1．（2分）一元二次方程3x2﹣6x﹣4＝0的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別是（ ）
A．3，6，4B．3，﹣6，4C．3，6，﹣4D．3，﹣6，﹣4
2．（2分）將拋物線y＝﹣x2+1向上平移2個單位，得到的拋物線表達式為（ ）
A．y＝﹣（x+2）2B．y＝﹣（x﹣2）2C．y＝﹣x2﹣1D．y＝﹣x2+3
3．（2分）下列四幅圖案中，可以由如圖的一筆畫“天鵝”旋轉(zhuǎn)180°得到的圖案是（ ）
A．B．C．D．
4．（2分）如圖，BD是△ABC的中線，E，F(xiàn)分別是BD，BC的中點，連接EF．若AD＝4，則EF的長為（ ）
A．B．2C．D．4
5．（2分）用配方法解一元二次方程x2﹣4x+1＝0時，下列變形正確的是（ ）
A．（x﹣2）2＝1B．（x﹣2）2＝5C．（x+2）2＝3D．（x﹣2）2＝3
6．（2分）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的x與y的部分對應(yīng)值如下表：
則m的值為（ ）
A．1B．2C．5D．10
7．（2分）如圖，在△ABC中，∠BAC＝135°，將△ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到△DEC，點A，B的對應(yīng)點分別為D，E，連接AD．當點A，D，E在同一條直線上時，下列結(jié)論不正確的是（ ）
A．△ABC≌△DECB．∠ADC＝45°C．AD＝ACD．AE＝AB+CD
8．（2分）如圖，已知關(guān)于x的一元二次方程a（x﹣h）2﹣1＝0的兩個根在數(shù)軸上對應(yīng)的點分別在區(qū)域①和區(qū)域②，區(qū)域均含端點，則h的值可能是（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
二、填空題（共16分，每題2分）
9．（2分）若1是關(guān)于x的方程x2﹣ax＝0的根，則a的值為 ．
10．（2分）已知?ABCD的周長為14，AB＝3，則BC的長為 ．
11．（2分）若二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，則ac 0（填“＞”或“＝”或“＜”）．
12．（2分）如圖，等邊△ABC繞頂點A逆時針旋轉(zhuǎn)80°得到△ADE，連接BE，則∠ABE＝ °．
13．（2分）若關(guān)于x的一元二次方程x2+x+k＝0有兩個相等的實數(shù)根，則k的值為 ．
14．（2分）如圖是某停車場的平面示意圖，停車場外圍的長為30米，寬為18米．停車場內(nèi)車道的寬都相等，停車位總占地面積為288平方米．設(shè)車道的寬為x米，可列方程為 ．
15．（2分）點A（2，y1），B（a，y2）在二次函數(shù)y＝x2﹣2x+3的圖象上．若y1＜y2，寫出一個符合條件的a的值 ．
16．（2分）甲、乙、丙三名同學(xué)每人抽取一張卡片，每張卡片上有一個形如y＝ax2+bx的二次函數(shù)的解析式，其中只有一人與其他兩人抽到的解析式不同．下面是他們對抽到的解析式所對應(yīng)的圖象的描述：
甲：開口向下；
乙：頂點在第三象限；
丙：經(jīng)過點（﹣2，0），（1，3）．
根據(jù)描述可知，抽到與其他兩人解析式不同的是 （填“甲”，“乙”或“丙”）．
三、解答題（共68分，第17題8分，18-25題每題5分，第26題6分，第27、28題每題7分）
17．（8分）解方程：
（1）4x2＝9；
（2）x2﹣6x+8＝0．
18．（5分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△DEC，點A與點D對應(yīng)，點B與點E對應(yīng)．
（1）依題意補全圖形；
（2）直線AB與直線DE的位置關(guān)系為 ．
19．（5分）已知m是方程x2+2x﹣4＝0的一個根，求代數(shù)式（m+2）2+（m+3）（m﹣3）的值．
20．（5分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝20°，將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)25°得到△ADE，AD交BC于點F．若AE＝3，求AF的長．
