1．（3分）隨著2022年北京冬奧會日漸臨近，我國冰雪運(yùn)動(dòng)發(fā)展進(jìn)入快車道，取得了長足進(jìn)步．在此之前，北京冬奧組委曾面向全球征集2022年冬奧會會徽和冬殘奧會會徽設(shè)計(jì)方案，共收到設(shè)計(jì)方案4506件，以下是部分參選作品，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+mx+m﹣1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．m≠2B．m＞2C．m≥2D．m＜2
3．（3分）將二次函數(shù)圖象y＝2x2向下平移1個(gè)單位長度，所得二次函數(shù)的解析式是（ ）
A．y＝2x2+1B．y＝2x2﹣1C．y＝2（x﹣1）2D．y＝2（x+1）2
4．（3分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，下列函數(shù)的圖象上存在點(diǎn)P（m，n）（m＞0，n＞0）的是（ ）
A．y＝B．y＝﹣x﹣1C．y＝﹣x2﹣1D．y＝﹣3x
5．（3分）用配方法解方程3x2﹣6x+2＝0，將方程變?yōu)椋▁﹣m）2＝的形式，則m的值為（ ）
A．9B．﹣9C．1D．﹣1
6．（3分）南宋著名數(shù)學(xué)家楊輝所著的《楊輝算法》中記載：“直田積八百六十四步，只云長闊共六十步，問長闊各幾何？”意思是“一塊矩形田地的面積是864平方步，只知道它的長與寬的和是60步，問它的長和寬各是多少步？”設(shè)矩形田地的長為x步，根據(jù)題意可以列方程為（ ）
A．x2﹣60x﹣864＝0B．x（x+60）＝864
C．x2﹣60x+864＝0D．x（x+30）＝864
7．（3分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的y與x的部分對應(yīng)值如表：
根據(jù)表格中的信息，得到了如下的結(jié)論：
①二次函數(shù)y＝ax2+bx+c可改寫為y＝a（x﹣1）2﹣2的形式
②二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象開口向下
③關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1.5的兩個(gè)根為0或2
④若y＞0，則x＞3
其中所有正確的結(jié)論為（ ）
A．①④B．②③C．②④D．①③
8．（3分）老北京的老行當(dāng)中有一行叫做“抓彩賣糖”：商販將高麗紙裁成許多小條，用礬水在上面寫上糖的塊數(shù)，最少一塊，多的是三塊或五塊，再將枝條混合在一起．游戲時(shí)叫兒童隨意抽取一張，然后放入水罐中浸濕，即出現(xiàn)白道兒，按照上面的白道兒數(shù)給糖．一個(gè)商販準(zhǔn)備了10張質(zhì)地均勻的紙條，其中能得到一塊糖的紙條有5張，能得到三塊塘的紙條有3張，能得到五塊糖的紙條有2張．從中隨機(jī)抽取一張紙條，恰好是能得到三塊塘的紙條的概率是（ ）
A．B．C．D．
二、填空題（每小題3分，共24分）
9．（3分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（2a﹣1）x+a2＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是 ．
10．（3分）對于實(shí)數(shù)a，b，定義運(yùn)算“◎”如下：a◎b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．若（m+2）◎（m﹣3）＝24，則m＝ ．
11．（3分）如圖，A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（3，0），B（0，），將線段BA繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段BC．若點(diǎn)C恰好落在x軸的負(fù)半軸上，則旋轉(zhuǎn)角為 °．
12．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，△AB′C′可以由△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到（點(diǎn)B′與點(diǎn)B是對應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)C′與點(diǎn)C是對應(yīng)點(diǎn)），連接CC′，則∠CC′B′的度數(shù)是 ．
13．（3分）已知電路AB由如圖所示的開關(guān)控制，閉合a，b，c，d，e五個(gè)開關(guān)中的任意兩個(gè)，則使電路形成通路的概率是 ．
14．（3分）一個(gè)函數(shù)滿足過點(diǎn)（0，1），且當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x的增大而減小，該函數(shù)可以為 ．
15．（3分）已知拋物線y＝x2﹣（m+1）x與x軸的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于1且小于2，則m的取值范圍是 ．
16．（3分）如圖，排球運(yùn)動(dòng)員站在點(diǎn)O處練習(xí)發(fā)球，將球從O點(diǎn)正上方2m的A處發(fā)出，把球看成點(diǎn)，其運(yùn)行的高度y（m）與運(yùn)行的水平距離x（m）滿足關(guān)系式y(tǒng)＝a（x﹣6）2+h．已知球網(wǎng)與O點(diǎn)的水平距離為9m，高度為2.43m，球場的邊界距O點(diǎn)的水平距離為18m．若球能越過球網(wǎng)，又不出邊界，則h的取值范圍為 ．
三、解答題（共52分）
17．（4分）用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?br>（1）2x2﹣18＝0．
（2）（m﹣1）2﹣1+m＝0．
18．（5分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣1＝0．
（1）不解方程，判斷此方程根的情況；
（2）若x＝2是該方程的一個(gè)根，求代數(shù)式﹣2k2+8k+5的值．
19．（5分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB邊上一點(diǎn)（點(diǎn)D與A，B不重合），連結(jié)CD，將線段CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段CE，連結(jié)DE交BC于點(diǎn)F，連接BE．
（1）求證：△ACD≌△BCE；
（2）當(dāng)∠BDE＝25°時(shí)，求∠BEF的度數(shù)．
20．（4分）已知二次函數(shù)y＝x2﹣4x+3．
