1．（2分）在美術(shù)字中，有些漢字是軸對稱的．下列美術(shù)字是軸對稱的是（ ）
A．愛B．我C．中D．國
2．（2分）下列長度的三條線段，能組成三角形的是（ ）
A．8，6，5B．3，4，8C．4，6，10D．3，3，6
3．（2分）五邊形的內(nèi)角和為（ ）
A．360°B．540°C．720°D．900°
4．（2分）如圖圖形中，作△ABC的邊BC上的高，正確的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2分）如圖，AB∥DE，點B，C，D在同一直線上，若∠BCE＝55°，∠E＝25°，則∠B的度數(shù)是（ ）
A．55°B．30°C．25°D．20°
6．（2分）如圖，△ABC≌△A'B′C'，若∠A＝36°，∠C＝24°，則∠B′的度數(shù)是（ ）
A．60°B．90°C．100°D．120°
7．（2分）若從n邊形的一個頂點出發(fā)，可以畫出4條對角線，則n的值是（ ）
A．4B．5C．6D．7
8．（2分）如圖，在3×3的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點稱為格點．已知A，B是兩個格點，若點C是圖中的格點，且△ABC是等腰三角形，則點C的個數(shù)是（ ）
A．4B．8C．10D．12
二、填空題（共16分，每題2分）
9．（2分）點A（2，3）關(guān)于x軸的對稱點的坐標(biāo)是 ．
10．（2分）等腰三角形的一個內(nèi)角為100°，則它的一個底角的度數(shù)為 ．
11．（2分）如圖，要測量池塘兩岸相對的兩點A，B的距離，作線段AC與BD相交于點O．若AC＝BD，AO＝DO＝6m，CD＝15m，則A，B兩點間的距離為 m．
12．（2分）已知如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足是D，寫出圖中的一組相似三角形 ．
13．（2分）如圖，點B，F(xiàn)，C，E在同一直線上，AC＝DF，AB＝DE，要使△ABC≌△DEF，需要添加的一個條件可以是 ．
14．（2分）如圖，△ABC是等邊三角形，D是BC中點，DE⊥AB于點E，若AB＝8，則BE的長是 ．
15．（2分）將圖1中的△ABC折疊，使點A與點C重合，折痕為ED，點E，D分別在AB，AC上，得到圖形2．若BC＝4，AB＝5，則△EBC的周長是 ．
16．（2分）如圖，△ABC與△ADE都是等邊三角形，BD和CE相交于點P，連接AP．下面結(jié)論中，①BD＝CE；②∠EPD＝60°；③PA不是∠BPE的平分線；④PE＝PA+PD．所有正確結(jié)論的序號是 ．
三、解答題（共68分，第17-24題，每題5分，第25題6分，第26，27題，每題7分，第28題8分）解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.
17．（5分）用一條長20cm的細繩圍成一個等腰三角形，若一腰長是底邊長的2倍，求各邊的長．
18．（5分）一個多邊形的內(nèi)角和是它外角和的2倍，求這個多邊形的邊數(shù)．
19．（5分）如圖，點A，B，C，D在同一直線上，AE＝BF，EC＝FD，AB＝CD．
求證：△EAC≌△FBD．
20．（5分）如圖，線段AC與線段BD相交于點O，若∠A＝70°，∠B＝30°，∠C＝60°，求∠D的度數(shù)．
21．（5分）如圖，線段AC與線段BD相交于點E，∠A＝∠D，AE＝DE．
求證：BD＝AC．
22．（5分）如圖，AB，CD相交于點O，DE∥AB．
（1）作∠BOD的角平分線OM，交DE于點F（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）若∠D＝60°，則△ODF的形狀是 ．
23．（5分）如圖，為了滿足A，B，C三個小區(qū)居民的體育鍛煉需求，需要建立一個居民健身廣場D，要使健身廣場到三個小區(qū)的距離相等，請你在圖中作出健身廣場D的位置（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）．
24．（5分）如圖1，AD是△ABC的中線．
求證：AB+AC＞2AD．
請將下面的推理過程補充完整：
證明：如圖2，延長AD到點E，使DE＝AD，連接BE．
∵AD是△ABC的中線，
∴BD＝CD．
在△ADC和△EDB中，
∴△ADC≌△EDB （ ）．
∴ （全等三角形的對應(yīng)邊相等）．
∴在△ABE中，AB+BE＞AE （ ），
∴AB+AC＞AD+DE．
即AB+AC＞2AD．
25．（6分）如圖，在△ABC中，D是BC的中點，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E，F(xiàn)，BE＝CF．求證：AD是△ABC的角平分線．