21．（5分）在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過A（0，3）和B（1，0）兩點．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）該拋物線的對稱軸為 ．
22．（5分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（m﹣6）x﹣6m＝0．
（1）求證：該方程總有兩個實數(shù)根；
（2）若該方程有一個實數(shù)根小于2，求m的取值范圍．
23．（5分）在平面直角坐標系xOy中，二次函數(shù)y＝（x﹣1）2﹣1圖象頂點為A，與x軸正半軸交于點B．
（1）求點B的坐標，并畫出這個二次函數(shù)的圖象；
（2）一次函數(shù)y＝kx+b的圖象過A，B兩點，結(jié)合圖象，直接寫出關(guān)于x的不等式kx+b＞（x﹣1）2﹣1的解集．
24．（5分）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD為△ABC的中線．BE∥DC，BE＝DC，連接CE．
（1）求證：四邊形BDCE為菱形；
（2）連接DE，若∠ACB＝60°，BC＝4，求DE的長．
25．（5分）探照燈的內(nèi)部可以看成是拋物線的一部分經(jīng)過旋轉(zhuǎn)得到的拋物曲面，其原理是過某一特殊點的光線，經(jīng)拋物線反射后所得的光線平行于拋物線的對稱軸，我們稱這個特殊點為拋物線的焦點．若拋物線的表達式為y＝ax2，則拋物線的焦點為（0，）．
如圖，在平面直角坐標系xOy中，某款探照燈拋物線的表達式為y＝，焦點為F．
（1）點F的坐標是 ；
（2）過點F的直線與拋物線交于A，B兩點，已知沿射線FA方向射出的光線，反射后沿射線AM射出，AM所在直線與x軸的交點坐標為（4，0）．
①畫出沿射線FB方向射出的光線的反射光線BP；
②BP所在直線與x軸的交點坐標為 ．
26．（6分）在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y＝x2﹣2mx+m2﹣2．
（1）求拋物線的頂點坐標（用含m的式子表示）；
（2）已知點P（3，2）．
①當拋物線過點P時，求m的值；
②點Q的坐標為（m，1）．若拋物線與線段PQ恰有一個公共點，結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出m的取值范圍．
27．（7分）在等邊△ABC中，將線段CA繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜30°）得到線段CD，線段CD與線段AB交于點E，射線AD與射線CB交于點F．
（1）①依題意補全圖形；
②分別求∠CEB和∠AFC的大?。ㄓ煤恋氖阶颖硎荆?；
（2）用等式表示線段BE，CE，CF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
28．（7分）在平面直角坐標系xOy中，已知點A（a，b）．對于點P（x，y）給出如下定義：當x≠a時，若實數(shù)k滿足|y﹣b|＝k|x﹣a|，則稱k為點P關(guān)于點A的距離系數(shù)．若圖形M上所有點關(guān)于點A的距離系數(shù)存在最小值，則稱此最小值為圖形M關(guān)于點A的距離系數(shù)．
（1）當點A與點O重合時，在P1（2，2），P2（﹣2，1），P3（﹣4，4）中，關(guān)于點A的距離系數(shù)為1的是 ；
（2）已知點B（﹣2，1），C（1，1），若線段BC關(guān)于點A（m，﹣1）的距離系數(shù)小于，則m的取值范圍為 ；
（3）已知點A（4，0），T（0，t），其中2≤t≤4．以點T為對角線的交點作邊長為2的正方形，正方形的各邊均與某條坐標軸垂直．點D，E為該正方形上的動點，線段D，E的長度是一個定值（0＜DE＜2）．
①線段DE關(guān)于點A的距離系數(shù)的最小值為 ；
②若線段DE關(guān)于點A的距離系數(shù)的最大值是，則DE的長為 ．
2022-2023學(xué)年北京市海淀區(qū)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（共16分，每題2分）第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個.
