如圖所示,在長方體教室中,觀察并思考：直線a、b、c、d有怎樣的位置關系？
一般地,把不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線稱為異面直線；相交或平行的兩條直線稱為共面直線.
觀察發(fā)現(xiàn),直線b、c、d在同一平面內(nèi),其中直線b、c平行，直線d與直線b、c分別相交；直線a與直線d既不平行也不相交,它們不同在任何一個平面內(nèi).
4.2.1 共面直線
圖中所示長方體教室中,直線a與直線b是共面于黑板所在平面內(nèi)的平行直線,直線b與直線c是共面于地板所在平面內(nèi)的平行直線，那么直線a與直線c是否平行呢？
事實上,空間中平行于同一條直線的所有直線都互相平行,這稱為平行線的傳遞性.
我們知道,在同一平面內(nèi)平行于同一條直線的兩條直線互相平行.可以證明,在空間中這個結論仍然成立.如前面圖所示,當a∥b,b∥c時,有a∥c.
典例1 如圖所示,點E、F分別是矩形?ABCD?的邊BC、AD?的中點,點C、H分別是MB、MA?的中點，M?平面BD. 求證：GH?//?EF.?
證明：因為點E、F分別是矩形?ABCD?的邊BC、AD的中點，所以?AF//?BE,?且AF=BE.故四邊形?ABEF?是平行四邊形,EF?//?BA.? 又因為點G、H分別是ΔABM的邊MB、MA的中點,所以GH//?BA. 根據(jù)平行線的傳遞性可知,?GH//?EF.
圖中所示長方體教室中,直線d與直線b相交于一點, 且互相垂直.空間中其他相交直線有怎樣的位置關系呢？
我們知道,同一平面內(nèi)有且只有一個公共點的兩條直線成為相交直線,當l與m相交于點A時,可簡記作l∩m=A.
典例2 已知正方體ABCD-A1B1C1D1,如圖. （1）分別求AB與D1C1、BD所成的角的大小;
典例2 已知正方體ABCD-A1B1C1D1,如圖. （2）直線AB與BD所成的角和直線A1B1與D1B1所成的角是否相等？
? 一般地,如果兩條相交直線l1與l2分別平行于另外兩條相交直線l1'與 l2',那么l1與l2 所成的角和l1'與 l2'所成的角相等.
這個?結論稱為等角定理,常用來判定空間中的兩個角相等.
畫直線與平面相交時,直線被平面遮擋的部分畫出虛線或不畫.
1.?觀察自己的教室，找出其中的平行直線、相交直線、共面直線.?
2.?如圖所示,己知長方體? ABCD-A1B1C1D1,判斷下列說法是否正確. (1)直線A1B1與DD1相交； (2)直線AD與CC1平行； (3)直線AB與D1B1相交； (4)直線BD與B1D1平行.
3.?頂點不共面的四邊形稱為空間四邊形.如圖所示,點E、F、G、H分別是空間四邊形?ABCD中?AB、BC、CD、DA?的中點.求證：四邊形?EFGH?是平行四邊形.
4.?設E是長方體?ABCD-A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1內(nèi)一點.如圖所示,試過點E作直線l、m, 使得l∥BC,m ∥AC.
4.2.2 異面直線
圖中所示長方體教室中,可以直觀地看出直線a與直線d不同在任何一平面內(nèi),是異面直線,能否有更準確的方法判斷兩條直線是異面直線呢？
觀察異面直線a與d,直線a在黑板所在平面α內(nèi),直線d經(jīng)過平面α外一點D和平面α內(nèi)一點B,但直線a?不經(jīng)過點?B.
? 異面直線判斷定理 過平面外一點和平面內(nèi)一點的直線，與平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直線.
已知：如圖, M∈n且M?α,P∈n且P∈α,m?α,P?m. 求證：m和n是異面直線.
