1．（2分）對稱給人們一種美感，下列圖形屬于中心對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2分）拋物線y＝2（x﹣3）2+1的頂點坐標(biāo)是（ ）
A．（3，1）B．（﹣3，1）C．（2，1）D．（2，3）
3．（2分）將拋物線y＝x2向下平移3個單位，則得到的拋物線解析式為（ ）
A．y＝x2+3B．y＝x2﹣3C．y＝（x+3）2D．y＝（x﹣3）2
4．（2分）用配方法解方程x2+2x＝1，變形后的結(jié)果正確的是（ ）
A．（x﹣1）＝2B．（x﹣1）2＝0C．（x+1）2＝0D．（x+1）2＝2
5．（2分）在方格紙中，選擇標(biāo)有序號①②③④中的一個小正方形涂黑，與圖中四個涂黑的小正方形組成的圖形是中心對稱圖形，選擇的小正方形的序號是（ ）
A．①B．②C．③D．④
6．（2分）已知點A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3）都在二次函數(shù)y＝（x﹣1）2的圖象上，則y1，y2，y3的大小關(guān)系正確的是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y2＜y3＜y1D．y3＜y2＜y1
7．（2分）若關(guān)于x的一元二次方程（a+1）x2﹣a2﹣a＝0有一個根是x＝﹣1，則a的值為（ ）
A．﹣1B．0C．1D．﹣1或1
8．（2分）在圖形的旋轉(zhuǎn)過程中，下面有四種說法：
①對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；
②對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；
③旋轉(zhuǎn)前、后圖形的形狀和大小都不變；
④旋轉(zhuǎn)前、后圖形的位置一定會改變．
上述四種說法正確的有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
二、填空題（本題共16分，每小題2分）
9．（2分）方程x2﹣3x＝0的根為 ．
10．（2分）請寫出一個開口向上，且過原點的拋物線表達式 ．
11．（2分）已知點A（a，﹣2）與點B（3，b）關(guān)于原點O中心對稱，則a+b＝ ．
12．（2分）若方程xm﹣x+1＝0是關(guān)于x的一元二次方程，則m的值為 ．
13．（2分）據(jù)國家能源局?jǐn)?shù)據(jù)公布顯示，2022年5月份全社會用電量為6716億千瓦時，7月份全社會用電量為8324億千瓦時，若從5月至7月全社會用電量的月平均增長率都相同，求全社會用電量的月平均增長率．設(shè)月平均增長率為x，則所列的方程應(yīng)為 ．
14．（2分）拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸及部分圖象如圖所示，則關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的兩根為 ．
15．（2分）如圖，拋物線y1＝ax2（a≠0）與直線y2＝bx+c（b≠0）的兩個交點坐標(biāo)分別為A（﹣2，4），B（1，1），則當(dāng)y1＜y2時，x的取值范圍是 ．
16．（2分）如圖，在Rt△ABC中，AC＝BC＝2，∠C＝90°，點O是AB的中點，將一塊邊長足夠大的三角板的直角頂點放在點O處，將三角板繞點O旋轉(zhuǎn)，始終保持三角板直角頂點與點O重合，一條直角邊與AC相交，交點為點D，另一條直角邊與BC相交，交點為點E．則線段CD與CE的長度之和為 ．
三、解答題（本題共68分，第17-22題，每小題5分，第23-26題，每小題5分，第27-28題，每小題5分）解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程．
17．（5分）解方程：2x2﹣6＝0．
18．（5分）解方程：x2+6x+8＝0．
19．（5分）如圖，網(wǎng)格中每個小正方形的邊長都是單位1．
（1）畫出將△ABC繞點O順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到的△A'B′C'；
（2）請直接寫出A'，B′，C′三點的坐標(biāo)．
20．（5分）已知二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3．
（1）二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3的圖象與x軸交于A，B兩點（點A在點B左側(cè)），求A，B兩點的坐標(biāo)；
（2）畫出此函數(shù)的圖象．
21．（5分）如圖，在△ABC中，∠CAB＝75°，在同一平面內(nèi)，將△ABC繞點A旋轉(zhuǎn)到△AB'C′的位置，使得CC'∥AB，求∠BAB'的度數(shù)．
22．（5分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（3﹣k）x+2﹣k＝0．
（1）求證：此方程總有兩個實數(shù)根；
（2）若此方程恰有一個根大于1，求k的取值范圍．
23．（6分）小明在畫一個二次函數(shù)的圖象時，列出了下面幾組x與y的對應(yīng)值．
（1）求該二次函數(shù)的解析式；
（2）該二次函數(shù)的圖象與直線y＝m有兩個交點A，B，若A，B兩點間的距離小于4，請直接寫出m的取值范圍．
24．（6分）雙手頭上前擲實心球是鍛煉青少年上肢力量和全身協(xié)調(diào)性的一個項目，實心球出手后飛行的路線可以看作是拋物線的一部分，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，某校一名學(xué)生在投擲實心球時，從出手到落地的過程中，實心球的豎直高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）近似滿足函數(shù)關(guān)系y＝﹣x2+x+2．
（1）求該同學(xué)投擲實心球時，實心球在空中飛行時豎直高度的最大值；
（2）判斷并說明，該同學(xué)此次投擲實心球的水平距離能否超過10米．
25．（6分）在正方形ABCD中，AD＝4，點E在邊AB上，且AE＝3，將線段DE繞點D逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段DF，連接EF．
（1）如圖1，若點F恰好落在邊BC的延長線上，判斷△DEF的形狀，并說明理由；
（2）若點F落在直線BC上，請直接寫出△DEF的面積.