1．（2分）一元二次方程3x2﹣6x﹣4＝0的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別是（ ）
A．3，6，4B．3，﹣6，4C．3，6，﹣4D．3，﹣6，﹣4
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常數(shù)且a≠0）．其中a，b，c分別叫二次項系數(shù)，一次項系數(shù)，常數(shù)項．據(jù)此作答．
【解答】解：一元二次方程3x2﹣6x﹣4＝0的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別是3，﹣6，﹣4，
故選：D．
【點評】本題考查了一元二次方程的一般形式，熟練掌握一元二次方程的一般形式是解題的關(guān)鍵．
2．（2分）將拋物線y＝﹣x2+1向上平移2個單位，得到的拋物線表達式為（ ）
A．y＝﹣（x+2）2B．y＝﹣（x﹣2）2C．y＝﹣x2﹣1D．y＝﹣x2+3
【分析】根據(jù)左加右減，上加下減可得函數(shù)解析式y(tǒng)＝﹣x2+1+2，再整理即可．
【解答】解：將拋物線y＝﹣x2+1向上平移2個單位，得到的拋物線表達式為y＝﹣x2+1+2＝﹣x2+3，
故選：D．
【點評】此題主要考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，關(guān)鍵是掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．并用規(guī)律求函數(shù)解析式．
3．（2分）下列四幅圖案中，可以由如圖的一筆畫“天鵝”旋轉(zhuǎn)180°得到的圖案是（ ）
A．B．C．D．
【分析】把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，這個點叫做對稱中心．
【解答】解：由如圖的一筆畫“天鵝”旋轉(zhuǎn)180°得到的圖案是選項A的“天鵝”．
故選：A．
【點評】本題考查了中心對稱圖形，掌握中心對稱圖形的定義是解答本題的關(guān)鍵．
4．（2分）如圖，BD是△ABC的中線，E，F(xiàn)分別是BD，BC的中點，連接EF．若AD＝4，則EF的長為（ ）
A．B．2C．D．4
【分析】根據(jù)三角形的中線的概念求出DC，根據(jù)三角形中位線定理計算即可．
【解答】解：∵BD是△ABC的中線，AD＝4，
∴DC＝AD＝4，
∵E，F(xiàn)分別是BD，BC的中點，
∴EF是△BCD的中位線，
∴EF＝DC＝2，
故選：B．
【點評】本題考查的是三角形中位線定理，熟記三角形中位線等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．
5．（2分）用配方法解一元二次方程x2﹣4x+1＝0時，下列變形正確的是（ ）
A．（x﹣2）2＝1B．（x﹣2）2＝5C．（x+2）2＝3D．（x﹣2）2＝3
【分析】移項，配方，即可得出選項．
【解答】解：x2﹣4x+1＝0，
x2﹣4x＝﹣1，
x2﹣4x+4＝﹣1+4，
（x﹣2）2＝3，
故選：D．
【點評】本題考查了解一元二次方程，能正確配方是解此題的關(guān)鍵．
6．（2分）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的x與y的部分對應(yīng)值如下表：
則m的值為（ ）
A．1B．2C．5D．10
【分析】通過觀察表格中對稱的點可得函數(shù)對稱軸及頂點坐標，進而求解．
【解答】解：∵函數(shù)圖象經(jīng)過（0，2），（2，2），
∴拋物線對稱軸為直線x＝1，
∴點（3，5）和點（﹣1，m）關(guān)于對稱軸對稱，
∴m＝5，
故選：C．
【點評】本題考查二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)．
7．（2分）如圖，在△ABC中，∠BAC＝135°，將△ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到△DEC，點A，B的對應(yīng)點分別為D，E，連接AD．當點A，D，E在同一條直線上時，下列結(jié)論不正確的是（ ）
A．△ABC≌△DECB．∠ADC＝45°C．AD＝ACD．AE＝AB+CD
【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰直角三角形 的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【解答】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出CD＝CA，∠EDC＝∠BAC＝135°，AB＝DE，
∵點A，D，E在同一條直線上，
∴∠ADC＝45°＝∠DAC，△ABC≌△DEC，AD＝AC，
∴AE＝AD+DE＝CD+AB，故選項A，B，C正確，D錯誤，
故選：D．
【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．
8．（2分）如圖，已知關(guān)于x的一元二次方程a（x﹣h）2﹣1＝0的兩個根在數(shù)軸上對應(yīng)的點分別在區(qū)域①和區(qū)域②，區(qū)域均含端點，則h的值可能是（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
