1.理解三元一次方程、三元一次方程組及其解的概念.
2.能解簡(jiǎn)單的三元一次方程組,掌握解三元一次方程組過程中化“三元”為“二元”,再化為“一元”的思路,進(jìn)一步體會(huì)“消元”思想.
3.會(huì)利用三元一次方程組解決實(shí)際問題,進(jìn)一步提高分析問題、解決問題的能力.
學(xué)習(xí)重點(diǎn)
理解和掌握三元一次方程、三元一次方程組及其解的概念.
學(xué)習(xí)難點(diǎn)
理解和掌握三元一次方程組的解法.
課時(shí)活動(dòng)設(shè)計(jì)
情境引入
已知甲、乙、丙三數(shù)的和是23,甲數(shù)比乙數(shù)大1,甲數(shù)的2倍與乙數(shù)的和比丙數(shù)大20,求這三個(gè)數(shù).
引導(dǎo)學(xué)生小組討論,準(zhǔn)確地找到等量關(guān)系,列出方程.教師參與并給予點(diǎn)評(píng),依據(jù)已有知識(shí)和題目特點(diǎn),預(yù)設(shè)學(xué)生回答.
設(shè)計(jì)意圖:在已有知識(shí)背景的前提下,通過情境問題引入新課,充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性.
探究新知
探究1 三元一次方程(組)的概念
在教學(xué)活動(dòng)1的問題中,設(shè)甲數(shù)為x,乙數(shù)為y,由題意可得到方程組:x+y+z=23,x-y=1,2x+y-z=20.
觀察方程x+y+z=23和2x+y-z=20.
1.它們有什么共同特點(diǎn)?
2.類比二元一次方程,你能說出這兩個(gè)方程是什么方程嗎?
3.那么上面的方程組應(yīng)該叫做什么方程組呢?
4.什么是三元一次方程組的解?
分析:類比學(xué)習(xí)二元一次方程,指導(dǎo)學(xué)生討論回答,教師總結(jié)歸納.對(duì)于問題3學(xué)生可能會(huì)產(chǎn)生分歧,教師應(yīng)進(jìn)行適當(dāng)點(diǎn)撥.
解:1.它們都含有三個(gè)未知數(shù),并且所含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1.
2.三元一次方程.
3.三元一次方程組,類比二元一次方程組,三元一次方程組中的方程不一定每個(gè)方程都要含有3個(gè)未知數(shù),只要是一共含有三個(gè)未知數(shù)的三個(gè)一次方程所組成的一組方程,就是三元一次方程組.
4.三元一次方程組中各個(gè)方程的公共解.
探究2 三元一次方程組的解法(類比解二元一次方程組把“三元”化成“二元”.)
觀察下列三元一次方程組.
x+y+z=23,①x-y=1,②2x+y-z=20.③
問題1:解這個(gè)三元一次方程組.
教師引導(dǎo)學(xué)生思考并給予適當(dāng)提示,小組展開討論并嘗試解題,組內(nèi)展示后派代表發(fā)言,教師參與學(xué)生討論并及時(shí)矯正在此過程中出現(xiàn)的問題.
小組展示思路:由②得x=y+1,把它代入①和③就可以消掉x,得到兩個(gè)關(guān)于y和z的方程,把它們聯(lián)立成一個(gè)二元一次方程組,就可求出y和z的值,再求x的值即可.
解:由方程②,得x=y+1.④
把④分別代入①③,得2y+z=22,⑤3y-z=18.⑥
解由⑤⑥組成的二元一次方程組,得y=8,z=6.
把y=8代入④,得x=8+1=9.
經(jīng)檢驗(yàn),x=9,y=8,z=6適合原方程組.
所以原方程組的解是x=9,y=8,z=6.
問題2:(1)剛才我們利用代入消元法消去未知數(shù)x,化“三元”為“二元”,從而解出了這個(gè)方程,你能用代入消元法先消去未知數(shù)y(或z),從而得到方程組的解嗎?
(2)這個(gè)方程組還有其他的解法嗎?