26．（7分）在四邊形ABCD中，∠A+∠C＝180°，BD平分∠ABC．
（1）如圖1，若∠A＝90°．
①直接寫出AD與CD的數(shù)量關(guān)系： ；
②請你寫出圖中一個與①不同的正確結(jié)論： ；
（2）如圖2，若∠A＞90°，猜想AD與CD的數(shù)量關(guān)系，并證明．
27．（7分）如圖，在等邊△ABC中，點D是BC邊上一點，作射線AD，點B關(guān)于射線AD的對稱點為E，連接CE并延長交射線AD于點F．
（1）依題意補全圖形；
（2）若∠BAF＝10°，則∠EFA的度數(shù)是 ；
（3）用等式表示線段AF，CF，EF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
28．（8分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A，B，P不在同一直線上，對于點P和線段AB給出如下定義：過點P向線段AB所在直線作垂線，若垂足Q在線段AB上，則稱點P為線段AB的內(nèi)垂點，當(dāng)垂足Q滿足|AQ﹣BQ|最小時，稱點P為線段AB的最佳內(nèi)垂點．
已知點S（﹣3，1），T（1，1）．
（1）在點P1（2，4），P2（﹣4，0），P3（﹣2，），P4（1，3）中，線段ST的內(nèi)垂點為 ；
（2）若點M是線段ST的最佳內(nèi)垂點，則點M的坐標(biāo)可以是 （寫出兩個滿足條件的點M即可）；
（3）已知點C（m﹣2，3），D（m，3），若線段CD上的每一個點都是線段ST的內(nèi)垂點，直接寫出m的取值范圍；
（4）已知點E（n+2，0），F(xiàn)（n+4，﹣1），若線段EF上存在線段ST的最佳內(nèi)垂點，直接寫出n的取值范圍．
2022-2023學(xué)年北京市大興區(qū)八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（共16分，每題2分）第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個.
1．（2分）在美術(shù)字中，有些漢字是軸對稱的．下列美術(shù)字是軸對稱的是（ ）
A．愛B．我C．中D．國
【分析】根據(jù)軸對稱的概念得出結(jié)論即可．
【解答】解：由題意知，“中”字是軸對稱的，
故選：C．
【點評】本題主要考查軸對稱的知識，熟練掌握軸對稱的知識是解題的關(guān)鍵．
2．（2分）下列長度的三條線段，能組成三角形的是（ ）
A．8，6，5B．3，4，8C．4，6，10D．3，3，6
【分析】根據(jù)三角形的三條邊必須滿足任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊即可判斷．
【解答】解：A、6+5＞8，能組成三角形，符合題意；
B、3+4＜8，不能組成三角形，不符合題意．
C、4+6＝10，不能組成三角形，不符合題意；
D、3+3＝6，不能組成三角形，不符合題意；
故選：A．
【點評】本題主要考查對三角形三邊關(guān)系的理解應(yīng)用．判斷是否可以構(gòu)成三角形，只要判斷兩個較小的數(shù)的和大于最大的數(shù)即可．
3．（2分）五邊形的內(nèi)角和為（ ）
A．360°B．540°C．720°D．900°
【分析】n邊形的內(nèi)角和是（n﹣2）180°，由此即可求出答案．
【解答】解：五邊形的內(nèi)角和是（5﹣2）×180°＝540°．故選：B．
【點評】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和公式，是需要熟記的內(nèi)容．
4．（2分）如圖圖形中，作△ABC的邊BC上的高，正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)三角形的高的概念判斷即可．
【解答】解：A、圖形中，AD是△ABC的BC邊上的高，本選項符合題意；
B、圖形中，不能表示△ABC的BC邊上的高，本選項不符合題意；
C、圖形中，不能表示△ABC的BC邊上的高，本選項不符合題意；
D、圖形中，不能表示△ABC的BC邊上的高，本選項不符合題意；
故選：A．
【點評】本題考查的是三角形的高的概念，從三角形的一個頂點向?qū)呑鞔咕€，垂足與頂點之間的線段叫做三角形的高．
5．（2分）如圖，AB∥DE，點B，C，D在同一直線上，若∠BCE＝55°，∠E＝25°，則∠B的度數(shù)是（ ）
A．55°B．30°C．25°D．20°
【分析】根據(jù)三角形外角和內(nèi)角的關(guān)系，可以得到∠D的度數(shù)，再根據(jù)平行線的性質(zhì)，可以得到∠D＝∠B，從而可以得到∠B的度數(shù)．
【解答】解：∵∠BCE＝55°，∠E＝25°，∠BCE＝∠E+∠D，
∴∠D＝∠BCE﹣∠E＝55°﹣25°＝30°，
