1．（2分）將拋物線y＝x2向上平移3個(gè)單位，所得拋物線的解析式是（ ）
A．y＝x2+3B．y＝x2﹣3C．y＝（x+3）2D．y＝（x﹣3）2
2．（2分）下列各曲線是在平面直角坐標(biāo)系xOy中根據(jù)不同的方程繪制而成的，其中是中心對(duì)稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2分）若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有一個(gè)根為1，則m的值為（ ）
A．﹣1B．1C．﹣3D．3
4．（2分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（﹣1，2）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ）
A．（1，﹣2）B．（﹣1，2）C．（﹣2，1）D．（﹣1，﹣2）
5．（2分）用配方法解方程x2+4x＝1，變形后結(jié)果正確的是（ ）
A．（x﹣2）2＝2B．（x+2）2＝2C．（x﹣2）2＝5D．（x+2）2＝5
6．（2分）如圖，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，△OAB是等邊三角形，則∠ACB的大小為（ ）
A．60°B．30°C．40°D．20°
7．（2分）在△ABC中，CA＝CB，點(diǎn)O為AB中點(diǎn)．以點(diǎn)C為圓心，CO長(zhǎng)為半徑作⊙C，則⊙C與AB的位置關(guān)系是（ ）
A．相交B．相離C．相切D．不確定
8．（2分）下面的四個(gè)問(wèn)題中都有兩個(gè)變量：①一個(gè)圓柱的高等于底面半徑x，這個(gè)圓柱的表面積為y；②x個(gè)球隊(duì)比賽，每?jī)申?duì)之間進(jìn)行一場(chǎng)比賽，比賽的場(chǎng)次為y；③某產(chǎn)品現(xiàn)在的年產(chǎn)量是20t，計(jì)劃今后兩年增加產(chǎn)量，如果每年都比上一年增加x倍，兩年后這種產(chǎn)品的產(chǎn)量為y；④某種商品每件的進(jìn)價(jià)為30元，在某段時(shí)間內(nèi)若以每件x元出售，可賣出（100﹣x）件，利潤(rùn)為y元．其中，變量y與變量x之間的函數(shù)關(guān)系（不考慮自變量取值范圍）可以用一條開口向上的拋物線表示的是（ ）
A．②③④B．①③④C．①②④D．①②③
二、填空題（每題2分，共16分）
9．（2分）拋物線y＝（x﹣2）2+1的頂點(diǎn)坐標(biāo)是 ．
10．（2分）若拋物線y＝x2﹣2x+k和x軸有交點(diǎn)，則k的取值范圍是 ．
11．（2分）已知y是x的函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x的增大而減?。畡t這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式可以是 ．（寫出一個(gè)符合題意的答案即可）
12．（2分）如圖，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°）得到△ADE，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D恰好落在邊BC上，則∠ADE＝ .（用含α的式子表示）
13．（2分）若點(diǎn)A（﹣2，y1），B（2，y2）在拋物線y＝（x+1）2上，則y1與y2的大小關(guān)系為：y1 y2（填“＞”，“＝”或“＜”）．
14．（2分）如圖，AD是△ABC的外接圓⊙O的直徑，若∠BCA＝50°，則∠BAD＝ ．
15．（2分）如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)H，若AB＝10，CD＝8，則OH的長(zhǎng)度為 ．
16．（2分）如圖，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AB＝4，∠BAC＝60°，D是邊AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BD，作CE⊥BD于點(diǎn)E，連接AE，則AE長(zhǎng)的最小值為 ．
三、解答題（共68分，17-22題，每題5分，23-26題，每題6分，27-28題，每題7分）
17．（5分）解方程：x2﹣4x+3＝0．
18．（5分）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，高AD經(jīng)過(guò)圓心O．求證：∠B＝∠C．
19．（5分）下面是證明圓周角定理的過(guò)程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀，并補(bǔ)全過(guò)程．
20．（5分）已知二次函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)（﹣1，0），（3，0），且最大值為4．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，畫出二次函數(shù)的圖象；
（3）當(dāng)1＜x＜4時(shí)，結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出y的取值范圍．
21．（5分）如圖，在4×4的方格紙中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上．
（1）在圖1中，畫出一個(gè)與△ABC成中心對(duì)稱的格點(diǎn)三角形；
（2）在圖2中，畫出一個(gè)與△ABC成軸對(duì)稱且與△ABC有公共邊的格點(diǎn)三角形；
（3）在圖3中，畫出△ABC繞著點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°后的三角形．
22．（5分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，將線段CA繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段CD，連接AD，BD．
（1）依題意補(bǔ)全圖形；
（2）若BC＝1，求線段BD的長(zhǎng)．
23．（6分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（2﹣m）x+1﹣m＝0．
（1）求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）若m＜0，方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1、x2，且x1＜x2，若x2﹣2x1＝3，求m的值．
