前面我們研究過一些關(guān)于“兩點的所有連線中，線段最短”“連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短”等的問題，我們稱它們?yōu)樽疃搪窂絾栴}. 同學(xué)們通過討論下面兩個問題，可以體會如何運(yùn)用所學(xué)知識選擇最短路徑.
（1）能利用軸對稱變換解決實際問題.
（2）能利用作圖解決生活中的軸對稱問題.（作圖建模）
　　問題1　從圖中的A 地出發(fā)，到一條筆直的河邊l 飲馬，然后到B 地．到河邊什么地方飲馬，可使所走的路徑最短？
　　將A，B 兩地抽象為兩個點，將河l 抽象為一條直線．
設(shè)C 為直線上的一個動點，上面的問題就轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點C 在l 的什么位置時，AC 與CB 的和最?。ㄈ鐖D）．
如圖所示，點A、B分別是直線l異側(cè)的兩個點，如何在l上找到一個點，使得這個點到點A，點B的距離的和最短？
連接AB，與直線l相交于一點，這個交點即為所求.
如果我們能把點B移到l的另一側(cè)B′處，同時對直線l 上的任意一點C，都保持CB 與CB′的長度相等，就可以把問題轉(zhuǎn)化為上面的情況.
作出點B關(guān)于l的對稱點B′ ，利用軸對稱的性質(zhì)可以得到CB′=CB.
連接AB′，與直線l 相交于點C．則點C 即為所求．
　　證明：如圖，在直線l 上任取一點C′（與點C 不重合），連接AC′，BC′，B′C′． 由軸對稱的性質(zhì)知，BC =B′C，BC′=B′C′． ∴　AC +BC= AC +B′C = AB′， AC′+BC′ = AC′+B′C′．
在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，∴　AC +BC＜AC′+BC′．即　AC +BC 最短．
練習(xí)1 如圖，A、B是兩個蓄水池，都在河流a的同側(cè)，為了方便灌溉作物，要在河邊建一個抽水站，將河水送到A、B兩地，問該站建在河邊什么地方，可使所修的渠道最短，試在圖中確定該點（保留作圖痕跡）.
解：如圖，P點即為該點.
如圖所示，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN，橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直.）
當(dāng)點N在直線b的什么位置時，AM+MN+NB最?。?br/> 由于河岸寬度是固定的，因此當(dāng)AM+NB最小時，AM+MN+NB最小.
將AM沿與河岸垂直的方向平移，點M移到點N，點A移到點A′，則AA′ = MN，AM + NB = A′N + NB. 這樣問題就轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點N在直線b的什么位置時， A′N+NB最小？
連接A′B與b相交于N，N點即為所求.
練習(xí)2 牧馬人從A地出發(fā)，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到B處，請畫出最短路徑.
1.作圖在直線l上找一點C，使AC+BC最小.
2.如圖，已知牧馬營地在P處，每天牧馬人要趕著馬群先到河邊飲水，再帶到草地吃草，請你替牧馬人設(shè)計出最短的放牧路線.
解：如圖AP+AB即為最短的放牧路線.
3. 如圖，M、N分別是△ABC的邊AB、AC上的點，在邊BC上求作一點P，使△PMN的周長最小.
解：如圖，作點M關(guān)于BC的對稱點M′，連接M′N，交BC于點P，則△PMN的周長最小.
4.如圖，已知直線MN與MN異側(cè)兩點A、B，在MN上求作一點P，使PA-PB最大，請說明理由.
解：如圖，作B點關(guān)于MN的對稱點B′，連接AB′并延長，交MN于點P，點P即為所求. 理由：點A，B′，P在同一條直線上時，PA-PB′最大，即PA-PB最大.
在解決最短路徑問題時，我們通常利用軸對稱、平移等變化把已知問題轉(zhuǎn)化為容易解決的問題，從而作出最短路徑的選擇.

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13.4 課題學(xué)習(xí) 最短路徑問題

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