學(xué)習(xí)重難點
教材分析
本節(jié)課主要學(xué)習(xí)異面直線的定義、畫法、成角定義、平行公理、等角定理，本課既是公理化思想的延伸，又是后面學(xué)習(xí)空間線面平行、垂直，面面平行、垂直的基礎(chǔ)，對學(xué)生后續(xù)的學(xué)習(xí)具有深遠的影響.
學(xué)情分析
學(xué)生對新鮮事物充滿好奇，對立體幾何有較淺的了解，但空間想象能力差，且對概念方法容易遺忘．
教學(xué)工具
教學(xué)課件
課時安排
3課時
教學(xué)過程

如圖所示,在長方體教室中,觀察并思考：直線a、b、c、d有怎樣的位置關(guān)系？
觀察發(fā)現(xiàn),直線b、c、d在同一平面內(nèi),其中直線b、c平行，直線d與直線b、c分別相交；直線a與直線d既不平行也不相交,它們不同在任何一個平面內(nèi).
一般地,把不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線稱為異面直線；相交或平行的兩條直線稱為共面直線.
4.2.1共面直線
（一）創(chuàng)設(shè)情境，生成問題
情境與問題
1.平行直線
圖中所示長方體教室中,直線a與直線b是共面于黑板所在平面內(nèi)的平行直線,直線b與直線c是共面于地板所在平面內(nèi)的平行直線，那么直線a與直線c是否平行呢？
【設(shè)計意圖】引出異面直線概念
（二）調(diào)動思維，探究新知
我們知道,在同一平面內(nèi)平行于同一條直線的兩條直線互相平行.可以證明,在空間中這個結(jié)論仍然成立.如前面圖所示,當(dāng)a∥b,b∥c時,有a∥c.
事實上,空間中平行于同一條直線的所有直線都互相平行,這稱為平行線的傳遞性.
【設(shè)計意圖】平面平行實現(xiàn)空間轉(zhuǎn)變.
（三）鞏固知識，典例練習(xí)
【典例1】如圖所示,點E、F分別是矩形 ABCD 的邊BC、AD 的中點,點C、H分別是MB、MA 的中點，M?平面BD. 求證：GH // EF.
證明：因為點E、F分別是矩形 ABCD 的邊BC、AD的中點，所以 AF// BE, 且AF=BE.故四邊形 ABEF 是平行四邊形,EF // BA.
又因為點G、H分別是ΔABM的邊MB、MA的中點,所以GH// BA.
根據(jù)平行線的傳遞性可知, GH// EF.
【設(shè)計意圖】運用平行線在空間的傳遞性證明直線平行的問題.
2.相交直線
我們知道,同一平面內(nèi)有且只有一個公共點的兩條直線成為相交直線,當(dāng)l與m相交于點A時,可簡記作l∩m=A.
兩條相交直線所形成的最小正角稱為這兩條相交直線所成的角,如圖所示.顯然, ，并且角θ及其對頂角均為這兩條相交直線所成的角.
規(guī)定：兩條平行直線縮成的角為0.因此,兩條共面直線所成角的范圍是 .

