如圖所示,將一支鉛筆平放到桌面上,然后水平拿起來,再堅直放置在桌面上.在此過程中,這支鉛筆(看作一條直線)與桌面分別有幾個公共點？
容易看出,當筆平放在桌面上時,它與桌面有無數多個公共點；將筆水平拿起,它與桌面沒有公共點; 當筆豎直放置時,它與桌面只有一個公共點.事實上,根據公理2,當一條直線與一個平面有兩個公共點時,這條直線上的所有點都在這個平面內.除此之外,直線與平面或者只有1個公共點,或者沒有公共點.因此,直線與平面有三種?位置關系.
如圖(1)所示,當直線a在平面α內時,記作a ? α.
1.直線在平面內,此時直線與平面有無數個公共點.
如圖(2)所示,當直線b在平面α相交于點B時,記作b∩α=B .
2. 直線與平面相交,此時直線與平面只有一個公共點.
3. 直線與平面平行,此時直線與平面沒有公共點.
如圖(3)所示,當直線c在平面α平行時,記作c∥α .
畫圖時,把直線畫在表示平面的平行四邊形外,并與平行四邊形的一條邊平行 .
直線l與平面α相交或平行,稱直線 l 在平面α外,記作l與?α.
4.3.1 直線與平面平行
如圖所示,一本打開的書的封面右邊沿所在直線m已經不在書內頁所在平面α內,那么,m與α是相交還是平行呢？
觀察發(fā)現,書脊所在直線n是封面所在平面與書內頁所在平面的交線,且m∥n.
能否通過m∥n來判斷直線m與平面α之間的位置關系呢？
直線與平面平行的判定定理? 如果平面外的一條直線與這個平面內的一條直線平行,那么這條平面外直線與這個平面平行.
一般情形為,m?α,n?α,且m∥n,如圖(1)所示. ?假設直線m與平面α相交,記交點為點P,如圖(2)所示.?由m∥n知P?n.根據異面直線判定定理,m與n是異面直線,這與m∥n矛盾.故直線?m?與平面α不相交,從而m∥α.
典例1 如圖所示,在棱柱ABCD-A1B1C1D1中： （1）與平面AC平行的棱所在直線有哪些？ （2）判斷?AA1與平面DBB1D1的位置關系.?
（1）因為棱柱各側面均為平行四邊形,所以A1B1∥AB.? 又因為A1B1?平面AC,AB ?平面AC,所以? A1B1 ∥平面AC ；同理可知,直線B1C1、C1D1、A1D1均與平面AC平行. ?因此,與平面AC平行的棱所在直線有A1B1、B1C1、C1D1、A1D1.? （2）因為? AA1∥BB1,且AA1?平面?DBB1D1,BB1?平面DBB1D1,所以AA1//平面DBB1D.
典例2 在空間四邊形ABCD?中,點E、F分別是AB、AD?的中點,如圖所示,求證:EF//平面BCD.??
證明:連接E、F.因為E、F分別是?AB、AD?的中點,所以EF//BD.? 又因為E?平面BCD,BD?平面BCD,所以BF//平?面?BCD.
既然直線與直線的平行可以用來判定直線與平面平行,那么能否利用直線與平面的平行來判定直線與直線平行呢？
如圖(1)所示, m∥α, m?β,α∩β=n.那么, m與n是什么位置關系？
? 直線與平面平行的性質定理 如果一條直線和一個平面平行, 那么經過這條直線的任一平面和這個平面的交線與這條直線平行.
顯然,m與n共面于平面B內,則n與n要么相交,要么平行.若m與n相交，且交點為P,如圖(2)所示,則P也是直線m與平面α的交點,這與條件m//α相矛盾.所以m//n.于是,有下面的結論：
典例3已知n //m,m//α,n? α ,求證：n //α.
1.?判斷下列命題的真假,并說明理由. （1）如果m//n,n?α,那么m//α;? （2）如果m//n,m?α,那么m//α;? （3）如果m//α,n?α,那么m//n; （4）如果m//α,m?β, α∩β=n,那么m//n.?
2.?填空題. (1) 如果一條直線與一個平面平行,那么這條直線與這個平面有 個公共點； (2) 如果一條直線與一個平面有兩個公共點,那么它們的位置關系是 ,此時直線與平面面共有 個公共點：? (3)如果一條直線與一個平面相交,那么它們有 個公共點； (4)如果一條直線與一個平面平行,那么這條直線與平面內的 條直線平行.
4.?已知正方體ABCD-A1B1C1D1.求證： (1) CD∥平面A1C1； (2) A1C1∥平面AC.
5.?某中職學校機械加工技術專業(yè)學生在加工長方體?ABCD-A1B1C1D1形狀的零件時,如圖所示,需要沿著
由上底面A1C1上的點E與棱AD確定的平面將零件切開.切削前需在長方體相應的面上畫出輪廓線,試問該怎樣畫這個輪廓線？經過點E所畫的直線與底面AC?是什么位置關系？
(1) 讀書部分： 教材章節(jié)4.3.1； (2) 書面作業(yè)： P131習題4.3的3.
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4.3.1 直線與平面平行

版本： 高教版（2021）

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