TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc16439" 【題型1 由勾股定理求兩條線段的平方和（差）】 PAGEREF _Tc16439 \h 1
\l "_Tc28229" 【題型2 勾股定理在網(wǎng)格問題中的運用】 PAGEREF _Tc28229 \h 2
\l "_Tc4389" 【題型3 勾股定理在折疊問題中的運用】 PAGEREF _Tc4389 \h 4
\l "_Tc9432" 【題型4 以弦圖為背景的計算】 PAGEREF _Tc9432 \h 6
\l "_Tc10875" 【題型5 勾股定理的證明方法】 PAGEREF _Tc10875 \h 7
\l "_Tc30288" 【題型6 勾股定理與全等綜合】 PAGEREF _Tc30288 \h 10
\l "_Tc24515" 【題型7 由勾股定理確定在幾何體中的最短距離】 PAGEREF _Tc24515 \h 12
\l "_Tc21251" 【題型8 由勾股定理構(gòu)造圖形解決實際問題】 PAGEREF _Tc21251 \h 13
【題型1 由勾股定理求兩條線段的平方和（差）】
【例1】（2023春·陜西咸陽·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，射線AM⊥AN于點A、點C、B在AM、AN上，D為線段AC的中點，且DE⊥BC于點E．
（1）若BC=10，直接寫出AC2+AB2的值；
（2）若AC=8，△ABC的周長為24，求△ABC的面積；
（3）若AB=6，C點在射線AM上移動，問此過程中，BE2-CE2的值是否為定值？若是，請求出這個定值；若不是，請求出它的取值范圍．
【變式1-1】（2023·福建·模擬預(yù)測）如圖所示，已知△ABC中，AB=6，AC=9，AD⊥BC于D，M為AD上任一點，則MC2-MB2等于 ．
【變式1-2】（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形ABCD，對角線AC，BD交于點O，若AB=3，CD=2，則AD2+BC2= ．
【變式1-3】（2023春·福建莆田·八年級校聯(lián)考期中）在平面直角坐標系中，已知點A4,4，B8,0．

(1)如圖1，判斷△AOB的形狀并說明理由；
(2)如圖2，M，N分別是y軸負半軸和x軸正半軸上的點，且AM⊥AN，探究線段OM，ON，OA之間的數(shù)量關(guān)系并證明；
(3)如圖3，延長BA交y軸于點C，M，N分別是x軸負半軸和y軸負半軸上的點，連接AN交x軸于D，且∠AMO+∠ANO=45°，探究BD2，DM2，OM2的數(shù)量關(guān)系并證明．
【題型2 勾股定理在網(wǎng)格問題中的運用】
【例2】（2023春·浙江·八年級期末）在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格圖形中．每個小正方形的頂點稱為格點.以頂點都是格點的正方形ABCD的邊為斜邊，向外作四個全等的直角三角形，使四個直角頂點E,F,G,H都是格點，且四邊形EFGH為正方形，我們把這樣的圖形稱為格點弦圖．例如，在圖1所示的格點弦圖中，正方形ABCD的邊長為26，此時正方形EFGH的面積為52．問：當格點弦圖中的正方形ABCD的邊長為26時，正方形EFGH的面積的所有可能值是 (不包括52)．
【變式2-1】（2023春·福建三明·八年級統(tǒng)考期中）問題背景：在△ABC中，AB、BC、AC三邊的長分別為5，10，13，求這個三角形的面積．小輝同學(xué)在解答這道題時，先建立一個正方形網(wǎng)格（每個小正方形的邊長為1），再在網(wǎng)格中畫出格點△ABC（即△ABC三個頂點都在小正方形的頂點處），如圖①所示．這樣不需求△ABC的高，而借用網(wǎng)格就能計算出它的面積．
（1）請你將△ABC的面積直接填寫在橫線上： ；
思維拓展：
（2）我們把上述求△ABC面積的方法叫做構(gòu)圖法．若△ABC三邊的長分別為5a，22a，17a（a＞0），請利用圖②的正方形網(wǎng)格（每個小正方形的邊長為a）畫出相應(yīng)的△ABC，并求出它的面積．
探索創(chuàng)新：
（3）若△ABC三邊的長分別為m2+16n2,9m2+4n2,24m2+n2（m＞0，n＞0，且m≠n），試運用構(gòu)圖法求出這三角形的面積．
【變式2-2】（2023春·湖北武漢·八年級?？计谥校┰?0×10網(wǎng)格中，點A和直線l的位置如圖所示：