（1）用配方法將y＝x2﹣4x+3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）在平面直角坐標(biāo)系xOy中畫出該函數(shù)的圖象；
（3）當(dāng)0≤x≤3時(shí)，y的取值范圍是 ．
21．（3分）12月4日是全國法制宣傳日．下面是某校九年級四個(gè)班的學(xué)生（各班人數(shù)相同）在一次“憲法知識競答”活動(dòng)中的成績的頻數(shù)分布表：
（1）頻數(shù)分布表中，m＝ ；
（2）從70≤x＜75中，隨機(jī)抽取2名學(xué)生，那么所抽取的學(xué)生中，至少有1人是一班學(xué)生的概率是多少？
22．（5分）某工廠設(shè)計(jì)了一款成本為20元/件的工藝品投放市場進(jìn)行試銷，經(jīng)過調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)：
（1）研究發(fā)現(xiàn)，每天銷售量y與單價(jià)x滿足一次函數(shù)關(guān)系，求出y與x的關(guān)系式；
（2）當(dāng)?shù)匚飪r(jià)部門規(guī)定，該工藝品銷售單價(jià)最高不能超過45元/件，那么銷售單價(jià)定為多少時(shí)，工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤8000元？
23．（6分）某公園在人工湖里安裝一個(gè)噴泉，在湖心處豎直安裝一根水管，在水管的頂端安一個(gè)噴水頭，水柱從噴水頭噴出到落于湖面的路徑形狀可以看作是拋物線的一部分．若記水柱上某一位置與水管的水平距離為d米，與湖面的垂直高度為h米．下面的表中記錄了d與h的五組數(shù)據(jù)：
根據(jù)上述信息，解決以下問題：
（1）在下面網(wǎng)格（圖1）中建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，并根據(jù)表中所給數(shù)據(jù)畫出表示h與d函數(shù)關(guān)系的圖象；
（2）若水柱最高點(diǎn)距離湖面的高度為m米，則m＝ ；
（3）現(xiàn)公園想通過噴泉設(shè)立新的游玩項(xiàng)目，準(zhǔn)備通過只調(diào)節(jié)水管露出湖面的高度，使得游船能從水柱下方通過．如圖2所示，為避免游船被噴泉淋到，要求游船從水柱下方中間通過時(shí)，頂棚上任意一點(diǎn)到水柱的豎直距離均不小于0.5米．已知游船頂棚寬度為3米，頂棚到湖面的高度為2米，那么公園應(yīng)將水管露出湖面的高度（噴水頭忽略不計(jì)）至少調(diào)節(jié)到多少米才能符合要求？請通過計(jì)算說明理由（結(jié)果保留一位小數(shù)）．
24．（6分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）在拋物線y＝﹣x2+（2a﹣2）x﹣a2+2a上，其中x1＜x2．
（1）求拋物線的對稱軸（用含a的式子表示）；
（2）①當(dāng)x＝a時(shí)，求y的值；
②若y1＝y(tǒng)2＝0，求x1的值（用含a的式子表示）．
（3）若對于x1+x2＜﹣4，都有y1＜y2，求a的取值范圍．
25．（7分）已知∠MAN＝30°，點(diǎn)B為邊AM上一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)P為線段AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），點(diǎn)P關(guān)于直線AN的對稱點(diǎn)為點(diǎn)Q，連接AQ，BQ，點(diǎn)A關(guān)于直線BQ的對稱點(diǎn)為點(diǎn)C，連接PQ，CP．
（1）如圖1，若點(diǎn)P為線段AB的中點(diǎn)；
①直接寫出∠AQB的度數(shù)；
②依題意補(bǔ)全圖形，并直接寫出線段CP與AP的數(shù)量關(guān)系；
（2）如圖2，若線段CP與BQ交于點(diǎn)D．
①設(shè)∠BQP＝α，求∠CPQ的大?。ㄓ煤恋氖阶颖硎荆?；
②用等式表示線段DC，DQ，DP之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
26．（7分）對于平面直角坐標(biāo)系xOy中的圖形W，給出如下定義：點(diǎn)P是圖形W上任意一點(diǎn)，若存在點(diǎn)Q，使得∠OQP是直角，則稱點(diǎn)Q是圖形W的“直角點(diǎn)”．
（1）已知點(diǎn)A（6，8），在點(diǎn)Q1（0，8），Q2（﹣4，2），Q3（8，4）中， 是點(diǎn)A的“直角點(diǎn)”；
（2）已知點(diǎn)B（﹣3，4），C（4，4），若點(diǎn)Q是線段BC的“直角點(diǎn)”，求點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)n的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，已知點(diǎn)D（t，0），E（t+1，0），以線段DE為邊在x軸上方作正方形DEFG．若正方形DEFG上的所有點(diǎn)均為線段BC的“直角點(diǎn)”，直接寫出t的取值范圍．
2022-2023學(xué)年北京市朝陽區(qū)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（每小題3分，共24分）
1．（3分）隨著2022年北京冬奧會日漸臨近，我國冰雪運(yùn)動(dòng)發(fā)展進(jìn)入快車道，取得了長足進(jìn)步．在此之前，北京冬奧組委曾面向全球征集2022年冬奧會會徽和冬殘奧會會徽設(shè)計(jì)方案，共收到設(shè)計(jì)方案4506件，以下是部分參選作品，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．
【解答】解：A．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形．故本選項(xiàng)不合題意；
B．不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形．故本選項(xiàng)不符合題意；
C．既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形．故本選項(xiàng)符合題意；
D．不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形．故本選項(xiàng)不合題意．
故選：C．
【點(diǎn)評】此題考查中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合；中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180°后與原圖重合．
2．（3分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+mx+m﹣1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．m≠2B．m＞2C．m≥2D．m＜2
