1．（2分）北京時間2021年10月16日0時23分，長征二號F運載火箭托舉神舟十三號載人飛船升空，中國空間站關鍵技術驗證階段收官之戰(zhàn)正式打響．長征二號F運載火箭是長征家族的明星火箭，綽號“神箭”．它的身高58米，體重497噸，運載能力超過8.1噸，起飛推力5923000牛，它是中國航天員的專屬交通工具．將5923000用科學記數(shù)法表示應為（ ）
A．0.5923×107B．5.923×107
C．5.923×106D．59.23×105
2．（2分）拋物線y＝﹣（x+1）2﹣2的頂點坐標是（ ）
A．（1，2）B．（1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（﹣1，﹣2）
3．（2分）方程x2﹣3x﹣1＝0的根的情況是（ ）
A．有兩個不相等的實數(shù)根
B．有兩個相等的實數(shù)根
C．沒有實數(shù)根
D．無法確定
4．（2分）如圖，把菱形ABOC繞點O順時針旋轉得到菱形DFOE，則下列角中不是旋轉角的為（ ）
A．∠BOFB．∠AODC．∠COED．∠COF
5．（2分）已知拋物線y＝x2﹣x﹣3經過點A（2，y1）、B（3，y2），則y1與y2的大小關系是（ ）
A．y1＞y2B．y1＝y(tǒng)2C．y1＜y2D．無法確定
6．（2分）用配方法解方程x2+8x﹣9＝0，變形后的結果正確的是（ ）
A．（x+4）2＝﹣9B．（x+4）2＝﹣25
C．（x+4）2＝9D．（x+4）2＝25
7．（2分）將拋物線y＝x2向左平移1個單位長度，再向下平移3個單位長度后，就得到拋物線（ ）
A．y＝（x+1）2+3B．y＝（x﹣1）2﹣3
C．y＝（x+1）2﹣3D．y＝（x﹣1）2+3
8．（2分）某種商品的價格是2元，準備進行兩次降價．如果每次降價的百分率都是x，經過兩次降價后的價格y（單位：元）隨每次降價的百分率x的變化而變化，則y關于x的函數(shù)解析式是（ ）
A．y＝2（x+1）2B．y＝2（1﹣x）2C．y＝（x+1）2D．y＝（x﹣1）2
二、填空題（共16分，每題2分
9．（2分）分解因式：ab2﹣4ab+4a＝ ．
10．（2分）若關于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a﹣2＝0有一根為0，則a＝ ．
11．（2分）已知點A（a，2）與點A′（﹣4，﹣2）關于原點對稱，則a＝ ．
12．（2分）一元二次方程x2﹣3x＝0的解是 ．
13．（2分）請寫出一個開口向下，并且與y軸交于點（0，4）的拋物線的解析式 ．
14．（2分）如圖，△ABC中，∠CAB＝70°，在同一平面內，將△ABC繞點A旋轉到△AB′C′的位置，使得C′C∥AB，則∠BAB′等于 ．
15．（2分）拋物線y＝3（x﹣1）2+k與x軸的一個交點坐標是（﹣1，0），則另一個交點坐標是 ．
16．（2分）如圖，直線y＝﹣x+3與x軸、y軸分別交于A、B兩點，△AOB繞點A順時針旋轉90°后得到△AO′B′，則點B的對應點B′的坐標為 ．
三、解答題（共68分，第17-20題每題5分，第21，22題每題6分，第23題5分，第24題6分，第25題3分，第26，27題每題7分，第28題8分）解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程
17．（5分）解方程：x2+2x﹣8＝0．
18．（5分）已知點（k，1）是二次函數(shù)y＝3x2﹣2x圖象上一點，求代數(shù)式（k﹣1）2+2（k+1）（k﹣1）+8的值．
19．（5分）已知二次函數(shù)y＝x2﹣4x+3．
（1）二次函數(shù)y＝x2﹣4x+3的圖象與x軸交于A、B兩點（A點在B點左側），求A、B兩點的坐標；
（2）在網格中、畫出該函數(shù)的圖象．
20．（5分）已知二次函數(shù)y＝x2+bx+c，函數(shù)y與自變量x的部分對應值如表：
（1）求該二次函數(shù)的解析式．
（2）當x為何值時y有最小值，最小值是多少？
21．（6分）已知關于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+2＝0有兩個不相等的實數(shù)根．
（1）求m的取值范圍；
（2）當m取滿足條件的最大整數(shù)時，求方程的根．
