1．（2分）已知3y＝2x（y≠0），那么下列比例式中成立的是（ ）
A．＝B．＝C．＝D．＝
2．（2分）下列點坐標，是二次函數(shù)y＝2（x﹣1）2﹣4圖象的頂點坐標的是（ ）
A．（2，4）B．（﹣1，﹣4）C．（﹣1，4）D．（1，﹣4）
3．（2分）下列說法正確的是（ ）
A．任意兩個矩形一定相似
B．任意兩個菱形一定相似
C．任意兩個正方形一定相似
D．任意兩個平行四邊形一定相似
4．（2分）如圖，△ABC中，∠B＝60°，AB＝6，BC＝8．將△ABC沿圖中的DE剪開．剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2分）把二次函數(shù)y＝x2的圖象向左平移2個單位，然后向上平移1個單位，則平移后的圖象對應的二次函數(shù)的表達式為（ ）
A．y＝（x+2）2+1B．y＝（x+2）2﹣1
C．y＝﹣（x﹣2）2+1D．y＝（x﹣2）2﹣1
6．（2分）已知點（1，y1），（2，y2），（﹣3，y3）都在函數(shù)y＝﹣2x2的圖象上，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．y3＜y2＜y1B．y1＜y2＜y3C．y1＜y3＜y2D．y2＜y1＜y3
7．（2分）如圖，數(shù)學興趣小組利用標桿BE測量學校古樹CD的高度，標桿BE高1.5m，測得AB＝2m，BC＝14m，則古樹CD的高度是（ ）
A．9mB．10mC．12mD．16m
8．（2分）如圖，在?ABCD中，點E是AD邊上的點，線段BE與AC交于點F，如果AE：AD＝1：3，AF＝3，那么AC的長是（ ）
A．3B．6C．9D．12
9．（2分）一次函數(shù)y＝ax+b（a≠0）與二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐標系中的圖象可能是（ ）
A．B．
C．D．
10．（2分）在特定條件下，籃球賽中進攻球員投球后，籃球的運行軌跡是開口向下的拋物線的一部分．“蓋帽”是一種常見的防守手段，防守隊員在籃球上升階段將球攔截即為“蓋帽”，而防守隊員在籃球下降階段將球攔截則屬“違規(guī)”．對于某次投籃而言，如果忽略其他因素的影響，籃球處于上升階段的水平距離越長，則被“蓋帽”的可能性越大，收集幾次籃球比賽的數(shù)據(jù)之后，某球員投籃可以簡化為下述數(shù)學模型：如圖所示，該球員的投籃出手點為P，籃框中心點為Q，他可以選擇讓籃球在運行途中經(jīng)過A，B，C，D四個點中的某一點并命中Q，忽略其他因素的影響，那么被“蓋帽”的可能性最大的線路是（ ）
A．P→A→QB．P→B→QC．P→C→QD．P→D→Q
二、填空題（共8個小題，每小題2分，共16分）
11．（2分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D在AC上（不與點A，C重合），只需添加一個條件即可證明△ABC和△BDC相似，這個條件可以是 （寫出一個即可）．
12．（2分）如圖，直線l1∥l2∥l3，直線l4，l5被直線l1、l2、l3所截，截得的線段分別為AB，BC，DE，EF，若AB＝4，BC＝6，DE＝3，則EF的長是 ．
13．（2分）若二次函數(shù)y＝x2﹣2x+k的圖象與x軸只有一個公共點，則k＝ ．
14．（2分）已知二次函數(shù)y＝x2﹣4x+7，將這個二次函數(shù)表達式用配方法化成y＝（x﹣h）2+k的形式 ．
15．（2分）據(jù)《墨經(jīng)》記載，在兩千多年前，我國學者墨子和他的學生做了世界上第1個“小孔成像”的實驗，闡釋了光的直線傳播原理，如圖（1）所示．如圖（2）所示的小孔成像實驗中，若物距為10cm，像距為15cm，蠟燭火焰倒立的像的高度是6cm，則蠟燭火焰的高度是 cm．
16．（2分）某工廠今年八月份醫(yī)用防護服的產(chǎn)量是50萬件，計劃九月份和十月份增加產(chǎn)量，如果月平均增長率為x，那么十月份醫(yī)用防護服的產(chǎn)量y（萬件）與x之間的函數(shù)表達式為 ．
17．（2分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜邊AB上的高．如果AD＝3，BD＝2，那么CD的長為 ．
18．（2分）若函數(shù)y＝（a﹣1）x2﹣4x+2a的圖象與x軸有且只有一個交點，則a的值為 ．
三、解答題（19-24題，每題6分；25-28題，每題7分）
19．（6分）已知A（0，3），B（2，3）是二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c圖象上兩點，求二次函數(shù)的表達式．