【分析】根據(jù)判別式的意義得到Δ＝m2﹣4×1×（m﹣1）＝（m﹣2）2＞0，即可求得m≠2．
【解答】解：根據(jù)題意得Δ＝m2﹣4×1×（m﹣1）＝（m﹣2）2＞0，
解得m≠2，
故選：A．
【點(diǎn)評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．
3．（3分）將二次函數(shù)圖象y＝2x2向下平移1個(gè)單位長度，所得二次函數(shù)的解析式是（ ）
A．y＝2x2+1B．y＝2x2﹣1C．y＝2（x﹣1）2D．y＝2（x+1）2
【分析】原拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），平移后拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣1），據(jù)此寫出平移后拋物線解析式．
【解答】解：∵拋物線y＝2x2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），向下平移1個(gè)單位長度的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣1），
∴所得二次函數(shù)的解析式是y＝2x2﹣1．
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換．關(guān)鍵是將拋物線的平移問題轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)的平移，尋找平移方法．
4．（3分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，下列函數(shù)的圖象上存在點(diǎn)P（m，n）（m＞0，n＞0）的是（ ）
A．y＝B．y＝﹣x﹣1C．y＝﹣x2﹣1D．y＝﹣3x
【分析】由題意，圖象經(jīng)過第一象限的函數(shù)都是滿足條件的，由此判斷即可．
【解答】解：由題意，圖象經(jīng)過第一、三象限的函數(shù)是滿足條件的，
A、函數(shù)y＝的圖象在一、三象限，滿足條件；
B、函數(shù)y＝﹣x﹣1的圖象經(jīng)過二、三、四象限，不經(jīng)過第一象限，不滿足條件；
C、函數(shù)y＝﹣x2﹣1的圖象經(jīng)過三、四象限，不經(jīng)過第一象限，不滿足條件；
D、函數(shù)y＝﹣3x的圖象經(jīng)過二、四象限，不經(jīng)過第一象限，不滿足條件；
故選：A．
【點(diǎn)評】本題考查了反比函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)．熟練掌握函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
5．（3分）用配方法解方程3x2﹣6x+2＝0，將方程變?yōu)椋▁﹣m）2＝的形式，則m的值為（ ）
A．9B．﹣9C．1D．﹣1
【分析】方程整理后，利用完全平方公式配方得到結(jié)果，即可求出m的值．
【解答】解：方程3x2﹣6x+2＝0，
變形得：x2﹣2x＝﹣，
配方得：x2﹣2x+1＝，即（x﹣1）2＝，
則m＝1．
故選：C．
【點(diǎn)評】此題考查了解一元二次方程﹣配方法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．
6．（3分）南宋著名數(shù)學(xué)家楊輝所著的《楊輝算法》中記載：“直田積八百六十四步，只云長闊共六十步，問長闊各幾何？”意思是“一塊矩形田地的面積是864平方步，只知道它的長與寬的和是60步，問它的長和寬各是多少步？”設(shè)矩形田地的長為x步，根據(jù)題意可以列方程為（ ）
A．x2﹣60x﹣864＝0B．x（x+60）＝864
C．x2﹣60x+864＝0D．x（x+30）＝864
【分析】由矩形田地的長與寬的和是60步，可得出矩形田地的寬為（60﹣x）步，根據(jù)矩形田地的面積是864平方步，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．
【解答】解：∵矩形田地的長為x步，矩形田地的長與寬的和是60步，
∴矩形田地的寬為（60﹣x）步．
依題意得：x（60﹣x）＝864，
整理得：x2﹣60x+864＝0．
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程以及數(shù)學(xué)常識，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
7．（3分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的y與x的部分對應(yīng)值如表：
根據(jù)表格中的信息，得到了如下的結(jié)論：
①二次函數(shù)y＝ax2+bx+c可改寫為y＝a（x﹣1）2﹣2的形式
②二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象開口向下
③關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1.5的兩個(gè)根為0或2
④若y＞0，則x＞3
其中所有正確的結(jié)論為（ ）
A．①④B．②③C．②④D．①③
【分析】根據(jù)表格數(shù)據(jù)求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可判斷①②；根據(jù)二次函數(shù)的圖象與一元二次方程的關(guān)系可判斷③；根據(jù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)可以判斷④．
【解答】解：∵x＝﹣1和x＝3時(shí)的函數(shù)值相同，都是1，
∴拋物線的對稱軸為直線x＝＝1，
當(dāng)x＝1時(shí)，y＝﹣2
∴拋物線的頂點(diǎn)為（1，﹣2），
∴二次函數(shù)y＝ax2+bx+c可改寫為y＝a（x﹣1）2﹣2的形式，
所以①正確；
∵由表格可知x＝1時(shí)函數(shù)的值最小，
∴拋物線的開口向上，
故②錯(cuò)誤；
∵x＝0與x＝2關(guān)于對稱軸對稱，
∴x＝0時(shí)，y＝﹣1.5，x＝2時(shí)，y＝﹣1.5，
∴關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1.5的兩個(gè)根為0或2，
故③正確；
∵拋物線的開口向上，對稱軸為直線x＝1，x＝﹣1時(shí)，y＝0，
∴x＝3時(shí)，y＝0，
∴若y＞0，則x＞3或x＜﹣1，
故④錯(cuò)誤；
綜上所述：其中正確的結(jié)論有①③．
故選：D．
【點(diǎn)評】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)、二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解決本題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．