22．（6分）在體育課擲實心球活動中，小華通過研究發(fā)現(xiàn)：實心球所經過的路線是一條拋物線的一部分，如果球出手處點A距離地面的高度為2m，當球運行的水平距離為6m時，達到最大高度5m的B處（如圖），問實心球的落地點C與出手處點A的水平距離是多少？（結果保留根號）
23．（5分）在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝x2+2x+2與y軸交于點A．
（1）點A的坐標是 ．
（2）橫、縱坐標都是整數(shù)的點叫做整點，直接寫出拋物線y＝x2+2x+2與直線y＝4圍成的陰影圖形中（不包括邊界）所含的所有整點的坐標．
24．（6分）△ACB中，∠C＝90°，以點A為中心，分別將線段AB，AC逆時針旋轉60°得到線段AD，AE，連接DE，延長DE交CB于點F，用等式表示線段CF與AC的數(shù)量關系，并加以證明．
25．（3分）大興某小區(qū)為響應創(chuàng)建文明城市號召，引導小區(qū)居民節(jié)約用水，居委會工作人員小趙在該小區(qū)的1000個家庭中，隨機統(tǒng)計了m個家庭的月用水情況，并繪制了如下的頻數(shù)分布表（其中a為每個家庭的月用水量，單位：噸）
請你根據(jù)以上提供的信息，解答下列問題：
（1）m的值為 ．
（2）計算該小區(qū)1000個家庭中月用水量a≤10的家庭大約有多少個．
26．（7分）在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y＝ax2﹣6ax﹣4（a≠0）．
（1）求拋物線的對稱軸．
（2）若方程ax2﹣6ax﹣4＝0（a≠0）有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2，且2≤x1＜x2≤4，結合函數(shù)的圖象，求a的取值范圍．
27．（7分）已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，在平面內有一個點E（點E與點A，C不重合），以點C為中心，把線段CE順時針旋轉90°，得到線段CD，連接BE，AD．
（1）如圖1，若點E在邊AC上；
①依題意補全圖形；
②設BE＝kAD，則k＝ ．
（2）如圖2，若點E不在邊AC上，猜想線段BE，AD之間的數(shù)量關系及位置關系，并證明．
28．（8分）定義：在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點A，B．點P為平面內任意一點，若PA＝PB，且∠APB≤120°時，稱點P為線段AB的“居中點”．特別地，當PA＝PB，且∠APB＝120°時，又稱點P為線段AB的“正居中點”．拋物線y＝x2﹣2x與x軸的正半軸交于點M．
（1）若點C是線段OM的“正居中點”，且在第一象限，則點C的坐標為（ ， ）；
（2）若點D是線段OM的“居中點”，則點D的縱坐標d的取值范圍是 ．
（3）將射線OM繞點O順時針旋轉30°得到射線m，已知點E在射線m上，若在第四象限內存在點F，點F既是線段OM的“居中點”，又是線段OE的“正居中點”，求此時點E的坐標．
2021-2022學年北京市大興區(qū)九年級（上）期中數(shù)學試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（共16分，每題2分）第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個
1．（2分）北京時間2021年10月16日0時23分，長征二號F運載火箭托舉神舟十三號載人飛船升空，中國空間站關鍵技術驗證階段收官之戰(zhàn)正式打響．長征二號F運載火箭是長征家族的明星火箭，綽號“神箭”．它的身高58米，體重497噸，運載能力超過8.1噸，起飛推力5923000牛，它是中國航天員的專屬交通工具．將5923000用科學記數(shù)法表示應為（ ）
A．0.5923×107B．5.923×107
C．5.923×106D．59.23×105
【分析】科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值≥10時，n是正整數(shù)；當原數(shù)的絕對值＜1時，n是負整數(shù)．
【解答】解：5923000＝5.923×106．
故選：C．
【點評】此題考查科學記數(shù)法的表示方法．科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時關鍵要確定a的值以及n的值．
