第24章學(xué)情評(píng)估 一、選擇題(每題3分，共24分) 1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A＝30°，AC＝2 eq \r(3)，則BC＝(　　) A．2 eq \r(6) B．2 C．4 eq \r(3) D．6 2．用計(jì)算器求cos 15°的值，正確的按鍵順序是(　　) A.eq \x(cos)eq \x(1)eq \x(5)eq \x(＝) B.eq \x(SHIFT)eq \x(cos)eq \x(1)eq \x(5)eq \x(＝) C.eq \x(SHIFT)eq \x(1)eq \x(5)eq \x(＝) D.eq \x(15)eq \x(cos)eq \x(＝) 3．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝60°，D為AC的中點(diǎn)，BD＝2，則BC的長(zhǎng)為(　　) A.eq \r(3) B．2 eq \r(3) C．2 D．4 (第3題)　　　(第4題)　　　 4．如圖，一架3 m長(zhǎng)的梯子AB斜靠在一豎直的墻上，M為AB的中點(diǎn)，當(dāng)梯子的上端沿墻壁下滑時(shí)，OM的長(zhǎng)度將(　　) A．變大 B．變小 C．不變 D．先變大后變小 5. 如圖是我們經(jīng)?？吹降囊环N折疊桌子的示意圖，它是由下面的支架AD，BC與桌面構(gòu)成的，已知OA＝OB＝OC＝OD＝20 eq \r(3) cm，∠COD＝60°，則點(diǎn)A到地面(CD所在的平面)的距離是(　　) (第5題) A．30 eq \r(3) cm B．60 eq \r(3) cm C．40 eq \r(3) cm D．60 cm 6．在△ABC中，∠B，∠C都是銳角，tan B＝1，cos C＝eq \f(\r(2),2)，則對(duì)△ABC的形狀最確切的判斷是(　　) A．銳角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形 7．在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C的對(duì)邊，且有c2＋4b2－4bc＝0，則sin A＋cos A的值為(　　) A.eq \f(\r(3)－1,2) B.eq \f(1＋\r(3),2) C.eq \f(1＋\r(2),2) D.eq \f(\r(3)＋\r(2),2) 8．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，連結(jié)CF，將線(xiàn)段CF沿射線(xiàn)BC方向平移到ED，且點(diǎn)D在A(yíng)C上，則線(xiàn)段CF在平移過(guò)程中掃過(guò)的區(qū)域(四邊形CFDE)的周長(zhǎng)和面積分別是(　　) (第8題) A．16，6 B．18，18 C．16，12 D．12，16 二、填空題(每題3分，共18分) 9．如果α是銳角，sin α＝cos 30°，那么α為_(kāi)_______． 10．將一把直尺與一把三角尺按如圖所示的方式放置，若sin∠1＝eq \f(\r(2),2)，則∠2的度數(shù)為_(kāi)_______． (第10題)　(第11題) 　(第12題)　(第14題) 11．如圖，A，B，C是小正方形的頂點(diǎn)，且每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，則cos ∠BAC的值為_(kāi)_____． 12．如圖，一束光線(xiàn)照在坡度i＝1 eq \r(3)的斜坡上，被斜坡上的平面鏡反射成與地面平行的光線(xiàn)，則這束光線(xiàn)與坡面的夾角α是________度． 13．若三角形兩邊長(zhǎng)分別為6和8，這兩邊的夾角為60°，則其面積為_(kāi)_______． 14．如圖，AB＝6，O是AB的中點(diǎn)，直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，∠1＝120°，P是直線(xiàn)l上一點(diǎn)，當(dāng)△APB為直角三角形時(shí)，AP＝______________． 三、解答題(15，16題每題8分，17～19題每題10分，20題12分，共58分) 15．計(jì)算： (1)eq \f(tan260°＋2cos 45°,2sin260°－cos 60°)；　　　(2)2tan 30°＋tan 45°－4cos 30°. 16．