26．（6分）拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）與x軸的交點坐標(biāo)是（﹣1，0），（3，0）．
（1）請直接寫出這條拋物線的對稱軸；
（2）已知點A（m，y1），B（m+1，y2）在拋物線上，若y1＜y2，求m的取值范圍．
27．（7分）△ABC是等邊三角形，將線段AC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α≤60°）得到線段AD，連接BD，交AC于點O，連接CD，過點A作AP⊥CD于點P，交BD于點E，連接CE．
（1）如圖1，當(dāng)α＝60°時，則∠BEC＝ °；
（2）如圖2，當(dāng)0°＜α＜60°時，依題意補全圖2．
①猜想（1）中結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；
②求證：BE＝AE+CE．
28．（7分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知四邊形OABC是平行四邊形，點A（4，0），∠AOC＝60°，點C的縱坐標(biāo)為，點D是邊BC上一點，連接OD，將線段OD繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段OE．
給出如下定義：
如果拋物線y＝ax2+bx（a≠0）同時經(jīng)過點A，E，則稱拋物線y＝ax2+bx（a≠0）為關(guān)于點A，E的“伴隨拋物線”．
（1）如圖1，當(dāng)點D與點C重合時，點E的坐標(biāo)為 ，此時關(guān)于點A，E的“伴隨拋物線”的解析式為 ；
（2）如圖2，當(dāng)點D在邊BC上運動時，連接CE．
①當(dāng)CE取最小值時，求關(guān)于點A，E的“伴隨拋物線”的解析式；
②若關(guān)于點A，E的“伴隨拋物線”y＝ax2+bx（a≠0）存在，直接寫出a的取值范圍．
2022-2023學(xué)年北京市大興區(qū)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本題共16分，每小題2分）第1一8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個
1．（2分）對稱給人們一種美感，下列圖形屬于中心對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念判斷．把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形．
【解答】解：選項A、C、D都不能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°后與原來的圖形重合，所以不是中心對稱圖形．
選項B能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°后與原來的圖形重合，所以是中心對稱圖形．
故選：B．
【點評】本題考查的是中心對稱圖形，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與自身重合．
2．（2分）拋物線y＝2（x﹣3）2+1的頂點坐標(biāo)是（ ）
A．（3，1）B．（﹣3，1）C．（2，1）D．（2，3）
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的頂點式的特點即可得出答案．
【解答】解：由拋物線的頂點式y(tǒng)＝2（x﹣3）2+1可得：
該拋物線的頂點坐標(biāo)為（3，1），
故選：A．
【點評】本題主要考查拋物線的頂點式，關(guān)鍵是要牢記拋物線的頂點式的特點．
3．（2分）將拋物線y＝x2向下平移3個單位，則得到的拋物線解析式為（ ）
A．y＝x2+3B．y＝x2﹣3C．y＝（x+3）2D．y＝（x﹣3）2
【分析】根據(jù)拋物線平移的規(guī)律（左加右減，上加下減）求解．
【解答】解：拋物線y＝x2向下平移3個單位，則得到的拋物線解析式為y＝x2﹣3．
故選：B．
【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通常可利用兩種方法：一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點坐標(biāo)，即可求出解析式．
4．（2分）用配方法解方程x2+2x＝1，變形后的結(jié)果正確的是（ ）
A．（x﹣1）＝2B．（x﹣1）2＝0C．（x+1）2＝0D．（x+1）2＝2
【分析】方程兩邊加上1，利用完全平方公式化簡得到結(jié)果，即可作出判斷．
【解答】解：用配方法解方程x2+2x＝1，
變形得：x2+2x+1＝2，
即（x+1）2＝2．
故選：D．
【點評】此題考查了解一元二次方程﹣配方法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．