20．（6分）如圖，AC，BD相交于的點O，且∠ABO＝∠C．
求證：△AOB∽△DOC．
21．（6分）如圖，是小凱為估算魚塘的寬AB設(shè)計的，在陸地上取點C，D，E，使得A，C，D在同一條直線上，B，C，E在同一條直線上，測得CD＝AC，CE＝BC．小凱測得ED的長為10米，求魚塘的寬AB的長是多少米？（不寫解題過程不給分）
22．（6分）已知：如圖，線段AB．
求作：點C，D，使得點C，D在線段AB上，且AC＝CD＝DB．
作法：①作射線AM，在射線AM上順次截取線段AE＝EF＝FG，連接BG；
②以點E為圓心，BG長為半徑畫弧，再以點B為圓心，EG長為半徑畫弧，兩弧在AB上方交于點H；
③連接BH，連接EH交AB于點C，在線段CB上截取線段CD＝AC．所以點C，D就是所求作的點．
（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）；
（2）完成下面的證明．
證明：∵EH＝BG，BH＝EG，
∴四邊形EGBH是平行四邊形．（ ）（填推理的依據(jù)）
∴EH∥BG，即EC∥BG．
∴AC： ＝AE：AG．
AE＝EF＝FG，
∴AE＝ AG．
∴AC＝AB＝CD．
∴DB＝AB．
∴AC＝CD＝DB．
23．（6分）已知一個二次函數(shù)圖象上部分點的橫坐標x與縱坐標y的對應值如表所示：
（1）求這個二次函數(shù)的表達式；
（2）在給定的平面直角坐標系中畫出這個二次函數(shù)的圖象；
（3）當﹣2≤x＜2時，直接寫出y的取值范圍．
24．（6分）如圖，AB⊥BC，EC⊥BC，點D在BC上，AB＝1，BD＝2，CD＝3，CE＝6．
（1）求證：△ABD∽△DCE；
（2）求∠ADE的度數(shù)．
25．（7分）在平面直角坐標系中，已知拋物線y＝x2+bx+c的對稱軸為x＝1，且其頂點在直線y＝﹣2x﹣2上．
（1）求拋物線的頂點坐標；
（2）求拋物線的解析式；
（3）在給定的平面直角坐標系中畫出這個二次函數(shù)的圖象．
26．（7分）小明進行鉛球訓練，他嘗試利用數(shù)學模型來研究鉛球的運動情況．他以水平方向為x軸方向，1m為單位長度，建立了如圖所示的平面直角坐標系，鉛球從y軸上的A點出手，運動路徑可看作拋物線，在B點處達到最高位置，落在x軸上的點C處．小明某次試投時的數(shù)據(jù)如圖所示．
（1）在圖中畫出鉛球運動路徑的示意圖；
（2）根據(jù)圖中信息，求出鉛球路徑所在拋物線的表達式；
（3）若鉛球投擲距離（鉛球落地點C與出手點A的水平距離OC的長度）不小于10m，成績?yōu)閮?yōu)秀．請通過計算，判斷小明此次試投的成績是否能達到優(yōu)秀．
27．（7分）如圖，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，過點A的射線與斜邊BC交于點D，且滿足DC＝2BD，CE⊥AD于點E，求證：∠BEC＝∠AEB．
28．（7分）給出如下規(guī)定：兩個圖形G1和G2，點P為G1上任一點，點Q為G2上任一點，如果線段PQ的長度存在最小值，就稱該最小值為兩個圖形G1和G2之間的距離．
在平面直角坐標系xOy中，O為坐標原點．
（1）點A的坐標為A（1，0），則點B（2，3）和射線OA之間的距離為 ，點C（﹣3，4）和射線OA之間的距離為 ．
（2）點E的坐標為（1，1），將射線OE繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到射線OF，在坐標平面內(nèi)所有和射線OE，OF之間的距離相等的點所組成的圖形記為圖形M．
①在坐標系中畫出圖形M，并描述圖形M的組成部分；（若涉及平面中某個區(qū)域時可以用陰影表示）
②將拋物線y＝x2﹣2與圖形M的公共部分記為圖形N，射線OE，OF組成的圖形記為圖形W，請直接寫出圖形W和圖形N之間的距離．
2022-2023學年北京市通州區(qū)九年級（上）期中數(shù)學試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本題共10道小題，每小題2分，共20分）下列各題四個選項中，只有一個符合題意。
1．（2分）已知3y＝2x（y≠0），那么下列比例式中成立的是（ ）
A．＝B．＝C．＝D．＝
【分析】利用比例的基本性質(zhì)，把每一個選項中的比例式化成等積式即可解答．
【解答】解：A．因為＝，所以3x＝2y，故A不符合題意；
B．因為＝，所以3y＝2x，故B符合題意；
C．因為＝，所以3x＝2y，故C不符合題意；