2．（2分）拋物線y＝﹣（x+1）2﹣2的頂點坐標是（ ）
A．（1，2）B．（1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（﹣1，﹣2）
【分析】由函數(shù)解析式可求得其頂點坐標．
【解答】解：
∵y＝﹣（x+1）2﹣2，
∴頂點坐標為（﹣1，﹣2），
故選：D．
【點評】本題主要考查二次函數(shù)的性質，掌握二次函數(shù)的頂點式是解題的關鍵，即在y＝a（x﹣h）2+k中，對稱軸為x＝h，頂點坐標為（h，k）．
3．（2分）方程x2﹣3x﹣1＝0的根的情況是（ ）
A．有兩個不相等的實數(shù)根
B．有兩個相等的實數(shù)根
C．沒有實數(shù)根
D．無法確定
【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式求出△的值即可作出判斷．
【解答】解：∵方程x2﹣3x﹣1＝0中，Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）＝9+4＝13＞0，
∴方程有兩個不相等的實數(shù)根．
故選：A．
【點評】本題考查的是一元二次方程根的判別式，即一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關系：
①當Δ＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；
②當Δ＝0時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；
③當Δ＜0時，方程無實數(shù)根．
4．（2分）如圖，把菱形ABOC繞點O順時針旋轉得到菱形DFOE，則下列角中不是旋轉角的為（ ）
A．∠BOFB．∠AODC．∠COED．∠COF
【分析】兩對應邊所組成的角都可以作為旋轉角，結合圖形即可得出答案．
【解答】解：A、OB旋轉后的對應邊為OF，故∠BOF可以作為旋轉角，故本選項錯誤；
B、OA旋轉后的對應邊為OD，故∠AOD可以作為旋轉角，故本選項錯誤；
C、OC旋轉后的對應邊為OE，故∠COE可以作為旋轉角，故本選項錯誤；
D、OC旋轉后的對應邊為OE不是OF，故∠COF不可以作為旋轉角，故本選項正確；
故選：D．
【點評】此題考查了旋轉的性質，屬于基礎題，解答本題的關鍵是掌握兩對應邊所組成的角都可以作為旋轉角，難度一般．
5．（2分）已知拋物線y＝x2﹣x﹣3經過點A（2，y1）、B（3，y2），則y1與y2的大小關系是（ ）
A．y1＞y2B．y1＝y(tǒng)2C．y1＜y2D．無法確定
【分析】先求得函數(shù)y＝x2﹣x﹣3的對稱軸為x＝，再判斷A（2，y1）、B（3，y2）在對稱軸右側，從而判斷出y1與y2的大小關系．
【解答】解：∵函數(shù)y＝x2﹣x﹣3的對稱軸為x＝，
∴A（2，y1）、B（3，y2）在對稱軸右側，
∴拋物線開口向上，對稱軸右側y隨x的增大而增大．
∵2＜3，
∴y1＜y2．
故選：C．
【點評】此題主要考查了二次函數(shù)圖象上點的特征，利用已知解析式得出對稱軸進而利用二次函數(shù)增減性得出是解題關鍵．
6．（2分）用配方法解方程x2+8x﹣9＝0，變形后的結果正確的是（ ）
A．（x+4）2＝﹣9B．（x+4）2＝﹣25
C．（x+4）2＝9D．（x+4）2＝25
【分析】將常數(shù)項移到右邊，再兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方，然后寫成完全平方式即可．
【解答】解：∵x2+8x﹣9＝0，
∴x2+8x＝9，
∴x2+8x+16＝9+16，即（x+4）2＝25，
故選：D．
【點評】此題考查了解一元二次方程﹣配方法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵．
7．（2分）將拋物線y＝x2向左平移1個單位長度，再向下平移3個單位長度后，就得到拋物線（ ）
A．y＝（x+1）2+3B．y＝（x﹣1）2﹣3
C．y＝（x+1）2﹣3D．y＝（x﹣1）2+3
【分析】根據(jù)向左平移橫坐標減，向下平移縱坐標減求出新拋物線的頂點坐標，再利用頂點式解析式寫出即可．
【解答】解：∵拋物線y＝x2先向左平移1個單位長度，再向下平移3個單位長度，
∴新拋物線頂點坐標為（﹣1，﹣3），
∴所得到的新的拋物線的解析式為y＝（x+1）2﹣3．
