4.1 平面
選用教材
高等教育出版社《數(shù)學(xué)》
（拓展模塊一上冊）
授課
時長
2 課時
授課類型
新授課
教學(xué)提示
本章是初中平面幾何和基礎(chǔ)模塊中簡單幾何體的延伸和拓展, 是進一步學(xué)習(xí)復(fù)雜幾何知識的基礎(chǔ)．
本課由茶卡鹽湖和青海湖，引出平面的基本特征，進而幫助學(xué)生建立平面基本概念，培養(yǎng)學(xué)生抽象思維能力．用茶卡鹽湖和青海湖引入，可以增強學(xué)生愛國情懷．在后續(xù)教學(xué)中還需逐步滲透平面的如“沒有厚度”等特征，以進一步提
升學(xué)生抽象思維能力．
教學(xué)目標(biāo)
經(jīng)歷平面的概念、基本性質(zhì)的抽象過程，能通過實物模型感知平面概念，描述平面的基本性質(zhì)；知道點、線、面的符號及圖形表示方法，學(xué)會使用自然語言、符號語言或圖形語言描述空間點、線、面間的位置關(guān)系；通過實驗觀察，能分析得出平面的三個基本性質(zhì)和三個推論；體會直線是構(gòu)成平面圖形的基本要素，平面是構(gòu)成空間幾何體的基本要素，初步實現(xiàn)由二維平面向三維空間的認(rèn)知轉(zhuǎn)變；感悟數(shù)學(xué)源于生活，增強學(xué)習(xí)興趣；逐步培養(yǎng)和提升數(shù)學(xué)抽象、直觀想象
和邏輯推理等核心素養(yǎng).
教學(xué)
重點
平面概念及平面的符號與圖形表示，平面基本性質(zhì)．
教學(xué)
難點
對性質(zhì) 3 的理解．
教學(xué)
環(huán)節(jié)
教學(xué)內(nèi)容
教師
活動
學(xué)生
活動
設(shè)計
意圖
我們知道，構(gòu)成空間的基本要素是點、線、面，在平面幾何中，我 們學(xué)習(xí)的重點是點與直線，下面我們先重點學(xué)習(xí)平面.
4.1 平面的特征和表示
茶卡鹽湖被稱為“中國的天空之鎮(zhèn)”，當(dāng)其湖面平靜之時就像一面鏡子，給人很“平”的印象.面對浩瀚的大海時，我們會感慨大海“一望無際”.茶卡鹽湖湖面和海面都可以用“平面”來描述.類似地，課桌桌面、書本封面也可以用
“平面”來描述.這些平面有什么共同特征呢？
提出
思考
創(chuàng)設(shè)
問題
情境
分析
幫助
情境導(dǎo)入
引發(fā)思考
回答
學(xué)生
直觀感受
平面
的特
征
新知探索
這些面都是平的，可以向各個方向無限延展.數(shù)學(xué)中的平面具有平和無限延展的特征.
怎樣畫出具有無限延展性的平面呢？
數(shù)學(xué)中，因直線具有無限延伸性，所以人們作直線時實際只畫出直線的一部分來表示整條直線.
類似地，我們用平面的一部分來表示平面.通常我們用平行四邊形三角形、圓等平面圖形來表示平面.
觀察右圖粉筆盒的正面、頂面、側(cè)面所在平面可以分別畫成下圖所示的三個圖形.
講解
說明
理解
思考
引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟平面是無限延展的
展示實物引發(fā)思考
觀察發(fā)現(xiàn)思考問題
聯(lián)系生活認(rèn)識
問題
為敘述方便，常常把幾何對象用字母表示.例如，點可以用大寫英文字母 A、B、?表示.直線可以用小寫英文字母 l、m 、?表示，也可以用直線上兩點的字母 AB、CD、…表示.
類似地，可以用小寫希臘字母 α、β、?表示平面，如平面 α、平面 β；也可以用多邊形的頂點字母表示平面，對于平行四邊形，可選用其中一組對角線的頂點字母表示平面.
平面可表示為平面 ABCD 或平面 AC. 如圖所示， ΔABC 所在的平面可表示為面 ABC，?ABCD 所在的平面可表示為平面 ABCD 或平面 AC.