D．因為＝，所以xy＝6，故D不符合題意；
故選：B．
【點評】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
2．（2分）下列點坐標，是二次函數(shù)y＝2（x﹣1）2﹣4圖象的頂點坐標的是（ ）
A．（2，4）B．（﹣1，﹣4）C．（﹣1，4）D．（1，﹣4）
【分析】利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．
【解答】解：二次函數(shù)y＝2（x﹣1）2﹣4，
圖象的頂點坐標為（1，﹣4），
故選：D．
【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．
3．（2分）下列說法正確的是（ ）
A．任意兩個矩形一定相似
B．任意兩個菱形一定相似
C．任意兩個正方形一定相似
D．任意兩個平行四邊形一定相似
【分析】根據(jù)相似多邊形的定義：各角分別相等，各邊成比例的兩個多邊形叫做相似多邊形，逐一判斷即可解答．
【解答】解：A、因為任意兩個矩形的各角相等，但各邊不一定成比例，所以任意兩個矩形不一定相似，故A不符合題意；
B、因為任意兩個菱形的各邊成比例，但各角不一定分別相等，所以任意兩個菱形不一定相似，故B不符合題意；
C、因為任意兩個正方形的各角分別相等，各邊也成比例，所以任意兩個正方形一定相似，故C符合題意；
D、因為任意兩個平行四邊形的各角不一定相等，各邊不一定成比例，所以任意兩個平行四邊形不一定相似，故D不符合題意；
故選：C．
【點評】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)，平行四邊形，菱形，矩形，正方形的性質(zhì)，熟練掌握相似多邊形的定義是解題的關(guān)鍵．
4．（2分）如圖，△ABC中，∠B＝60°，AB＝6，BC＝8．將△ABC沿圖中的DE剪開．剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)相似三角形的判定逐一判斷即可．
【解答】解：A、∵∠C＝∠C，∠DEC＝∠B＝60°，
∴△DEC∽△ABC，
故A不符合題意；
B、∵∠C＝∠C，∠CDE＝∠B，
∴△CDE∽△CBA，
故B不符合題意；
C、由圖形可知，BE＝AB﹣AE＝6﹣2＝4，
BD＝BC﹣CD＝8﹣5＝3，
∵，，
∴，
又∵∠B＝∠B，
∴△BDE∽△BAC，
故C不符合題意；
D、由已知條件無法證明△ADE與△ABC相似，
故D符合題意，
故選：D．
【點評】本題考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．
5．（2分）把二次函數(shù)y＝x2的圖象向左平移2個單位，然后向上平移1個單位，則平移后的圖象對應的二次函數(shù)的表達式為（ ）
A．y＝（x+2）2+1B．y＝（x+2）2﹣1
C．y＝﹣（x﹣2）2+1D．y＝（x﹣2）2﹣1
【分析】按照“左加右減，上加下減”的規(guī)律，即可得出平移后拋物線的解析式．
【解答】解：把二次函數(shù)y＝x2的圖象向左平移2個單位，然后向上平移1個單位，則平移后的圖象對應的二次函數(shù)的表達式為：y＝（x+2）2+1．
故選：A．
【點評】此題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，掌握拋物線解析式的變化規(guī)律：左加右減，上加下減是解題的關(guān)鍵．
6．（2分）已知點（1，y1），（2，y2），（﹣3，y3）都在函數(shù)y＝﹣2x2的圖象上，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．y3＜y2＜y1B．y1＜y2＜y3C．y1＜y3＜y2D．y2＜y1＜y3
【分析】把點的坐標分別代入函數(shù)解析式可分別求得y1、y2、y3，再比較其大小即可．
【解答】解：∵點（1，y1），（2，y2），（﹣3，y3）都在函數(shù)y＝﹣2x2的圖象上，
∴y1＝﹣2×12＝﹣2，y2＝﹣2×22＝﹣8，y3＝﹣2×（﹣3）2＝﹣18，
∴y3＜y2＜y1，
故選：A．
【點評】本題主要考查二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，掌握函數(shù)圖象上的點的坐標滿足函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．
7．（2分）如圖，數(shù)學興趣小組利用標桿BE測量學校古樹CD的高度，標桿BE高1.5m，測得AB＝2m，BC＝14m，則古樹CD的高度是（ ）