利用已有解題經(jīng)驗(yàn),根據(jù)各方程所含字母特點(diǎn),引導(dǎo)學(xué)生小組討論、交流解題過程,并由學(xué)生展示解題思路,教師根據(jù)學(xué)生回答點(diǎn)評(píng)矯正.
解:(1)能.由方程②,得y=x-1.④
把④分別代入①③,得2x+z=24,3x-z=21.
解這個(gè)方程組,得x=9,z=6.
把x=9代入④,得y=8.
所以原方程組的解是x=9,y=8,z=6.
(2)有,還可以用加減消元法.
解法1:用①+③,得3x+2y=43.④
聯(lián)立②④,得方程組x-y=1,3x+2y=43.
解這個(gè)方程組,得x=9,y=8.
把x=9,y=8代入①,得z=6.
所以原方程組的解是x=9,y=8,z=6.
解法2:①+②,得2x+z=24.④
②+③,得3x-z=21.⑤
聯(lián)立④⑤,解得x=9,z=6.
把x=9代入②,得y=8.
所以原方程組的解是x=9,y=8,z=6.
設(shè)計(jì)意圖:結(jié)合具體實(shí)例,利用類比法學(xué)習(xí)三元一次方程、三元一次方程組及其解的有關(guān)概念,通過小組合作學(xué)習(xí),師生共同分析,總結(jié)三元一次方程組的解法,進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)三元一次方程組的理解,讓學(xué)生明確解三元一次方程組的基本思想是“消元”,方法仍為代入消元法和加減消元法.
歸納總結(jié)
上述不同的解法有什么共同之處?與二元一次方程組的解法有什么聯(lián)系?解三元一次方程組的基本思路是什么?
基于對(duì)二元一次方程組的充分探究,可以讓學(xué)生嘗試?yán)妙惐确椒ń鉀Q問題.在問題的解決過程中,可以采取小組內(nèi)交流展示形式,對(duì)于出現(xiàn)的問題,教師及時(shí)予以指出.
小組展示結(jié)論:解三元一次方程組的基本思路仍然是“消元”——把“三元”化為“二元”再化為“一元”,即
三元一次方程組二元一次方程一元一次方程
設(shè)計(jì)意圖:對(duì)所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行總結(jié)和梳理,培養(yǎng)學(xué)生合作探究和歸納總結(jié)的能力.
典例精講
例 解三元一次方程組:x+y+z=15,①x+y=8,②3x+2y-z=11.③
解:①+③,得4x+3y=26.④
②×3,得3x+3y=24.⑤
④-⑤,得x=2
把x=2代入②,得y=6.
把x=2,y=6代入①,得z=7.
所以原方程組的解是x=2,y=6,z=7.
設(shè)計(jì)意圖:通過例題,及時(shí)鞏固所學(xué)知識(shí),規(guī)范學(xué)生對(duì)解題步驟的書寫,讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性.
鞏固訓(xùn)練
解下列方程組:
(1)x-2y=-9,y-z=4,2z+x=47; (2)3x-y+2z=3,2x+y-3z=11,x+y+z=12.
解:(1)x=23,y=16,z=12; (2)x=3,y=8,z=1.
設(shè)計(jì)意圖:通過練習(xí),進(jìn)一步鞏固對(duì)所學(xué)知識(shí)的應(yīng)用,發(fā)揮學(xué)生作為數(shù)學(xué)主體的主動(dòng)性,讓學(xué)生感受學(xué)習(xí)的樂趣和成功的喜悅.
課堂小結(jié)
1.三元一次方程、三元一次方程組及其解的概念是什么?
2.解三元一次方程組的基本思路是什么.
3.三元一次方程組的解法有哪些?
設(shè)計(jì)意圖:通過小結(jié),幫助學(xué)生梳理知識(shí),讓學(xué)生養(yǎng)成及時(shí)整理的習(xí)慣.
課堂8分鐘.
1.教材第131頁習(xí)題5.9第1,2,3題.
2.七彩作業(yè).
*5.8 三元一次方程組
教學(xué)反思


三元一次方程:
三元一次方程組:
三元一次方程組的解:
三元一次方程的解法
例題

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