∵AB∥DE，
∴∠B＝∠D，
∴∠B＝30°，
故選：B．
【點評】本題考查平行線的性質(zhì)、三角形外角和內(nèi)角的關(guān)系，解答本題的關(guān)鍵是求出∠D的度數(shù)．
6．（2分）如圖，△ABC≌△A'B′C'，若∠A＝36°，∠C＝24°，則∠B′的度數(shù)是（ ）
A．60°B．90°C．100°D．120°
【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出∠A′＝36°，∠C′＝24°，，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計算，得到答案．
【解答】解：∵△ABC≌△A'B'C'，∠A＝36°，∠C＝24°，
∴∠A′＝∠A＝36°，∠C′＝∠C＝24°，
∴∠B′＝180°﹣∠A′﹣∠C′＝180°﹣36°﹣24°＝120°，
故選：D．
【點評】本題考查的是全等三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，掌握全等三角形的對應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．
7．（2分）若從n邊形的一個頂點出發(fā)，可以畫出4條對角線，則n的值是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【分析】根據(jù)n邊形從一個頂點出發(fā)可引出（n﹣3）條對角線，可得n﹣3＝5，求出n的值．
【解答】解：設(shè)多邊形有n條邊，
則n﹣3＝4，
解得n＝7，
故選：D．
【點評】本題考查了多邊形的對角線，熟記n邊形從一個頂點出發(fā)可引出（n﹣3）條對角線是解答此題的關(guān)鍵．
8．（2分）如圖，在3×3的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點稱為格點．已知A，B是兩個格點，若點C是圖中的格點，且△ABC是等腰三角形，則點C的個數(shù)是（ ）
A．4B．8C．10D．12
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形，分兩種情況討論：①AB為等腰△ABC底邊；②AB為等腰△ABC其中的一條腰．
【解答】解：如圖：分情況討論．
①AB為等腰△ABC底邊時，符合條件的C點有4個；
②AB為等腰△ABC其中的一條腰時，符合條件的C點有4個．
故選：B．
【點評】此題主要考查了等腰三角形的判定，解答本題關(guān)鍵是根據(jù)題意，畫出符合實際條件的圖形，再利用分類討論思想解答．
二、填空題（共16分，每題2分）
9．（2分）點A（2，3）關(guān)于x軸的對稱點的坐標(biāo)是 （2，﹣3） ．
【分析】根據(jù)“關(guān)于x軸對稱的點，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)”解答．
【解答】解：點A（2，3）關(guān)于x軸的對稱點的坐標(biāo)是（2，﹣3）．
故答案為：（2，﹣3）．
【點評】本題考查了關(guān)于x軸、y軸對稱的點的坐標(biāo)，解決本題的關(guān)鍵是掌握好對稱點的坐標(biāo)規(guī)律：
（1）關(guān)于x軸對稱的點，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；
（2）關(guān)于y軸對稱的點，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)；
（3）關(guān)于原點對稱的點，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)．
10．（2分）等腰三角形的一個內(nèi)角為100°，則它的一個底角的度數(shù)為 40° ．
【分析】由于等腰三角形的一個內(nèi)角為100°，這個角是頂角或底角不能確定，故應(yīng)分兩種情況進行討論．
【解答】解：①當(dāng)這個角是頂角時，底角＝（180°﹣100°）÷2＝40°；
②當(dāng)這個角是底角時，另一個底角為100°，因為100°+100°＝200°，不符合三角形內(nèi)角和定理，所以舍去．
故答案為：40°．
【點評】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，解答此類問題時往往用到三角形的內(nèi)角和是180°這一隱藏條件．
11．（2分）如圖，要測量池塘兩岸相對的兩點A，B的距離，作線段AC與BD相交于點O．若AC＝BD，AO＝DO＝6m，CD＝15m，則A，B兩點間的距離為 15 m．
【分析】結(jié)合AC＝BD，AO＝DO，可得BO＝CO，再利用∠AOB＝∠DOC，即可證出△ABO≌△DCO（SAS），利用全等三角形的性質(zhì)可得出AB＝CD．