A．9mB．10mC．12mD．16m
【分析】先根據(jù)題意得出△ABE∽△ACD，再根據(jù)相似三角形的對應邊成比例即可求出CD的值．
【解答】解：∵EB⊥AC，DC⊥AC，
∴EB∥DC，
∴△ABE∽△ACD，
∴＝，
∵BE＝1.5m，AB＝2m，BC＝14m，
∴AC＝16m，
∴＝，
∴CD＝12．
∴古樹CD的高度是12m．
故選：C．
【點評】本題考查的是相似三角形的應用，熟知相似三角形的對應邊成比例的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．
8．（2分）如圖，在?ABCD中，點E是AD邊上的點，線段BE與AC交于點F，如果AE：AD＝1：3，AF＝3，那么AC的長是（ ）
A．3B．6C．9D．12
【分析】根據(jù)相似三角形對應邊成比例求出AF：FC＝1：3，根據(jù)AF＝3，進而可以解決問題．
【解答】解：在平行四邊形ABCD中，AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴AF：FC＝AE：BC，
∵AE：AD＝1：3，
∴AF：FC＝1：3，
∵AF＝3，
∴FC＝9，
∴AC＝AF+FC＝12．
故選：D．
【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，比例式的變形是解題的關(guān)鍵．
9．（2分）一次函數(shù)y＝ax+b（a≠0）與二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐標系中的圖象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)可以判斷a、b的正負，從而可以解答本題．
【解答】解：在A中，由一次函數(shù)圖象可知，a＞0，b＞0，由二次函數(shù)圖象可知，a＜0，b＜0，故選項A錯誤；
在B中，由一次函數(shù)圖象可知，a＞0，b＞0，由二次函數(shù)圖象可知，a＞0，b＜0，故選項B錯誤；
在C中，由一次函數(shù)圖象可知，a＜0，b＜0，由二次函數(shù)圖象可知，a＜0，b＜0，故選項C正確；
在D中，由一次函數(shù)圖象可知，a＜0，b＞0，由二次函數(shù)圖象可知，a＜0，b＜0，故選項D錯誤；
故選：C．
【點評】本題考查二次函數(shù)和一次函數(shù)的圖象，解題的關(guān)鍵是明確一次函數(shù)和二次函數(shù)性質(zhì)．
10．（2分）在特定條件下，籃球賽中進攻球員投球后，籃球的運行軌跡是開口向下的拋物線的一部分．“蓋帽”是一種常見的防守手段，防守隊員在籃球上升階段將球攔截即為“蓋帽”，而防守隊員在籃球下降階段將球攔截則屬“違規(guī)”．對于某次投籃而言，如果忽略其他因素的影響，籃球處于上升階段的水平距離越長，則被“蓋帽”的可能性越大，收集幾次籃球比賽的數(shù)據(jù)之后，某球員投籃可以簡化為下述數(shù)學模型：如圖所示，該球員的投籃出手點為P，籃框中心點為Q，他可以選擇讓籃球在運行途中經(jīng)過A，B，C，D四個點中的某一點并命中Q，忽略其他因素的影響，那么被“蓋帽”的可能性最大的線路是（ ）
A．P→A→QB．P→B→QC．P→C→QD．P→D→Q
【分析】分類討論投籃線路經(jīng)過A，B，C，D四個點時籃球上升階段的水平距離求解．
【解答】解：B，D兩點，橫坐標相同，而D點的縱坐標大于B點的縱坐標，顯然，B點上升階段的水平距離長；
A，B兩點，縱坐標相同，而A點的橫坐標小于B點的橫坐標，等經(jīng)過A點的籃球運行到與B點橫坐標相同時，顯然在B點上方，故B點上升階段的水平距離長；
同理可知C點路線優(yōu)于A點路線，
綜上：P→B→Q是被“蓋帽”的可能性最大的線路．
故選：B．
【點評】本題考查二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，解題關(guān)鍵是理解題意，通過分類討論求解．
二、填空題（共8個小題，每小題2分，共16分）
11．（2分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D在AC上（不與點A，C重合），只需添加一個條件即可證明△ABC和△BDC相似，這個條件可以是 ∠A＝∠CBD （寫出一個即可）．
【分析】利用相似三角形的判定可求解．
【解答】解：添加∠A＝∠CBD，
理由如下：∵∠A＝∠CBD，∠ACB＝∠BCD，
∴△ABC∽△BDC，