（1）將點A向右平移6個單位，再向上平移2個單位長度得到點B，在網(wǎng)格中標出點B；
（2）在（1）的條件下，在直線l上確定一點P，使PA＋PB的值最小，保留畫圖痕跡，并直接寫出PA＋PB的最小值：______；
（3）結(jié)合（2）的畫圖過程并思考，直接寫出x2+32＋(7-x)2+42的最小值：____
【變式2-3】（2023春·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期中）如圖，是由邊長為1的小正方形構(gòu)成的10×10網(wǎng)格，每個小正方形的頂點叫做格點．五邊形ABCDE的頂點在格點上，僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中畫圖，畫圖過程用虛線表示，畫圖結(jié)果用實線表示，按步驟完成下列問題：
（1）五邊形ABCDE的周長為 ．
（2）在AB上找點F，使E，C兩點關(guān)于直線DF對稱；
（3）設(shè)DF交CE于點G，連接AG，直接寫出四邊形AEDG的面積；
（4）在直線DF上找點H，使∠AHB＝135°．
【題型3 勾股定理在折疊問題中的運用】
【例3】（2023春·河南鄭州·八年級?？计谥校┤鐖D，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，點P是邊AC上一動點，把△ABP沿直線BP折疊，使得點A落在圖中點A′處，當△AA′C是直角三角形時，則線段CP的長是 ．
【變式3-1】（2023春·浙江寧波·八年級?？计谥校┒x：若a，b，c是△ABC的三邊，且a2+b2＝2c2，則稱△ABC為“方倍三角形”．
（1）對于①等邊三角形②直角三角形，下列說法一定正確的是 ．
A．①一定是“方倍三角形”B．②一定是“方倍三角形”
C．①②都一定是“方倍三角形”D．①②都一定不是“方倍三角形”
（2）若Rt△ABC是“方倍三角形”，且斜邊AB＝3，則該三角形的面積為 ；
（3）如圖，△ABC中，∠ABC＝120°，∠ACB＝45°，P為AC邊上一點，將△ABP沿直線BP進行折疊，點A落在點D處，連接CD，AD．若△ABD為“方倍三角形”，且AP＝2，求△PDC的面積．
【變式3-2】（2023春·浙江·八年級期末）如圖1，在△ABC，AB＝AC＝10，BC＝12．
(1)求BC邊上的高線長．
(2)點E是BC邊上的動點，點D在邊AB上，且AD＝4，連結(jié)DE．
①如圖2，當點E是BC中點時，求△BDE的面積．
②如圖3，沿DE將△BDE折疊得到△FDE，當DF與△ABC其中一邊垂直時，求BE的長．
【變式3-3】（2023春·浙江寧波·八年級統(tǒng)考期末）定義：若a，b，c是△ABC的三邊，且a2+b2=2c2，則稱△ABC為“方倍三角形”．
(1)對于①等邊三角形②直角三角形，下列說法一定正確的是___．
A. ①一定是“方倍三角形” B. ②一定是“方倍三角形”
C. ①②都一定是“方倍三角形” D. ①②都一定不是“方倍三角形”
(2)若Rt△ABC是“方倍三角形”，且斜邊AB=3，則該三角形的面積為___；
(3)如圖，△ABC中，∠ABC=120°，∠ACB=45°，P為AC邊上一點，將△ABP沿直線BP進行折疊，點A落在點D處，連結(jié)CD，AD，若△ABD為“方倍三角形”，且AP＝2，求BC的長．
【題型4 以弦圖為背景的計算】
【例4】（2023春·浙江嘉興·八年級統(tǒng)考期末）在認識了勾股定理的趙爽弦圖后，一位同學(xué)嘗試將5個全等的小正方形嵌入長方形ABCD內(nèi)部，其中點M，N，P，Q分別在長方形的邊AB，BC，CD和AD上，若AB=7，BC=8，則小正方形的邊長為（ ）
A．5B．6C．7D．22
【變式4-1】（2023春·安徽合肥·八年級合肥市第四十二中學(xué)?？计谥校┤鐖D，它是由弦圖變化得到的，是由八個全等的直角三角形拼接而成的，將圖中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面積分別記為S1、S2、S3．
（1）若S1=25，S3=1，則S2= ．
（2）若S1+S2+S3=24，則S2= ．
【變式4-2】（2023春·四川成都·八年級統(tǒng)考期末）如圖是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形拼接而成的．已知BE:AE=3:1，正方形ABCD的面積為80．連接ACAC，交BE于點P，交DG于點Q，連接FQ．則圖中陰影部分的面積之和為 ．
【變式4-3】（2023春·四川巴中·八年級統(tǒng)考期末）我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”．如圖是由弦圖變化得到的，它由八個全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNPQ的面積分別為S1，S2，S3，若S1+S2+S3=45，則S2的值是 ．
【題型5 勾股定理的證明方法】
【例5】（2023春·廣西百色·八年級統(tǒng)考期末）勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一，是用代數(shù)思想解決幾何問題的最重要工具之一，也是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一．它不但因證明方法層出不窮吸引著人們，更因為應(yīng)用廣泛而使人入迷．
(1)證明勾股定理
取4個與Rt△ABC（圖1）全等的三角形，其中∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，把它們拼成邊長為a+b的正方形DEFG，其中四邊形OPMN是邊長為c的正方形，如圖2，請你利用以下圖形驗證勾股定理．