故選：C．
【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，平移的規(guī)律：左加右減，上加下減，利用頂點的變化求解更簡便．
8．（2分）某種商品的價格是2元，準備進行兩次降價．如果每次降價的百分率都是x，經過兩次降價后的價格y（單位：元）隨每次降價的百分率x的變化而變化，則y關于x的函數(shù)解析式是（ ）
A．y＝2（x+1）2B．y＝2（1﹣x）2C．y＝（x+1）2D．y＝（x﹣1）2
【分析】利用增長率公式得到y(tǒng)＝2（1﹣x）2．
【解答】解：根據(jù)題意得y＝2（1﹣x）2，
故選：B．
【點評】本題考查了根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關系式：根據(jù)實際問題確定二次函數(shù)關系式關鍵是讀懂題意，建立二次函數(shù)的數(shù)學模型來解決問題．需要注意的是實例中的函數(shù)圖象要根據(jù)自變量的取值范圍來確定．
二、填空題（共16分，每題2分
9．（2分）分解因式：ab2﹣4ab+4a＝ a（b﹣2）2 ．
【分析】先提取公因式a，再根據(jù)完全平方公式進行二次分解．完全平方公式：a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2．
【解答】解：ab2﹣4ab+4a
＝a（b2﹣4b+4）﹣﹣（提取公因式）
＝a（b﹣2）2．﹣﹣（完全平方公式）
故答案為：a（b﹣2）2．
【點評】本題考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式進行二次分解，注意分解要徹底．
10．（2分）若關于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a﹣2＝0有一根為0，則a＝ 2 ．
【分析】把方程的根代入方程得到關于a的方程，求解a的值；再根據(jù)一元二次方程的定義，二次項的系數(shù)不等于0列式計算，最后得解．
【解答】解：∵方程的一個根為0，
∴（a﹣1）×02+0+a﹣2＝0，
解得a＝2，
故答案為：2．
【點評】本題考查了一元二次方程的解的定義，解題關鍵在于注意二次項系數(shù)不等于0，也是本題容易出錯的地方．
11．（2分）已知點A（a，2）與點A′（﹣4，﹣2）關于原點對稱，則a＝ 4 ．
【分析】根據(jù)關于關于原點對稱的點，橫坐標與縱坐標都互為相反數(shù)得出答案．
【解答】解：∵點A（a，2）與點B（﹣4，﹣2）關于原點對稱，
∴a的值是4．
故答案為：4．
【點評】此題主要考查了關于原點對稱點的性質，解決本題的關鍵是掌握好對稱點的坐標規(guī)律：
（1）關于x軸對稱的點，橫坐標相同，縱坐標互為相反數(shù)；
（2）關于y軸對稱的點，縱坐標相同，橫坐標互為相反數(shù)；
（3）關于原點對稱的點，橫坐標與縱坐標都互為相反數(shù)．
12．（2分）一元二次方程x2﹣3x＝0的解是 x1＝0，x2＝3 ．
【分析】首先利用提取公因式法分解因式，由此即可求出方程的解．
【解答】解：x2﹣3x＝0，
x（x﹣3）＝0，
∴x1＝0，x2＝3．
故答案為：x1＝0，x2＝3．
【點評】此題主要考查了因式分解法解一元二次方程，解題的關鍵會進行因式分解．
13．（2分）請寫出一個開口向下，并且與y軸交于點（0，4）的拋物線的解析式 y＝﹣x2+4（答案不唯一） ．
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質，拋物線開口向下a＜0，然后寫出即可．
【解答】解：拋物線解析式為y＝﹣x2+4（答案不唯一）．
故答案為：y＝﹣x2+4（答案不唯一）．
【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質，開放型題目，主要利用了拋物線的開口方向與二次項系數(shù)a的關系．
14．（2分）如圖，△ABC中，∠CAB＝70°，在同一平面內，將△ABC繞點A旋轉到△AB′C′的位置，使得C′C∥AB，則∠BAB′等于 40° ．
【分析】旋轉中心為點A，B與B′，C與C′分別是對應點，根據(jù)旋轉的性質可知，旋轉角∠BAB′＝∠CAC′，AC＝AC′，再利用平行線的性質得∠C′CA＝∠CAB，把問題轉化到等腰△ACC′中，根據(jù)內角和定理求∠CAC′．