8．（3分）老北京的老行當(dāng)中有一行叫做“抓彩賣糖”：商販將高麗紙裁成許多小條，用礬水在上面寫上糖的塊數(shù)，最少一塊，多的是三塊或五塊，再將枝條混合在一起．游戲時(shí)叫兒童隨意抽取一張，然后放入水罐中浸濕，即出現(xiàn)白道兒，按照上面的白道兒數(shù)給糖．一個(gè)商販準(zhǔn)備了10張質(zhì)地均勻的紙條，其中能得到一塊糖的紙條有5張，能得到三塊塘的紙條有3張，能得到五塊糖的紙條有2張．從中隨機(jī)抽取一張紙條，恰好是能得到三塊塘的紙條的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)概率的求法，找準(zhǔn)兩點(diǎn)：
①全部情況的總數(shù)；
②符合條件的情況數(shù)目；二者的比值就是其發(fā)生的概率．
【解答】解：∵共有10張質(zhì)地均勻的紙條，能得到三塊塘的紙條有3張，
∴從中隨機(jī)抽取一張紙條，恰好是能得到三塊塘的紙條的概率是；
故選：B．
【點(diǎn)評】此題考查概率的求法：如果一個(gè)事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種可能，那么事件A的概率P（A）＝．
二、填空題（每小題3分，共24分）
9．（3分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（2a﹣1）x+a2＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是 a＜ ．
【分析】根據(jù)根的判別式的意義得到（2a﹣1）2﹣4a2＞0，然后解不等式即可．
【解答】解：根據(jù)題意得Δ＝（2a﹣1）2﹣4a2＞0，
解得a＜，
所以a的取值范圍是a＜．
故答案為：a＜．
【點(diǎn)評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．
10．（3分）對于實(shí)數(shù)a，b，定義運(yùn)算“◎”如下：a◎b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．若（m+2）◎（m﹣3）＝24，則m＝ ﹣3或4 ．
【分析】利用新定義得到[（m+2）+（m﹣3）]2﹣[（m+2）﹣（m﹣3）]2＝24，整理得到（2m﹣1）2﹣49＝0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：根據(jù)題意得[（m+2）+（m﹣3）]2﹣[（m+2）﹣（m﹣3）]2＝24，
（2m﹣1）2﹣49＝0，
（2m﹣1+7）（2m﹣1﹣7）＝0，
2m﹣1+7＝0或2m﹣1﹣7＝0，
所以m1＝﹣3，m2＝4．
故答案為﹣3或4．
【點(diǎn)評】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
11．（3分）如圖，A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（3，0），B（0，），將線段BA繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段BC．若點(diǎn)C恰好落在x軸的負(fù)半軸上，則旋轉(zhuǎn)角為 120 °．
【分析】由A（3，0），B（0，），得出OA＝3，OB＝，利用tan∠OAB求出∠OAB＝30°，得出∠BCO＝30°，最后利用三角形內(nèi)角和求出答案．
【解答】解：∵A（3，0），B（0，），
∴OA＝3，OB＝，
∴tan∠OAB＝，
∴∠OAB＝30°，
∠BCO＝30°，
∴∠ABC＝180°﹣30°﹣30°＝120°．
故答案為120°．
【點(diǎn)評】本題考查了特殊直角三角形的性質(zhì)，熟練運(yùn)用特殊三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．
12．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，△AB′C′可以由△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到（點(diǎn)B′與點(diǎn)B是對應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)C′與點(diǎn)C是對應(yīng)點(diǎn)），連接CC′，則∠CC′B′的度數(shù)是 15° ．
【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和計(jì)算出∠ACB＝90°﹣60°＝30°，由于△AB′C由△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AC′＝AC，∠C′AB′＝∠CAB＝90°，∠AC′B′＝30°，則△ACC′為等腰直角三角形，得到∠AC′C＝45°，然后利用∠CC′B′＝∠AC′C﹣∠AC′B′計(jì)算即可．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，∠B＝60°，
∴∠ACB＝90°﹣60°＝30°，
∵△AB′C由△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，
∴AC′＝AC，∠C′AB′＝∠CAB＝90°，∠AC′B′＝30°，
∴△ACC′為等腰直角三角形，
∴∠AC′C＝45°，
∴∠CC′B′＝∠AC′C﹣∠AC′B′＝45°﹣30°＝15°．
故答案為15°．
【點(diǎn)評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等，即對應(yīng)角相等，對應(yīng)線段相等．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)．
13．（3分）已知電路AB由如圖所示的開關(guān)控制，閉合a，b，c，d，e五個(gè)開關(guān)中的任意兩個(gè)，則使電路形成通路的概率是 ．
【分析】首先根據(jù)題意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的結(jié)果與使電路形成通路的情況，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：列表得：
∴一共有20種等可能的結(jié)果，使電路形成通路的有12種情況，
∴使電路形成通路的概率是：＝．
故答案為：．
【點(diǎn)評】此題考查了列表法或樹狀圖法求概率．用到的知識點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
14．（3分）一個(gè)函數(shù)滿足過點(diǎn)（0，1），且當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x的增大而減小，該函數(shù)可以為 y＝﹣x+1，（不唯一） ．