24．（6分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分線，O是AB上一點(diǎn)，以O(shè)A為半徑的⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E．
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）若BE＝2，BD＝4，求⊙O的半徑．
25．（6分）某景觀公園內(nèi)人工湖里有一組噴泉，水柱從垂直于湖面的水槍噴出，水柱落于湖面的路徑形狀是拋物線．現(xiàn)測(cè)量出如下數(shù)據(jù)，在距水槍水平距離為d米的地點(diǎn)，水柱距離湖面高度為h米．
請(qǐng)解決以下問(wèn)題：
（1）在下邊網(wǎng)格中建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，根據(jù)已知數(shù)據(jù)描點(diǎn)，并用平滑的曲線連接；
（2）請(qǐng)結(jié)合表中所給數(shù)據(jù)或所畫圖象，估出噴泉的落水點(diǎn)距水槍的水平距離為 米（精確到0.1）；
（3）在（2）的條件下，噴泉落水點(diǎn)剛好在水池內(nèi)邊緣，如果通過(guò)改變噴泉的推力大小，使得噴出的水流形成的拋物線為h＝﹣0.3（d﹣3.5）2+5.675，請(qǐng)結(jié)合圖象判斷，此時(shí)噴泉 （填“會(huì)”或“不會(huì)”）噴到水池外；
（4）在（2）的條件下，公園增設(shè)了新的游玩項(xiàng)目，購(gòu)置了寬度4米，頂棚到水面高度為4.2米的平頂游船，游船從噴泉正下方通過(guò)，別有一番趣味，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明游船是否有被噴泉淋到的危險(xiǎn)．
26．（6分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)（1，m），（3，n）在拋物線y＝ax2+bx+1（a＜0）上，設(shè)拋物線的對(duì)稱軸為x＝t．
（1）當(dāng)m＝n時(shí)，求拋物線與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)及t的值；
（2）點(diǎn)（x0，m）（x0≠1）在拋物線上，若m＞n＞1，求t的取值范圍及x0的取值范圍．
27．（7分）已知∠MCN＝45°，點(diǎn)B在射線CM上，點(diǎn)A是射線CN上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合）．點(diǎn)B關(guān)于CN的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D，連接AB、AD和CD，點(diǎn)F在直線BC上，且滿足AF＝AB．小明在探究圖形運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)：AF⊥AD始終成立．
（1）如圖1，當(dāng)0°＜∠BAC＜90°時(shí)．
①求證：AF⊥AD；
②用等式表示線段CF、CD與CA之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；
（2）當(dāng)90°＜∠BAC＜135°時(shí)，直接用等式表示線段CF、CD與CA之間的數(shù)量關(guān)系是 ．
28．（7分）對(duì)于點(diǎn)P（xP，yP）與圖形W，如果圖形W上存在一點(diǎn)Q（xQ，yQ），使得當(dāng)xP＝xQ時(shí)，|yP﹣yQ|≤1，則稱點(diǎn)P為圖形W的一個(gè)“近衛(wèi)點(diǎn)”．
（1）已知A（﹣2，2），B（2，2），在點(diǎn)P1（﹣3，3），P2（﹣1，1），P3（1，4），中，是線段AB的“近衛(wèi)點(diǎn)”的有 ；
（2）以原點(diǎn)O為圓心，1為半徑作⊙O，直線y＝x+b與x軸、y軸分別交于C、D兩點(diǎn)，若線段CD上任意一點(diǎn)都是⊙O的“近衛(wèi)點(diǎn)”，求b的取值范圍；
（3）已知點(diǎn)E（m，0），以點(diǎn)E為中心的正方形s滿足以下條件：四條邊都平行于坐標(biāo)軸，且邊長(zhǎng)為1．若正方形s上存在拋物線的“近衛(wèi)點(diǎn)”，直接寫出m的取值范圍．
2022-2023學(xué)年北京市東城區(qū)廣渠門中學(xué)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（每題2分，共16分）
1．（2分）將拋物線y＝x2向上平移3個(gè)單位，所得拋物線的解析式是（ ）
A．y＝x2+3B．y＝x2﹣3C．y＝（x+3）2D．y＝（x﹣3）2
【分析】根據(jù)二次函數(shù)變化規(guī)律：左加右減，上加下減，進(jìn)而得出變化后解析式．
【解答】解：∵拋物線y＝x2向上平移3個(gè)單位，
∴平移后的解析式為：y＝x2+3．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了拋物線的平移以及拋物線解析式的性質(zhì)，熟練記憶平移規(guī)律是解題關(guān)鍵．
2．（2分）下列各曲線是在平面直角坐標(biāo)系xOy中根據(jù)不同的方程繪制而成的，其中是中心對(duì)稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)中心對(duì)稱圖形的概念求解．在同一平面內(nèi)，如果把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度，旋轉(zhuǎn)后的圖形能和原圖形完全重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱圖形．這個(gè)旋轉(zhuǎn)點(diǎn)，就叫做中心對(duì)稱點(diǎn)．
【解答】解：選項(xiàng)A、B、D均不能找到這樣的一個(gè)點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度后和原圖形完全重合，所以不是中心對(duì)稱圖形，
選項(xiàng)C能找到這樣的一個(gè)點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度后和原圖形完全重合，所以是中心對(duì)稱圖形，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了中心對(duì)稱圖形的概念．中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合．