【分析】由h和方程兩根的關(guān)系，即可求解．
【解答】解：設(shè)方程的兩根為x1，x2，﹣1≤x1≤0，2≤x2≤3，
∴1≤x1+x2≤3，
∵拋物線y＝a（x﹣h）2﹣1與x軸交點的橫坐標是x1，x2，對稱軸是直線x＝h，
∴h＝（x1+x2），
∴≤h≤，
∴h的值是1，
故選：C．
【點評】本題考查一元二次方程的知識，關(guān)鍵是明白拋物線y＝a（x﹣h）2﹣1與x軸交點的橫坐標是方程a（x﹣h）2﹣1＝0的兩根．
二、填空題（共16分，每題2分）
9．（2分）若1是關(guān)于x的方程x2﹣ax＝0的根，則a的值為 1 ．
【分析】把x＝1代入方程x2﹣ax＝0得1﹣a＝0，然后解關(guān)于a的方程．
【解答】解：把x＝1代入方程x2﹣ax＝0，得1﹣a＝0，
解得a＝1．
故答案為：1．
【點評】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．
10．（2分）已知?ABCD的周長為14，AB＝3，則BC的長為 4 ．
【分析】由平行四邊形的周長＝2（長+寬），列式可求解．
【解答】解：∵平行四邊形ABCD的周長為14，
∴2（AB+BC）＝14，
∴2（3+BC）＝14，
∴BC＝4，
故答案為：4．
【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
11．（2分）若二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，則ac ＜ 0（填“＞”或“＝”或“＜”）．
【分析】首先由拋物線的開口方向判斷a與0的關(guān)系，由拋物線與y軸的交點判斷c與0的關(guān)系，進而判斷ac與0的關(guān)系．
【解答】解：∵拋物線的開口向下，
∴a＜0，
∵與y軸的交點在y軸的正半軸上，
∴c＞0，
∴ac＜0．
故答案為＜．
【點評】考查二次函數(shù)y＝ax2+bx+c系數(shù)符號的確定．二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大?。?shù)項c決定拋物線與y軸交點．
12．（2分）如圖，等邊△ABC繞頂點A逆時針旋轉(zhuǎn)80°得到△ADE，連接BE，則∠ABE＝ 20 °．
【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．
【解答】解：等邊△ABC繞頂點A逆時針旋轉(zhuǎn)80°得到△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE＝60°，AB＝AC＝AE，∠BAD＝80°，
∴∠BAE＝140°，
∴∠ABE＝∠AEB＝×（180°﹣140°）＝20°，
故答案為：20．
【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，四邊形內(nèi)角和定理，三角形內(nèi)角和定理等知識，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．
13．（2分）若關(guān)于x的一元二次方程x2+x+k＝0有兩個相等的實數(shù)根，則k的值為 ．
【分析】由關(guān)于x的一元二次方程x2+x+k＝0有兩個相等的實數(shù)根，即可得判別式Δ＝0，解方程可求得k的值．
【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2+x+k＝0有兩個相等的實數(shù)根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4×1×k＝1﹣4k＝0，
解得：k＝，
故答案為：．
【點評】此題考查了一元二次方程判別式的知識．此題比較簡單，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，即可得Δ＝0．
14．（2分）如圖是某停車場的平面示意圖，停車場外圍的長為30米，寬為18米．停車場內(nèi)車道的寬都相等，停車位總占地面積為288平方米．設(shè)車道的寬為x米，可列方程為 （18﹣x）（30﹣x）＝288 ．
【分析】停車位總占地長為（30﹣x）米，寬為（18﹣x）米，根據(jù)矩形的面積＝長×寬＝288平方米列出方程，此題得解．
【解答】解：設(shè)車道的寬為x米，則停車位總占地長為（30﹣x）米，寬為（18﹣x）米，
根據(jù)題意，得（18﹣x）（30﹣x）＝288．
故答案為：（18﹣x）（30﹣x）＝288．
【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
15．（2分）點A（2，y1），B（a，y2）在二次函數(shù)y＝x2﹣2x+3的圖象上．若y1＜y2，寫出一個符合條件的a的值 3（答案不唯一） ．
【分析】由解析式求得開口方向和對稱軸，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出a＞2或a＜0．
【解答】解：∵y＝x2﹣2x+3，
∴拋物線開口向上，對稱軸為直線x＝﹣＝1，
∴點A（2，y1）關(guān)于直線x＝1的對稱點為（0，y1），
∵點A（2，y1），B（a，y2）在二次函數(shù)y＝x2﹣2x+3的圖象上．且y1＜y2，
∴a＞2或a＜0，
故a的值可以是3，