【分析】若函數(shù)為一次函數(shù)時(shí)，當(dāng)x＞0，y隨x增大而減小，說明k＜0，只要滿足k＜0的值即可，把（0，1）代入解析式可得函數(shù)解析式．
【解答】解：∵當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x的增大而減小，
∴k＜0，
可設(shè)k＝﹣1，
∵過點(diǎn)（0，1），
∴設(shè)函數(shù)解析式為y＝kx+b（k≠0），
將k＝﹣1，（0，1）代入得b＝1，
∴y＝﹣x+1，
故答案為y＝﹣x+1（答案不唯一，需滿足k＜0即可）．
【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)解析式，解本題的關(guān)鍵是掌握一次函數(shù)的性質(zhì)．
15．（3分）已知拋物線y＝x2﹣（m+1）x與x軸的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于1且小于2，則m的取值范圍是 0＜m＜1 ．
【分析】根據(jù)函數(shù)解析式求出二次函數(shù)與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)大于1且小于2確定m的取值范圍即可．
【解答】解：令y＝x2﹣（m+1）x＝0，
解得：x＝0，x'＝m+1，
∴拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為（0，0）和（m+1，0），
∵其中一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于1且小于2，
∴1＜m+1＜2，
即0＜m＜1，
故答案為：0＜m＜1．
【點(diǎn)評】本題主要考查二次函數(shù)與x軸的坐標(biāo)問題，熟練掌握拋物線與x軸的交點(diǎn)知識是解題的關(guān)鍵．
16．（3分）如圖，排球運(yùn)動(dòng)員站在點(diǎn)O處練習(xí)發(fā)球，將球從O點(diǎn)正上方2m的A處發(fā)出，把球看成點(diǎn)，其運(yùn)行的高度y（m）與運(yùn)行的水平距離x（m）滿足關(guān)系式y(tǒng)＝a（x﹣6）2+h．已知球網(wǎng)與O點(diǎn)的水平距離為9m，高度為2.43m，球場的邊界距O點(diǎn)的水平距離為18m．若球能越過球網(wǎng)，又不出邊界，則h的取值范圍為 ．
【分析】把點(diǎn)A坐標(biāo)代入y＝a（x﹣6）2+h得y＝（x﹣6）2+h，由題意得：當(dāng)x＝9時(shí)，y＞2.43，當(dāng)x＝18時(shí)，y≤0，即可求解．
【解答】解：點(diǎn)A（0，2），將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：2＝a（0﹣6）2+h，
解得：a＝，
∴拋物線的表達(dá)式為y＝（x﹣6）2+h，
由題意得：當(dāng)x＝9時(shí)，y＝（x﹣6）2+h＝（9﹣6）2+h＞2.43，
解得：h＞；
當(dāng)x＝18時(shí)，y＝（x﹣6）2+h＝（18﹣6）2+h≤0，
解得：h≥，
故h的取值范圍是h≥．
故答案為：h≥．
【點(diǎn)評】此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用題，根據(jù)題意求出兩個(gè)不等式是解題關(guān)鍵．
三、解答題（共52分）
17．（4分）用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?br>（1）2x2﹣18＝0．
（2）（m﹣1）2﹣1+m＝0．
【分析】（1）利用直接開平方法求解比較簡便；
（2）利用因式分解法求解比較簡便．
【解答】解：（1）移項(xiàng)，得2x2＝18，
所以x2＝9，
所以x＝±3．
所以x1＝3，x2＝﹣3．
（2）（m﹣1）2+（m﹣1）＝0，
（m﹣1）（m﹣1+1）＝0．
∴m（m﹣1）＝0．
∴m＝0或m﹣1＝0．
∴m1＝0，m2＝1．
【點(diǎn)評】本題考查了解一元二次方程，掌握直接開平方法、因式分解法是解決本題的關(guān)鍵．
18．（5分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣1＝0．
（1）不解方程，判斷此方程根的情況；
（2）若x＝2是該方程的一個(gè)根，求代數(shù)式﹣2k2+8k+5的值．
【分析】（1）利用根的判別式Δ＝b2﹣4ac判斷即可．
（2）將x＝2代入一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣1＝0，整理得k2﹣4k＝﹣3，再將﹣2k2+8k+5變形為﹣2（k2﹣4k）+5，代入求值即可．
【解答】解：（1）∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2k）2﹣4（k2﹣1）＝4k2﹣4k2+4＝4＞0，
∴此一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
（2）將x＝2代入一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣1＝0，
得4﹣4k+k2﹣1＝0，
整理得k2﹣4k＝﹣3，
∴﹣2k2+8k+5
＝﹣2（k2﹣4k）+5
＝﹣2×（﹣3）+5
＝11．
【點(diǎn)評】本題考查一元二次方程根的判別式、一元二次方程的解，牢記：當(dāng)Δ＝b2﹣4ac＞0時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝b2﹣4ac＝0時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝b2﹣4ac＜0時(shí)，一元二次方程無實(shí)數(shù)根．
19．（5分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB邊上一點(diǎn)（點(diǎn)D與A，B不重合），連結(jié)CD，將線段CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段CE，連結(jié)DE交BC于點(diǎn)F，連接BE．
（1）求證：△ACD≌△BCE；
（2）當(dāng)∠BDE＝25°時(shí)，求∠BEF的度數(shù)．
【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得CD＝CE，∠DCE＝90°＝∠ACB，由“SAS”可證△ACD≌△BCE，可得BE＝AD，∠CBE＝∠CAD＝45°，可得結(jié)論；
（2）由等腰三角形的性質(zhì)可求解．
【解答】（1）證明：∵將線段CD繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段CE，