3．（2分）若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有一個(gè)根為1，則m的值為（ ）
A．﹣1B．1C．﹣3D．3
【分析】根據(jù)一元二次方程解的定義，把x＝1代入一元二次方程得1﹣2+m＝0，然后解一次方程即可．
【解答】解：把x＝1代入方程x2﹣2x+m＝0得1﹣2+m＝0，
解得m＝1，
即m的值為：1．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．
4．（2分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（﹣1，2）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ）
A．（1，﹣2）B．（﹣1，2）C．（﹣2，1）D．（﹣1，﹣2）
【分析】?jī)蓚€(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí)，它們的坐標(biāo)符號(hào)相反．由此可求點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)．
【解答】解：∵點(diǎn)A（﹣1，2），
∴A點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)為（1，﹣2），
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，熟練掌握關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
5．（2分）用配方法解方程x2+4x＝1，變形后結(jié)果正確的是（ ）
A．（x﹣2）2＝2B．（x+2）2＝2C．（x﹣2）2＝5D．（x+2）2＝5
【分析】?jī)蛇叾技由弦淮雾?xiàng)系數(shù)一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．
【解答】解：x2+4x＝1，
則x2+4x+4＝1+4，即（x+2）2＝5，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解一元二次方程的方法﹣﹣配方法，掌握配方法是解本題的關(guān)鍵．
6．（2分）如圖，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，△OAB是等邊三角形，則∠ACB的大小為（ ）
A．60°B．30°C．40°D．20°
【分析】利用等邊三角形的性質(zhì)可得∠AOB＝60°，然后利用圓周角定理進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解答】解：∵△OAB是等邊三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴∠ACB＝∠AOB＝30°，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理，等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解題的關(guān)鍵．
7．（2分）在△ABC中，CA＝CB，點(diǎn)O為AB中點(diǎn)．以點(diǎn)C為圓心，CO長(zhǎng)為半徑作⊙C，則⊙C與AB的位置關(guān)系是（ ）
A．相交B．相離C．相切D．不確定
【分析】連接OC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得OC⊥AB，根據(jù)切線的判定定理即可確定．
【解答】解：連接OC，如圖所示：
∵CA＝CB，點(diǎn)O為AB中點(diǎn)，
∴OC⊥AB，
∵以點(diǎn)C為圓心，CO長(zhǎng)為半徑作⊙C，
∴點(diǎn)C到AB的距離等于⊙C的半徑，
∴⊙C與AB的位置關(guān)系是相切，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)等，熟練掌握切線的判定方法是解題的關(guān)鍵．
8．（2分）下面的四個(gè)問(wèn)題中都有兩個(gè)變量：①一個(gè)圓柱的高等于底面半徑x，這個(gè)圓柱的表面積為y；②x個(gè)球隊(duì)比賽，每?jī)申?duì)之間進(jìn)行一場(chǎng)比賽，比賽的場(chǎng)次為y；③某產(chǎn)品現(xiàn)在的年產(chǎn)量是20t，計(jì)劃今后兩年增加產(chǎn)量，如果每年都比上一年增加x倍，兩年后這種產(chǎn)品的產(chǎn)量為y；④某種商品每件的進(jìn)價(jià)為30元，在某段時(shí)間內(nèi)若以每件x元出售，可賣出（100﹣x）件，利潤(rùn)為y元．其中，變量y與變量x之間的函數(shù)關(guān)系（不考慮自變量取值范圍）可以用一條開口向上的拋物線表示的是（ ）
A．②③④B．①③④C．①②④D．①②③
【分析】根據(jù)題意，可以寫出各個(gè)小題中y與x的函數(shù)關(guān)系式，從而可以判斷各個(gè)函數(shù)的開口方向，從而可以解答本題．
【解答】解：由題意可得，
一個(gè)圓柱的高等于底面半徑x，這個(gè)圓柱的表面積為y，則y＝2πx?x+2πx2＝2πx2+2πx2＝4πx2，該函數(shù)為開口向上的拋物線，故①符合題意；
x個(gè)球隊(duì)比賽，每?jī)申?duì)之間進(jìn)行一場(chǎng)比賽，比賽的場(chǎng)次為y，則y＝x（x﹣1）＝x2﹣x，該函數(shù)為開口向上的拋物線，故②符合題意；
某產(chǎn)品現(xiàn)在的年產(chǎn)量是20t，計(jì)劃今后兩年增加產(chǎn)量，如果每年都比上一年增加x倍，兩年后這種產(chǎn)品的產(chǎn)量為y，則y＝20x?x＝20x2，該函數(shù)為開口向上的拋物線，故③符合題意；
某種商品每件的進(jìn)價(jià)為30元，在某段時(shí)間內(nèi)若以每件x元出售，可賣出（100﹣x）件，利潤(rùn)為y元，則y＝（x﹣30）（100﹣x）＝﹣x2+130x﹣3000，該函數(shù)為開口向下的拋物線，故④不符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，寫出相應(yīng)的解析式．
二、填空題（每題2分，共16分）
9．（2分）拋物線y＝（x﹣2）2+1的頂點(diǎn)坐標(biāo)是 （2，1） ．
【分析】已知拋物線為解析式為頂點(diǎn)式，根據(jù)頂點(diǎn)式的坐標(biāo)特點(diǎn)，直接寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)．
【解答】解：因?yàn)閥＝（x﹣2）2+1是拋物線的頂點(diǎn)式，