5．（2分）在方格紙中，選擇標(biāo)有序號①②③④中的一個小正方形涂黑，與圖中四個涂黑的小正方形組成的圖形是中心對稱圖形，選擇的小正方形的序號是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【分析】根據(jù)中心對稱圖形的定義判斷即可．
【解答】解：①的位置涂黑，整個圖形是中心對稱圖形．
故選：A．
【點評】本題考查利用旋轉(zhuǎn)設(shè)計圖案，解題的關(guān)鍵是理解中心對稱圖形的定義，屬于中考?？碱}型．
6．（2分）已知點A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3）都在二次函數(shù)y＝（x﹣1）2的圖象上，則y1，y2，y3的大小關(guān)系正確的是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y2＜y3＜y1D．y3＜y2＜y1
【分析】分別計算自變量為2、1、﹣1對應(yīng)的函數(shù)值，然后比較函數(shù)值的大小即可．
【解答】解：當(dāng)x＝﹣1時，y1＝（x﹣1）2＝（﹣1﹣1）2＝4；
當(dāng)x＝1時，y2＝（x﹣1）2＝（1﹣1）2＝0；
當(dāng)x＝2時，y3＝（x﹣1）2＝（2﹣1）2＝1，
所以y2＜y3＜y1．
故選：C．
【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征：二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)滿足其解析式．
7．（2分）若關(guān)于x的一元二次方程（a+1）x2﹣a2﹣a＝0有一個根是x＝﹣1，則a的值為（ ）
A．﹣1B．0C．1D．﹣1或1
【分析】把x＝﹣1代入方程（a+1）x2﹣a2﹣a＝0中得：（a+1）?（﹣1）2﹣a2﹣a＝0，然后進行計算可得a＝±1，再根據(jù)一元二次方程的定義可得a+1≠0，從而可得a≠﹣1，即可解答．
【解答】解：把x＝﹣1代入方程（a+1）x2﹣a2﹣a＝0中得：
（a+1）?（﹣1）2﹣a2﹣a＝0，
a+1﹣a2﹣a＝0，
1﹣a2＝0，
a2＝1，
a＝±1，
∵a+1≠0，
∴a≠﹣1，
∴a＝1，
故選：C．
【點評】本題考查了一元二次方程的解，一元二次方程的定義，熟練掌握一元二次方程的解是解題的關(guān)鍵．
8．（2分）在圖形的旋轉(zhuǎn)過程中，下面有四種說法：
①對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；
②對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；
③旋轉(zhuǎn)前、后圖形的形狀和大小都不變；
④旋轉(zhuǎn)前、后圖形的位置一定會改變．
上述四種說法正確的有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【解答】解：①對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，故本說法符合題意；
②對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，故本說法符合題意；
③旋轉(zhuǎn)前、后圖形的形狀和大小都不變，故本說法符合題意；
④旋轉(zhuǎn)前、后圖形的位置一定會改變，故本說法符合題意；
故選：D．
【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
二、填空題（本題共16分，每小題2分）
9．（2分）方程x2﹣3x＝0的根為 x1＝0，x2＝3 ．
【分析】根據(jù)所給方程的系數(shù)特點，可以對左邊的多項式提取公因式，進行因式分解，然后解得原方程的解．
【解答】解：因式分解得，x（x﹣3）＝0，
解得，x1＝0，x2＝3．
故答案為：x1＝0，x2＝3．
【點評】本題考查了解一元二次方程的方法，當(dāng)方程的左邊能因式分解時，一般情況下是把左邊的式子因式分解，再利用積為0的特點解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一種簡便方法，要會靈活運用．
10．（2分）請寫出一個開口向上，且過原點的拋物線表達式 y＝x2 ．
【分析】由開口方向可確定二次項系數(shù)，由過原點可確定常數(shù)項，則可寫出其解析式．
【解答】解：
∵開口向上，
∴二次項系數(shù)大于0，
∵過原點，
∴常數(shù)項為0，
∴拋物線解析式可以為y＝x2，
故答案為：y＝x2
【點評】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次項系數(shù)決定拋物線的開口方向是解題的關(guān)鍵．
11．（2分）已知點A（a，﹣2）與點B（3，b）關(guān)于原點O中心對稱，則a+b＝ ﹣1 ．
【分析】根據(jù)關(guān)于原點對稱的點的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，可得a、b的值，再代入計算即可．
【解答】解：∵點A（a，﹣2）與點B（3，b）關(guān)于原點O中心對稱，
