北師大版（2024）八年級上冊8*三元一次方程組優(yōu)秀精練-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

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\l "_Tc11985" 【題型1 三元一次方程（組）的解】 PAGEREF _Tc11985 \h 1
\l "_Tc4644" 【題型2 用消元法解三元一次方程組】 PAGEREF _Tc4644 \h 2
\l "_Tc26433" 【題型3 用換元法解三元一次方程組】 PAGEREF _Tc26433 \h 2
\l "_Tc11033" 【題型4 用整體思想解三元一次方程組】 PAGEREF _Tc11033 \h 3
\l "_Tc5298" 【題型5 構(gòu)造三元一次方程組求解】 PAGEREF _Tc5298 \h 4
\l "_Tc31864" 【題型6 三元一次方程組的閱讀理解類問題】 PAGEREF _Tc31864 \h 4
\l "_Tc19368" 【題型7 三元一次方程組中的數(shù)字問題】 PAGEREF _Tc19368 \h 5
\l "_Tc11778" 【題型8 三元一次方程組的應(yīng)用】 PAGEREF _Tc11778 \h 6
【知識點三元一次方程組及解法】
1．三元一次方程組中的方程不一定都是三元一次方程組，并且有時需對方程化簡后再根據(jù)三元一次方程組的的定義進行判斷．
2．解三元一次方程組的基本思想是消元，通過代入或加減消，使三元化為二元或一元，轉(zhuǎn)化為我們已經(jīng)熟悉的問題．
3．當(dāng)三元一次方程組中出現(xiàn)比例式時，可采用換元法解方程組．
【題型1 三元一次方程（組）的解】
【例1】（2023·陜西·八年級專題練習(xí)）三元一次方程x＋y＋z＝1999的非負(fù)整數(shù)解的個數(shù)有（）
A．20001999個B．19992000個C．2001000個D．2001999個
【變式1-1】（2023下·八年級課時練習(xí)）三元一次方程x+y+z=5的正整數(shù)解有（）
A．2組B．4組C．6組D．8組
【變式1-2】（2023下·河南南陽·八年級統(tǒng)考期中）已知方程組3x?y=52x+y?z=04ax+5by?z=?22與方程組ax?by+z=8x+y+5z=c2x+3y=?4有相同的解，則a、b、c的值為（）
A．a(chǎn)=?2b=?3c=1B．a(chǎn)=?2b=3c=1C．a(chǎn)=2b=?3c=?1D．a(chǎn)=2b=3c=?1
【變式1-3】（2023下·浙江杭州·八年級?？计谥校┮阎獂=1y=2z=3是方程組ax+by=2by+cz=3cx+az=7的解，則a+b+c的值為（）
A．3B．2C．1D．0
【題型2 用消元法解三元一次方程組】
【例2】（2023下·重慶綦江·八年級校聯(lián)考期中）《九章算術(shù)》是我國古代著名的數(shù)學(xué)專著，其“方程”章中給出了“遍乘直除”的算法解方程組．比如對于方程組，3x+2y+z=39①2x+3y+z=34②x+2y+3z=26③，先將方程①中的未知數(shù)系數(shù)排成數(shù)列32139，然后執(zhí)行如下步驟：（如圖）第一步，將方程②中的未知數(shù)系數(shù)乘以3，然后不斷地減一行，直到第二行第一個數(shù)變?yōu)?；第二步，對第三行做同樣的操作，其余步驟都類似．
方程①：32139
第一步方程②：23134→693102??→051a
第二步方程③：12326→M??→0b839
其實以上步驟的本質(zhì)就是在消元，根據(jù)以上操作，有下列結(jié)論：（1）數(shù)列M為：369618（2）a＝24（3）b＝4其中正確的有（）
A．（1）（2）B．（2）（3）C．（1）（3）D．（1）（2）（3）