∴CD＝CE，∠DCE＝90°＝∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCE，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
（2）解：∵△ACD≌△BCE，
∴∠CBE＝∠CAD＝45°，
∴∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝90°，
∵∠BDE＝25°，
∴∠BEF＝65°．
【點(diǎn)評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．
20．（4分）已知二次函數(shù)y＝x2﹣4x+3．
（1）用配方法將y＝x2﹣4x+3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）在平面直角坐標(biāo)系xOy中畫出該函數(shù)的圖象；
（3）當(dāng)0≤x≤3時(shí)，y的取值范圍是 ﹣1≤y≤3 ．
【分析】（1）運(yùn)用配方法把一般式化為頂點(diǎn)式；
（2）根據(jù)函數(shù)圖象的畫法畫出二次函數(shù)圖象即可；
（3）運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解答即可．
【解答】解：（1）y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1；
（2）這個(gè)二次函數(shù)的圖象如圖：
（3）當(dāng)0≤x≤3時(shí)，﹣1≤y≤3．
故答案為﹣1≤y≤3．
【點(diǎn)評】本題考查的是二次函數(shù)的三種形式、二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握配方法把一般式化為頂點(diǎn)式是解題的關(guān)鍵．
21．（3分）12月4日是全國法制宣傳日．下面是某校九年級四個(gè)班的學(xué)生（各班人數(shù)相同）在一次“憲法知識競答”活動(dòng)中的成績的頻數(shù)分布表：
（1）頻數(shù)分布表中，m＝ 3 ；
（2）從70≤x＜75中，隨機(jī)抽取2名學(xué)生，那么所抽取的學(xué)生中，至少有1人是一班學(xué)生的概率是多少？
【分析】（1）先求出九年級一班的學(xué)生為20人，各班人數(shù)相同，即可得出答案；
（2）畫樹狀圖，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）∵九年級一班的學(xué)生為：2+0+3+7+8+0＝20（人），各班人數(shù)相同，
∴m＝20﹣（0+3+7+5+2）＝3，
故答案為：3；
（2）一班有2人，分別記為A、B；四班有3人，分別記為C、D、E；
畫樹狀圖如圖：
共有20個(gè)等可能的結(jié)果，所抽取的學(xué)生中，至少有1人是一班學(xué)生的結(jié)果有14個(gè)，
∴所抽取的學(xué)生中，至少有1人是一班學(xué)生的概率為＝．
【點(diǎn)評】本題考查了列表法與樹狀圖法以及頻數(shù)分布表；正確畫出樹狀圖是解題的關(guān)鍵．
22．（5分）某工廠設(shè)計(jì)了一款成本為20元/件的工藝品投放市場進(jìn)行試銷，經(jīng)過調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)：
（1）研究發(fā)現(xiàn)，每天銷售量y與單價(jià)x滿足一次函數(shù)關(guān)系，求出y與x的關(guān)系式；
（2）當(dāng)?shù)匚飪r(jià)部門規(guī)定，該工藝品銷售單價(jià)最高不能超過45元/件，那么銷售單價(jià)定為多少時(shí)，工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤8000元？
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解可得；
（2）根據(jù)“總利潤＝單件利潤×銷售量”可得關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得．
【解答】解：（1）設(shè)y＝kx+b，
根據(jù)題意可得，
解得：，
則y＝﹣10x+800；
（2）根據(jù)題意，得：（x﹣20）（﹣10x+800）＝8000，
整理，得：x2﹣100x+2400＝0，
解得：x1＝40，x2＝60，
∵銷售單價(jià)最高不能超過45元/件，
∴x＝40，
答：銷售單價(jià)定為40元/件時(shí)，工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤8000元．
【點(diǎn)評】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及找到題目蘊(yùn)含的相等關(guān)系．
23．（6分）某公園在人工湖里安裝一個(gè)噴泉，在湖心處豎直安裝一根水管，在水管的頂端安一個(gè)噴水頭，水柱從噴水頭噴出到落于湖面的路徑形狀可以看作是拋物線的一部分．若記水柱上某一位置與水管的水平距離為d米，與湖面的垂直高度為h米．下面的表中記錄了d與h的五組數(shù)據(jù)：
根據(jù)上述信息，解決以下問題：
（1）在下面網(wǎng)格（圖1）中建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，并根據(jù)表中所給數(shù)據(jù)畫出表示h與d函數(shù)關(guān)系的圖象；
（2）若水柱最高點(diǎn)距離湖面的高度為m米，則m＝ 1.5 ；
（3）現(xiàn)公園想通過噴泉設(shè)立新的游玩項(xiàng)目，準(zhǔn)備通過只調(diào)節(jié)水管露出湖面的高度，使得游船能從水柱下方通過．如圖2所示，為避免游船被噴泉淋到，要求游船從水柱下方中間通過時(shí)，頂棚上任意一點(diǎn)到水柱的豎直距離均不小于0.5米．已知游船頂棚寬度為3米，頂棚到湖面的高度為2米，那么公園應(yīng)將水管露出湖面的高度（噴水頭忽略不計(jì)）至少調(diào)節(jié)到多少米才能符合要求？請通過計(jì)算說明理由（結(jié)果保留一位小數(shù)）．
【分析】（1）建立坐標(biāo)系，描點(diǎn)．用平滑的曲線連接即可；
（2）觀察圖象即可得出結(jié)論；
（3）根據(jù)二次函數(shù)圖象的性質(zhì)求出最高點(diǎn)的高度，設(shè)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，求解原拋物線的解析式；設(shè)出二次函數(shù)圖象平移后的解析式，根據(jù)題意求解即可．
【解答】解：（1）以噴泉與湖面的交點(diǎn)為原點(diǎn)，噴泉所在的直線為縱軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖1所示：