故答案為：3（答案不唯一）．
【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特點，熟知二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
16．（2分）甲、乙、丙三名同學(xué)每人抽取一張卡片，每張卡片上有一個形如y＝ax2+bx的二次函數(shù)的解析式，其中只有一人與其他兩人抽到的解析式不同．下面是他們對抽到的解析式所對應(yīng)的圖象的描述：
甲：開口向下；
乙：頂點在第三象限；
丙：經(jīng)過點（﹣2，0），（1，3）．
根據(jù)描述可知，抽到與其他兩人解析式不同的是 甲 （填“甲”，“乙”或“丙”）．
【分析】由于拋物線y＝ax2+bx經(jīng)過原點，若開口向下，則頂點不可能在第三象限，于是可判斷甲、乙的解析式不同；若開口向下，拋物線過點（﹣2，0），（0，0），則可判斷拋物線不經(jīng)過第一象限，不可能經(jīng)過（1，3），則可判斷甲、丙的解析式不同．
【解答】解：∵拋物線y＝ax2+bx經(jīng)過原點，
∴當開口向下，頂點不可能在第三象限，所以甲、乙的解析式不同；
當開口向下，過點（﹣2，0），（0，0），則拋物線不可能經(jīng)過（1，3），所以甲、丙的解析式不同，
∴抽到與其他兩人解析式不同的是甲．
故答案為：甲．
【點評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．
三、解答題（共68分，第17題8分，18-25題每題5分，第26題6分，第27、28題每題7分）
17．（8分）解方程：
（1）4x2＝9；
（2）x2﹣6x+8＝0．
【分析】（1）方程兩邊除以4，再開方，即可得出方程的解；
（2）先把方程的左邊分解因式，即可得出兩個一元一次方程，再求出方程的解即可．
【解答】解：（1）4x2＝9，
，
，
即，；
（2）x2﹣6x+8＝0，
（x﹣2）（x﹣4）＝0，
x﹣2＝0或x﹣4＝0，
解得：x1＝2，x2＝4．
【點評】本題考查了解一元二次方程，能選擇適當?shù)姆椒ń夥匠淌墙獯祟}的關(guān)鍵，解一元二次方程的方法有直接開平方法，公式法，配方法，因式分解法等．
18．（5分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△DEC，點A與點D對應(yīng)，點B與點E對應(yīng)．
（1）依題意補全圖形；
（2）直線AB與直線DE的位置關(guān)系為 AB⊥DE ．
【分析】（1）以點C為圓心，BC的長為半徑畫弧，交AC于點E，延長BC，以點C為圓心，AC的長為半徑畫弧，交BC的延長線于點D，連接DE即可．
（2）延長DE，交AB于點F，由旋轉(zhuǎn)可得，∠CED＝∠B，進而可得∠AEF＝∠B，則∠A+∠B＝∠A+∠AEF＝90°，可得∠AFE＝90°，即AB⊥DE．
【解答】解：（1）如圖，△DEC即為所求．
（2）延長DE，交AB于點F，
由旋轉(zhuǎn)可得，∠CED＝∠B，
∵∠CED＝∠AEF，
∴∠AEF＝∠B，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝∠A+∠AEF＝90°，
∴∠AFE＝90°，
即AB⊥DE．
故答案為：AB⊥DE．
【點評】本題考查作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
19．（5分）已知m是方程x2+2x﹣4＝0的一個根，求代數(shù)式（m+2）2+（m+3）（m﹣3）的值．
【分析】根據(jù)完全平方公式、平方差公式、合并同類項法則把原式化簡，根據(jù)一元二次方程根的概念得到m2+2m＝4，代入計算即可．
【解答】解：原式＝m2+4m+4+m2﹣9
＝2m2+4m﹣5，
∵m是方程x2+2x﹣4＝0的一個根，
∴m2+2m﹣4＝0，
∴m2+2m＝4，
則原式＝2（m2+2m）﹣5
＝2×4﹣5
＝3．
【點評】本題考查的是整式的化簡求值，掌握完全平方公式、平方差公式是解題的關(guān)鍵．
20．（5分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝20°，將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)25°得到△ADE，AD交BC于點F．若AE＝3，求AF的長．
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和勾股定理即可得到結(jié)論．
【解答】解：∵△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)25°得到△ADE，
∴∠FAB＝25°，AC＝AE，
∵AE＝3，
∴AC＝3，
∵∠B＝20°，
∴∠AFC＝∠FAB+∠B＝45°，
∵∠C＝90°，
∴∠AFC＝∠CAF＝45°，
∴CF＝AC＝3，
在Rt△ACF中，AF＝＝＝3．
【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．
21．（5分）在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過A（0，3）和B（1，0）兩點．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）該拋物線的對稱軸為 直線x＝2 ．
