂直的另一種判定方法，可以看作是直線與平面垂直的另一個判定定理.
溫馨提示
例2是直線與平面垂直的另一個判定定理.
可以證明,例5中所述命題的逆命題也成立.如圖所示若m⊥α, n⊥α,則m∥n.
直線與平面垂直的性質(zhì)定理 如果兩條直線都垂直于同一個平面,那么這兩條直線平行.
根據(jù)該定理可以證明：
在空間中經(jīng)過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直.
【設(shè)計意圖】解決設(shè)定問題引出性質(zhì)定理
【典例3】如圖所示,已知一條直線l和平面α平行,過直線l上任意兩點(diǎn)A、B分別引平面α的垂線 AA' 、BB',垂足分別為A' 、B'. 求證: AA'=BB'.
證明：因?yàn)?AA'⊥α, BB'⊥α,所以AA'∥ BB'.
設(shè)經(jīng)過直線AA'、BB'的平面為β,則β∩α=A'B'.
由l∥α ,可知l∥A'B' ,因此四邊形AA'B'B
為平行四邊形,所以AA'=BB'.
【設(shè)計意圖】為學(xué)有余力學(xué)生思考“線面平行距離”打下基礎(chǔ)
（四）鞏固練習(xí)，提升素養(yǎng)
長方體ABCD-A1B1C1D1中（如圖），直線AA1與平面ABCD垂直嗎？為什么？
解 因?yàn)殚L方體ABCD-A1B1C1D1中，側(cè)面ABB1A1、AA1D1D都是長方形，所以AA1⊥AB，AA1⊥AD．且AB和AD是平面ABCD內(nèi)的兩條相交直線．由直線與平面垂直的判定定理知，直線AA1⊥平面ABCD．
【設(shè)計意圖】通過練習(xí)及時掌握學(xué)生的知識掌握情況，查漏補(bǔ)缺
（五）鞏固練習(xí)，提升素養(yǎng)
1. 判斷下列命題的真假.
（1）如果直線m垂直于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線，那么m⊥α;
（2）如果l⊥m,且m?α, n?α,那么l⊥α;
（3）如果l⊥α, m⊥α,那么l⊥m.
2. 已知如圖,PO⊥α,垂直為O, PA∩α=A,m?α,且m⊥OA.求證: m⊥PA.
3. 如果l⊥α,m//α,求證: l⊥m.
4. 己知線段AB、CD 位于平面α的同側(cè), AB⊥α, DC⊥α, 垂足分別為B、C,AB=DC.求證: AD=BC.
5. 某中職學(xué)校建設(shè)新校區(qū)時,修建了升旗臺,用于開展愛國主義教育活動.技術(shù)人員在安裝旗桿時,要保證旗桿與地面垂直.請你幫忙設(shè)計一個方案以確保旗桿與地 面垂直.
【設(shè)計意圖】通過練習(xí)及時掌握學(xué)生的知識掌握情況，查漏補(bǔ)缺
（六）課堂小結(jié)，反思感悟
1.知識總結(jié)：
2.自我反思：
（1）通過這節(jié)課，你學(xué)到了什么知識？


（2）在解決問題時，用到了哪些數(shù)學(xué)思想與方法？


（3）你的學(xué)習(xí)效果如何？需要注意或提升的地方有哪些？


【設(shè)計意圖】培養(yǎng)學(xué)生反思學(xué)習(xí)過程的能力
（七）作業(yè)布置，繼續(xù)探究
(1)讀書部分： 教材章節(jié)4.3.2；
(2)書面作業(yè)： P131習(xí)題4.3的1,5,6.
（八）教學(xué)反思

知識
能力與素養(yǎng)
（1）知道直線與平面垂直的定義、判定與性質(zhì)定理；
（2）能根據(jù)定義或判定定理來證明直線與平面垂直，能根據(jù)性質(zhì)定理來證明直線與直線平行．
（1）畫出線面垂直關(guān)系的直觀圖；
（2）利用線面垂直的判定與性質(zhì)，解釋生活空間的一些實(shí)例；
（3）培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力和數(shù)學(xué)思維能力．
重點(diǎn)
難點(diǎn)
直線與平面垂直的判定與性質(zhì)．
直線與平面垂直的判定與性質(zhì)．

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中職數(shù)學(xué)高教版（2021）拓展模塊一 上冊電子課本

4.3.2 直線與平面垂直

版本： 高教版（2021）

年級： 拓展模塊一 上冊

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