考慮到直線和平面均可看作由無數(shù)個點組成的點集，當(dāng)點 P 在直線 l 或平面 α 內(nèi)時,可分別表示為 P∈l，P∈α.當(dāng)點 P 不在直線 l 或不在平面 α 內(nèi)時，可分別表為 P?l， P?α.
說明
自然
語
言、
說明
領(lǐng)會
符號
語
言、
圖形
語言
三者
之間
的關(guān)
系
展示
觀察
圖形
圖形
說明
思考
問題
問題
例 1 用符號語言表示以下點與直線，平面的位置關(guān)系，并畫出滿足條件的一個圖形.
(1)點 A 在直線 l 上，且在平面 α 內(nèi).
(2)點 C 不在平面 β 內(nèi)，直線 m 經(jīng)過點 C 且與平面 β
有一個公共點 B.
解 (1)A∈l 且 A∈α，如圖所示.
畫法：
提問引導(dǎo)
講解強調(diào)
指導(dǎo)
思考分析
解決交流
主動
例 1幫助學(xué)生了解空間中點
與
典型例題
①畫平行四邊形表示平面 α；
②將點 A 畫在平行四邊形的內(nèi)部；
③經(jīng)過點 A 畫直線 l.
求解
線、和面
關(guān)系
的符號表示，
初步
(2) C ? β，C∈m，B∈m，B∈β， 如圖所示.
畫法：
體會自然
①畫平行四邊形表示平面 β；
語
②將點 C 畫在平行四邊形的外部；
③將點 B 畫在平行四邊形內(nèi)；
④連接點 C 與點 B 并向兩個方向延長,將直線 CB 標(biāo)注為直線 m,并將直線被平面遮擋部分擦除或畫為虛線.
言、符號語
言、
圖形語言三者之間的聯(lián)系．
溫馨提示
畫直線與平面相交時,直線被平面遮擋的部分畫出虛
線或不畫.
練習(xí) 4.1.1
1. 判斷下列說法是否正確.
(1)平整的課桌面是一個平面的一部分； (2)不同平面的大小是不同的：
光滑的玻璃球的表面是一個平面；
長方體 ABCD-A1B1C1D1 中，四邊形 ABB1A1，所在平面可表示為平面 AB1；
把一塊長為 3m、寬為 1.5m 的黑板看作一個平面，這個平面的面積是 4.5 m.
已知 ABCD-A1B1C1D1，如圖
所示.試用符號“∈”或“?”填空.
A直線 AD，A 直線 A1B1 ， A平面 BD ， A平面 BC1.
請畫出符合下列條件的一個圖形.
(1) A ? l, A∈α;(2) B ? l, B ? β.
觀察自己身邊有哪些事物可以看作平面的一部分.
提問
思考
及時
掌握
學(xué)生
巡視
動手
掌握
求解
情況
查漏
鞏固
補缺
練習(xí)
指導(dǎo)
交流
4.1.2 平面的基本性質(zhì)
提出
思考
紙板實驗操作性 強，方便學(xué)習(xí)公理
1
如圖所示，分別嘗試用一個指尖、兩個指尖、三個指
問題
尖頂起一塊硬紙板，看看哪種方式能比較穩(wěn)地將硬紙板頂
引發(fā)
分析
情境導(dǎo)入
起來？
思考
回答
你有什么發(fā)現(xiàn)？
探索新知
嘗試后發(fā)現(xiàn)，當(dāng)三個指尖不在同一條直線上時，能將硬紙板平穩(wěn)地頂起來.
這個現(xiàn)象蘊含著平面的如下重要性質(zhì).
公理 1經(jīng)過不在同一條直線上的三點，有且只有一
講解
說明
理解
思考
學(xué)習(xí)公理
個平面.
這個公理也可以說成“不共線的三點確定一個平面”.
如圖所示，點 A、B、C 不共線．由公理 1 可知，存在唯一的平面 α，使得 A∈α，B∈α，C∈α.
容易看出，經(jīng)過一個點、兩個點或共線的三個點有無數(shù)個平面，也可以說成“一個點，兩個點或共線的三
個點不能確定一個平面”.