【解答】解：∵CC′∥AB，∠CAB＝70°，
∴∠C′CA＝∠CAB＝70°，
又∵C、C′為對應點，點A為旋轉中心，
∴AC＝AC′，即△ACC′為等腰三角形，
∴∠BAB′＝∠CAC′＝180°﹣2∠C′CA＝40°．
故答案為：40°
【點評】本題考查了旋轉的基本性質，對應點到旋轉中心的距離相等，對應點與旋轉中心的連線的夾角為旋轉角．同時考查了平行線的性質．
15．（2分）拋物線y＝3（x﹣1）2+k與x軸的一個交點坐標是（﹣1，0），則另一個交點坐標是 （3，0） ．
【分析】求出拋物線的對稱軸，利用拋物線的對稱性即可求出拋物線與x軸的另一個交點的坐標．
【解答】解：拋物線y＝3（x﹣1）2+k的對稱軸為直線x＝1，
∵拋物線y＝3（x﹣1）2+k與x軸的一個交點坐標是（﹣1，0），
拋物線關于直線x＝1對稱，
∴拋物線y＝3（x﹣1）2+k與x軸的另一個交點的橫坐標為：1+2＝3，
∴另一個交點坐標是（3，0）．
故答案為：（3，0）．
【點評】本題主要考查了拋物線與x軸的交點，利用拋物線的對稱性解答是比較常用且簡單的方法．
16．（2分）如圖，直線y＝﹣x+3與x軸、y軸分別交于A、B兩點，△AOB繞點A順時針旋轉90°后得到△AO′B′，則點B的對應點B′的坐標為 （5，2） ．
【分析】先根據(jù)坐標軸上點的坐標特征求出B點坐標為（0，3），A點坐標為（2，0），則OA＝2，OB＝3，再根據(jù)旋轉的性質得∠OAO′＝90°，∠AO′B′＝∠AOB＝90°，AO′＝AO＝2，O′B′＝OB＝3，然后根據(jù)點的坐標的確定方法即可得到點B′坐標．
【解答】解：當x＝0時，y＝﹣x+3＝3，則B點坐標為（0，3）；
當y＝0時，﹣x+3＝0，解得x＝2，則A點坐標為（2，0），
則OA＝2，OB＝3，
∵△AOB繞點A順時針旋轉90°后得到△AO′B′，
∴∠OAO′＝90°，∠AO′B′＝∠AOB＝90°，AO′＝AO＝2，O′B′＝OB＝3，
即AO′⊥x軸，O′B′∥x軸，
∴點B′坐標為（5，2）．
故答案為（5，2）．
【點評】本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．也考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征．
三、解答題（共68分，第17-20題每題5分，第21，22題每題6分，第23題5分，第24題6分，第25題3分，第26，27題每題7分，第28題8分）解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程
17．（5分）解方程：x2+2x﹣8＝0．
【分析】利用因式分解法解出方程．
【解答】解：x2+2x﹣8＝0
（x﹣2）（x+4）＝0
x﹣2＝0或x+4＝0
x1＝2，x2＝﹣4
【點評】本題考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步驟是解題的關鍵．
18．（5分）已知點（k，1）是二次函數(shù)y＝3x2﹣2x圖象上一點，求代數(shù)式（k﹣1）2+2（k+1）（k﹣1）+8的值．
【分析】根據(jù)一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，將點（k，1）代入y＝3x2﹣2x，得到3k2﹣2k＝1，代入變形后的代數(shù)式即可求得結果．
【解答】解：∵點（k，1）是二次函數(shù)y＝3x2﹣2x圖象上一點，
∴3k2﹣2k＝1，
∴（k﹣1）2+2（k+1）（k﹣1）+8
＝k2﹣2k+1+2k2﹣2+8
＝3k2﹣2k+7
＝8．
【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征．二次函數(shù)圖象上所有的點的坐標均滿足該二次函數(shù)的關系式．
19．（5分）已知二次函數(shù)y＝x2﹣4x+3．
（1）二次函數(shù)y＝x2﹣4x+3的圖象與x軸交于A、B兩點（A點在B點左側），求A、B兩點的坐標；
（2）在網格中、畫出該函數(shù)的圖象．
【分析】（1）令y＝0，則x2﹣4x+3＝0，解這個方程即可得到A，B的橫坐標；
（2）利用描點法畫出函數(shù)的圖象．
【解答】解：令y＝0，則x2﹣4x+3＝0，
解這個方程得：x1＝1，x2＝3．
∵A點在B點左側，
∴A（1，0），B（3，0）．