∴a＝﹣3，b＝2，
∴a+b＝﹣3+2＝﹣1．
故答案為：﹣1．
【點評】本題考查了關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)，利用關(guān)于原點對稱的點的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)得出a、b的值是解題關(guān)鍵．
12．（2分）若方程xm﹣x+1＝0是關(guān)于x的一元二次方程，則m的值為 2 ．
【分析】根據(jù)只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程進行分析即可．
【解答】解：∵方程xm﹣x+1＝0是關(guān)于x的一元二次方程，
∴m＝2．
故答案為：2．
【點評】此題主要考查了一元二次方程的定義，解題的關(guān)鍵是掌握判斷一個方程是否是一元二次方程應(yīng)注意抓住5個方面：“化簡后”；“一個未知數(shù)”；“未知數(shù)的最高次數(shù)是2”；“二次項的系數(shù)不等于0”；“整式方程”．
13．（2分）據(jù)國家能源局?jǐn)?shù)據(jù)公布顯示，2022年5月份全社會用電量為6716億千瓦時，7月份全社會用電量為8324億千瓦時，若從5月至7月全社會用電量的月平均增長率都相同，求全社會用電量的月平均增長率．設(shè)月平均增長率為x，則所列的方程應(yīng)為 6716（1+x）2＝8324 ．
【分析】設(shè)月平均增長率為x，根據(jù)2022年5月份全社會用電量為6716億千瓦，7月份全社會用電量為8324億千瓦進而可得方程．
【解答】解：設(shè)年平均增長率為x，根據(jù)題意得：
6716（1+x）2＝8324，
故答案為：6716（1+x）2＝8324．
【點評】此題主要考查了由實際問題抽象出一元二次方程，關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關(guān)系．
14．（2分）拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸及部分圖象如圖所示，則關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的兩根為 x1＝﹣1，x2＝3 ．
【分析】根據(jù)拋物線的對稱性即可求解．
【解答】解：根據(jù)圖象可得：圖象與x軸的一個交點是（3，0），對稱軸是：x＝1，
∴（3，0）關(guān)于x＝1的對稱點是：（1，0），
則拋物線與x軸的交點是：（﹣1，0）和（3，0），
∴關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的兩根為：x1＝﹣1，x2＝3．
故答案為：x1＝﹣1，x2＝3．
【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，理解二次函數(shù)與x軸的交點的橫坐標(biāo)就是對應(yīng)的方程的解是解題關(guān)鍵．
15．（2分）如圖，拋物線y1＝ax2（a≠0）與直線y2＝bx+c（b≠0）的兩個交點坐標(biāo)分別為A（﹣2，4），B（1，1），則當(dāng)y1＜y2時，x的取值范圍是 ﹣2＜x＜1 ．
【分析】利用圖象法即可解決問題，方程的解就是兩個函數(shù)圖象的交點的橫坐標(biāo)．
【解答】解：由圖象可知，直線y2＝bx+c（b≠0）在拋物線y1＝ax2（a≠0）的上方時，﹣2＜x＜1，
∴當(dāng)y1＜y2時，x的取值范圍是﹣2＜x＜1，
故答案為：﹣2＜x＜1．
【點評】本題考查拋物線與x軸交點、一次函數(shù)的應(yīng)用、一元二次方程等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識，學(xué)會利用圖象法解決實際問題，屬于中考?？碱}型．
16．（2分）如圖，在Rt△ABC中，AC＝BC＝2，∠C＝90°，點O是AB的中點，將一塊邊長足夠大的三角板的直角頂點放在點O處，將三角板繞點O旋轉(zhuǎn)，始終保持三角板直角頂點與點O重合，一條直角邊與AC相交，交點為點D，另一條直角邊與BC相交，交點為點E．則線段CD與CE的長度之和為 2 ．
【分析】連接OC，證明△OCD≌△OBE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CD＝BE，證明結(jié)論．
【解答】證明：連接OC．
∵AC＝BC，AO＝BO，∠ACB＝90°，
∴∠ACO＝∠BCO＝∠ACB＝45°，OC⊥AB，∠A＝∠B＝45°，
∴OC＝OB，
∵∠BOE+∠EOD+∠AOD＝180°，∠EOD＝90°，
∴∠BOE+∠AOD＝90°，
又∵∠COD+∠AOD＝90°，
∴∠BOE＝∠COD，
在△OCD和△OBE中，
，
∴△OCD≌△OBE（SAS），
∴CD＝BE，
∴CD+CE＝BE+CE＝BC＝2，
故答案為：2．
【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