【解答】解：∵AC＝BD，AO＝DO＝6m，
∴BO＝CO，
在△ABO和△DCO中，
，
∴ABO≌△DCO（SAS），
∴AB＝DC＝15m．
故答案為：15．
【點評】本題考查了全等三角形的應(yīng)用，利用全等三角形的判定定理SAS證出△ABO≌△DCO是解題的關(guān)鍵．
12．（2分）已知如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足是D，寫出圖中的一組相似三角形 △ABC∽△ACD ．
【分析】由題意及圖形可知：此圖中共有3個直角三角形，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)判斷即可．
【解答】解：①在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠BDC＝90°，∠ADC＝90°，
在Rt△ADC和Rt△ACB中，∠A＝∠A，∠C＝∠ADC，
∴Rt△ADC∽Rt△ACB；
②在Rt△ADC和Rt△BCD中，∵∠BDC＝∠ADC＝90°，
又∵∠ACD+∠BCD＝90°，∠BCD+∠B＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∴Rt△ADC∽Rt△BCD；
③在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠C＝∠BDC＝90°，∠B＝∠B，
∴Rt△ABC∽Rt△BCD．
故答案是：△ABC∽△ACD．
【點評】本題考查了相似三角形的判定定理，此題只要運用了：“如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似，”（簡敘為兩角對應(yīng)相等兩三角形相似）這一定理．
13．（2分）如圖，點B，F(xiàn)，C，E在同一直線上，AC＝DF，AB＝DE，要使△ABC≌△DEF，需要添加的一個條件可以是 ∠A＝∠D（答案不唯一） ．
【分析】根據(jù)題意可知，兩個三角形滿足兩邊對應(yīng)相等，根據(jù)“SAS”可添加∠A＝∠D或根據(jù)“SSS”可添加BC＝EF或BF＝CE，能夠使△ABC≌△DEF．
【解答】解：∠A＝∠D．
理由是：在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
故答案為：∠A＝∠D（答案不唯一）．
【點評】本題考查了全等三角形的判定：全等三角形的5種判定方法中，選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件，若已知兩邊對應(yīng)相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對應(yīng)相等，則必須再找一組邊對應(yīng)相等，這條邊可以是兩角的夾邊，也可以是其中一個角的對邊；若已知一邊一角，則找另一組角，或找這個角的另一組對應(yīng)鄰邊．
14．（2分）如圖，△ABC是等邊三角形，D是BC中點，DE⊥AB于點E，若AB＝8，則BE的長是 2 ．
【分析】連接AD，利用等邊三角形的性質(zhì)可得∠B＝∠BAC＝60°，AB＝AC，從而利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)可得∠BAD＝30°，∠ADB＝90°，然后在Rt△ADB中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)可得BD＝AB＝4，再根據(jù)垂直定義可得∠DEB＝90°，從而利用直角三角形的兩個銳角互余可得∠BDE＝30°，最后在Rt△BDE中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)可得BE＝BD＝2，即可解答．
【解答】解：連接AD，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B＝∠BAC＝60°，AB＝AC，
∵AB＝AC，D是BC中點，
∴∠BAD＝∠BAC＝30°，∠ADB＝90°，
∴BD＝AB＝4，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴∠BDE＝90°﹣∠B＝30°，
∴BE＝BD＝2，
故答案為：2．
【點評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
15．（2分）將圖1中的△ABC折疊，使點A與點C重合，折痕為ED，點E，D分別在AB，AC上，得到圖形2．若BC＝4，AB＝5，則△EBC的周長是 9 ．
【分析】由折疊的性質(zhì)可得出AE＝CE，則可得出△EBC的周長＝AB+CB，可求出答案．