（2）利用描點法畫出函數(shù)的圖象如圖：
【點評】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象，拋物線與x軸的交點，令y＝0，解一元二次方程即可得到A，B的橫坐標是解題的關鍵．
20．（5分）已知二次函數(shù)y＝x2+bx+c，函數(shù)y與自變量x的部分對應值如表：
（1）求該二次函數(shù)的解析式．
（2）當x為何值時y有最小值，最小值是多少？
【分析】（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可以求得二次函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)即可得到結論．
【解答】解：（1）由表格可知，二次函數(shù)圖象的頂點為（1，﹣4），
∴﹣＝﹣＝1，
∴b＝﹣2，
∵圖象經過點（0，﹣3），
∴c＝﹣3，
∴二次函數(shù)的解析式為y＝x2﹣2x﹣3；
（2）當x＝1時，y有最小值，最小值為﹣4．
【點評】本題考查用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)的最值，解題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．
21．（6分）已知關于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+2＝0有兩個不相等的實數(shù)根．
（1）求m的取值范圍；
（2）當m取滿足條件的最大整數(shù)時，求方程的根．
【分析】（1）由Δ＞0得到關于m的不等式，解之得到m的范圍，根據(jù)一元二次方程的定義求得答案；
（2）由（1）知m＝0，可得方程﹣x2+2x+2＝0，利用配方法求解可得．
【解答】解：（1）∵關于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+2＝0有兩個不相等的實數(shù)根，
∴m﹣1≠0，Δ＝22﹣4（m﹣1）×2＞0，
解得：m＜且m≠1，
則m的取值范圍是m＜且m≠1；
（2）由（1）知m＝0，
則方程為﹣x2+2x+2＝0，
即（x﹣1）2＝3，
解得x1＝1+，x2＝1﹣．
∴方程的根為x1＝1+，x2＝1﹣．
【點評】本題主要考查一元二次方程的定義及根的判別式，解題的關鍵是熟練掌握方程的根的情況與判別式的值之間的關系．
22．（6分）在體育課擲實心球活動中，小華通過研究發(fā)現(xiàn)：實心球所經過的路線是一條拋物線的一部分，如果球出手處點A距離地面的高度為2m，當球運行的水平距離為6m時，達到最大高度5m的B處（如圖），問實心球的落地點C與出手處點A的水平距離是多少？（結果保留根號）
【分析】先建立如圖所示平面直角坐標系，結合頂點B坐標設出其解析式，再將A坐標代入求出其解析式，繼而令y＝0求出x的值，從而得出答案．
【解答】解：建立平面直角坐標系如圖所示：
則A（0，2）、B（6，5），
設拋物線解析式為y＝a（x﹣6）2+5，
∵A（0，2）在拋物線上，
∴36a+5＝2，
解得a＝﹣，
∴y＝﹣（x﹣6）2+5，
令y＝0，
∴x1＝6﹣2（舍），x2＝6+2，
∴OC＝6+2，
答：實心球的落地點C與出手處點A的水平距離是（6+2）m．
【點評】本題主要考查二次函數(shù)的應用，解題的關鍵是建立合適的平面直角坐標系，并據(jù)此利用待定系數(shù)法求出其解析式．
23．（5分）在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝x2+2x+2與y軸交于點A．
（1）點A的坐標是 （0，2） ．
（2）橫、縱坐標都是整數(shù)的點叫做整點，直接寫出拋物線y＝x2+2x+2與直線y＝4圍成的陰影圖形中（不包括邊界）所含的所有整點的坐標．
【分析】（1）令x＝0，求得對應的函數(shù)值即可；
（2）畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象即可求得．
【解答】解：（1）把x＝0代入y＝x2+2x+2得，y＝2，
∴A（0，2）；
故答案為：（0，2）；
（2）∵y＝x2+2x+2＝（x+1）2+1，
∴開口向上，對稱軸為直線x＝﹣1，頂點為（﹣1，﹣1），
畫出函數(shù)圖象如圖，