根據(jù)頂點(diǎn)式的坐標(biāo)特點(diǎn)可知，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1）．
【點(diǎn)評(píng)】頂點(diǎn)式y(tǒng)＝a（x﹣h）2+k，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（h，k），對(duì)稱軸是直線x＝h，此題考查了學(xué)生的應(yīng)用能力．
10．（2分）若拋物線y＝x2﹣2x+k和x軸有交點(diǎn)，則k的取值范圍是 k≤1 ．
【分析】利用已知條件得到不等式Δ≥0，解不等式即可得出k的取值范圍．
【解答】解：∵拋物線y＝x2﹣2x+k和x軸有交點(diǎn)，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×k≥0，
解得：k≤1．
故答案為：k≤1．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，由拋物線y＝x2﹣2x+k和x軸有交點(diǎn)得到Δ≥0，得出關(guān)于k的不等式是解題的關(guān)鍵．
11．（2分）已知y是x的函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x的增大而減小．則這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式可以是 y＝（x＞0），答案不唯一 ．（寫出一個(gè)符合題意的答案即可）
【分析】反比例函數(shù)的圖象在每個(gè)象限內(nèi)，函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大，則反比例函數(shù)的反比例系數(shù)k＜0；反之，只要k＜0，則反比例函數(shù)在每個(gè)象限內(nèi)，函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大．
【解答】解：只要使反比例系數(shù)大于0即可．如y＝（x＞0），答案不唯一．
故答案為：y＝（x＞0），答案不唯一．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了反比例函數(shù)y＝（k≠0）的性質(zhì)：①k＞0時(shí)，函數(shù)圖象在第一，三象限．在每個(gè)象限內(nèi)y隨x的增大而減小；②k＜0時(shí)，函數(shù)圖象在第二，四象限．在每個(gè)象限內(nèi)y隨x的增大而增大．
12．（2分）如圖，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°）得到△ADE，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D恰好落在邊BC上，則∠ADE＝ 90°﹣ .（用含α的式子表示）
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AD＝AB，∠ADE＝∠B，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ADB＝∠B，求得∠ADE＝∠ADB＝90°﹣．
【解答】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，AD＝AB，∠ADE＝∠B，
∴∠ADB＝∠B，
∵∠BAD＝α，
∴∠ADE＝∠ADB＝＝90°﹣，
故答案為：90°﹣．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等是解題的關(guān)鍵．
13．（2分）若點(diǎn)A（﹣2，y1），B（2，y2）在拋物線y＝（x+1）2上，則y1與y2的大小關(guān)系為：y1 ＜ y2（填“＞”，“＝”或“＜”）．
【分析】把點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入函數(shù)解析式可分別求得y1、y2，再比較其大小即可．
【解答】解：∵點(diǎn)A（﹣2，y1），B（2，y2）在拋物線y＝（x+1）2上，
∴y1＝（﹣2+1）2＝1，y2＝（2+1）2＝9，
∴y1＜y2，
故答案為：＜．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，掌握函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．
14．（2分）如圖，AD是△ABC的外接圓⊙O的直徑，若∠BCA＝50°，則∠BAD＝ 40° ．
【分析】根據(jù)圓周角定理推論：直徑所對(duì)圓周角為直角、同圓中等弧所對(duì)圓周角相等即可得到結(jié)論．
【解答】解：∵AD是△ABC的外接圓⊙O的直徑，
∴點(diǎn)A，B，C，D在⊙O上，
∵∠BCA＝50°，
∴∠ADB＝∠BCA＝50°，
∵AD是△ABC的外接圓⊙O的直徑，
∴∠ABD＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣50°＝40°，
故答案為：40°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理，由圓周角定理得到∠ADB＝50°，∠ABD＝90°是解題的關(guān)鍵．
15．（2分）如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)H，若AB＝10，CD＝8，則OH的長(zhǎng)度為 3 ．
【分析】根據(jù)垂徑定理由CD⊥AB得到CH＝CD＝4，再根據(jù)勾股定理計(jì)算出OH＝3．
【解答】解：連接OC，
∵CD⊥AB，
∴CH＝DH＝CD＝×8＝4，
∵直徑AB＝10，
∴OC＝5，
在Rt△OCH中，OH＝＝3，
故答案為：3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．
16．（2分）如圖，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AB＝4，∠BAC＝60°，D是邊AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BD，作CE⊥BD于點(diǎn)E，連接AE，則AE長(zhǎng)的最小值為 ﹣ ．
【分析】取BC中點(diǎn)F，連接AE、EF．易得點(diǎn)E在以BC長(zhǎng)為直徑的圓周上上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)A、E、F在同一直線上時(shí)，AE最短．據(jù)此計(jì)算即可．
【解答】解：如圖，取BC中點(diǎn)F，連接AE、EF．