【變式2-1】（2023下·全國·八年級專題練習(xí)）有理數(shù)x、y、z滿足x?y+2z=1x+y+4z=3，則x+2y+5z的值是（）
A．?4B．3C．4D．值不能確定
【變式2-2】（2023下·四川遂寧·八年級統(tǒng)考期末）解方程組a+b+c=63a?b+c=42a+3b?c=12．
【變式2-3】（2023·浙江·模擬預(yù)測）實數(shù)x,y,z滿足3x+7y+z=1,4x+10y+z=2018．則x+3y2017x+2017y+2017z= ．
【題型3 用換元法解三元一次方程組】
【例3】（2023上·陜西西安·八年級陜西師大附中?？茧A段練習(xí)）已知x，y，z滿足x+43=y+32=z+84，且x?2y+z=12，則x= ．
【變式3-1】（2023下·八年級課時練習(xí)）若x+y+z≠0且2y+zx=2x+yz=2z+xy=k，則k的值為（）
A．1B．2C．3D．4
【變式3-2】（2023下·上海楊浦·八年級?？计谀┙夥匠探M：x?43=y+14=z+25x?2y+3z=30．
【變式3-3】（2023下·內(nèi)蒙古烏?！ぐ四昙壭？计谥校┨剿鲃?chuàng)新完成下面的探索過程：
給定方程組1x+1y=11y+1z=21z+1x=5，如果令1x=A，1y=B，1z=C，則方程組變成______；
解出這個新方程組（要求寫出解新方程組的過程），得出A，B，C的值，從而得到：x= ______；y=______；z= ______．
【題型4 用整體思想解三元一次方程組】
【例4】（2023上·山東濟南·八年級統(tǒng)考期中）在求代數(shù)式的值時，可以用整體求值的方法，化難為易．
例：已知3x+2y+z=4①7x+5y+3z=10②，求x+y+z的值．
解：①×2得：6x+4y+2z=8③
②?③得：x+y+z=2
∴x+y+z的值為2．
(1)已知x+2y+3z=105x+6y+7z=26，求3x+4y+5z的值；
(2)馬上期中了，班委準(zhǔn)備把本學(xué)期賣廢品的錢給同學(xué)們買期中獎品，根據(jù)商店的價格，購買40本筆記本、20支簽字筆、4支記號筆需要488元．通過還價，班委購買了80本筆記本、40支簽字筆、8支記號筆，只花了732元，請問比原價購買節(jié)省了多少錢？
【變式4-1】（2023下·福建福州·八年級?？计谀┤?x+3y+4z=10且y+2z=2，則x+y+z的值是．
【變式4-2】（2023下·八年級課時練習(xí)）閱讀下列材料，然后解答后面的問題．
已知方程組3x+7y+z=204x+10y+z=27，求x＋y＋z的值．
解：將原方程組整理，得
2x+3y+x+y+z=20①3x+3y+x+y+z=27②
②－①，得x＋3y＝7，③
把③代入①，得x＋y＋z＝6.
仿照上述解法，解決下面問題．
已知方程組6x+4y=22?x?6y+4z=?1則x＋2y－z的值為．
【變式4-3】（1）已知二元一次方程組3x+2y=72x+3y=3則x?y=______，x+y=______．
（2）某班級組織活動購買小獎品，買13支鉛筆、5塊橡皮、2本日記本共需31元，買25支鉛筆、9塊橡皮、3本日記本共需55元，則購買3支鉛筆、3塊橡皮、3本日記本共需多少元？
（3）對于實數(shù)x、y，定義新運算∶x?y=ax+b+c，其中a、b、c是常數(shù)，等式右邊是通常的加法和乘法運算．已知3?5=16，2?3=12，那么5?9=______．
【題型5 構(gòu)造三元一次方程組求解】
【例5】（2023下·福建福州·八年級統(tǒng)考期末）我們約定：上方相鄰兩數(shù)之和等于這兩數(shù)下方箭頭共同指向的數(shù)，如圖1，有2+3=5，在圖2中，若k的值為8，則x的值為（）

A．115B．?1C．1D．任意實數(shù)
【變式5-1】（2023下·上海閔行·八年級?？计谥校┮阎獂、y、z滿足x?2?z+3x?3y?82+3y+3z?4=0，求x、y、z的值