【解答】解：∵將圖1中的△ABC折疊，使點A與點C重合，
∴AE＝CE，
∴△EBC的周長＝BE+CE+BC
＝BE+AE+BC
＝AB+BC
＝5+4
＝9．
故答案為：9．
【點評】本題考查了折疊的性質(zhì)，三角形的周長，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
16．（2分）如圖，△ABC與△ADE都是等邊三角形，BD和CE相交于點P，連接AP．下面結(jié)論中，①BD＝CE；②∠EPD＝60°；③PA不是∠BPE的平分線；④PE＝PA+PD．所有正確結(jié)論的序號是 ①②④ ．
【分析】由“SAS”可證△BAD≌△CAE，可得BD＝CE；由全等三角形的性質(zhì)可得∠ABD＝∠ACE，由外角的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可得∠EPD＝60°；由全等三角形的性質(zhì)可得S△BAD＝S△CAE，由三角形面積公式可得AH＝AF，由角平分線的性質(zhì)可得AP平分∠BPE；由全等三角形的性質(zhì)可得∠BDA＝∠CEA，由“SAS”可證△AOE≌△APD，由全等三角形的性質(zhì)得出AO＝AP，證明△APO是等邊三角形，可得AP＝PO，可得PE＝AP+PD，即可求解．
【解答】解：∵△ABC與△ADE都是等邊三角形，
∴∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，AB＝AC，AD＝AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，故①正確，
∵△BAD≌△CAE，
∴∠AEC＝∠ADB，
∵∠ANE＝∠DNP，
∴∠DPE＝∠DAE＝60°，故②正確；
如圖，過點A作AH⊥BD，AF⊥CE，
∵△BAD≌△CAE，
∴S△BAD＝S△CAE，
∴BD?AH＝CE?AF，
∵BD＝CE，
∴AH＝AF，
∵AH⊥BD，AF⊥CE，
∴AP平分∠BPE，故③錯誤；
如圖，在線段PE上截取OE＝PD，連接AO，
∵△BAD≌△CAE，
∴∠BDA＝∠CEA，
∵OE＝PD，AE＝AD，
∴△AOE≌△APD（SAS），
∴AP＝AO，∠PAD＝∠OAE，
∴∠PAO＝∠DAE＝60°，
∴△APO是等邊三角形，
∴AP＝PO，
∵PE＝PO+OE，
∴PE＝AP+PD，故④正確．
故答案為：①②④．
【點評】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)以及角之間的關(guān)系，證明△BAD≌△CAE是解本題的關(guān)鍵．
三、解答題（共68分，第17-24題，每題5分，第25題6分，第26，27題，每題7分，第28題8分）解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.
17．（5分）用一條長20cm的細繩圍成一個等腰三角形，若一腰長是底邊長的2倍，求各邊的長．
【分析】設(shè)底長為xcm，則腰邊長為 2xcm，根據(jù)周長列方程得到x+2x+2x＝20，然后解方程求出x，從而得到三角形的底邊與腰長．
【解答】解：設(shè)底長為xcm，則腰邊長為 2xcm，
根據(jù)題意得x+2x+2x＝20，
解得x＝4，
當(dāng)x＝4時，2x＝8，
所以三角形的腰長為8cm、8cm，底邊長為4cm；
【點評】本題考查了等腰三角形的判定：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等．也考查了三角形三邊的關(guān)系．
18．（5分）一個多邊形的內(nèi)角和是它外角和的2倍，求這個多邊形的邊數(shù)．
【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式（n﹣2）?180°以及外角和定理列出方程，然后求解即可．
【解答】解：設(shè)這個多邊形的邊數(shù)是n，
根據(jù)題意得，（n﹣2）?180°＝2×360°，
解得n＝6．
答：這個多邊形的邊數(shù)是6．
【點評】本題考查了多邊形的內(nèi)角和公式與外角和定理，需要注意，多邊形的外角和與邊數(shù)無關(guān)，任何多邊形的外角和都是360°．
19．（5分）如圖，點A，B，C，D在同一直線上，AE＝BF，EC＝FD，AB＝CD．
求證：△EAC≌△FBD．
【分析】根據(jù)線段的和差求出AC＝BD，利用SSS即可證明△EAC≌△FBD．
【解答】證明：∵AB＝CD，
∴AB+BC＝CD+BC，
即AC＝BD，
在△EAC和△FBD中，
，
∴△EAC≌△FBD（SSS）．
【點評】此題考查了全等三角形的判定，熟記全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．