∵CE⊥BD，∠BEC＝90°，
∴點(diǎn)E在以BC長(zhǎng)為直徑的圓周上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)A、E、F在同一直線上時(shí)，AE最短．
在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AB＝4，∠BAC＝60°，
∴BC＝AB?sin∠BAC＝4×＝2，AC＝AB?cs∠BAC＝4×＝2，
∴BF＝FC＝EF＝BC＝，
∴AF＝＝，
∴AE＝AF﹣EF＝﹣，
即AE的最小值為﹣．
故答案為：﹣．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線段最小值，正確理解圓外一點(diǎn)到圓上的最短距離等于點(diǎn)與圓心連線與圓的交點(diǎn)到點(diǎn)到這點(diǎn)的線段長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．
三、解答題（共68分，17-22題，每題5分，23-26題，每題6分，27-28題，每題7分）
17．（5分）解方程：x2﹣4x+3＝0．
【分析】利用因式分解法解出方程．
【解答】解：x2﹣4x+3＝0
（x﹣1）（x﹣3）＝0
x﹣1＝0，x﹣3＝0
x1＝1，x2＝3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步驟是解題的關(guān)鍵．
18．（5分）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，高AD經(jīng)過(guò)圓心O．求證：∠B＝∠C．
【分析】根據(jù)垂徑定理得到＝，根據(jù)圓心角、弧、弦之間的關(guān)系定理和等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【解答】證明：∵AD⊥BC，高AD經(jīng)過(guò)圓心O，
∴＝，
∴AB＝AC，
∴∠B＝∠C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形外接圓與外心，垂徑定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形 的判定定理是解題的關(guān)鍵．
19．（5分）下面是證明圓周角定理的過(guò)程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀，并補(bǔ)全過(guò)程．
【分析】利用三角形外角性質(zhì)及角的和差求解即可．
【解答】證明：情況1，當(dāng)點(diǎn)O在∠BAC的一邊上時(shí)，
∵OA＝OC，
∴∠1＝∠2，
由外角可得，∠BOC＝∠1+∠2，
∠BOC＝2∠1，
∴∠1＝∠BOC，
即∠BAC＝∠BOC，
故答案為：∠BOC；
情況2，作直徑AD，
∵OA＝OB，
∴∠1＝∠3．
∴∠BOD＝∠1+∠3＝2∠1，
同理∠COD＝2∠2，
∴∠BOC＝∠BOD+∠COD＝2∠BAC，
∴∠BAC＝∠BOC，
故答案為：2；BAC；BAC；
情況3，作直徑AD，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∴∠BOD＝∠OAB+∠OBA＝2∠OAB，
同理∠COD＝2∠DAC，
∴∠BOC＝∠COD﹣∠BOD
＝2∠DAC﹣2∠OAB＝2∠BAC，
∴∠BAC＝．
故答案為：OAB；OBA；∠OAB；∠OBA；OAB；DAC；COD；BOD；DAC；OAB；BAC；BAC．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了圓周角定理以及三角形外角性質(zhì)，熟練掌握三角形外角性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．
20．（5分）已知二次函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)（﹣1，0），（3，0），且最大值為4．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，畫出二次函數(shù)的圖象；
（3）當(dāng)1＜x＜4時(shí)，結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出y的取值范圍．
【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)拋物線解析式為y＝a（x+1）（x﹣3），再由最大值為3求出a的值，即可確定出拋物線解析式．
（2）根據(jù)解析式列表，描點(diǎn)連線即可；
（3）根據(jù)圖象求得即可．
【解答】解：（1）設(shè)拋物線解析式為y＝a（x+1）（x﹣3）＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，
由最大值為4，得到﹣4a＝4，即a＝﹣1，
則拋物線解析式為y＝﹣x2+2x+3．
（2）列表：
描點(diǎn)、連線，
函數(shù)圖象如圖所示；
；
（3）∵x＝1時(shí)，y＝4，x＝4時(shí)，y＝﹣5，
∴由圖象可知，當(dāng)1＜x＜4時(shí)，y的取值范圍是﹣5＜y＜4．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．
21．（5分）如圖，在4×4的方格紙中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上．
（1）在圖1中，畫出一個(gè)與△ABC成中心對(duì)稱的格點(diǎn)三角形；
（2）在圖2中，畫出一個(gè)與△ABC成軸對(duì)稱且與△ABC有公共邊的格點(diǎn)三角形；
（3）在圖3中，畫出△ABC繞著點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°后的三角形．
【分析】（1）根據(jù)中心對(duì)稱的性質(zhì)即可作出圖形；
（2）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)即可作出圖形；
（3）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可求出圖形．
【解答】解：（1）如圖所示，
△DCE為所求，
（2）如圖所示，
△ACD為所求
（3）如圖所示
△ECD為所求．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查圖形變換，解題的關(guān)鍵是正確理解圖形變換的性質(zhì)，本題屬于基礎(chǔ)題型．