【設(shè)計意圖】用集合語言描述相交直線，注意正確的寫法和理解
【典例2】已知正方體ABCD-A1B1C1D1,如圖.
（1）分別求AB與D1C1、BD所成的角的大小;
（2）直線AB與BD所成的角和直線A1B1與D1B1所成的角是否相等？
解：（1）因為AB // D1C1,所以AB與D1C1所成的角為0.
又正方體的各面都是正方形, BD為正方形ABCD的對角線,所以， 即AB與DB所成的角的大小是.
（2）顯然,直線AB 與BD所成的角為∠ABD,直線A1B1與D1B1所成的角∠A1B1D1.
因為,,，即直線AB與DB所成的角和直線A1B1與D1B1所成的角相等.
【設(shè)計意圖】鞏固直線所成角的定義，引出“等角定理”
一般地,如果兩條相交直線l1與l2分別平行于另外兩條相交直線l1'與 l2',那么l1與l2 所成的角和l1'與 l2'所成的角相等.
這個結(jié)論稱為等角定理,常用來判定空間中的兩個角相等.
（四）鞏固練習(xí)，提升素養(yǎng)
1. 觀察自己的教室，找出其中的平行直線、相交直線、共面直線.
2. 如圖所示,己知長方體ABCD-A1B1C1D1,判斷下列說法是否正確.
(1)直線A1B1與DD1相交；
(2)直線AD與CC1平行；
(3)直線AB與D1B1相交；
(4)直線BD與B1D1平行.
3. 頂點不共面的四邊形稱為空間四邊形.如圖所示,點E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD中AB、BC、CD、DA 的中點.求證：四邊形 EFGH 是平行四邊形.
4. 設(shè)E是長方體 ABCD-A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1內(nèi)一點.如圖所示,試過點E作直線l、m, 使得l∥BC,m ∥AC.
5. 如圖所示,在長方體 ABCD-A1B1C1D1中,
求：（1）直線與直線所成的角的大小；
（2）直線與直線之間的距離.
【設(shè)計意圖】通過練習(xí)及時掌握學(xué)生的知識掌握情況，查漏補缺
4.2.2 異面直線
（一）創(chuàng)設(shè)情境，生成問題
情境與問題
圖中所示長方體教室中,可以直觀地看出直線a與直線d不同在任何一平面內(nèi),是異面直線,能否有更準確的方法判斷兩條直線是異面直線呢？
【設(shè)計意圖】創(chuàng)設(shè)情境，借助熟悉的盒子體會異面直線的特征
（二）調(diào)動思維，探究新知
觀察異面直線a與d,直線a在黑板所在平面α內(nèi),直線d經(jīng)過平面α外一點D和平面α內(nèi)一點B,但直線a 不經(jīng)過點B.
于是可以得到：
異面直線判斷定理 過平面外一點和平面內(nèi)一點的直線，與平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直線.
已知：如圖, M∈n且M?α,P∈n且P∈α,m?α,P?m.
求證：m和n是異面直線.
證明: 假設(shè)n和m共面,記它們所在的平面為β,則由M∈n可知M∈β.但是M?α,因此α和β是兩個不同的平面. 由P∈n可知P∈β,又P?m,因此, β是經(jīng)過直線m 及其外一點P的平面,而這就是平面α,與α和β是兩個不同的平面相矛盾. 所以, m和n是異面直線.
異面直線判定定理的證明使用的是反證法,它屬于“間接證法”的一類,是通過否定結(jié)論,經(jīng)過推理導(dǎo)出矛盾、從而證明原命題為真的一種方法.
在畫異面直線時,除圖(1)畫法外,我們還常把表示兩條異面直線的線段分別畫在不同的平面內(nèi),并且使它們既不相交也不平行,如圖(2)和(3)中的異面直線m與n.
【設(shè)計意圖】使用反證法鍛煉學(xué)生邏輯思維，提升邏輯推理核心素養(yǎng)，強調(diào)異面直線規(guī)范畫法注意線面直接襯托體現(xiàn).
（三）鞏固知識，典例練習(xí)
【典例3】寫出三棱錐D-ABC中與直線AB異面的直線.
解：因為AB?平面ABC,C∈平面ABC, C?AB, D ?平面ABC,所以DC與AB是異面直線.
【設(shè)計意圖】異面直線判斷定理的應(yīng)用，二維向三維的過渡
對于平面內(nèi)的兩條相交直線,可用夾角大小定量描述它們之間的位置關(guān)系；對于平面的兩條平行直線,可用距離定量描述它們之問的位置關(guān)系,如圖所示.對于兩條異面直線,如何定量描述它們之間的位置關(guān)系呢？
己知兩條異面直線a與b,如圖(1)所示.在空間上任取一點P,過點P作a'∥a, b'∥b,得到兩條相交直線a'和b',如圖 (2)所示.
我們把相交直線a'與b'所成的角θ稱為異面直線a與b所成的角.
在作異面直線a與b所成的角時,常在其中的一條直線上取一點O,過點O作另一條直線的平行線,如圖所示.
由平面內(nèi)兩條直線所成角的范圍可知,兩條異面直線所成的角的取值范圍是
特別地,當(dāng)兩條異面直線a與b所成的角為時,稱這兩條異面直線互相垂直,記作a⊥b.
【設(shè)計意圖】通過轉(zhuǎn)化的思想，將異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)直線角的問題，克服教學(xué)難點
（四）鞏固知識，典例練習(xí)
【典例4】在正方體ABCD-A1B1C1D1中,求下列異面直線所成角的大小.
(1)AB與DD1 ； (2)A1C1與BC.
解：(1)因為正方體的各個面都是正方形,所以AA1∥DD1 .
又AA1與AB相交于點A, 故∠A1AB就是異面直線AB與DD1所成的角.
因為∠A1AB是直角, 所以異面直線AB與DD1所成角的大小為.
(2)因為B1C1∥BC,且A1C1與B1C1相交于點C1, 所以∠A1C1B1就是異面直線A1C1與BC所成的角.
在RtΔA1B1C1中, ∠A1B1C1=.
因此異面直線A1C1與BC所成角的大小為.
觀察右圖可以發(fā)現(xiàn),正方體中與異面直線 AB、DD1都垂直的棱有AD、A1D1、B1C1、BC,其中只有AD與異面直線AB 和DD1同時垂直且相交.
像這樣,與兩條異面直線同時垂直且相交的直線稱為這兩條異面直線的公垂線.
兩條異面直線的公垂線有且只有一條.
兩條異面直線的公垂線夾在兩條異面直線之間的部分,稱為這兩條異面直線的公垂線段,公垂線段的長度稱為兩條異面直線的距離.
溫馨提示
因為兩條直線垂直可以是相交垂直,也可以是異面垂直,所以經(jīng)過一點P與己知直線 l 垂直的直線有無數(shù)條.
【典例5】在長方體ABCD-A1B1C1D1 中,C1C=1,求異面直線A1B1與BC之間的距離.
因為長方體ABCD-A1B1C1D1的六個面都是矩形,所以
B1B⊥A1B1 , B1B⊥BC.
又B1B∩A1B1=B1, B1B ∩ BC=B，
所以線段B1B是異面直線A1B1與BC的公垂線段.
因為B1B=C1C=1,所以A1B1與BC之間的距離等于1.
綜上,我們從兩條異面直線所成的角和兩條異面直線的距離兩個方面定量描述了兩條異面直線的位置關(guān)系.
【設(shè)計意圖】加深理解異面直線距離的概念
（四）鞏固練習(xí)，提升素養(yǎng)
1.關(guān)于兩條直線的位置關(guān)系,以下描述正確的是( )
A. 沒有交點的兩條直線平行
B. 不平行的兩條直線相交
C.不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線是異面直線
D.兩平行直線a、b分別在平面α、β內(nèi),則a、b是異面直線
2.兩條異面直線的公垂線指的是( )
A.與兩條異面直線都垂直的直線
B. 與兩條異面直線都垂直的相交直線
C. 與兩條異面直線都垂直相交且夾在兩交點之間的線段
D.與兩條異面直線都相交的所有直線
3.在圖中,分別給出異面直線m與n所成的角的一種畫法.
4.在長方體ABCD-A1B1C1D1 各棱所在的直線中,分別指出與直線AA1平行、相交、異面的直線.
5.在正方體ABCD-A1B1C1D1 中,直線BC與CD1所成的角的大小是 ；直線A1D1與BD所成的角的大小是 ；直線AD1與BC所成的角的大小是 .
6.已知正方體ABCD-A1B1C1D1 的棱長為1,求：
（1）直線AB與CD之間的距離；
（2）直線A1D1與CD之間的距離.
【設(shè)計意圖】通過練習(xí)及時掌握學(xué)生的知識掌握情況，查漏補缺
（六）課堂小結(jié)，反思感悟
1.知識總結(jié)：
2.自我反思：
（1）通過這節(jié)課，你學(xué)到了什么知識？