(2)應(yīng)用勾股定理

①應(yīng)用場景1：在數(shù)軸上畫出表示無理數(shù)的點．
如圖3，在數(shù)軸上找出表示1的點D和表示4的點A，過點A作直線l垂直于DA，在l上取點B，使AB=2，以點D為圓心，DB為半徑作弧，則弧與數(shù)軸的交點C表示的數(shù)是______．
②應(yīng)用場景2：解決實際問題．
如圖4，某公園有一秋千，秋千靜止時，踏板離地的垂直高度BE=0.5m，將它往前推至C處時，水平距離CD=2m，踏板離地的垂直高度CF=1.5m，它的繩索始終拉直，求繩索AC的長．
【變式5-1】（2023春·山東濟寧·八年級統(tǒng)考期末）計算圖1的面積，把圖1看作一個大正方形，它的面積是a+b2，如果把圖1看作是由2個長方形和2個小正方形組成的，它的面積為a2+2ab+b2，由此得到：a+b2=a2+2ab+b2．
(1)如圖2，正方形ABCD是由四個邊長分別是a，b的長方形和中間一個小正方形組成的，用不同的方法對圖2的面積進行計算，你發(fā)現(xiàn)的等式是______（用a，b表示）
(2)已知：兩數(shù)x，y滿足x+y=14，xy=24，求x-y的值．
(3)如圖3，正方形ABCD的邊長是c，它由四個直角邊長分別是a，b的直角三角形和中間一個小正方形組成的，對圖3的面積進行計算，你發(fā)現(xiàn)的等式是______．（用a，b，c表示，結(jié)果化到最簡）
【變式5-2】（2023春·山西運城·八年級統(tǒng)考期中）綜合與實踐
【背景介紹】勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，充滿著魅力．如圖1是著名的趙爽弦圖，由四個全等的直角三角形拼成，用它可以證明勾股定理，思路是大正方形的面積有兩種求法，一種是等于c2，另一種是等于四個直角三角形與一個小正方形的面積之和，即12ab×4+b-a2，從而得到等式c2=12ab×4+b-a2，化簡便得結(jié)論a2+b2=c2．這里用兩種求法來表示同一個量從而得到等式或方程的方法，我們稱之為“雙求法”．
【方法運用】千百年來，人們對勾股定理的證明趨之若鶩，其中有著名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者．向常春在2010年構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了一個新的證法：把兩個全等的直角三角形△ABC和△DEA如圖2放置，其三邊長分別為a，b，c，∠BAC=∠DEA=90°，顯然BC⊥AD．
(1)請用a，b，c分別表示出四邊形ABDC，梯形AEDC，△EBD的面積，再探究這三個圖形面積之間的關(guān)系，證明勾股定理a2+b2=c2．
(2)【方法遷移】請利用“雙求法”解決下面的問題：如圖3，小正方形邊長為1，連接小正方形的三個頂點，可得△ABC，則AB邊上的高為______．
(3)如圖4，在△ABC中，AD是BC邊上的高，AB=4，AC=5，BC=6，設(shè)BD=x，求x的值．
【變式5-3】（2023春·全國·八年級期中）如圖（1），是兩個全等的直角三角形（直角邊分別為a，b，斜邊為c）
（1）用這樣的兩個三角形構(gòu)造成如圖（2）的圖形，利用這個圖形，證明：a2+b2＝c2；
（2）用這樣的兩個三角形構(gòu)造圖3的圖形，你能利用這個圖形證明出題（1）的結(jié)論嗎？如果能，請寫出證明過程；
（3）當a＝3，b＝4時，將其中一個直角三角形放入平面直角坐標系中，使直角頂點與原點重合，兩直角邊a，b分別與x軸、y軸重合（如圖4中Rt△AOB的位置）．點C為線段OA上一點，將△ABC沿著直線BC翻折，點A恰好落在x軸上的D處．
①請寫出C、D兩點的坐標；
②若△CMD為等腰三角形，點M在x軸上，請直接寫出符合條件的所有點M的坐標．
【題型6 勾股定理與全等綜合】
【例6】（2023春·安徽滁州·八年級?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，AB=AC，AD為底邊BC上的高線，E是AC上一點，連接BE交AD于點F，且∠CBE=45°．