故答案為：∠A＝∠CBD．
【點評】本題考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．
12．（2分）如圖，直線l1∥l2∥l3，直線l4，l5被直線l1、l2、l3所截，截得的線段分別為AB，BC，DE，EF，若AB＝4，BC＝6，DE＝3，則EF的長是 4.5 ．
【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，把已知數(shù)據(jù)代入計算即可．
【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴＝，
∵AB＝4，BC＝6，DE＝3，
∴＝，
解得：EF＝4.5，
故答案為：4.5．
【點評】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運用定理、找準對應關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
13．（2分）若二次函數(shù)y＝x2﹣2x+k的圖象與x軸只有一個公共點，則k＝ 1 ．
【分析】令x2﹣2x+k＝0，求Δ＝0時k的值．
【解答】解：令x2﹣2x+k＝0，
∵拋物線與x軸只有一個交點，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4k＝0，
解得k＝1，
故答案為：1．
【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．
14．（2分）已知二次函數(shù)y＝x2﹣4x+7，將這個二次函數(shù)表達式用配方法化成y＝（x﹣h）2+k的形式 y＝（x﹣2）2+3 ．
【分析】將二次函數(shù)解析式化為頂點式．
【解答】解：y＝x2﹣4x+7＝x2﹣4x+4+3＝（x﹣2）2+3，
故答案為：y＝（x﹣2）2+3．
【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)解析式間的轉(zhuǎn)換．
15．（2分）據(jù)《墨經(jīng)》記載，在兩千多年前，我國學者墨子和他的學生做了世界上第1個“小孔成像”的實驗，闡釋了光的直線傳播原理，如圖（1）所示．如圖（2）所示的小孔成像實驗中，若物距為10cm，像距為15cm，蠟燭火焰倒立的像的高度是6cm，則蠟燭火焰的高度是 4 cm．
【分析】直接利用相似三角形的對應邊成比例解答．
【解答】解：設(shè)蠟燭火焰的高度是xcm，
由相似三角形的性質(zhì)得到：＝．
解得x＝4．
即蠟燭火焰的高度是4cm．
故答案為：4．
【點評】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)的實際應用及分析問題、解決問題的能力．利用數(shù)學知識解決實際問題是中學數(shù)學的重要內(nèi)容．解決此問題的關(guān)鍵在于正確理解題意的基礎(chǔ)上建立數(shù)學模型，把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題．
16．（2分）某工廠今年八月份醫(yī)用防護服的產(chǎn)量是50萬件，計劃九月份和十月份增加產(chǎn)量，如果月平均增長率為x，那么十月份醫(yī)用防護服的產(chǎn)量y（萬件）與x之間的函數(shù)表達式為 y＝50（1+x）2 ．
【分析】根據(jù)平均增長問題，可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意得：y與x之間的關(guān)系應表示為y＝50（x+1）2．
故答案為：y＝50（x+1）2．
【點評】本題考查了根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關(guān)系式，利用增長問題獲得函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵．
17．（2分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜邊AB上的高．如果AD＝3，BD＝2，那么CD的長為 ．
【分析】利用射影定理得到CD2＝AD?BD，然后利用算術(shù)平方根的定義求解．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD是斜邊AB上的高，
∴CD2＝AD?BD，
即CD2＝3×2＝6，
∵CD＞0，
∴CD＝．
故答案為：．
