某型號(hào)無(wú)人機(jī)如圖所示,其每根螺旋槳(如BC)與旋轉(zhuǎn)軸?AB?均垂直,垂足是B.設(shè)螺旋槳旋轉(zhuǎn)時(shí)構(gòu)成的平面為α,顯然,無(wú)人機(jī)的每根螺旋槳都在平面α內(nèi).試問(wèn),平面α與旋軸?AB?之間有怎樣的位置關(guān)系？
容易看出,平面α內(nèi)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的螺旋槳所在直線都與旋轉(zhuǎn)軸?AB?垂直.對(duì)于平面α內(nèi)不過(guò)點(diǎn)B的任意一條直線,它一定與平面α內(nèi)過(guò)點(diǎn)B的某條直線平行.由異面直線所成角的定義可知,這條直線也與旋轉(zhuǎn)軸AB?垂直.因此,平面α內(nèi)的每一條直線都與AB?垂直.
? 如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線都垂直，那么稱這條直線和這個(gè)平面互相垂直.這條直線稱為這個(gè)平面的垂線,這個(gè)平面稱為這條直線的垂面,直線與平面的交點(diǎn)稱為垂足.直線l與平面α垂直記作l ⊥α.
如圖所示,若l⊥α,m?α,根據(jù)直線與平面垂直的定義可知l⊥m.這是利用“直線與平面垂直”推出“直線與直線垂直”的主要方法.
畫(huà)豎直的直線與水?平平面垂直時(shí),應(yīng)?將直線畫(huà)成與表示平面的平行四邊形的橫邊垂直．
在日常生活和生產(chǎn)中,常常需要判斷直線與平面的垂直關(guān)系.例如,國(guó)旗的旗桿與地面垂直、建筑的立柱與地面垂直等.但是,判斷直線與平面內(nèi)每一條直線都垂直是很難做到的.
經(jīng)過(guò)觀察研究,人們發(fā)現(xiàn)以下判定直線與平面垂直的方法：
? 直線與平面垂直的判定定理? 如果一條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,那么這條直線與這個(gè)平面垂直.
? 如圖所示,若m、n是平面α內(nèi)的兩條相交直線,且直線l⊥m, l⊥n,則l⊥α.
典例1?四個(gè)面都是正三角形的四面體稱為正四面體.已知正四面體ABCD,如圖所示.求證：BD⊥AC.
典例2 ?證明: 如果兩條平行線中有一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面.? 已知: m∥n,m⊥α,如圖所示. ?求證: n⊥α.
?證明: 在平面α內(nèi)任取兩條相交直線c和d?,因?yàn)?m⊥α,c?α,d ? α,所以m⊥c,m⊥d.?又m∥n,故n⊥c,n⊥d, 根據(jù)直線與平面垂直的判定定理,由c與d相交,n⊥α.
例2是直線與平面垂直的另一個(gè)判定定理.
可以證明,例2中所述命題的逆命題也成立.如圖所示若m⊥α, n⊥α,則m∥n.
? 直線與平面垂直的性質(zhì)定理? 如果兩條直線都垂直于同一個(gè)平面,那么這兩條直線平行.?
?在空間中經(jīng)過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直.?
典例3 如圖所示,已知一條直線l和平面α平行,過(guò)直線l上任意兩點(diǎn)A、B分別引平面α的垂線?AA' 、BB',垂足分別為A' 、B'.?求證: AA'=BB'.?
?證明:因?yàn)?AA'⊥α, BB'⊥α,所以AA'∥ BB'. 設(shè)經(jīng)過(guò)直線AA'、BB'的平面為β,則β∩α=A'B'.? 由l∥α ,可知l∥A'B' ,因此四邊形AA'B'B??為平行四邊形,所以AA'=BB'.?
長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中（如圖），直線AA1與平面ABCD垂直嗎？為什么？
解　因?yàn)殚L(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，側(cè)面ABB1A1、AA1D1D都是長(zhǎng)方形，所以AA1⊥AB，AA1⊥AD．且AB和AD是平面ABCD內(nèi)的兩條相交直線．由直線與平面垂直的判定定理知，直線AA1⊥平面ABCD．
1.?判斷下列命題的真假. （1）如果直線m垂直于平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，那么m⊥α;? （2）如果l⊥m,且m?α, n?α,那么l⊥α;? （3）如果l⊥α, m⊥α,那么l⊥m.
2.已知如圖,PO⊥α,垂直為O, PA∩α=A,m?α,且m⊥OA.求證: m⊥PA.
3. 如果l⊥α,m//α,求證: l⊥m. 4.?己知線段AB、CD?位于平面α的同側(cè), AB ⊥α, DC⊥α, 垂足分別為?B、C,AB=DC.求證: AD=BC.
5.?某中職學(xué)校建設(shè)新校區(qū)時(shí),修建了升旗臺(tái),用于開(kāi)展愛(ài)國(guó)主義教育活動(dòng).技術(shù)人員在安裝旗桿時(shí),要保證旗桿與地面垂直.請(qǐng)你幫忙設(shè)計(jì)一個(gè)方案以確保旗桿與地?面垂直.
(1) 讀書(shū)部分： 教材章節(jié)4.3.2； (2) 書(shū)面作業(yè)： P131習(xí)題4.3的1,5,6.
數(shù)學(xué)是一種別具匠心的藝術(shù)

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中職數(shù)學(xué)高教版（2021）拓展模塊一 上冊(cè)電子課本

4.3.2 直線與平面垂直

版本： 高教版（2021）

年級(jí)： 拓展模塊一 上冊(cè)

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