20．（5分）如圖，線段AC與線段BD相交于點O，若∠A＝70°，∠B＝30°，∠C＝60°，求∠D的度數(shù)．
【分析】先根據(jù)8字形和三角形內(nèi)角和定理可解答．
【解答】解：∵∠AOB＝∠COD，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D，
∵∠A＝70°，∠B＝30°，∠C＝60°，
∴70°+30°＝60°+∠D，
∴∠D＝40°．
【點評】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，掌握8字形內(nèi)角的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
21．（5分）如圖，線段AC與線段BD相交于點E，∠A＝∠D，AE＝DE．
求證：BD＝AC．
【分析】先由∠A＝∠D，AE＝DE，∠AEB＝∠DEC，根據(jù)全等三角形的判定定理“ASA”證明△ABE≌△DCE，得BE＝CE，再根據(jù)等式的性質(zhì)得DE+BE＝AE+CE，所以BD＝AC．
【解答】證明：∵線段AC與線段BD相交于點E，
∴∠AEB＝∠DEC，
在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE（ASA），
∴BE＝CE，
∴DE+BE＝AE+CE，
∴BD＝AC．
【點評】此題重點考查全等三角形的判定與性質(zhì)、等式的性質(zhì)等知識，正確地找到全等三角形的對應(yīng)邊和對應(yīng)角并且證明△ABE≌△DCE是解題的關(guān)鍵．
22．（5分）如圖，AB，CD相交于點O，DE∥AB．
（1）作∠BOD的角平分線OM，交DE于點F（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）若∠D＝60°，則△ODF的形狀是 等邊三角形 ．
【分析】（1）利用基本作圖作∠BOD的平分線即可；
（2）先根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠BOD＝120°，再根據(jù)角平分線的定義得到∠DOF＝60°，然后根據(jù)等邊三角形的判定方法可判斷△ODF的形狀．
【解答】解：（1）如圖，OF為所作；
（2）∵DE∥AB，
∴∠BOD+∠D＝180°，
∴∠BOD＝180°﹣60°＝120°，
∵OF平分∠BOD，
∴∠DOF＝60°，
∴△ODF為等邊三角形．
故答案為：等邊三角形．
【點評】本題考查了作圖﹣基本作圖：熟練掌握5種基本作圖是解決問題的關(guān)鍵．也考查了平行線的性質(zhì)和等邊三角形的判定．
23．（5分）如圖，為了滿足A，B，C三個小區(qū)居民的體育鍛煉需求，需要建立一個居民健身廣場D，要使健身廣場到三個小區(qū)的距離相等，請你在圖中作出健身廣場D的位置（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）．
【分析】作線段BC，AC的垂直平分線交于點D，點D即為所求．
【解答】解：如圖，點D即為所求．
【點評】本題考查作圖﹣應(yīng)用與設(shè)計作圖，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．
24．（5分）如圖1，AD是△ABC的中線．
求證：AB+AC＞2AD．
請將下面的推理過程補充完整：
證明：如圖2，延長AD到點E，使DE＝AD，連接BE．
∵AD是△ABC的中線，
∴BD＝CD．
在△ADC和△EDB中，
∴△ADC≌△EDB （ SAS ）．
∴ AC＝BE （全等三角形的對應(yīng)邊相等）．
∴在△ABE中，AB+BE＞AE （ 三角形兩邊之和大于第三邊 ），
∴AB+AC＞AD+DE．
即AB+AC＞2AD．
【分析】由“SAS”可證△ADC≌△EDB，可得AC＝BE，由三角形的三邊關(guān)系可求解．
【解答】證明：如圖2，延長AD到點E，使DE＝AD，連接BE．
∵AD是△ABC的中線，
∴BD＝CD．
在△ADC和△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB （SAS）．
∴AC＝BE（全等三角形的對應(yīng)邊相等）．
∴在△ABE中，AB+BE＞AE （三角形兩邊之和大于第三邊），
∴AB+AC＞AD+DE．
即AB+AC＞2AD．
故答案為：SAS，AC＝BE，三角形兩邊之和大于第三邊．
【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．
25．（6分）如圖，在△ABC中，D是BC的中點，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E，F(xiàn)，BE＝CF．求證：AD是△ABC的角平分線．