【點評】本題考查了射影定理：直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項．每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項．
18．（2分）若函數(shù)y＝（a﹣1）x2﹣4x+2a的圖象與x軸有且只有一個交點，則a的值為 ﹣1或2或1 ．
【分析】直接利用拋物線與x軸相交，b2﹣4ac＝0，進而解方程得出答案．
【解答】解：∵函數(shù)y＝（a﹣1）x2﹣4x+2a的圖象與x軸有且只有一個交點，
當函數(shù)為二次函數(shù)時，b2﹣4ac＝16﹣4（a﹣1）×2a＝0，
解得：a1＝﹣1，a2＝2，
當函數(shù)為一次函數(shù)時，a﹣1＝0，解得：a＝1．
故答案為：﹣1或2或1．
【點評】此題主要考查了拋物線與x軸的交點，正確得出關(guān)于a的方程是解題關(guān)鍵．
三、解答題（19-24題，每題6分；25-28題，每題7分）
19．（6分）已知A（0，3），B（2，3）是二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c圖象上兩點，求二次函數(shù)的表達式．
【分析】將A、B兩點坐標代入解析式求出b、c，用待定系數(shù)法求解即可．
【解答】解：∵A（0，3），B（2，3）是二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c圖象上兩點，
∴，
∴，
∴此二函數(shù)的解析式為：y＝﹣x2+2x+3．
【點評】此題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．
20．（6分）如圖，AC，BD相交于的點O，且∠ABO＝∠C．
求證：△AOB∽△DOC．
【分析】根據(jù)相似三角形的判定解答即可．
【解答】證明：∵AC，BD相交于的點O，
∴∠AOB＝∠DOC，
又∵∠ABO＝∠C，
∴△AOB∽△DOC．
【點評】此題考查相似三角形的判定，關(guān)鍵是根據(jù)有兩組角對應相等的兩個三角形相似解答．
21．（6分）如圖，是小凱為估算魚塘的寬AB設(shè)計的，在陸地上取點C，D，E，使得A，C，D在同一條直線上，B，C，E在同一條直線上，測得CD＝AC，CE＝BC．小凱測得ED的長為10米，求魚塘的寬AB的長是多少米？（不寫解題過程不給分）
【分析】首先根據(jù)兩邊對應成比例且夾角相等可得△DCE∽△ACB，再根據(jù)對應邊成比例可得答案．
【解答】解：∵CD＝AC，CE＝BC，
∴＝，
∵∠DCE＝∠ACB，
∴△DCE∽△ACB，
∴＝，
∵ED＝10m，
∴AB＝20m．
∴魚塘的寬AB的長是20米．
【點評】本題考查相似三角形的應用，熟練掌握相似三角形的判定是解題關(guān)鍵．
22．（6分）已知：如圖，線段AB．
求作：點C，D，使得點C，D在線段AB上，且AC＝CD＝DB．
作法：①作射線AM，在射線AM上順次截取線段AE＝EF＝FG，連接BG；
②以點E為圓心，BG長為半徑畫弧，再以點B為圓心，EG長為半徑畫弧，兩弧在AB上方交于點H；
③連接BH，連接EH交AB于點C，在線段CB上截取線段CD＝AC．所以點C，D就是所求作的點．
（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）；
（2）完成下面的證明．
證明：∵EH＝BG，BH＝EG，
∴四邊形EGBH是平行四邊形．（ 兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形 ）（填推理的依據(jù)）
∴EH∥BG，即EC∥BG．
∴AC： AB ＝AE：AG．
AE＝EF＝FG，
∴AE＝ AG．
∴AC＝AB＝CD．
∴DB＝AB．
∴AC＝CD＝DB．
【分析】（1）根據(jù)已知作法作圖即可；
（2）根據(jù)證明補全即可．
【解答】解：（1）依作法補全圖形如下：
（2）證明：∵EH＝BG，BH＝EG，
∴四邊形EGBH是平行四邊形．（兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形）（填推理的依據(jù)），
∴EH∥BG，即EC∥BG．
∴AC：AB＝AE：AG．
AE＝EF＝FG，
∴AE＝AG．
∴AC＝AB＝CD．
∴DB＝AB．
∴AC＝CD＝DB．
故答案為：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，AB，．