【變式5-2】（2023下·新疆烏魯木齊·八年級統(tǒng)考期中）已知y=ax2+bx+c，當(dāng)x=?2時，y=9；當(dāng)x=0時，y=3；當(dāng)x=2時，y=5，求a、b、c的值．
【變式5-3】（2023上·重慶九龍坡·八年級重慶市育才中學(xué)?？计谥校τ谌齻€有理數(shù)a、b、c，用avea,b,c表示這三個數(shù)的平均數(shù)，用min{a,b,c}表示這三個數(shù)中的最小的數(shù)，若ave4a+3b2,9b+4c6,6c+5a9=min4a+3b2,9b+4c6,6c+5a9，則a:b:c= ．
【題型6 三元一次方程組的閱讀理解類問題】
【例6】（2023下·云南德宏·八年級統(tǒng)考期末）閱讀材料：
我們知道方程組的解與方程組中每個方程的系數(shù)和常數(shù)項有聯(lián)系，系數(shù)和常數(shù)項經(jīng)過一系列變形、運算就可以求出方程組的解．因此，在現(xiàn)代數(shù)學(xué)的高等代數(shù)學(xué)科將系數(shù)和常數(shù)項排成一個矩陣的形式，規(guī)定：關(guān)于x，y的二元一次方程組a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2可以寫成矩陣a1b1c1a2b2c2的形式．例如：3x+4y=165x?6y=33可以寫成矩陣34165?633的形式．
根據(jù)以上信息解決下列問題：
(1)請求出矩陣4153?23對應(yīng)的方程組的解；
(2)若矩陣a?2371b452?1c8所對應(yīng)的方程組的解為x=1y=1z=1，求a+b+c的值．
【變式6-1】（2023下·江蘇蘇州·八年級?？茧A段練習(xí)）閱讀：善于思考的小明在解方程組4x+10y=6 ①8x+22y=10 ②時，采用了一種“整體代換”的思想，解法如下：
解：將方程②變形為8x+20y+2y=10，即24x+10y+2y=10③，把方程①代入③得，2×6+2y=10，則y=?1；把y=?1代入①得，x=4，所以方程組的解為：x=4y=?1
試用小明的“整體代換”的方法解決以下問題：
（1）試求方程組的解2x?3y=76x?5y=9
（2）已知x?y?z，滿足3x?2z+12y=52x+z+8y=8，求z的值．
【變式6-2】（2023下·浙江·八年級期末）對于實數(shù)x，y定義新運算x?y=ax+by+cxy其中a，b，c為常數(shù)，若1?2=3,2?3=4，且有一個非零常數(shù)d，使得對于任意的x，恒有x?d=x，則d的值是．
【變式6-3】（2023下·吉林長春·八年級長春外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）閱讀材料：我們把多元方程（組）的非負(fù)整數(shù)解叫做這個方程（組）的“好解”．例如：x=1y=8就是方程3x+y＝11的一組“好解”；x=1y=2z=3是方程組x?2y+z=0x+y+z=6的一組“好解”．
(1)求方程x+2y＝5的所有“好解”；
(2)關(guān)于x，y，k的方程組x+y+k=15x+5y+3k=27有“好解”嗎？若有，請求出對應(yīng)的“好解”；若沒有，請說明理由．
【題型7 三元一次方程組中的數(shù)字問題】
【例7】（2023下·八年級單元測試）幻方：將若干個數(shù)組成一個正方形數(shù)陣，若任意一行、一列及對角線上的數(shù)字之和都相等，則稱具有這種性質(zhì)的數(shù)字方陣為“幻方”“河圖”“洛書”等．圖1所示的是一個三階幻方，在3×3的方陣圖中，填寫了一些數(shù)或代數(shù)式（其中每個代數(shù)式都表示一個數(shù)），使得每行的3個數(shù)、每列的3個數(shù)、斜對角的3個數(shù)之和均相等，我們稱這種幻方為“數(shù)字連續(xù)型三階幻方”．
(1)求x ，y的值；