（2）根據(jù)題意可知，該拋物線的對稱軸為x＝2，此時(shí)最高，
即m＝1.5，
故答案為：1.5．
（3）根據(jù)圖象可設(shè)二次函數(shù)的解析式為：h＝a（d﹣2）2+1.5，
將（0，0.5）代入h＝a（d﹣2）2+1.5，得a＝﹣，
∴拋物線的解析式為：h＝﹣d2+d+0.5，
設(shè)調(diào)節(jié)后的水管噴出的拋物線的解析式為：h＝﹣d2+d+0.5+m，
由題意可知，當(dāng)橫坐標(biāo)為2+＝時(shí)，縱坐標(biāo)的值大于2+0.5＝2.5，
∴﹣×（）2++0.5+m≥2.5，
解得m≥1.6，
∴水管高度至少向上調(diào)節(jié)1.6米，
∴0.5+1.6＝2.1（米），
∴公園應(yīng)將水管露出湖面的高度（噴水頭忽略不計(jì)）至少調(diào)節(jié)到2.1米才能符合要求．
【點(diǎn)評】本題屬于二次函數(shù)的應(yīng)用，主要考查待定函數(shù)求函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象的平移，解題的關(guān)鍵在于掌握由二次函數(shù)的圖象建立二次函數(shù)模型．
24．（6分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）在拋物線y＝﹣x2+（2a﹣2）x﹣a2+2a上，其中x1＜x2．
（1）求拋物線的對稱軸（用含a的式子表示）；
（2）①當(dāng)x＝a時(shí)，求y的值；
②若y1＝y(tǒng)2＝0，求x1的值（用含a的式子表示）．
（3）若對于x1+x2＜﹣4，都有y1＜y2，求a的取值范圍．
【分析】（1）拋物線的對稱軸x＝﹣，計(jì)算即可；
（2）①將x＝a代入y＝﹣x2+（2a﹣2）x﹣a2+2a，計(jì)算即可；②若y1＝y(tǒng)2＝0，則﹣x2+（2a﹣2）x﹣a2+2a＝0，解方程并根據(jù)x1＜x2，即可得出x1的值．
（3）由題意得出x1＜﹣2，則只需討論x1＜a﹣1的情況，分兩種情況：①當(dāng)a≥﹣1時(shí)，又有兩種情況：x1＜x2＜a﹣1，x1＜a﹣1＜x2，分別結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)及x1+x2＜﹣4計(jì)算即可；②當(dāng)a＜﹣1時(shí)，令x1＝a﹣1，x2＝﹣2，此時(shí)x1+x2＜﹣4，但y1＞y2，不符合題意．
【解答】解：（1）拋物線的對稱軸為直線x＝﹣＝a﹣1；
（2）①當(dāng)x＝a時(shí)，y＝﹣a2+（2a﹣2）a﹣a2+2a
＝﹣a2+2a2﹣2a﹣a2+2a
＝0；
②當(dāng)y1＝y(tǒng)2＝0時(shí)，﹣x2+（2a﹣2）x﹣a2+2a＝0，
∴x2﹣（2a﹣2）x+a2﹣2a＝0，
∴（x﹣a+2）（x﹣a）＝0，
∵x1＜x2，
∴x1＝a﹣2；
（3）方法一、①當(dāng)a≥﹣1時(shí)，
∵x1＜x2，x1+x2＜﹣4，
∴x1＜﹣2，只需討論x1＜a﹣1的情況．
若x1＜x2＜a﹣1，
∵x＜a﹣1時(shí)，y隨著x的增大而增大，
∴y1＜y2，符合題意；
若x1＜a﹣1＜x2，
∵a﹣1≥﹣2，
∴2（a﹣1）≥﹣4，
∵x1+x2＜﹣4，
∴x1+x2＜2（a﹣1）．
∴x1＜2（a﹣1）﹣x2．
∵x＝2（a﹣1）﹣x2時(shí)，y1＝y(tǒng)2，x＜a﹣1時(shí)，y隨著x的增大而增大，
∴y1＜y2，符合題意．
②當(dāng)a＜﹣1時(shí)，令x1＝a﹣1，x2＝﹣2，此時(shí)x1+x2＜﹣4，但y1＞y2，不符合題意；
綜上所述，a的取值范圍是a≥﹣1．
方法二、
y1﹣y2＝﹣x12+（2a﹣2）x1+x22﹣（2a﹣2）x2＝（x2﹣x1）（x2+x1）+（2a﹣2）（x1﹣x2）＝（x1﹣x2）（2a﹣2﹣x1﹣x2）＜0，
∵2a﹣2＞x1+x2，
∴x1+x2＜﹣4，
∴2a﹣2≥﹣4，
∴a≥﹣1．
【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系及一元一次不等式等知識點(diǎn)，熟練掌握二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)及二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
25．（7分）已知∠MAN＝30°，點(diǎn)B為邊AM上一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)P為線段AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），點(diǎn)P關(guān)于直線AN的對稱點(diǎn)為點(diǎn)Q，連接AQ，BQ，點(diǎn)A關(guān)于直線BQ的對稱點(diǎn)為點(diǎn)C，連接PQ，CP．
（1）如圖1，若點(diǎn)P為線段AB的中點(diǎn)；
①直接寫出∠AQB的度數(shù)；
②依題意補(bǔ)全圖形，并直接寫出線段CP與AP的數(shù)量關(guān)系；
（2）如圖2，若線段CP與BQ交于點(diǎn)D．
①設(shè)∠BQP＝α，求∠CPQ的大?。ㄓ煤恋氖阶颖硎荆?；
②用等式表示線段DC，DQ，DP之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
【分析】（1）①證明PQ＝PA＝PB，可得結(jié)論．
②圖形如圖所示：結(jié)論：PC＝PA．證明∠APC＝90°，可得結(jié)論．
（2）①如圖2中，連接BC，CQ．證明B，P，Q，C四點(diǎn)共圓，推出∠CPB＝∠CQB＝∠AQB，由∠APC+∠CPB＝180°，推出∠PAQ+∠PDQ＝180°，推出∠PDQ＝120°，推出∠DQP+∠DPQ＝60°，可得結(jié)論．
②如圖2﹣1中，結(jié)論：CD＝DP+DQ．連接AD，在AD上取一點(diǎn)T，使得DT＝DP．利用全等三角形的性質(zhì)解決問題即可．
【解答】解：（1）①∵P，Q關(guān)于AN對稱，
∴AP＝AQ，∠PAN＝∠QAN＝30°，
∴△APQ是等邊三角形，
∴PQ＝PA，
∵點(diǎn)P為線段AB的中點(diǎn)，
∴PB＝PA，
∴PQ＝PA＝PB，
∴∠AQB＝90°．
②圖形如圖所示：結(jié)論：PC＝PA．
理由：∵∠AQB＝90°，A，C關(guān)于BQ對稱，
∴AQ＝QC，
∴PQ＝QC＝AQ，
∴∠CPA＝60°，
∴＝tan60°，
∴PC＝PA．
（2）①如圖2中，連接BC，CQ．
∵A，C關(guān)于BQ對稱，
∴BC＝BA，CQ＝AQ，
∵BQ＝BQ，
∴△BQC≌BQA（SSS），
∴∠BCQ＝∠BAQ＝60°，∠BQC＝∠BQA，
∵∠APQ＝60°，
∴∠BPQ＝120°，
∴∠BPQ+∠BCQ＝180°，
∴B，P，Q，C四點(diǎn)共圓，
∴∠CPB＝∠CQB＝∠AQB，
∵∠APC+∠CPB＝180°，
∴∠PAQ+∠PDQ＝180°，
∴∠PDQ＝120°，
∴∠DQP+∠DPQ＝60°，