【點評】本題考查三等分相等的作法及證明，涉及平行四邊形判定、性質(zhì)及平行線分相等成比例等知識，解題的關(guān)鍵是讀懂作法，按作法作圖和補全證明．
23．（6分）已知一個二次函數(shù)圖象上部分點的橫坐標x與縱坐標y的對應值如表所示：
（1）求這個二次函數(shù)的表達式；
（2）在給定的平面直角坐標系中畫出這個二次函數(shù)的圖象；
（3）當﹣2≤x＜2時，直接寫出y的取值范圍．
【分析】（1）利用表中數(shù)據(jù)和拋物線的對稱性可得到二次函數(shù)的頂點坐標為（﹣1，4），則可設(shè)頂點式y(tǒng)＝a（x+1）2+4，然后把點（0，3）代入求出a即可；
（2）利用描點法畫二次函數(shù)圖象；
（3）根據(jù)x＝2、﹣2時的函數(shù)值即可寫出y的取值范圍．
【解答】解：（1）由題意可得二次函數(shù)的頂點坐標為（﹣1，4），
設(shè)二次函數(shù)的解析式為：y＝a（x+1）2+4，
把點（0，3）代入y＝a（x+1）2+4，得a＝﹣1，
故拋物線解析式為y＝﹣（x+1）2+4，即y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）如圖所示：
（3）∵y＝﹣（x+1）2+4，
∴當x＝﹣1時，y有最大值4
當x＝2時，y＝﹣（2+1）2+4＝﹣5，
當x＝﹣2時，y＝3，
∴當﹣2≤x＜2時，y的取值范圍是﹣5＜y≤4．
【點評】本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．也考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．
24．（6分）如圖，AB⊥BC，EC⊥BC，點D在BC上，AB＝1，BD＝2，CD＝3，CE＝6．
（1）求證：△ABD∽△DCE；
（2）求∠ADE的度數(shù)．
【分析】（1）利用“兩邊及夾角”法進行推理論證；
（2）根據(jù)（1）中相似三角形的性質(zhì)、補角的定義進行解答．
【解答】（1）證明：∵AB⊥BC，EC⊥BC，點D在BC上，
∴∠ABD＝∠DCE＝90°．
∵AB＝1，BD＝2，CD＝3，CE＝6，
∴＝，＝．
∴＝．
∴△ABD∽△DCE；
（2）由（1）知，△ABD∽△DCE，則∠BAD＝∠EDC．
∵∠BAD+∠ADB＝90°，
∴∠ADB+∠EDC＝90°．
∴∠ADE＝180°﹣∠ADB﹣∠EDC＝90°．
【點評】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用．
25．（7分）在平面直角坐標系中，已知拋物線y＝x2+bx+c的對稱軸為x＝1，且其頂點在直線y＝﹣2x﹣2上．
（1）求拋物線的頂點坐標；
（2）求拋物線的解析式；
（3）在給定的平面直角坐標系中畫出這個二次函數(shù)的圖象．
【分析】（1）把x＝1代入y＝﹣2x﹣2即可得到結(jié)論；
（2）把拋物線的頂點坐標為（1，﹣4）代入拋物線的解析式即可得到結(jié)論．
（3）利用五點法畫出圖象即可．
【解答】解：（1）把x＝1代入y＝﹣2x﹣2得，y＝﹣4，
∴拋物線的頂點坐標為（1，﹣4）；
（2）∵拋物線的頂點坐標為（1，﹣4）；
∴拋物線的解析式為：y＝（x﹣1）2﹣4，
即拋物線的解析式為：y＝x2﹣2x﹣3．
（3）列表：
描點、連線畫出函數(shù)圖象如圖：
．
【點評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．
26．（7分）小明進行鉛球訓練，他嘗試利用數(shù)學模型來研究鉛球的運動情況．他以水平方向為x軸方向，1m為單位長度，建立了如圖所示的平面直角坐標系，鉛球從y軸上的A點出手，運動路徑可看作拋物線，在B點處達到最高位置，落在x軸上的點C處．小明某次試投時的數(shù)據(jù)如圖所示．
（1）在圖中畫出鉛球運動路徑的示意圖；
（2）根據(jù)圖中信息，求出鉛球路徑所在拋物線的表達式；
（3）若鉛球投擲距離（鉛球落地點C與出手點A的水平距離OC的長度）不小于10m，成績?yōu)閮?yōu)秀．請通過計算，判斷小明此次試投的成績是否能達到優(yōu)秀．
【分析】（1）根據(jù)題意畫出圖象即可；
（2）設(shè)該拋物線的表達式為y＝a（x﹣4）2+3，由拋物線過點A得到16a+3＝2．求得，于是得到結(jié)論；
（3）根據(jù)題意解方程即可得到結(jié)論．
【解答】解：（1）如圖所示．
（2）解：依題意，拋物線的頂點B的坐標為（4，3），點A的坐標為（0，2）．
設(shè)該拋物線的表達式為y＝a（x﹣4）2+3，