【分析】首先可證明Rt△BDE≌Rt△DCF（HL）再根據(jù)三角形角平分線的逆定理求得AD是角平分線即可．
【解答】證明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴Rt△BDE和Rt△CDF是直角三角形．
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴DE＝DF，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，AD＝AD，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴∠DAE＝∠DAF，
∴AD是△ABC的角平分線．
【點評】此題主要考查了角平分線的逆定理，綜合運用了直角三角形全等的判定．由三角形全等得到DE＝DF是正確解答本題的關(guān)鍵．
26．（7分）在四邊形ABCD中，∠A+∠C＝180°，BD平分∠ABC．
（1）如圖1，若∠A＝90°．
①直接寫出AD與CD的數(shù)量關(guān)系： AD＝CD ；
②請你寫出圖中一個與①不同的正確結(jié)論： AB＝CB ；
（2）如圖2，若∠A＞90°，猜想AD與CD的數(shù)量關(guān)系，并證明．
【分析】（1）①由∠A+∠C＝180°，∠A＝90°，得∠A＝∠C＝90°，由BD平分∠ABC，∠ABD＝∠CBD，即可根據(jù)全等三角形的判定定理“AAS”證明△ABD≌△CBD，得AD＝CD；
②由△ABD≌△CBD，得AB＝CB，∠ADB＝∠CDB，則答案是AB＝CB，也可以是∠ADB＝∠CDB；
（2）作DF⊥BA交BA的延長線于點F，DE⊥BC于點E，則∠F＝∠CED＝90°，由∠BAD+∠DAF＝180°，∠BAD+∠C＝180°，得∠DAF＝∠C，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得DF＝DE，即可證明△ADF≌△CDE，得AD＝CD．
【解答】解：（1）①AD＝CD，
理由：如圖1，∵∠A+∠C＝180°，∠A＝90°，
∴∠C＝90°，
∴∠A＝∠C，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
在△ABD和△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（AAS），
∴AD＝CD，
故答案為：AD＝CD．
②AB＝CB，
理由：由①得△ABD≌△CBD，
∴AB＝CB，
故答案為：AB＝CB．
（2）AD＝CD，
證明：如圖2，作DF⊥BA交BA的延長線于點F，DE⊥BC于點E，
∴∠F＝∠CED＝90°，
∵∠BAD+∠DAF＝180°，∠BAD+∠C＝180°，
∴∠DAF＝∠C，
∵BD平分∠ABC，DF⊥BA，DE⊥BC，
∴DF＝DE，
在△ADF和△CDE中，
，
∴△ADF≌△CDE（AAS），
∴AD＝CD．
注：（1）②答案不唯一，
可以是：∠ADB＝∠CDB，
理由：如圖1，∵∠A+∠C＝180°，∠A＝90°，
∴∠C＝90°，
∴∠A＝∠C，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
在△ABD和△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（AAS），
∴∠ADB＝∠CDB，
故答案為：∠ADB＝∠CDB．
【點評】此題重點考查角平分線上的點到角的兩邊的距離相等、同角的補角相等、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，正確地作出輔助線得到△ABD和△CBD，并且證明△ABD≌△CBD是解題的關(guān)鍵．
27．（7分）如圖，在等邊△ABC中，點D是BC邊上一點，作射線AD，點B關(guān)于射線AD的對稱點為E，連接CE并延長交射線AD于點F．
（1）依題意補全圖形；
（2）若∠BAF＝10°，則∠EFA的度數(shù)是 60° ；
（3）用等式表示線段AF，CF，EF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
【分析】（1）根據(jù)題意畫圖即可；
（2）由軸對稱可得∠BAF＝∠EAF，AB＝AE＝AC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，可求出∠EFA的值；
（3）AF＝EF+CF；證明∠GAE＝∠FCB，進而可得∠CFA＝60°，用截長補短方法，在線段AF上作FG＝EF，連接GE，易得△EFG是等邊三角形，再證明△CFB≌△AGE，即可證明AF＝EF+CF．
【解答】解：（1）如下圖所示，