【分析】（1）把兩個已知點的坐標代入y＝x2+bx+c中得到b、c的方程組，然后解方程組即可；
（2）利用拋物線的對稱軸方程求解．
【解答】解：（1）∵拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過A（0，3）和B（1，0）兩點，
∴，
解得，
∴拋物線的解析式為y＝x2﹣4x+3；
（2）拋物線的對稱軸為直線x＝﹣＝2．
故答案為：直線x＝2．
【點評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．
22．（5分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（m﹣6）x﹣6m＝0．
（1）求證：該方程總有兩個實數(shù)根；
（2）若該方程有一個實數(shù)根小于2，求m的取值范圍．
【分析】（1）先根據(jù)題意求出Δ的值，再根據(jù)一元二次方程根的情況與根的判別式Δ的關(guān)系即可得出結(jié)論；
（2）利用因式分解法求得方程的解，然后根據(jù)題意列出關(guān)于m的不等式，解不等式即可得到結(jié)論．
【解答】（1）證明：由題意得：Δ＝（m﹣6）2﹣4×（﹣6m）＝m2+12m+36＝（m+6）2≥0，
故該方程總有兩個實數(shù)根；
（2）解：x2+（m﹣6）x﹣6m＝0，
解得：x1＝﹣m，x2＝6，
∵方程有一個實數(shù)根小于2，
∴﹣m＜2．
∴m＞﹣2．
【點評】本題考查了根的判別式，一元二次方程的解法，解一元一次不等式，掌握判別式Δ與0的關(guān)系判定方程根的情況是解決本題的關(guān)鍵．
23．（5分）在平面直角坐標系xOy中，二次函數(shù)y＝（x﹣1）2﹣1圖象頂點為A，與x軸正半軸交于點B．
（1）求點B的坐標，并畫出這個二次函數(shù)的圖象；
（2）一次函數(shù)y＝kx+b的圖象過A，B兩點，結(jié)合圖象，直接寫出關(guān)于x的不等式kx+b＞（x﹣1）2﹣1的解集．
【分析】（1）將y＝0代入函數(shù)解析式求解．
（2）根據(jù)點A，B坐標及圖象求解．
【解答】（1）解：令y＝0，則（x﹣1）2﹣1＝0，
解得x1＝0，x2＝2，
∴B點坐標為（2，0），
列表得：
畫圖得：
（2）如圖，
由圖形可得1＜x＜2時，kx+b＞（x﹣1）2﹣1．
【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)與方程及不等式的關(guān)系．
24．（5分）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD為△ABC的中線．BE∥DC，BE＝DC，連接CE．
（1）求證：四邊形BDCE為菱形；
（2）連接DE，若∠ACB＝60°，BC＝4，求DE的長．
【分析】（1）先證明四邊形BDCE為平行四邊形，由直角三角形的性質(zhì)可得BD＝CD，可得結(jié)論；
（2）由菱形的性質(zhì)可得DO＝OE，BC⊥DE，OC＝2，由直角三角形的性質(zhì)可求DO的長，即可求解．
【解答】（1）證明：∵BE∥AC，BE＝DC，
∴四邊形BDCE為平行四邊形，
∵∠ABC＝90°，BD為AC邊上的中線，
∴，
∴四邊形BDCE為菱形；
（2）解：連接DE交BC于O點，如圖，
∵四邊形BDCE為菱形，BC＝4，
∴，
∴∠ACB＝60°，
∴∠EDC＝90°﹣∠ACB＝30°，
∴DC＝2OC＝4，DO＝OC＝2，
∴．
【點評】本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
25．（5分）探照燈的內(nèi)部可以看成是拋物線的一部分經(jīng)過旋轉(zhuǎn)得到的拋物曲面，其原理是過某一特殊點的光線，經(jīng)拋物線反射后所得的光線平行于拋物線的對稱軸，我們稱這個特殊點為拋物線的焦點．若拋物線的表達式為y＝ax2，則拋物線的焦點為（0，）．
如圖，在平面直角坐標系xOy中，某款探照燈拋物線的表達式為y＝，焦點為F．
（1）點F的坐標是 （0，1） ；
（2）過點F的直線與拋物線交于A，B兩點，已知沿射線FA方向射出的光線，反射后沿射線AM射出，AM所在直線與x軸的交點坐標為（4，0）．
①畫出沿射線FB方向射出的光線的反射光線BP；
②BP所在直線與x軸的交點坐標為 （﹣1，0） ．
【分析】（1）根據(jù)焦點的定義和拋物線解析式即可求得；
（2）①根據(jù)反射光線平行于y軸作出圖形即可；
②先求出A點坐標，再用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，再聯(lián)立直線AB解析式和拋物線解析式，解方程組求出交點B的坐標，從而得解．
【解答】（1）由題意可得：拋物線y＝，焦點為F（0，1），
故答案為：（0，1）；
（2）①畫出反射光線BP，如圖：
②∵AM∥y軸，AM所在直線與x軸的交點坐標為（4，0）．
∴當x＝4時，y＝×42＝4，
∴A（4，4），
設(shè)AB所在直線解析式為y＝kx+b，
則，
解得，
∴AB所在直線解析式為y＝x+1，
聯(lián)立方程組，
解得或，
∴B（﹣1，）
∵BP∥y軸，
∴BP所在直線為x＝﹣1，
∴直線BP與x軸的交點為（﹣1，0）．
故答案為：（﹣1，0）．
【點評】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用和新定義，關(guān)鍵是對新定義的理解和運用．