三、解答題（本題共68分，第17-22題，每小題5分，第23-26題，每小題5分，第27-28題，每小題5分）解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程．
17．（5分）解方程：2x2﹣6＝0．
【分析】首先移項，把﹣6移到等號右邊，再兩邊同時除以2，然后兩邊開平方即可．
【解答】解：移項得：2x2＝6，
x2＝3，
開平方得：x＝±．
【點評】此題主要考查了直接開平方法解一元二次方程，解這類問題要移項，把所含未知數(shù)的項移到等號的左邊，把常數(shù)項移項等號的右邊，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用數(shù)的開方直接求解．
18．（5分）解方程：x2+6x+8＝0．
【分析】先把方程左邊進行因式分解得到（x+2）（x+4）＝0，然后解一元一次方程即可．
【解答】解：∵x2+6x+8＝0，
∴（x+2）（x+4）＝0，
∴x+2＝0或x+4＝0，
∴x1＝﹣2，x2＝﹣4．
【點評】本題主要考查了因式分解法解一元二次方程的知識，解答本題的關(guān)鍵是掌握因式分解法解一元二次方程的一般步驟：①移項，使方程的右邊化為零；②將方程的左邊分解為兩個一次因式的乘積；③令每個因式分別為零，得到兩個一元一次方程；④解這兩個一元一次方程，它們的解就都是原方程的解．
19．（5分）如圖，網(wǎng)格中每個小正方形的邊長都是單位1．
（1）畫出將△ABC繞點O順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到的△A'B′C'；
（2）請直接寫出A'，B′，C′三點的坐標(biāo)．
【分析】（1）利用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)分別作出A，B，C的對應(yīng)點A′，B′，C′即可；
（2）根據(jù)點的位置寫出坐標(biāo)即可．
【解答】解：（1）如圖，△A'B′C'即為所求；
（2）A'（4，0），B′（0，1），C′（2，2）．
【點評】本題考查作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換，解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，屬于中考常考題型．
20．（5分）已知二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3．
（1）二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3的圖象與x軸交于A，B兩點（點A在點B左側(cè)），求A，B兩點的坐標(biāo)；
（2）畫出此函數(shù)的圖象．
【分析】（1）令y＝0，則x2﹣2x﹣3＝0，解這個方程即可得到A，B的橫坐標(biāo)；
（2）利用描點法畫出函數(shù)的圖象．
【解答】解：令y＝0，則x2﹣2x﹣3＝0，
解這個方程得：x1＝﹣1，x2＝3，
∵A點在B點左側(cè)，
∴A（﹣1，0），B（3，0）；
（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴對稱軸為x＝1，頂點坐標(biāo)為（1，﹣4），
令x＝0，則y＝﹣3，
∴拋物線與y軸的交點為（0，﹣3）．
建立坐標(biāo)系，利用描點法畫出函數(shù)的圖象如下圖：
【點評】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象，拋物線與x軸的交點，令y＝0，解一元二次方程即可得到A，B的橫坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．
21．（5分）如圖，在△ABC中，∠CAB＝75°，在同一平面內(nèi)，將△ABC繞點A旋轉(zhuǎn)到△AB'C′的位置，使得CC'∥AB，求∠BAB'的度數(shù)．
【分析】先利用平行線的性質(zhì)得∠ACC′＝∠CAB＝75°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AC＝AC′，∠CAC′＝∠BAB′，然后利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和可計算出∠CAC′，從而得到∠BAB′的度數(shù)．
【解答】解：∵CC′∥AB，
∴∠ACC′＝∠CAB＝75°，
∵△ABC繞點A旋轉(zhuǎn)到△AB′C′的位置，
∴AC＝AC′，∠CAC′＝∠BAB′，
∴∠ACC′＝∠AC′C＝75°，
∴∠CAC′＝180°﹣75°﹣75°＝30°，
∴∠BAB′＝30°．
【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．
22．（5分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（3﹣k）x+2﹣k＝0．
（1）求證：此方程總有兩個實數(shù)根；
（2）若此方程恰有一個根大于1，求k的取值范圍．