由圖象可知，拋物線y＝x2+2x+2與直線y＝4圍成的陰影圖形中（不包括邊界）所含的所有整點為（0，3），（﹣1，2），（﹣1，3），（﹣2，3）．
【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，數(shù)形結合是解題的關鍵．
24．（6分）△ACB中，∠C＝90°，以點A為中心，分別將線段AB，AC逆時針旋轉60°得到線段AD，AE，連接DE，延長DE交CB于點F，用等式表示線段CF與AC的數(shù)量關系，并加以證明．
【分析】首先證明△ADE≌△ABC（SAS），得∠AED＝∠C＝90°，再證明Rt△AEF≌Rt△ACF（HL），得∠CAF＝，從而解決問題．
【解答】解：線段CF與AC的數(shù)量關系是：CF＝AC，理由如下：
如圖，連接AF，
∵∠BAD＝∠CAE＝60°，
∴∠EAD＝∠CAB，
∵AD＝AB，AE＝AC，
在△ADE和△ABC中，
，
∴△ADE≌△ABC（SAS），
∴∠AED＝∠C＝90°，
∴∠AEF＝90°，
在Rt△AEF和Rt△ACF中，
，
∴Rt△AEF≌Rt△ACF（HL），
∴∠CAF＝，
在Rt△ACF中，CF＝，且AC2+CF2＝AF2，
∴CF＝AC．
【點評】本題主要考查了旋轉的性質，全等三角形的判定與性質，含30°角的直角三角形的性質等知識，證明∠CAF＝30°是解題的關鍵．
25．（3分）大興某小區(qū)為響應創(chuàng)建文明城市號召，引導小區(qū)居民節(jié)約用水，居委會工作人員小趙在該小區(qū)的1000個家庭中，隨機統(tǒng)計了m個家庭的月用水情況，并繪制了如下的頻數(shù)分布表（其中a為每個家庭的月用水量，單位：噸）
請你根據(jù)以上提供的信息，解答下列問題：
（1）m的值為 50 ．
（2）計算該小區(qū)1000個家庭中月用水量a≤10的家庭大約有多少個．
【分析】（1）把所有的頻數(shù)相加即可得出答案；
（2）用總戶數(shù)乘以用水量a≤10的家庭所占的百分比即可．
【解答】解：（1）m＝8+20+14+6+2＝50；
故答案為：50；
（2）×1000＝560（個），
答：該小區(qū)1000個家庭中月用水量a≤10的家庭大約有560個．
【點評】此題考查了頻數(shù)（率）分布表，從表中得到必要的數(shù)據(jù)是解題的關鍵，同時也考查了用樣本估計總體．
26．（7分）在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y＝ax2﹣6ax﹣4（a≠0）．
（1）求拋物線的對稱軸．
（2）若方程ax2﹣6ax﹣4＝0（a≠0）有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2，且2≤x1＜x2≤4，結合函數(shù)的圖象，求a的取值范圍．
【分析】（1）將拋物線化為頂點式求解．
（2）將（2，0）與（3，0）分別代入解析式求a的值，根據(jù)圖象求解．
【解答】解：（1）∵y＝ax2﹣6ax﹣4＝a（x﹣3）2﹣9a﹣4，
∴拋物線對稱軸為直線x＝3．
（2）把（2，0）代入y＝ax2﹣6ax﹣4得0＝﹣8a﹣4，
解得a＝﹣，
把（3，0）代入y＝ax2﹣6ax﹣4得0＝﹣9a﹣4，
解得a＝﹣，
結合圖象可得﹣≤a＜﹣．
【點評】本題考查含參二次函數(shù)，解題關鍵是掌握二次函數(shù)與方程的關系，通過數(shù)形結合求解．
27．（7分）已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，在平面內有一個點E（點E與點A，C不重合），以點C為中心，把線段CE順時針旋轉90°，得到線段CD，連接BE，AD．
（1）如圖1，若點E在邊AC上；
①依題意補全圖形；
②設BE＝kAD，則k＝ 1 ．
（2）如圖2，若點E不在邊AC上，猜想線段BE，AD之間的數(shù)量關系及位置關系，并證明．
【分析】（1）①根據(jù)題意即可補全圖形；
②利用SAS證明△BCE≌△ACD，可得BE＝AD，進而可得k的值；
（2）根據(jù)題意利用SAS證明△ACD≌△BCE，可得AD＝BE，∠CAD＝∠CBE．進而可得BE＝AD，BE⊥AD．
【解答】解：（1）①如圖1，△ACD即為補全圖形；
②在△BCE和△ACD中，
，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴BE＝AD．
則k＝1．