26．（6分）在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y＝x2﹣2mx+m2﹣2．
（1）求拋物線的頂點坐標（用含m的式子表示）；
（2）已知點P（3，2）．
①當拋物線過點P時，求m的值；
②點Q的坐標為（m，1）．若拋物線與線段PQ恰有一個公共點，結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出m的取值范圍．
【分析】（1）把解析式化為頂點式即可；
（2）①把P點坐標代入解析式，解方程即可；
②找出對稱軸，求出拋物線與x軸的交點，根據(jù)題意得出點P在拋物線的左側(cè)或右側(cè)求出m的取值范圍．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2mx+m2﹣2＝（x﹣m）2﹣2，
∴拋物線的頂點坐標為（m，﹣2）；
（2）①∵點P（3，2）在拋物線y＝x2﹣2mx+m2﹣2上，
∴9﹣6m+m2﹣2＝2，
∴m2﹣6m+5＝0，
解得m1＝1，m2＝5；
②令y＝0，則（x﹣m）2﹣2＝0，
解得x＝m±，
∴拋物線與x軸的交點為（m+，0）或（m﹣，0），
∵a＝1＞0，
∴拋物線開口向上，大致圖象如圖所示：
要想使拋物線與線段PQ恰有一個公共點，則點P在拋物線左側(cè)或右側(cè)，
當y＝2時，（x﹣m）2＝4，
∴x＝m+2或x＝m﹣2，
當點P在拋物線左側(cè)時，3≤m﹣2，即m≥5；
當點P在拋物線右側(cè)時，3≥m+2，即m≤1，
∴m的取值范圍為m≤1或m≥5．
【點評】本題考查了二次函數(shù)與圖象的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會尋找特殊點解決問題，屬于中考?？碱}型．
27．（7分）在等邊△ABC中，將線段CA繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜30°）得到線段CD，線段CD與線段AB交于點E，射線AD與射線CB交于點F．
（1）①依題意補全圖形；
②分別求∠CEB和∠AFC的大小（用含α的式子表示）；
（2）用等式表示線段BE，CE，CF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
【分析】（1）①根據(jù)要求畫出圖形即可；
②利用三角形的外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理求解即可；
（2）結(jié)論：CF＝BE+CE．如圖2中，延長EA至點G使得EG＝CE，連接CG．證明△ACF≌△CBG（AAS），可得結(jié)論．
【解答】解：（1）①補全圖形，如圖1所示．
②解：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠BAC＝∠ACB＝60°．
∵線段CA繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)α得到線段CD，
∴CA＝CD，∠ACD＝α，，
∴，
∴∠CEB＝∠BAC+∠ACD＝60°+α，
∴．
（2）結(jié)論：CF＝BE+CE．
理由：如圖2中，延長EA至點G使得EG＝CE，連接CG．
∴∠G＝∠ECG．
∵∠CEB＝∠G+∠ECG＝2∠G，∠CEB＝60°+α，
∴．
∴，
∵∠G＝∠AFC．
∵△ABC是等邊三角形，
∴AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝60°．
∴△ACF≌△CBG（AAS），
∴CF＝BG，
∵BG＝BE+EG＝BE+CE，
∴CF＝BE+CE．
【點評】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．
28．（7分）在平面直角坐標系xOy中，已知點A（a，b）．對于點P（x，y）給出如下定義：當x≠a時，若實數(shù)k滿足|y﹣b|＝k|x﹣a|，則稱k為點P關(guān)于點A的距離系數(shù)．若圖形M上所有點關(guān)于點A的距離系數(shù)存在最小值，則稱此最小值為圖形M關(guān)于點A的距離系數(shù)．
（1）當點A與點O重合時，在P1（2，2），P2（﹣2，1），P3（﹣4，4）中，關(guān)于點A的距離系數(shù)為1的是 P1，P3 ；
（2）已知點B（﹣2，1），C（1，1），若線段BC關(guān)于點A（m，﹣1）的距離系數(shù)小于，則m的取值范圍為 m＜﹣3或m＞2 ；
（3）已知點A（4，0），T（0，t），其中2≤t≤4．以點T為對角線的交點作邊長為2的正方形，正方形的各邊均與某條坐標軸垂直．點D，E為該正方形上的動點，線段D，E的長度是一個定值（0＜DE＜2）．
①線段DE關(guān)于點A的距離系數(shù)的最小值為 ；
②若線段DE關(guān)于點A的距離系數(shù)的最大值是，則DE的長為 ．
【分析】（1）當線段PA與x軸的夾角為45°時，關(guān)于點A的距離系數(shù)為1，由此判斷即可；
（2）判斷出距離系數(shù)等于時，點A的位置，可得結(jié)論；
（3）①如圖3中，當T（0，2），點E與M重合時，線段DE關(guān)于點A的距離系數(shù)的值最小，再根據(jù)距離系數(shù)的定義求解；