【分析】（1）先計算判別式的值，利用非負數(shù)的性質(zhì)判斷Δ≥0，然后根據(jù)判別式的意義得到結(jié)論．
（2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出x1＝﹣1，x2＝k﹣2，根據(jù)方程有一根大于1，即可得出關(guān)于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范圍．
【解答】（1）證明：∵Δ＝（3﹣k）2﹣4×（2﹣k）
＝k2﹣2k+1
＝（k﹣1）2≥0，
∴方程總有兩個實數(shù)根．
（2）解：∵x2+（3﹣k）x+2﹣k＝（x+1）（x+2﹣k）＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝k﹣2．
∵方程有一個根大于1，
∴k﹣2＞1，解得：k＞3，
∴k的取值范圍為k＞3．
【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當(dāng)Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)Δ＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時，方程無實數(shù)根．也考查了解一元二次方程以及解不等式．
23．（6分）小明在畫一個二次函數(shù)的圖象時，列出了下面幾組x與y的對應(yīng)值．
（1）求該二次函數(shù)的解析式；
（2）該二次函數(shù)的圖象與直線y＝m有兩個交點A，B，若A，B兩點間的距離小于4，請直接寫出m的取值范圍．
【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求得；
（2）把函數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為方程的問題，利用根與系數(shù)的關(guān)系即可得到關(guān)于m的不等式，解不等式即可求得．
【解答】解：（1）由表格數(shù)據(jù)結(jié)合二次函數(shù)圖象對稱性可得圖象頂點為（1，3），
設(shè)二次函數(shù)的表達式為y＝a（x﹣1）2+3（a≠0），
將（﹣1，﹣1）代入得4a+3＝﹣1，
解得a＝﹣1，
∴該二次函數(shù)的表達式為y＝﹣（x﹣1）2+3（或y＝﹣x2+2x+2）；
（2）令﹣x2+2x+2＝m，
整理得x2﹣2x﹣2+m＝0，
設(shè)點A、B的橫坐標(biāo)為x1，x2，
∴x1，x2是方程x2﹣2x﹣2+m＝0的兩個實數(shù)根，
∴x1+x2＝2，x1x2＝m﹣2，
∵AB＜4，
∴|x1﹣x2|＜4，
∴（x1﹣x2）2＜16，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＜16，即4﹣4（m﹣2）＜16，
∴m＞﹣1，
∴m的取值范圍是m＞﹣1．
【點評】本題主要考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，把函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題是解題的關(guān)鍵．
24．（6分）雙手頭上前擲實心球是鍛煉青少年上肢力量和全身協(xié)調(diào)性的一個項目，實心球出手后飛行的路線可以看作是拋物線的一部分，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，某校一名學(xué)生在投擲實心球時，從出手到落地的過程中，實心球的豎直高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）近似滿足函數(shù)關(guān)系y＝﹣x2+x+2．
（1）求該同學(xué)投擲實心球時，實心球在空中飛行時豎直高度的最大值；
（2）判斷并說明，該同學(xué)此次投擲實心球的水平距離能否超過10米．
【分析】（1）把拋物線化為頂點式，從而求出函數(shù)的最大值；
（2）令y＝0，解一元二次方程即可．
【解答】解：（1）y＝﹣x2+x+2＝﹣（x2﹣6x）+2＝﹣（x﹣3）2+，
∵﹣＜0，
∴當(dāng)x＝3時，y有最大值，最大值為，
答：實心球在空中飛行時豎直高度的最大值為；
（2）令y＝0，則＝﹣x2+x+2＝0，
解得x1＝﹣2，x2＝8，
∵8＜10，
∴該同學(xué)此次投擲實心球的水平距離不能超過10米．
【點評】本題考查二次函數(shù)和一元二次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是對二次函數(shù)性質(zhì)的掌握和運用．
25．（6分）在正方形ABCD中，AD＝4，點E在邊AB上，且AE＝3，將線段DE繞點D逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段DF，連接EF．
（1）如圖1，若點F恰好落在邊BC的延長線上，判斷△DEF的形狀，并說明理由；
（2）若點F落在直線BC上，請直接寫出△DEF的面積.