（2）∵△ABC是等邊三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵∠BAF＝10°，∠ABC＝60°，
∴∠ADB＝180°﹣（∠BAF+∠ABC）＝180°﹣（10°+60°）＝110°，
∵點B關(guān)于射線AD的對稱點為E，
∴AB＝AE＝AC，∠BAF＝∠EAF＝10°，
∴∠EAC＝∠BAC﹣（∠BAF+∠EAF）＝60°﹣（10°+10°）＝40°，
∵AE＝AC，
∴∠ACE＝（180°﹣∠EAC）＝（180°﹣40°）＝70°，
∵∠ACE＝∠ACB+∠DCF，∠ACB＝60°，
∴∠DCF＝∠ACE﹣∠ABC＝70°﹣60°＝10°，
∵∠ADB＝∠CDF＝110°，
∴∠EFA＝180°﹣（∠CDF+∠DCF）＝180°﹣（110°+10°）＝60°，
故答案為：60°；
（3）AF＝CF+EF，證明如下：
如下圖所示，在線段AF上作FG＝EF，連接GE，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵點B關(guān)于射線AD的對稱點為E，
∴AB＝BC＝AE＝AC，∠BAF＝∠EAF，
∴△ABF≌△AEF，
∴BF＝EF，∠BFA＝∠EFA，
設(shè)∠BAF＝∠EAF＝α，則∠EAC＝∠BAC﹣（BAF+∠EAF）＝60°﹣2α，
∵AE＝AC，
∴∠ACF＝（180°﹣∠EAC）＝[180°﹣（60°﹣2α）＝60°+α，
∵∠ACF＝∠ACB+∠FCB，∠ACB＝60°，
∴∠FCB＝∠ACF﹣∠ACB＝60°+α﹣60°＝α，
∴∠FCB＝∠GAE＝∠BAF＝α，
∵∠CFA＝180°﹣（∠FAC+∠ACF），∠ACF＝60°+α，∠FAC＝∠BAC﹣∠BAF＝60°﹣α，
∴∠CFA＝180°﹣（60°+α+60°﹣α）＝60°，
∵∠BFA＝∠EFA，
∴∠CFB＝120°，
∵FG＝EF，∠CFA＝60°，
∴△EFG是等邊三角形，
∴FG＝EF，∠FGE＝60°，
∴∠AGE＝180°﹣∠FGE＝180°﹣60°＝120°，
∴∠CFB＝∠AGE，
在△CFB和△AGE中，
，
∴△CFB≌△AGE（AAS），
∴CF＝AG，
∵AF＝FG+AG，CF＝AG，EF＝FG，
∴AF＝EF+CF．
【點評】本題考查了三角形的幾何變換、等腰三角形和等邊三角形的性質(zhì)等，采用截長補短方法構(gòu)造全等三角形是解本題的關(guān)鍵，綜合性較強，難度較大．
28．（8分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A，B，P不在同一直線上，對于點P和線段AB給出如下定義：過點P向線段AB所在直線作垂線，若垂足Q在線段AB上，則稱點P為線段AB的內(nèi)垂點，當(dāng)垂足Q滿足|AQ﹣BQ|最小時，稱點P為線段AB的最佳內(nèi)垂點．
已知點S（﹣3，1），T（1，1）．
（1）在點P1（2，4），P2（﹣4，0），P3（﹣2，），P4（1，3）中，線段ST的內(nèi)垂點為 P3，P4 ；
（2）若點M是線段ST的最佳內(nèi)垂點，則點M的坐標(biāo)可以是 （﹣1，4），（﹣1，2） （寫出兩個滿足條件的點M即可）；
（3）已知點C（m﹣2，3），D（m，3），若線段CD上的每一個點都是線段ST的內(nèi)垂點，直接寫出m的取值范圍；
（4）已知點E（n+2，0），F(xiàn)（n+4，﹣1），若線段EF上存在線段ST的最佳內(nèi)垂點，直接寫出n的取值范圍．
【分析】（1）利用圖象法畫出圖形解決問題即可；
（2）滿足條件的點在線段ST的中垂線上；
（3）構(gòu)建不等式組解決問題即可；
（4）構(gòu)建不等式組解決問題即可．
【解答】解：（1）如圖1中，觀察圖象可知，線段ST的內(nèi)垂點為P3，P4．
故答案為：P3，P4；
（2）如圖，點M（﹣1，4），M′（﹣1，2）是線段ST的最佳內(nèi)垂點，
故答案為：（﹣1，4），（﹣1，2）（答案不唯一）；
（3）由題意，，
解得﹣1≤m≤1．
故答案為：﹣1≤m≤1．
（4）如圖2中，觀察圖象可知，m滿足，
解得﹣5≤n≤﹣3．
【點評】本題考查坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，垂線，線段的垂直平分線，不等式組等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會構(gòu)建不等式組解決問題，屬于中考?？碱}型．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2023/7/10 12:22:22；用戶：笑涵數(shù)學(xué)；郵箱：15699920825；學(xué)號：36906111

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