(1)求證：AB2-AD2=BD?CD；
(2)如圖1，若AB=6.5，BC=5，求AF的長；
(3)如圖2，若AF=BC，以BF，EF和AE為邊，能圍成直角三角形嗎？請判斷，并說明理由．
【變式6-1】（2023春·江西宜春·八年級統(tǒng)考期中）如圖，把一張矩形紙片沿對角線BD折疊，若BC=9，CD=3，那么AF的長為 ．
【變式6-2】（2023春·湖北襄陽·八年級校聯(lián)考期中）如圖，正方形ABCD的邊長為10，AG=CH=8，BG=DH=6，連接GH，則線段GH的長為（ ）

A．538B．22C．145D．10-52
【變式6-3】（2023春·遼寧沈陽·八年級統(tǒng)考期中）在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=62，D是射線CB上的動點，過點A作AF⊥AD（AF始終在AD上方），且AF=AD，連接BF．
(1)如圖1，當點D在線段BC上時，判斷BF與DC的關(guān)系，并說明理由．

(2)如圖2，若點D、E為線段BC上的兩個動點，且∠DAE=45°，連接EF，DC=3，求ED的長．

(3)若在點D的運動過程中，BD=3，則AF=___．
(4)如圖3，若M為AB中點，連接MF，在點D的運動過程中，當BD=__時，MF的長最??？最小值是___．