22．（5分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，將線段CA繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段CD，連接AD，BD．
（1）依題意補(bǔ)全圖形；
（2）若BC＝1，求線段BD的長(zhǎng)．
【分析】（1）根據(jù)題意，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可補(bǔ)全圖形；
（2）根據(jù)含30度角的直角三角形和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AD＝AC＝，∠DAB＝90°，再利用勾股定理即可解決問(wèn)題．
【解答】解：（1）如圖，即為補(bǔ)全的圖形；
（2）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝30°，BC＝1，
∴AB＝2BC＝2，
∴AC＝，
由旋轉(zhuǎn)可知：∠DAC＝60°，AD＝AC＝，
∴∠DAB＝∠DAC+∠∠AC＝90°，
∴BD＝＝＝．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．
23．（6分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（2﹣m）x+1﹣m＝0．
（1）求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）若m＜0，方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1、x2，且x1＜x2，若x2﹣2x1＝3，求m的值．
【分析】（1）先計(jì)算根的判別式得到Δ＝m2≥0，然后根據(jù)根的判別式的意義得到結(jié)論；
（2）先利用求根公式得到x1＝m﹣1，x2＝﹣1，再利用x2﹣2x1＝3得到﹣1﹣2（m﹣1）＝3，然后解關(guān)于m的方程即可．
【解答】（1）證明：∵Δ＝（2﹣m）2﹣4（1﹣m）
＝m2≥0，
∴方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）解：x＝，
∵m＜0，x1＜x2，
∴x1＝m﹣1，x2＝﹣1，
∵x2﹣2x1＝3，
∴﹣1﹣2（m﹣1）＝3，
解得m＝﹣1，
即m的值為﹣1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．
24．（6分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分線，O是AB上一點(diǎn)，以O(shè)A為半徑的⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E．
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）若BE＝2，BD＝4，求⊙O的半徑．
【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義得到∠BAD＝∠CAD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠BAD＝∠ODA，進(jìn)而得到∠ODA＝∠CAD，證明OD∥AC，得到OD⊥BC，根據(jù)切線的判定定理證明結(jié)論；
（2）根據(jù)勾股定理列出方程，解方程得到答案．
【解答】（1）證明：∵AD是∠BAC的平分線，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵OA＝OD，
∴∠BAD＝∠ODA，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AC，
∵∠C＝90°，
∴OD⊥BC，
∵OD是⊙O的半徑，
∴BC是⊙O的切線；
（2）解：設(shè)⊙O的半徑為r，
在Rt△OBD中，OB2＝OD2+BD2，即（r+2）2＝r2+42，
解得：r＝3，
∴⊙O的半徑為3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是切線的性質(zhì)、勾股定理，掌握經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線是解題的關(guān)鍵．
25．（6分）某景觀公園內(nèi)人工湖里有一組噴泉，水柱從垂直于湖面的水槍噴出，水柱落于湖面的路徑形狀是拋物線．現(xiàn)測(cè)量出如下數(shù)據(jù)，在距水槍水平距離為d米的地點(diǎn)，水柱距離湖面高度為h米．
請(qǐng)解決以下問(wèn)題：
（1）在下邊網(wǎng)格中建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，根據(jù)已知數(shù)據(jù)描點(diǎn)，并用平滑的曲線連接；
（2）請(qǐng)結(jié)合表中所給數(shù)據(jù)或所畫圖象，估出噴泉的落水點(diǎn)距水槍的水平距離為 6.7 米（精確到0.1）；
（3）在（2）的條件下，噴泉落水點(diǎn)剛好在水池內(nèi)邊緣，如果通過(guò)改變噴泉的推力大小，使得噴出的水流形成的拋物線為h＝﹣0.3（d﹣3.5）2+5.675，請(qǐng)結(jié)合圖象判斷，此時(shí)噴泉 會(huì) （填“會(huì)”或“不會(huì)”）噴到水池外；
（4）在（2）的條件下，公園增設(shè)了新的游玩項(xiàng)目，購(gòu)置了寬度4米，頂棚到水面高度為4.2米的平頂游船，游船從噴泉正下方通過(guò)，別有一番趣味，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明游船是否有被噴泉淋到的危險(xiǎn)．
【分析】（1）根據(jù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)畫圖象即可；
（2）求出二次函數(shù)的關(guān)系式，把h＝0代入即可；
（3）根據(jù)噴泉推理大小改變前后的函數(shù)解析式可以判斷推理改變后拋物線開口變大，從而得出結(jié)論；
（4）把d＝5代入二次函數(shù)關(guān)系式得到h得值，再與4.2比較即可．
【解答】解：（1）如圖：
（2）由圖象得，頂點(diǎn)（3，5.6），
設(shè)h＝a（d﹣3）2+5.6，
把（0，2）代入可得a＝﹣0.4，
∴h＝﹣0.4（d﹣3）2+5.6，
當(dāng)h＝0時(shí)，﹣0.4（d﹣3）2+5.6＝0，
解得d＝3+或3﹣（舍去），
3+≈6.7（米），
答：噴泉的落水點(diǎn)距水槍的水平距離約為6.7米，
故答案為：6.7；
（3）∵﹣0.3＞﹣0.4，
∴改變噴泉的推力后拋物線開口變大，
∴此時(shí)噴泉會(huì)噴到水池外面，
故答案為：會(huì)；