用圖
展示
觀察
形再
圖像
圖像
次強
引發(fā)
分析
調(diào)三
思考
問題
點不
能共
線
分析
理解
講解
體會
將一根細(xì)線拉直,然后把它的兩個端點固定在桌面上,如圖所示,觀察細(xì)線上其他的點與桌面的關(guān)系.如果抓住細(xì)線中的一點并拉離桌面,細(xì)線還是直線嗎？
提出
思考
繩子
問題
實驗
引發(fā)
分析
方便
情境
思考
回答
學(xué)生
導(dǎo)入
學(xué)習(xí)
公理
2
容易看出，當(dāng)把拉直的細(xì)線的兩個端點放在桌面上
講解
理解
總結(jié)
時，細(xì)線上的所有點都在桌面上.
如果將細(xì)線抽象為直線，桌面抽象成平面，可以得出
和抽
象，
平面的如下性質(zhì).
公理 2如果一條直線上的兩個點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上的所有點都在這個平面內(nèi).有且只有一個平
學(xué)習(xí)
公理內(nèi)容
面.
說明
思考
當(dāng)一條直線上的所有點都在平面內(nèi)時,稱直線在平面
學(xué)習(xí)
內(nèi)，或者說平面經(jīng)過直線.
數(shù)學(xué)
探索新知
因為直線和平面都是由點組成的集合，所以直線 m在平面 α 內(nèi)可表示為 m?α .當(dāng)直線 m 不在平面 α 內(nèi)時，表示為 m?α，此時直線與平面有一個公共點或沒有公共點.
如圖所示，由 A∈α，B∈α，可知 AB?α .
展示圖像幫助思考
觀察圖像理解要點
語言的表達
學(xué)習(xí)圖形語言的表達
溫馨提示
表示直線在平面內(nèi)時，要把直線畫在表示平面的圖形
的內(nèi)部.
由公理 1、2 得到以下結(jié)論.
推論 1經(jīng)過一條直線和該直線外的一點有且只有一
個平面.
如圖所示，A∈l，存在唯一的平面 α，使得 A∈α，l?α.
學(xué)生
利用
公理
進行討論
推論 2經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個平面.
如圖所示，直線 m 與直線 n 相較于點 A，存在唯一的平面 α，使得 m?α，n?α.
分析比較
并完成對推論的證明，
提升
推論 3經(jīng)過兩條平行直線有且只有一個平面.
如圖所示，m∥n，存在唯一的平面 α，使得 m?α，n?α.
邏輯推理
核心
素養(yǎng)
將一塊薄的硬紙板平放到桌面上，可視作硬紙板和桌面所在的平面重合，如圖所示.抬起硬紙板的一端，讓另一端緊貼桌面，則硬紙板和桌面所在臺面有一條公共直線.繼續(xù)抬起硬紙板，將紙板的一角支在桌面上，則支點就是硬紙板和桌面所在平面的一個公共點.這時，它們所在的平面就只有這一個公共點么？
提出
思考
折紙
問題
實驗
引發(fā)
分析
方便
思考
回答
學(xué)生
情境
學(xué)習(xí)
導(dǎo)入
公理
3
考慮到平面具有無限延展性，我們把硬紙板向下延展.容易看出，硬紙板所在的平面與桌面所在的平面有一條公共直線由此，得到平面的性質(zhì)：
公理 3 如果兩個平面有一個公共點，那么它們有且只有一條經(jīng)過該點的公共直線.
此時，稱兩個平面相交，并把公共直線稱為兩個平面的交線.當(dāng)平面 α 與平面 β 相交于直線 l 時，記作 α?β=l.
如圖所示，A∈α，A∈β，存在唯一的直線 l，使得
A∈l, α?β=l.
溫馨提示
畫兩個平面相交時，一定要畫出它們的交線，平面被遮擋部分用虛線表示或者不畫.
典型例題
例 2 試用符號語言表示下列語句,并畫出相應(yīng)的圖形.
(1)點 A、B 在直線 l 上，直線 l 在平面 α 內(nèi)；
(2)平面 α 和平面 β 相交于直線 l.
解 (1) A、B ∈l， l ?α，如圖所示.
畫法：
①畫平行四邊形表示平面 α；
②在平行四邊形內(nèi)畫點 A、B ；
③連接 A、B 并延長，在直線 AB 上標(biāo)出直線 l.
(2) α?β=l，如左圖所示.