【題型7 由勾股定理確定在幾何體中的最短距離】
【例7】（2023春·山西大同·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在墻角處放著一個長方體木柜（木柜與墻面和地面均沒有縫腺），一只螞蟻從柜角A處沿著木柜表面爬到柜角C1處．若AB=3，BC=4，CC1=5，則螞蟻爬行的最短路程是（ ）
A．74B．310C．89D．12
【變式7-1】（2023春·安徽合肥·八年級合肥壽春中學(xué)?？计谥校┤鐖D，一個圓柱形食品盒，它的高為10cm，底面圓的周長為32cm
(1)點A位于盒外底面的邊緣，如果在A處有一只螞蟻，它想吃到盒外表面對側(cè)中點B處的食物，則螞蟻需要爬行的最短路程是 cm；
(2)將左圖改為一個無蓋的圓柱形食品盒，點C距離下底面3cm，此時螞蟻從C處出發(fā)，爬到盒內(nèi)表面對側(cè)中點B處(如右圖)，則螞蟻爬行的最短路程是 cm．
【變式7-2】（2023春·全國·八年級期中）愛動腦筋的小明某天在家玩遙控游戲時遇到下面的問題：已知，如圖一個棱長為8cm無蓋的正方體鐵盒，小明通過遙控器操控一只帶有磁性的甲蟲玩具，他先把甲蟲放在正方體盒子外壁A處，然后遙控甲蟲從A處出發(fā)沿外壁面正方形ABCD爬行，爬到邊CD上后再在邊CD上爬行3cm，最后在沿內(nèi)壁面正方形ABCD上爬行，最終到達內(nèi)壁BC的中點M，甲蟲所走的最短路程是 cm
【變式7-3】（2023春·廣東佛山·八年級統(tǒng)考期末）初中幾何的學(xué)習(xí)始于空間的“實物和具體模型”，聚焦平面的“幾何圖形的特征和運用”，形成了空間幾何問題要轉(zhuǎn)化為平面幾何問題的解題策略．
問題提出：如圖所示是放在桌面上的一個圓柱體，一只螞蟻從點A出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點B，如何求最短路程呢？
(1)問題分析：螞蟻從點A出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點B，可以有幾條路徑？在圖中畫出來；
(2)問題探究：①若圓柱體的底面圓的周長為18cm，高為12cm，螞蟻從點A出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點B，求最短路程；
②若圓柱體的底面圓的周長為24cm，高為4cm，螞蟻從點A出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點B，求最短路程；
③若圓柱體的底面圓的半徑為r，高為h，一只螞蟻從點A出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點B，求最短路程．
【題型8 由勾股定理構(gòu)造圖形解決實際問題】
【例8】（2023春·吉林白城·八年級統(tǒng)考期末）如圖所示，A、B兩塊試驗田相距200m，C為水源地，AC＝160m，BC＝120m，為了方便灌溉，現(xiàn)有兩種方案修筑水渠．
甲方案：從水源地C直接修筑兩條水渠分別到A、B；
乙方案；過點C作AB的垂線，垂足為H，先從水源地C修筑一條水渠到AB所在直線上的H處，再從H分別向A、B進行修筑．
（1）請判斷△ABC的形狀（要求寫出推理過程）；
（2）兩種方案中，哪一種方案所修的水渠較短？請通過計算說明．
【變式8-1】（2023春·全國·八年級期中）2019年10月1日，中華人民共和國70年華誕之際，王梓涵和學(xué)校國旗護衛(wèi)隊的其他同學(xué)們趕到學(xué)校舉行了簡樸而降重的升旗儀式．傾聽著雄壯的國歌聲，目送著五星紅旗緩緩升起，不禁心潮澎湃，愛國之情油然而生．愛動腦筋的王梓涵設(shè)計了一個方案來測量學(xué)校旗桿的高度．將升旗的繩子拉直到末端剛好接觸地面，測得此時繩子末端距旗桿底端2米，然后將繩子末端拉直到距離旗桿5m處，測得此時繩子末端距離地面高度為1m，最后根據(jù)剛剛學(xué)習(xí)的勾股定理就能算出旗桿的高度為（ ）
A．10mB．11mC．12mD．13m
【變式8-2】（2023春·陜西西安·八年級西北大學(xué)附中校考期末）【問題探究】
(1)如圖①，點E是正△ABC高AD上的一定點,請在AB上找一點F，使EF=12AE，并說明理由；
(2)如圖②，點M是邊長為2的正△ABC高AD上的一動點，求12AM+MC的最小值；
【問題解決】
(3)如圖③，A、B兩地相距600km,AC是筆直地沿東西方向向兩邊延伸的一條鐵路，點B到AC的最短距離為360km．今計劃在鐵路線AC上修一個中轉(zhuǎn)站M，再在BM間修一條筆直的公路。如果同樣的物資在每千米公路上的運費是鐵路上的兩倍。那么，為使通過鐵路由A到M再通過公路由M到B的總運費達到最小值，請確定中轉(zhuǎn)站M的位置,并求出AM的長．(結(jié)果保留根號)
【變式8-3】（2023·四川德陽·八年級?？计谀┠壳?，某市正積極推進“五城聯(lián)創(chuàng)”，其中擴充改造綠地是推進工作計劃之一.現(xiàn)有一塊直角三角形綠地，量得兩直角邊長分別為a＝9m和b＝12m，現(xiàn)要將此綠地擴充改造為等腰三角形，且擴充部分包含以b＝12m為直角邊的直角三角形，則擴充后等腰三角形的周長為 .

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3.1 勾股定理

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