（4）當(dāng)d＝3+＝5時(shí)，h＝4＜4.2，
答：游船有被噴泉淋到的危險(xiǎn)．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)得到二次函數(shù)關(guān)系式是解題關(guān)鍵．
26．（6分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)（1，m），（3，n）在拋物線y＝ax2+bx+1（a＜0）上，設(shè)拋物線的對(duì)稱軸為x＝t．
（1）當(dāng)m＝n時(shí)，求拋物線與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)及t的值；
（2）點(diǎn)（x0，m）（x0≠1）在拋物線上，若m＞n＞1，求t的取值范圍及x0的取值范圍．
【分析】（1）將點(diǎn)（1，m），（3，n）代入拋物線解析式，再根據(jù)m＝n得出b＝﹣4a，再求對(duì)稱軸即可；
（2）再根據(jù)m＞n＞1，可確定出對(duì)稱軸的取值范圍，進(jìn)而可確定x0的取值范圍．
【解答】解：（1）∵當(dāng)x＝0時(shí)，y＝1，
∴拋物線與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，1），
∵點(diǎn)（1，m），（3，n）在拋物線y＝ax2+bx+1（a＜0）上，m＝n，
∴a+b+1＝9a+3b+1，
∴b＝﹣4a，
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝﹣＝﹣＝2；
∴t＝2；
（2）∵m＞n＞1，
∴a+b+1＞9a+3b+1＞1，
解得﹣3a＜b＜﹣4a，
∴4a＜﹣b＜3a，
∴＜﹣＜，
即＜t＜2，
當(dāng)t＝時(shí)，x0＝2；
當(dāng)t＝2時(shí)，x0＝3．
∴x0的取值范圍2＜x0＜3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)形結(jié)合求解．
27．（7分）已知∠MCN＝45°，點(diǎn)B在射線CM上，點(diǎn)A是射線CN上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合）．點(diǎn)B關(guān)于CN的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D，連接AB、AD和CD，點(diǎn)F在直線BC上，且滿足AF＝AB．小明在探究圖形運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)：AF⊥AD始終成立．
（1）如圖1，當(dāng)0°＜∠BAC＜90°時(shí)．
①求證：AF⊥AD；
②用等式表示線段CF、CD與CA之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；
（2）當(dāng)90°＜∠BAC＜135°時(shí)，直接用等式表示線段CF、CD與CA之間的數(shù)量關(guān)系是 CD﹣CF＝AC ．
【分析】（1）①根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得到△ABC≌△ADC，求得∠ABC＝∠ADC，∠ACB＝∠ACD＝45°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和四邊形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論；
②過(guò)A作AP⊥AC交CB的延長(zhǎng)線于P，求得△APC是等腰直角三角形，∠PAC＝90°，AP＝AC，得到∠PAF＝∠DAC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（3）如圖2，過(guò)A作AP⊥AC交CB的延長(zhǎng)線于P，求得△APC是等腰直角三角形，∠PAC＝90°，AP＝AC，得到∠PAF＝∠DAC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【解答】解：（1）①∵點(diǎn)B關(guān)于CN的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D，
∴△ABC≌△ADC，
∴∠ABC＝∠ADC，∠ACB＝∠ACD＝45°，
∴∠BCD＝90°，
∵AF＝AB，
∴∠ABC＝∠AFB，
∴∠AFB＝∠ADC，
∵∠AFB+∠AFC＝180°，
∴∠ADC+∠AFC＝180°，
∴∠FAD＝360°﹣（∠AFC+∠D+∠FCD）＝90°，
∴AF⊥AD；
②過(guò)A作AP⊥AC交CB的延長(zhǎng)線于P，
∴△APC是等腰直角三角形，∠PAC＝90°，AP＝AC，
∵∠PAF+∠FAC＝∠DAC+∠FAC＝90°，
∴∠PAF＝∠DAC，
∵∠AFB＝∠ADC，
∴△APF≌△ACD（ASA），
∴PF＝CD，
∵在等腰直角三角形APC中，PF+CF＝PC＝AC，
∴CD+CF＝AC；
（3）當(dāng)90°＜∠BAC＜135°時(shí)，如圖2，
過(guò)A作AP⊥AC交CB的延長(zhǎng)線于P，
∴△APC是等腰直角三角形，∠PAC＝90°，AP＝AC，
∵∠PAF﹣∠FAC＝∠DAC﹣∠FAC＝90°，
∴∠PAF＝∠DAC，
∵∠AFB＝∠ADC，
∴△APF≌△ACD（ASA），
∴PF＝CD，
∵在等腰直角三角形APC中，PF﹣CF＝PC＝AC，
∴CD﹣CF＝AC，
故答案為：CD﹣CF＝AC．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了幾何變換綜合題，全等三角形的判定和性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，四邊形的內(nèi)角和，正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．
28．（7分）對(duì)于點(diǎn)P（xP，yP）與圖形W，如果圖形W上存在一點(diǎn)Q（xQ，yQ），使得當(dāng)xP＝xQ時(shí)，|yP﹣yQ|≤1，則稱點(diǎn)P為圖形W的一個(gè)“近衛(wèi)點(diǎn)”．
（1）已知A（﹣2，2），B（2，2），在點(diǎn)P1（﹣3，3），P2（﹣1，1），P3（1，4），中，是線段AB的“近衛(wèi)點(diǎn)”的有 P2，P4 ；
（2）以原點(diǎn)O為圓心，1為半徑作⊙O，直線y＝x+b與x軸、y軸分別交于C、D兩點(diǎn)，若線段CD上任意一點(diǎn)都是⊙O的“近衛(wèi)點(diǎn)”，求b的取值范圍；