故答案為：1．
（2）BE＝AD；BE⊥AD．理由如下：
設BE與AC的交點為點F，BE與AD的交點為點G，如圖2．
∵∠ACB＝∠ECD＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE．
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
∴AD＝BE，∠CAD＝∠CBE．
∵∠BFC＝∠AFG，∠BFC+∠CBE＝90°，
∴∠AFG+∠CAD＝90°．
∴∠AGF＝90°．
∴BE⊥AD．
【點評】本題考查作圖﹣旋轉變換，全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．
28．（8分）定義：在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點A，B．點P為平面內任意一點，若PA＝PB，且∠APB≤120°時，稱點P為線段AB的“居中點”．特別地，當PA＝PB，且∠APB＝120°時，又稱點P為線段AB的“正居中點”．拋物線y＝x2﹣2x與x軸的正半軸交于點M．
（1）若點C是線段OM的“正居中點”，且在第一象限，則點C的坐標為（ ， 1 ）；
（2）若點D是線段OM的“居中點”，則點D的縱坐標d的取值范圍是 d≥1或d≤﹣1 ．
（3）將射線OM繞點O順時針旋轉30°得到射線m，已知點E在射線m上，若在第四象限內存在點F，點F既是線段OM的“居中點”，又是線段OE的“正居中點”，求此時點E的坐標．
【分析】（1）由“正居中點”的定義可知，△OMC是等腰三角形，且頂角是120°；由拋物線y＝x2﹣2x與x軸的正半軸交于點M，所以M（2，0），ON＝MN＝，CN＝1，即C（，1）．
（2）由（1）知，當線段OM的“正居中點”在第一象限內時，點C的坐標為（，1），若線段OM的“正居中點”在第四象限內時，點的坐標為（，﹣1），則若點D是線段OM的“居中點”，則點D的縱坐標d的取值范圍是d≥1或d≤﹣1，
（3）由題意可知，∠FOE＝30°，∠NOF＝60°，所以F（，﹣3），過點F作FD⊥y軸于點D，延長DF交OE于點E，交點E即為所求．所以DF＝ON＝，OD＝DF＝3，DE＝OD＝3，所以E（3，﹣3）．
【解答】解：（1）如圖，
∵點C是線段OM的“正居中點”，
∴CO＝CM，且∠OCM＝120°，CN⊥OM，
∴點C在OM的垂直平分線上，
∴∠OCM＝∠MCN＝30°，∠OCN＝∠MCN＝60°，
∴CN＝ON，
∵拋物線y＝x2﹣2x與x軸的正半軸交于點M，
∴M（2，0），
∴ON＝MN＝，
∴CN＝1，即C（，1）．
故答案為：，1．
（2）由（1）知，當線段OM的“正居中點”在第一象限內時，點C的坐標為（，1），
∴若點D是線段OM的“居中點”，且點D在第一象限內時，d≥1；
由對稱可知，若線段OM的“正居中點”在第四象限內時，點的坐標為（，﹣1），
∴若點D是線段OM的“居中點”，且點D在第四象限內時，d≤﹣1；
∴若點D是線段OM的“居中點”，則點D的縱坐標d的取值范圍是d≥1或d≤﹣1，
故答案為：d≥1或d≤﹣1．
（3）∵點F是線段OM的“居中點”，且點F在第四象限內，
∴點F的坐標可設為（，m），且m＜0，
∵點F是線段OE的“正居中點”，
∴∠FOE＝30°，
由旋轉可知，∠NOF＝60°，
∴F（，﹣3），
過點F作FD⊥y軸于點D，延長DF交OE于點E，交點E即為所求．
∴∠ODF＝90°，
∵∠NOF＝60°，∠NOE＝30°，
∴∠DOF＝30°，∠DOE＝60°，
∴∠OFD＝60°，∠OFE＝120°，∠OED＝30°，
∵DF＝ON＝，
∴OD＝DF＝3，DE＝OD＝3，
∴E（3，﹣3）．
【點評】本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、二次函數(shù)的性質；會利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；理解坐標與圖形性質；會利用分類討論的思想解決數(shù)學問題．
聲明：試題解析著作權屬菁優(yōu)網所有，未經書面同意，不得復制發(fā)布日期：2024/7/22 19:15:27；用戶：菁優(yōu)校本題庫；郵箱：2471@xyh.cm；學號：56380052x
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