畫法：
①畫線段 AB 表示交線 l，如右圖所示；
②過點 A 畫與 l 不同的兩條相交線段 CD、EF，再過點 B 畫 C'D'與 E'F'，使 C'D'∥CD、E'F'∥EF，C'D'=CD， E'F'=EF；
③連接 CC' 、DD'、EE'、FF'，分別將平面 CD'和平面 EF'標(biāo)注為平面 α 和平面 β，再將被遮擋部分改為虛線或不畫，最后擦去字母 A、B、C、D、A'、B'、C'、D'.
例 3 判斷下列說法是否正確.
經(jīng)過三個點有且只有一個平面；
如果直線 l 與平面 α 有三個公共點，那么 l ?α；
用三角板的一個頂點與桌面接觸，只有一個公共點，故兩 個平面可以只有一個公共點.
解 (1)錯誤.經(jīng)過不共線的三點有且只有一個平面.當(dāng)三點共線時，經(jīng)過這三個點有無數(shù)個平面；
正確.當(dāng)一條直線有兩個點在平面內(nèi)時，這條直線就在平面內(nèi)；
錯誤.當(dāng)兩個平面有一個公共點時，這兩個平面就有一條經(jīng)過該點的公共直線，因此它們一定有無數(shù)個公共點.
例 4 在正方體 ABCD-A1B1C1D1[圖(1)]中，找出符合下列條件的平面.
經(jīng)過點 A1、B、D 的平面；
經(jīng)過直線 BC 和點 D1 的平面；
經(jīng)過直線 BD 和 DD1 的平面；
經(jīng)過直線 AB 和 C1D1 的平面.
提問引導(dǎo)
講解強調(diào)
指導(dǎo)
思考分析
解決交流
主動求解
例 2幫助學(xué)生進一步熟練使用自然語言、符號語 言、圖形語言表達數(shù)學(xué)對 象，培養(yǎng)學(xué)生的作圖能力
例 3幫助學(xué)生進一步理解平面的三個性質(zhì)
（公理）
例 4幫助學(xué)生領(lǐng)悟確定
平面
解 (1)經(jīng)過點 A1、B、D 的平面是平面 A1BD，如圖(2)所示；
經(jīng)過直線 BC 和點 D1 平面是平面 BCD1，如圖(3)所示；
經(jīng)過直線 BD 和 DD1 的平面是平面 BDD1，如圖(4)
所示；
經(jīng)過直線 AB 和 C1D1 的平面是平面 ABC1D1，如圖
所示；
的四種基本方法，明白作輔助面是解決立體幾何問題的重要辦法之一
鞏固練習(xí)
練習(xí) 4.1.2
1.判斷下列說法是否正確.
經(jīng)過直線 m 和點 A 的平面有且只有一個；
兩條相交直線可以確定一個平面；
同時經(jīng)過兩條平行直線的平面不止一個；
兩個平面可以只有一條公共線段.
根據(jù)平面的基本性質(zhì)和推論證明平行四邊形是平面圖形(填空).
已知：四邊形 ABCD 是一個平行四邊形.求證：AB、BC、CD、DA 四條邊共面.
證明：因為 AB∥CD，所以 AB 和 CD 確定平面 α，如圖所示.
因為 A∈AB，B∈AB，C∈CD，D∈CD,
所以 A、B、C、D 均在平面 α 內(nèi).
從而，有 AD?，BC?， AB?， CD?.
所以，AB、BC、CD、DA 四條邊共面.
試用 12 根長短相等的小木棍(或鐵絲等)制作正方體模型 ABCD-A1B1C1D1，并指出由頂點 A 和棱 CC1 所確定的
平面.
提問
巡視
指導(dǎo)
思考
動手求解
交流
及時掌握學(xué)生掌握情況查漏補缺
歸納總結(jié)
引導(dǎo)提問
回憶反思
培養(yǎng)學(xué)生總結(jié)學(xué)習(xí)過程能力
布置作業(yè)
書面作業(yè)：完成課后習(xí)題和《學(xué)習(xí)指導(dǎo)與練習(xí)》；
查漏補缺：根據(jù)個人情況對課堂學(xué)習(xí)復(fù)習(xí)與回顧;
拓展作業(yè)：閱讀教材擴展延伸內(nèi)容.
說明
記錄
繼續(xù)探究延伸
學(xué)習(xí)

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4.1.1 平面的特征和表示

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年級： 拓展模塊一（上冊）

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