（3）已知點(diǎn)E（m，0），以點(diǎn)E為中心的正方形s滿足以下條件：四條邊都平行于坐標(biāo)軸，且邊長(zhǎng)為1．若正方形s上存在拋物線的“近衛(wèi)點(diǎn)”，直接寫出m的取值范圍．
【分析】（1）根據(jù)題意可知線段AB∥x軸，設(shè)線段AB上存在點(diǎn)Q（xQ，yQ），使xP＝xQ時(shí)，|yP﹣yQ|≤1，則﹣2≤xP≤2，1≤yP≤3，給出的四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)滿足取值范圍的即為所求；
（2）由題意可知線段CD在是圓O的弦，可得﹣1≤b≤1；
（3）根據(jù)題意可知A（m﹣，），D（m+，），C（m+，﹣），B（m﹣，﹣），設(shè)正方形上點(diǎn)P是拋物線的“近衛(wèi)點(diǎn)”，拋物線上存在點(diǎn)Q使得當(dāng)xP＝xQ時(shí)，|yP﹣yQ|≤1，分兩種情況討論：當(dāng)E點(diǎn)在y軸右側(cè)時(shí)，m＞0，當(dāng)P點(diǎn)與A點(diǎn)重合時(shí)，當(dāng)P點(diǎn)與C點(diǎn)重合時(shí)，分別是E點(diǎn)符合條件的兩個(gè)端點(diǎn)，通過(guò)計(jì)算可得≤m≤+時(shí)，正方形s上存在拋物線的“近衛(wèi)點(diǎn)”；當(dāng)E點(diǎn)在y軸的左側(cè)時(shí)，m＜0，當(dāng)P點(diǎn)與D點(diǎn)重合時(shí)，當(dāng)P點(diǎn)與B點(diǎn)重合時(shí)，分別是E點(diǎn)符合條件的兩個(gè)端點(diǎn)，通過(guò)計(jì)算可得﹣﹣≤m≤﹣時(shí)，正方形s上存在拋物線的“近衛(wèi)點(diǎn)”．
【解答】解：（1）∵A（﹣2，2），B（2，2），
∴線段AB∥x軸，
設(shè)線段AB上存在點(diǎn)Q（xQ，yQ），使xP＝xQ時(shí)，|yP﹣yQ|≤1，
∴﹣2≤xP≤2，1≤yP≤3，
∴P2（﹣1，1），是線段AB的“近衛(wèi)點(diǎn)”，
故答案為：P2，P4；
（2）∵線段CD上任意一點(diǎn)都是⊙O的“近衛(wèi)點(diǎn)”，
∴線段CD在是圓O的弦，
∵圓O的半徑是1，
∴﹣1≤b≤1；
（3）∵點(diǎn)E（m，0）是正方形的中心，正方形的邊長(zhǎng)為1，
∴A（m﹣，），D（m+，），C（m+，﹣），B（m﹣，﹣），
設(shè)正方形上點(diǎn)P是拋物線的“近衛(wèi)點(diǎn)”，拋物線上存在點(diǎn)Q使得當(dāng)xP＝xQ時(shí)，|yP﹣yQ|≤1，
當(dāng)E點(diǎn)在y軸右側(cè)時(shí)，m＞0，
如圖1，當(dāng)P點(diǎn)與A點(diǎn)重合時(shí)，Q（m﹣，m2﹣m﹣），
∴PQ＝m2﹣m﹣﹣＝1，
解得m＝+或m＝﹣+（舍去），
如圖2，當(dāng)P點(diǎn)與C點(diǎn)重合時(shí)，Q（m+，m2+m﹣），
∴PQ＝﹣﹣（m2+m﹣）＝1，
解得m＝或m＝﹣（舍去），
∴≤m≤+時(shí)，正方形s上存在拋物線的“近衛(wèi)點(diǎn)”；
當(dāng)E點(diǎn)在y軸的左側(cè)時(shí)，m＜0，
如圖3，當(dāng)P點(diǎn)與D點(diǎn)重合時(shí)，Q（m+，m2+m﹣），
∴PQ＝m2+m﹣﹣＝1，
解得m＝﹣（舍去）或m＝﹣﹣，
如圖4，當(dāng)P點(diǎn)與B點(diǎn)重合時(shí)，Q（m﹣，m2﹣m﹣），
∴PQ＝﹣﹣（m2﹣m﹣）＝1，
解得m＝（舍去）或m＝﹣，
∴﹣﹣≤m≤﹣時(shí)，正方形s上存在拋物線的“近衛(wèi)點(diǎn)”；
綜上所述：≤m≤+或﹣﹣≤m≤﹣時(shí)，正方形s上存在拋物線的“近衛(wèi)點(diǎn)”．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，弄清定義，數(shù)形結(jié)合，分類討論是解題的關(guān)鍵．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2023/7/11 11:41:34；用戶：笑涵數(shù)學(xué)；郵箱：15699920825；學(xué)號(hào)：36906111圓周角定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)圓心角的一半，
分析：根據(jù)圓心與圓周角的位置關(guān)系，可以分為三類．
已知：如圖，A、B、C為⊙O上的三個(gè)點(diǎn)
求證：．
請(qǐng)你參考情況1的證明，完成情況2、情況3的證明．
情況1圓心在圓周角的邊上
證明：
∵OA＝OC，
∴∠1＝∠2，
由外角可得，∠BOC＝∠1+∠2，
＝2∠1，
∴．
即．
情況2圓心在圓周角內(nèi)部
證明：作直徑AD．
∵OA＝OB，
∴∠1＝∠3．
∴∠BOD＝∠1+∠3＝2∠1，
同理∠COD＝2∠ ，
∴∠BOC＝∠BOD+∠COD＝2∠ ，
∴∠ ＝∠BOC．
情況3圓心在圓周角外部
證明：作直徑AD．
∵OA＝OB，
∴∠ ＝∠ ．
∴∠BOD＝ + ＝2∠ ，
同理∠COD＝2∠ ，
∴∠BOC＝∠ ﹣∠
＝2∠ ﹣2∠
＝2∠ ，
∴∠ ＝．
d（米）
0
0.7
2
3
4
…
h（米）
2.0
3.49
5.2
5.6
5.2
…
圓周角定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)圓心角的一半，
分析：根據(jù)圓心與圓周角的位置關(guān)系，可以分為三類．
已知：如圖，A、B、C為⊙O上的三個(gè)點(diǎn)
求證：．
請(qǐng)你參考情況1的證明，完成情況2、情況3的證明．
情況1圓心在圓周角的邊上
證明：
∵OA＝OC，
∴∠1＝∠2，
由外角可得，∠BOC＝∠1+∠2，
∠BOC ＝2∠1，
∴．
即．
情況2圓心在圓周角內(nèi)部
證明：作直徑AD．
∵OA＝OB，
∴∠1＝∠3．
∴∠BOD＝∠1+∠3＝2∠1，
同理∠COD＝2∠ 2 ，
∴∠BOC＝∠BOD+∠COD＝2∠ BAC ，
∴∠ BAC ＝∠BOC．
情況3圓心在圓周角外部
證明：作直徑AD．
∵OA＝OB，
∴∠ OAB ＝∠ OBA ．
∴∠BOD＝ ∠OAB + ∠OBA ＝2∠ OAB ，
同理∠COD＝2∠ DAC ，
∴∠BOC＝∠ COD ﹣∠ BOD
＝2∠ DAC ﹣2∠ OAB
＝2∠ BAC ，
∴∠ BAC ＝．
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
0
3
4
3
0
…
d（米）
0
0.7
2
3
4
…
h（米）
2.0
3.49
5.2
5.6
5.2
…

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