【分析】（1）由正方形的性質(zhì)可得DA＝DC，∠ADC＝∠DAB＝∠DCB＝90°，由“HL”可證Rt△ADE≌Rt△CDF，可得∠ADE＝∠CDF，可得結(jié)論；
（2）根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．
【解答】解：（1）△DEF是等腰直角三角形，理由如下：
在正方形ABCD中，DA＝DC，∠ADC＝∠DAB＝∠DCB＝90°．
∵F落在邊BC的延長線上，
∴∠DCF＝∠DAB＝90°．
∵將點E繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)得到點F，
∴DE＝DF，
在Rt△ADE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL），
∴∠ADE＝∠CDF，
∵∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝90°，
∴∠CDF+∠EDC＝90°，即∠EDF＝90°．
∴△DEF是等腰直角三角形；
（2）∵∠A＝90°，AD＝4，AE＝3，
∴DE＝＝＝5，
當(dāng)點F落在線段BC上時，如圖2，
∵∠C＝90°，DF＝DE＝5，
∴CF＝＝3，
∴BE＝BF＝1，
∴△DEF的面積＝S正方形ABCD﹣S△ADE﹣S△CDF﹣S△BEF＝4×4﹣﹣﹣＝3.5；
當(dāng)點F恰好落在邊BC的延長線上時，如圖1，
△DEF的面積＝＝12.5，
綜上所述，△DEF的面積為3.5或12.5．
【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積公式，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．
26．（6分）拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）與x軸的交點坐標(biāo)是（﹣1，0），（3，0）．
（1）請直接寫出這條拋物線的對稱軸；
（2）已知點A（m，y1），B（m+1，y2）在拋物線上，若y1＜y2，求m的取值范圍．
【分析】（1）根據(jù)拋物線與x軸的交點，即可求出對稱軸；
（2）畫出函數(shù)的大致圖象，由二次函數(shù)的性質(zhì)判斷即可．
【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）與x軸的交點坐標(biāo)是（﹣1，0），（3，0），
∴拋物線的對稱軸為x＝＝1；
（2）由（1）可知，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＞0）的大致圖象如圖所示：
∵a＞0，對稱軸x＝1，
∴①當(dāng)m+1＜1時，y1＞y2；
②當(dāng)m＞1時，y1＜y2；
③當(dāng)m與m+1在1的兩側(cè)且到1的距離相等時，y1＝y(tǒng)2，
此時m＝1﹣＝，
綜上，m＞時，y1＜y2．
【點評】本題考查拋物線與x軸的交點以及二次函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是對二次函數(shù)性質(zhì)的掌握．
27．（7分）△ABC是等邊三角形，將線段AC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α≤60°）得到線段AD，連接BD，交AC于點O，連接CD，過點A作AP⊥CD于點P，交BD于點E，連接CE．
（1）如圖1，當(dāng)α＝60°時，則∠BEC＝ 60 °；
（2）如圖2，當(dāng)0°＜α＜60°時，依題意補全圖2．
①猜想（1）中結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；
②求證：BE＝AE+CE．
【分析】（1）當(dāng)α＝60°時，△ACD是等邊三角形，AB＝BC＝CD＝DA，四邊形ABCD是菱形，可得BD⊥AC，易證∠CAE＝∠ACE，因為AP⊥CD，所以∠CAE＝30°，進而可求出∠BEC的值；
（2）依題意畫圖即可；
①成立；AC＝AD，AP⊥CD，可得△ACE≌△ADE，∠ACE＝∠ADE，AB＝AD，則∠ABO＝∠ADE，可得∠ABO＝∠ACE，由三角形內(nèi)角和定理可得∠BEC的值；
②用截長補短法，在BE上截取EF＝CE，可得△ACD是等邊三角形，CE＝EF，證明△BCF≌△ACE，則BF＝AE，進而可證明BE＝AE+CE．
【解答】解：（1）∵∠CAD＝α＝60°，AC＝AD，
∴△ACD是等邊三角形，
∴AD＝CD＝AC，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∴四邊形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，∠ABE＝∠CBE，
∴∠EOC＝90°，
在△ABE和△CBE中，
，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴AE＝CE，
∴∠CAE＝∠ECO，
∵AP⊥CD，△ACD是等邊三角形，
∴∠CAE＝∠ECO＝30°，
∴∠BEC＝180°﹣（∠EOC+∠ECO）＝180°﹣（90°+30°）＝60°．
故答案為：60；
（2）如圖2所示：
①（1）中結(jié)論是否仍然成立，理由如下：
如圖2所示：
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠ABC＝∠BCA＝60°，