由拋物線過點A，有16a+3＝2．
解得，
∴該拋物線的表達式為；
（3）解：令y＝0，得．
解得，（C在x軸正半軸，故舍去）．
∴點C的坐標為（，0）．
∴．
由，可得．
∴小明此次試投的成績達到優(yōu)秀．
【點評】本題考查了二次函數(shù)在實際問題中的應用，正確建立平面直角坐標系、熟練掌握待定系數(shù)法及二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
27．（7分）如圖，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，過點A的射線與斜邊BC交于點D，且滿足DC＝2BD，CE⊥AD于點E，求證：∠BEC＝∠AEB．
【分析】過B作BF⊥AD于F，證△ABF≌△CAE（AAS），得BF＝AE，AF＝CE，再證△CDE∽△BDF，得CE＝2BF，再證EF＝AE＝BF，得∠BEF＝∠EBF＝45°，即可解決問題．
【解答】證明：過B作BF⊥AD于F，則∠AFB＝90°，
∴∠BAF+∠ABF＝90°，
∵∠BAF+∠CAE＝∠BAC＝90°，
∴∠ABF＝∠CAE，
∵CD⊥AD，
∴∠CEA＝∠CED＝90°，
在△ABF和△CAE中，
，
∴△ABF≌△CAE（AAS），
∴BF＝AE，AF＝CE，
∵∠CED＝∠BFD＝90°，∠CDE＝∠BDF，
∴△CDE∽△BDF，
∴＝，
∵DC＝2BD，
∴＝＝2，
∴CE＝2BF，
∴AF＝CE＝2BF＝2AE，
∴EF＝AE＝BF，
∴∠BEF＝∠EBF＝45°，
∴∠AEB＝180°﹣∠BEF＝180°﹣45°＝135°，∠BEC＝∠CED+∠BEF＝90°+45°＝135°，
∴∠BEC＝∠AEB．
【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，證明三角形全等和三角形相似是解題的關(guān)鍵．
28．（7分）給出如下規(guī)定：兩個圖形G1和G2，點P為G1上任一點，點Q為G2上任一點，如果線段PQ的長度存在最小值，就稱該最小值為兩個圖形G1和G2之間的距離．
在平面直角坐標系xOy中，O為坐標原點．
（1）點A的坐標為A（1，0），則點B（2，3）和射線OA之間的距離為 3 ，點C（﹣3，4）和射線OA之間的距離為 5 ．
（2）點E的坐標為（1，1），將射線OE繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到射線OF，在坐標平面內(nèi)所有和射線OE，OF之間的距離相等的點所組成的圖形記為圖形M．
①在坐標系中畫出圖形M，并描述圖形M的組成部分；（若涉及平面中某個區(qū)域時可以用陰影表示）
②將拋物線y＝x2﹣2與圖形M的公共部分記為圖形N，射線OE，OF組成的圖形記為圖形W，請直接寫出圖形W和圖形N之間的距離．
【分析】（1）根據(jù)定義可知，B點到射線OA的距離即B點到x軸的距離；C點到射線OA的距離即CO的長度；
（2）①由定義可知，∠EOF的角平分線上的點與射線OE、射線OF的距離相等，即為y軸的正半軸上點；再由定義可知，射線OG、射線OH，以及∠GOH的內(nèi)部區(qū)域到射線OE、射線OF的距離均是點到O點的距離；
②根據(jù)題意畫出圖形，再結(jié)合①可知圖形W與圖形N之間的距離為GO或HO．
【解答】解：（1）∵B（2，3），
∴B點x軸的距離為3，
∴點B（2，3）和射線OA之間的距離為3，
∵C（﹣3，4），
∴CO＝5，
∴點C（﹣3，4）和射線OA之間的距離為5，
故答案為：3，5；
（2）①如圖1：反向延長OE，OF得到射線OG，OH，
∴圖形M為y軸的正半軸、射線OG、射線OH，以及∠GOH的內(nèi)部區(qū)域；
②如圖2，圖形N是拋物線和圖形M的公共部分，就是點G到點H的這段曲線，
∴圖形W與圖形N之間的距離即為GO或HO，
∵E（1，1），
∴G（﹣1，1）
∴OG＝，
∴圖形W與圖形N之間的距離為．
【點評】本題考查一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，此題涉及新定義，能夠弄清定義，準確畫出圖形是解題的關(guān)鍵．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復制發(fā)布日期：2023/7/11 11:41:22；用戶：笑涵數(shù)學；郵箱：15699920825；學號：36906111x
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