將兩個大小相同的含30°角的三角尺擺放在一起（較長直角邊靠在一起且直角頂點重合），可拼成一個什么樣的三角形？你能借助拼圖找到直角尺的較短直角邊與斜邊之間的數量關系嗎？ 本節(jié)課我們再次學習與直角三角形相關的一個性質.
（1）運用等邊三角形能推導出30°角的直角三角形的性質.
（2）能運用30°角的直角三角形的性質解決相關問題.
將兩個全等的含30°角的直角三角尺擺放在一起.你能借助這個圖形，找到Rt △ABC 的直角邊BC 與斜邊AB 之間的數量關系嗎？
證明：在△ABC 中，∵　∠C =90°，∠A =30°， ∴　∠B =60°．延長BC 到D，使BD =AB，連接AD，則△ABD 是等邊三角形．
由等邊三角形的性質可知，AC 也是BD 邊上的中線，
你還能用其他方法證明嗎？
另證：作∠BCE =60°，交AB于E，連接CE， 則∠ACE =90°-60°=30°．在△ABC 中，∵　∠ACB=90°，∠A =30°，∴　∠B =60°．在△BCE 中，∵　∠BCE=60°，∠B =60°，∴　△BCE 是等邊三角形．∴　BC =BE =CE．
在△ACE 中，∵　∠A=30°，∠ACE =30°，∴　△AEC是等腰三角形．∴　CE =AE．∴　BC =BE =CE =AE．
符號語言：∵　在Rt△ABC 中，　　∠C =90°，∠A =30°，　　
　　在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.
　　 練習1　如圖，在△ABC 中，∠C =90°，∠A = 30°，AB =10，則BC 的長為 ．
　　 練習2　如圖，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD 是高，∠A =30°，AB =4．則BD = .
　　例　如圖是屋架設計圖的一部分，點D 是斜梁AB 的中點，立柱BC、DE 垂直于橫梁AC，AB =7.4 cm，∠A =30°，立柱BC、DE 要多長.
解：∵　DE⊥AC，BC⊥AC，∠A =30°，
∴　BC =3.7（m）．　
答：立柱BC 的長是3.7 m，DE 的長是1.85 m．　　
　　練習3　Rt△ABC 中，∠C =90°，∠B =2∠A，∠B 和∠A 各是多少度？邊AB 與BC 之間有什么關系？　　　
證明：∵∠B+∠A=180°- ∠C=90°， ∠B=2∠A， ∴∠B=60°，∠A=30°. ∴ AB=2BC.
1. Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，∠B=30°，AD=2cm，則AB的長度是（ ）
A.2cm B.4 cm C.8 cm D.16cm
2.等腰三角形一腰上的高與腰長之比為1∶2，則等腰三角形的頂角為（ ）
A.30° B.60° C.150° D.30°或150°
3. 在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC=2∠C，BD是∠ABC的平分線．求證：DC = 2AD.
證明：∵∠A = 90°，∠ABC = 2∠C, ∴∠C = 30°，∠ABC = 60°. 又BD是∠ABC的平分線， ∴∠ABD=∠CBD= ∠ABC =30°. ∴∠DBC=∠C，∴BD=DC. 在Rt△ABD中，∵∠ABD = 30°， ∴AD= BD = DC，即DC = 2AD.
4.如圖所示， 在△ABC中，BD是AC邊上的中線，延長BD至E，使DE = BD，DB⊥BC于B，∠ABC = 120°， 求證: AB = 2BC.
證明：∵BD是AC的中線，∴AD=CD.在△ADE和△CDB中， AD = CD， ∠ADE =∠CDB， DE = DB，
∴△ADE≌△CDB (SAS).∴∠E = ∠CBD = 90°，AE = BC.又∠ABC = 120°，∴∠ABE = 30°.∴在Rt△ABE中，AB=2AE，∴AB=2BC.
證明：∵∠ACB=90°，CD⊥BA，∠A=30°，∴∠ACD=60°，∠BCD=30°，∠CDB=∠CDA=90°.∴BD= BC，BC= AB，∴BD= AB.
5.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°．求證：BD= AB．

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初中數學人教版（2024）八年級上冊電子課本

13.3.2 等邊三角形

版本： 人教版（2024）

年級： 八年級上冊

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