(2)在圖2中完成此方陣．
【變式7-1】（2023·福建南平·統(tǒng)考二模）《孫子算經(jīng)》上有一著名問題就是“物不知數(shù)問題”．原文是這么說的：“有物不知其數(shù)，三三數(shù)之余二，五五數(shù)之余三，七七數(shù)之余二．問物幾何？”把這個問題翻譯為：一個數(shù)被3除余2，被5除余3，被7除余2，求這個數(shù)？請你寫出符合條件的一個數(shù)是．
【變式7-2】（2023上·全國·八年級?？计谀┮粋€三位數(shù)，各位數(shù)上數(shù)字之和為10，百位數(shù)字比十位數(shù)字大1，如果把百位數(shù)字與個位數(shù)字對調(diào)，所得的新數(shù)比原數(shù)的3倍還多61，那么原來的三位數(shù)是（）
A．215B．216C．217D．218
【變式7-3】（2023下·重慶綦江·八年級統(tǒng)考期末）對于一個三位數(shù)n,如果n滿足：它的百位數(shù)字、十位數(shù)字之和與個位數(shù)字的差等于7,那么稱這個數(shù)n為“幸福數(shù)”．例如：n1=935,∵9+3?5=7,∴935是“幸福數(shù)”；n2=701,∵7+0?1=6,∴701不是“幸福數(shù)”．
（1）判斷845,734是否為“幸福數(shù)”？并說明理由；
（2）若將一個“幸福數(shù)”m的個位數(shù)的2倍放到十位,原來的百位數(shù)變成個位數(shù),原來的十位數(shù)變成百位數(shù),得到一個新的三位數(shù)t（例如：若m=654,則t=586）,若t也是一個“幸福數(shù)”,求滿足條件的所有m的值．
【題型8 三元一次方程組的應(yīng)用】
【例8】（2023下·浙江寧波·八年級校聯(lián)考期中）下表為裝運甲、乙、丙三種蔬菜的質(zhì)量及利潤情況，某汽運公司計劃裝運甲、乙、丙三種蔬菜到外地銷售（每輛汽車按規(guī)定滿載，且每輛只能裝一種蔬菜）．
(1)若用14輛汽車裝運乙、丙兩種蔬菜共17噸到A地銷售，問裝運乙、丙兩種蔬菜的汽車各多少輛？
(2)計劃用30輛汽車裝運甲、乙、丙三種蔬架共48噸到B地銷售，要求裝運甲種蔬菜的汽車不少于1輛且不多于10輛．該如何安排裝運才能獲得最大利潤？并求出最大利潤．
【變式8-1】（2023下·八年級單元測試）小明媽媽到文具店購買三種學(xué)習(xí)用品，其單價分別為2元、4元、6元，購買這些學(xué)習(xí)用品需要56元，經(jīng)過協(xié)商最后以每種單價均下調(diào)0.5元成交，結(jié)果只用了50元就買下了這些學(xué)習(xí)用品，則小明媽媽有幾種不同的購買方法？
【變式8-2】（2023下·八年級課時練習(xí)）汽車在平路上每小時行駛30千米，上坡時每小時行駛28千米，下坡時每小時行駛35千米，去時行駛142千米的路程用4小時30分鐘，原路回來時用4小時42分鐘，平路有多少千米？去時上、下坡路各有多少千米？
【變式8-3】（2023下·全國·八年級期末）一方有難八方支援，某市政府籌集了防疫必需物資138噸打算運往重疫區(qū)，現(xiàn)有甲、乙、丙三種車型供選擇，每輛車的運載能力和運費如表所示：（假設(shè)每輛車均滿載）
(1)若全部物資都用甲、乙兩種車型來運送，需運費10000元，問分別需甲、乙兩種車型各幾輛？
(2)為了節(jié)約運費，該市政府可以調(diào)用甲、乙、丙三種車型參與運送，已知它們的總輛數(shù)為16輛，要求三種車同時參與運貨，你能求出幾種車型的輛數(shù)嗎？
(3)求出哪種方案的運費最?。孔钍∈嵌嗌僭?br>乙
丙
每輛汽車能裝的噸數(shù)
2
1
2.5
每噸蔬菜可獲利潤（百元）
5
7
4
車型
甲
乙
丙
汽車運載量（噸/輛）
6
9
10
汽車運費（元/輛）
500
600
600

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