證明?假設n和m共面,記它們所在的平面為β,則由M∈n可知M∈β.但是M?α,因此α和β是兩個不同的平面.? 由P∈n可知P∈β,又P?m,因此, β是經(jīng)過直線m?及其外一點P的平面,而這就是平面α,與α和β是兩個不同的平面相矛盾.?所以, m和n是異面直線.
? 在畫異面直線時,除圖(1)畫法外,我們還常把表示兩條異面直線的線段分別畫在不同的平面內(nèi),并且使它們既不相交也不平行,如圖(2)和(3)中的異面直線m與n.
表示直線在平面內(nèi)時,要把直線畫在表示平面的圖形的內(nèi)部.
因為?AB?平面ABC,C∈平面ABC, C?AB, D ?平面ABC,所以DC與AB是異面直線.
典例3 寫出三棱錐D-ABC中與直線AB異面的直線.
對于平面內(nèi)的兩條相交直線,可用夾角大小定量描述它們之間的位置關系；對于平面的兩條平行直線,可用距離定量描述它們之問的位置關系,如圖所示.對于兩條異面直線,如何定量描述它們之間的位置關系呢？
己知兩條異面直線a與b,如圖(1)所示.在空間上任取一點P,過點P作a'∥a, b'∥b,得到兩條相交直線a'和b',如圖 (2)所示.
? 我們把相交直線a'與b'所成的角θ稱為異面直線a與b所成的角.
在作異面直線a與b所成的角時,常在其中的一條直線上取一點O,過點O作另一條直線的平行線,如圖所示.
典例4 在正方體ABCD-A1B1C1D1中,求下列異面直線所成角的大小. (1)AB與DD1 ； (2)A1C1與BC.
觀察右圖可以發(fā)現(xiàn),正方體中與異面直線?AB、DD1都垂直的棱有AD、A1D1、B1C1、BC,其中只有AD與異面直線?AB?和DD1同時垂直且相交.
? 像這樣,與兩條異面直線同時垂直且相交的直線稱為這兩條異面直線的公垂線.
兩條異面直線的公垂線有且只有一條.?
? 兩條異面直線的公垂線夾在兩條異面直線之間的部分,稱為這兩條異面直線的公垂線段,公垂線段的長度稱為兩條異面直線的距離.
因為兩條直線垂直可以是相交垂直,也可以是異面垂直,所以經(jīng)過一點P與己知直線 l 垂直的直線有無數(shù)條.
典例5 在長方體ABCD-A1B1C1D1 中,C1C=1,求異面直線A1B1與BC之間的距離.
解:因為長方體ABCD-A1B1C1D1的六個面都是矩形,所以 B1B⊥A1B1 , B1B⊥BC. 又 B1B∩A1B1=B1, B1B ∩ BC=B，所以線段B1B是異面直線A1B1與BC的公垂線段. 因為B1B=C1C=1,所以A1B1與BC之間的距離等于1.
綜上,我們從兩條異面直線所成的角和兩條異面直線的距離兩個方面定量描述了兩條異面直線的位置關系.
1.關于兩條直線的位置關系,以下描述正確的是( )A.?沒有交點的兩條直線平行?B.?不平行的兩條直線相交?C.不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線是異面直線?D.兩平行直線a、b分別在平面α、β內(nèi),則a、b是異面直線
2.兩條異面直線的公垂線指的是( )A.與兩條異面直線都垂直的直線B.?與兩條異面直線都垂直的相交直線C. 與兩條異面直線都垂直相交且夾在兩交點之間的線段?D.與兩條異面直線都相交的所有直線
3.在圖中,分別給出異面直線m與n所成的角的一種畫法.
4.在長方體ABCD-A1B1C1D1 各棱所在的直線中,分別指出與直線AA1平行、相交、異面的直線.
5.在正方體ABCD-A1B1C1D1 中,直線BC與CD1所成的角的大小是 ；直線A1D1與BD所成的角的大小是 ；直線AD1與BC所成的角的大小是 .
(1) 讀書部分： 教材章節(jié)4.2； (2) 書面作業(yè)： P119習題4.2的1，2，3，4，5，6.
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4.2 直線與直線的位置關系

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