∵AC＝AD，
∴AB＝AD，
∴∠ABO＝∠ADE，
∵AC＝AD，AP⊥CD，
∴∠CAE＝∠DAE，
∴△CAE≌△DAE（SAS），
∴∠ACE＝∠ADE，
∴∠ABO＝∠ACE，
∵∠ABC＝∠ABO+∠OBC＝60°，∠ABO＝∠ACE，
∴∠ACE+∠EBC＝60°，
∵∠BEC＝180°﹣（∠EBC+∠BCE），∠BCE＝∠BCA+∠ACE，
∴∠BEC＝180°﹣（∠BCA+∠ACE+∠EBC），
∵∠ACE+∠EBC＝60°，∠BCA＝60°，
∴∠BEC＝180°﹣（∠BCA+∠ACE+∠EBC）＝180°﹣（60°+60°）＝60°；
②如圖3所示：在BE上截取EF＝CE，
∵∠BEC＝60°，EF＝CE，
∴△CEF是等邊三角形，
∴EF＝CE＝CF，∠FCE＝60°
∵△ABC是等邊三角形，
∴BC＝AC，∠BCA＝60°，
∴∠FCE＝∠BCA，
∵∠FCE＝∠FCO+∠ACE，∠BCA＝∠FCO+∠BCF，∠FCE＝∠BCA，
∴∠ACE＝∠BCF，
在△BCF和△ACE中，
，
∴△BCF≌△ACE（SAS），
∴BF＝AE，
∵BE＝BF+EF，BF＝AE，EF＝CE，
∴BE＝AE+CE．
【點評】本題考查了三角形的變換、等腰三角形和等邊三角形的性質(zhì)、三角形的全等等知識點，用截長補短法構(gòu)造三角形的全等是解本題的關(guān)鍵，綜合性較強，難度較大．
28．（7分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知四邊形OABC是平行四邊形，點A（4，0），∠AOC＝60°，點C的縱坐標(biāo)為，點D是邊BC上一點，連接OD，將線段OD繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段OE．
給出如下定義：
如果拋物線y＝ax2+bx（a≠0）同時經(jīng)過點A，E，則稱拋物線y＝ax2+bx（a≠0）為關(guān)于點A，E的“伴隨拋物線”．
（1）如圖1，當(dāng)點D與點C重合時，點E的坐標(biāo)為 （﹣1，） ，此時關(guān)于點A，E的“伴隨拋物線”的解析式為 y＝x2﹣ ；
（2）如圖2，當(dāng)點D在邊BC上運動時，連接CE．
①當(dāng)CE取最小值時，求關(guān)于點A，E的“伴隨拋物線”的解析式；
②若關(guān)于點A，E的“伴隨拋物線”y＝ax2+bx（a≠0）存在，直接寫出a的取值范圍．
【分析】（1）如圖，連接CE，過點E作E′作x軸的垂線于點E′，由旋轉(zhuǎn)可知，△COE是等邊三角形，則∠EOE′＝60°，解直角三角形可得到點E的坐標(biāo)，將A，E的坐標(biāo)代入拋物線解析式可得出結(jié)論；
（2）①由旋轉(zhuǎn)可知，點E在線段C′B′上運動，過點C作CE⊥C′B′于點E，點E即為所求，過點E作y軸的垂線，過點C′作x軸的垂線，交EM于點M，交x軸于點N，
②過點B′作x軸的平行線，交MN于點P，由此可求出點B′的坐標(biāo)，將點B′的坐標(biāo)代入拋物線的解析式，即可得出a的最小值；由此可得出a的取值范圍．
【解答】解：（1）如圖，連接CE，過點E作E′作x軸的垂線于點E′，過點C作CC′⊥x軸于點C′，
∴CC′＝，
∵∠AOC＝60°，
∴OC＝2，
由旋轉(zhuǎn)可知，OE＝OC＝2，∠EOC＝60°，
∴△COE是等邊三角形，
∴∠EOE′＝60°，
∴OE′＝1，EE′＝，
∴E（﹣1，）．
將A（4，0），E（﹣1，）代入拋物線y＝ax2+bx（a≠0），
∴，
解得．
∴拋物線的解析式為：y＝x2﹣；
故答案為：（﹣1，）；y＝x2﹣；
（2）①由旋轉(zhuǎn)可知，點E在線段C′B′上運動，過點C作CE⊥C′B′于點E，點E即為所求，過點E作y軸的垂線，過點C′作x軸的垂線，交EM于點M，交x軸于點N，
由題意可知，CC′＝2，
由旋轉(zhuǎn)可知，△OBC≌△OB′C′，
∴C′B′＝CB＝OA＝4，∠OCB＝∠OC′′＝120°，
∵∠OC′C＝60°，
∴∠B′C′C＝60°，CC′＝OC＝2，
∴C′E＝1，CE＝，
∴ME＝，C′M＝，
∴E（﹣，）．
將A（4，0），E（﹣，）代入拋物線y＝ax2+bx（a≠0），
∴，
解得．
∴關(guān)于點A，E的“伴隨拋物線”的解析式為：y＝x2﹣．
②如圖，過點B′作x軸的平行線，交MN于點P，
∴B′P＝2，PC′＝2，
∴B′（1，3），
將B′（1，3），A（4，0）代入拋物線的解析式y(tǒng)＝ax2+bx（a≠0），
∴，
解得．
∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2+4．
結(jié)合圖象可知，a的取值范圍為：＜a＜；﹣＜a＜0．
【點評】本題屬于二次函數(shù)背景下新定義類問題，主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定等相關(guān)知識，關(guān)鍵是由旋轉(zhuǎn)得出60°角，解出直角三角形，進而得出點E的坐標(biāo)．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2023/7/11 11:42:44；用戶：笑涵數(shù)學(xué)；郵箱：15699920825；學(xué)號：36906111x
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