②如圖4中，當T（0，4），點E在PQ上，點D在PN上（D，E交換位置也可以），且E，D，A共線，滿足條件k＝時，求出PD，PE的長，利用勾股定理求解即可．
【解答】解：（1）觀察圖象可知，線段P1O，線段P3O與x軸的夾角為45°，
所以關(guān)于點A的距離系數(shù)為1的點為P1，P3．
故答案為：P1，P3；
（2）如圖2中，
過點C作CF⊥直線y＝﹣1，垂足為F，過點B作BE⊥直線y＝﹣1，垂足為E．
當＝時，∵CF＝2，
∴AF＝4，
∴A（﹣3，﹣1），
當＝時，∵BE＝2，
∴EA′＝4，
∴A′（2，﹣1），
觀察圖象可知，滿足條件的m的值為：m＜﹣3或m＞2；
故答案為：m＜﹣3或m＞2；
（3）①如圖3中，當T（0，2），點E與M重合時，線段DE關(guān)于點A的距離系數(shù)的值最小，此時k＝．
故答案為：；
②如圖4中，當T（0，4），點E在PQ上，點D在PN上（D，E交換位置也可以），且E，D，A共線，滿足條件k＝時，
延長PN交x軸于點J．
由題意＝，
∵AJ＝3，
∴DJ＝，
∴PD＝PJ﹣DJ＝5﹣＝，
∵PE∥AJ，
∴＝，
∴＝，
∴PE＝，
∴DE＝＝＝．
故答案為：．
【點評】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，平面直角坐標系，距離系數(shù)的定義等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會尋找特殊位置解決問題，屬于中考常考題型．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2023/7/11 11:48:30；用戶：笑涵數(shù)學(xué)；郵箱：15699920825；學(xué)號：36906111x
﹣1
0
1
2
3
4
y
m
2
1
2
5
10
x
﹣1
0
1
2
3
4
y
m
2
1
2
5
10
x
﹣1
0
1
2
3
y
3
0
﹣1
0
3

相關(guān)試卷

2022-2023學(xué)年北京市海淀區(qū)首都師大附中九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷【含解析】：

這是一份2022-2023學(xué)年北京市海淀區(qū)首都師大附中九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷【含解析】，共29頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2022-2023學(xué)年北京市海淀區(qū)首都師大二附中九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷【含解析】：

這是一份2022-2023學(xué)年北京市海淀區(qū)首都師大二附中九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷【含解析】，共8頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2022-2023學(xué)年北京市海淀區(qū)清華附中九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷【含解析】：

這是一份2022-2023學(xué)年北京市海淀區(qū)清華附中九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷【含解析】，共34頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

2022-2023學(xué)年北京市海淀區(qū)七年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷【含解析】

2022-2023學(xué)年北京市海淀區(qū)七年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷【含解析】
2021-2022學(xué)年北京市海淀區(qū)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷【含解析】

2021-2022學(xué)年北京市海淀區(qū)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷【含解析】
2022-2023學(xué)年北京市海淀區(qū)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷(解析版)

2022-2023學(xué)年北京市海淀區(qū)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷(解析版)
2022-2023學(xué)年北京市海淀區(qū)清華附中九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2022-2023學(xué)年北京市海淀區(qū)清華附中九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
期中專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部