∴∠CPQ＝60°﹣α．
②如圖2﹣1中，結(jié)論：CD＝DP+DQ．
理由：連接AD，在AD上取一點(diǎn)T，使得DT＝DP．
∵∠PAQ+∠PDQ＝180°，
∴A，P，D，Q四點(diǎn)共圓，
∴∠PDT＝∠PQA＝60°，
∵DT＝DP，
∴△PDT是等邊三角形，
∴PD＝PT，∠DPT＝∠QPA＝60°，
∴∠DPQ＝∠TPA，
∵PD＝PT，PQ＝PA，
∴△DPQ≌△TPA（SAS），
∴DQ＝TA，
∴AD＝DT+AT＝PD+DQ，
∵A，C關(guān)于BQ對稱，
∴DC＝AD，
∴CD＝DP+DQ．
【點(diǎn)評】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，四點(diǎn)共圓等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．
26．（7分）對于平面直角坐標(biāo)系xOy中的圖形W，給出如下定義：點(diǎn)P是圖形W上任意一點(diǎn)，若存在點(diǎn)Q，使得∠OQP是直角，則稱點(diǎn)Q是圖形W的“直角點(diǎn)”．
（1）已知點(diǎn)A（6，8），在點(diǎn)Q1（0，8），Q2（﹣4，2），Q3（8，4）中， Q1和Q3 是點(diǎn)A的“直角點(diǎn)”；
（2）已知點(diǎn)B（﹣3，4），C（4，4），若點(diǎn)Q是線段BC的“直角點(diǎn)”，求點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)n的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，已知點(diǎn)D（t，0），E（t+1，0），以線段DE為邊在x軸上方作正方形DEFG．若正方形DEFG上的所有點(diǎn)均為線段BC的“直角點(diǎn)”，直接寫出t的取值范圍．
【分析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式和勾股定理的逆定理證明OQ12+AQ12＝OA2，OQ32+AQ32＝OA2，可得∠OQ1A＝90°，∠OQ3A＝90°，再根據(jù)“直角點(diǎn)”的定義可得結(jié)論；
（2）連接OB，OC，取BO的中點(diǎn)M，OC的中點(diǎn)N，分別以M，N為圓心，OB，OC為直徑作圓，由圖可知，Q1，Q2為兩個(gè)臨界點(diǎn)，即可求得答案；
（3）如圖2，分別以O(shè)B，OC為直徑作圓，確定正方形DEFG的極限位置如圖2中的①②③④，當(dāng)t+1＜0，即t＜﹣1時(shí)，正方形DEFG位于正方形①位置時(shí)，可得t＝﹣3，正方形DEFG位于正方形②位置時(shí)，利用兩點(diǎn)間距離公式和勾股定理可得t＝1﹣，即﹣3≤t≤1﹣．同理可得：≤t≤3，即可求得答案．
【解答】解：（1）∵點(diǎn)Q1（0，8），Q2（﹣4，2），Q3（8，4），點(diǎn)A（6，8），
∴OQ1＝＝8，
OQ2＝＝，
OQ3＝＝＝，
OA＝＝10，
AQ1＝＝6，
AQ2＝＝＝，
AQ3＝＝＝，
∴OQ12+AQ12＝OA2，OQ32+AQ32＝OA2，OQ22+AQ22≠OA2，
∴∠OQ1A＝90°，∠OQ3A＝90°，
∴Q1和Q3是點(diǎn)A的直角點(diǎn)；
故答案為：Q1和Q3；
（2）如圖1所示，連接OB，OC，取BO的中點(diǎn)M，OC的中點(diǎn)N，
分別以M，N為圓心，OB，OC為直徑作圓，
由圖可知，Q1，Q2為兩個(gè)臨界點(diǎn)，
則＝xM﹣Q2M＝﹣﹣＝﹣4，
同理，＝2+2，
∴﹣4≤n≤2+2；
（3）如圖2，分別以O(shè)B，OC為直徑作圓，
當(dāng)t+1＜0，即t＜﹣1時(shí)，
正方形DEFG位于正方形①位置時(shí)，可得t＝﹣3，
正方形DEFG位于正方形②位置時(shí)，
∵F2（t+1，1），OF22+CF22＝OC2，
∴（t+1）2+12+（t﹣3）2+（1﹣4）2＝42+42，
解得：t＝1﹣或t＝1+（舍去），
∴﹣3≤t≤1﹣．
當(dāng)t＞0時(shí)，
正方形DEFG位于正方形③位置時(shí)，
∵G3（t，1），OG32+BG32＝OB2，
∴t2+12+（t+3）2+（1﹣4）2＝32+42，
解得：t＝或t＝（舍去），
正方形DEFG位于正方形④位置時(shí)，
∵E4（t+1，0），
∴t+1＝4，
解得：t＝3，
∴≤t≤3，
綜上所述，﹣3≤t≤1﹣或≤t≤3．
【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理及逆定理，圓的性質(zhì)，不等式組的應(yīng)用等，解題關(guān)鍵是理解并應(yīng)用新定義“直角點(diǎn)”．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2023/7/11 11:42:05；用戶：笑涵數(shù)學(xué)；郵箱：15699920825；學(xué)號：36906111x
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﹣1
0
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y
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成績x
人數(shù)
班級
70≤x＜75
75≤x＜80
80≤x＜85
85≤x＜90
90≤x＜95
95≤x≤100
一班
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二班
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四班
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銷售單價(jià)x（元∕件）
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60
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每天銷售量y（件）
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0
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（a，e）
（b，e）
（c，e）
（d，e）
﹣
（a，d）
（b，d）
（c，d）
﹣
（e，d）
（a，c）
（b，c）
﹣
（d，c）
（e，c）
（a，b）
﹣
（c，b）
（d，b）
（e，b）
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（b，a）
（c，a）
（d，a）
（e，a）
成績x
人數(shù)
班級
70≤x＜75
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