（2）在解決問題時，用到了哪些數(shù)學(xué)思想與方法？


（3）你的學(xué)習(xí)效果如何？需要注意或提升的地方有哪些？


【設(shè)計意圖】培養(yǎng)學(xué)生反思學(xué)習(xí)過程的能力
（七）作業(yè)布置，繼續(xù)探究
(1)讀書部分： 教材章節(jié)4.2；
(2)書面作業(yè)： P119習(xí)題4.2的1，2，3，4，5，6.
（八）教學(xué)反思

知識
能力與素養(yǎng)
知道空間直線的三種位置關(guān)系；知道異面直線畫法； 理解空間兩直線的位置關(guān)系，能用異面直線判定定理判定兩直線是否異面；會用平行線在空間的傳遞性證明兩線平行問題，知道異面直線所成角定義，能用相交直線所成角的概念定義異面直線所成角.
（1）經(jīng)歷對線線、的位置關(guān)系及對應(yīng)直觀圖形的認知，發(fā)展空間想象思維；
（2）參與數(shù)學(xué)實驗，感受各種位置關(guān)系的特征，培養(yǎng)數(shù)學(xué)直覺，感受科學(xué)思維；
（3）關(guān)注生活中的數(shù)學(xué)模型，體會數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用．
重點
難點
兩直線位置關(guān)系、平行線的傳遞性、異面直線定義及判定定理
異面直線所成角的計算方法

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4.2 直線與直線的位置關(guān)系

版本： 高教版（2021）

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