(1)在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，BC＝8，求AB和AC的長(zhǎng)； (2)在△ABC中，∠C＝90°，BC＝eq \r(6)，AC＝3 eq \r(2)，解這個(gè)直角三角形． 17．如圖，某人為了測(cè)量小山頂上的塔DE的高，他在山下的點(diǎn)A處測(cè)得塔尖點(diǎn)D的仰角為45°，再沿AC方向前進(jìn)48 m到達(dá)山腳點(diǎn)B，測(cè)得塔尖點(diǎn)D的仰角為60°，塔底點(diǎn)E的仰角為37°，求塔DE的高度.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(結(jié)果保留根號(hào)，參考數(shù)據(jù)：sin 37°≈\f(3,5)，cos 37°≈\f(4,5)，tan 37°≈\f(3,4))) (第17題) 18．如圖①，某款線(xiàn)上教學(xué)設(shè)備由底座、支撐臂AB、連桿BC、懸臂CD和安裝在D處的攝像頭組成．如圖②是該款設(shè)備放置在水平桌面上的示意圖．已知支撐臂AB⊥l，AB＝18 cm，BC＝40 cm，CD＝44 cm，固定∠ABC＝148°，可通過(guò)調(diào)試懸臂CD與連桿BC的夾角提高拍攝效果． (1)當(dāng)懸臂CD與桌面l平行時(shí)，∠BCD＝________°； (2)問(wèn)懸臂端點(diǎn)C到桌面l的距離約為多少？ (3)已知攝像頭點(diǎn)D到桌面l的距離為30 cm時(shí)拍攝效果較好，那么此時(shí)懸臂CD與連桿BC的夾角∠BCD的度數(shù)約為多少？(參考數(shù)據(jù)：sin 58°≈0.85，cos 58°≈0.53，tan 58°≈1.60) (第18題) 19．為了美化環(huán)境，提高民眾的生活質(zhì)量，市政府在三角形花園ABC邊上修建一個(gè)四邊形人工湖泊ABDE，并沿湖泊修建了人行步道．如圖，點(diǎn)C在點(diǎn)A的正東方向170 m處，點(diǎn)E在點(diǎn)A的正北方向，點(diǎn)B，D都在點(diǎn)C的正北方向，BD長(zhǎng)為100 m，點(diǎn)B在點(diǎn)A的北偏東30°方向，點(diǎn)D在點(diǎn)E的北偏東58°方向． (1)求步道DE的長(zhǎng)度； (2)點(diǎn)D處有一個(gè)小商店，某人從點(diǎn)A出發(fā)沿人行步道去商店購(gòu)物，可以經(jīng)過(guò)點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)D，也可以經(jīng)過(guò)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)D，他走哪條路較近？請(qǐng)說(shuō)明理由．(結(jié)果精確到個(gè)位，參考數(shù)據(jù)：sin 58°≈0.85，cos 58°≈0.53，tan 58°≈1.60，eq \r(3)≈1.73) (第19題) 20．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形OABC的頂點(diǎn)A在x軸上，頂點(diǎn)C在y軸上，OA＝8，OC＝4，點(diǎn)P為對(duì)角線(xiàn)AC上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥PB，PQ交x軸于點(diǎn)Q. (1)tan ∠ACB＝________； (2)在點(diǎn)P從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A的過(guò)程中，eq \f(PQ,PB)的值是否發(fā)生變化？如果發(fā)生變化，請(qǐng)求出其變化范圍；如果不發(fā)生變化，請(qǐng)求出其值； (3)若將△QAB沿直線(xiàn)BQ折疊后，點(diǎn)A與點(diǎn)P重合，請(qǐng)直接寫(xiě)出PC的長(zhǎng)． (第20題) 答案 一、1.B　2.A　3.C　4.C　5.D　6.B　7.B　 8．C　解析：由平移的性質(zhì)可知DF∥CE，DF＝CE， ∴四邊形CFDE是平行四邊形． 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6， ∴AC＝eq \r(AB2－BC2)＝eq \r(102－62)＝8. ∵點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，∴CF＝AF＝eq \f(1,2)AB＝5. ∵DF∥CE，∴eq \f(AD,AC)＝eq \f(AF,AB)＝eq \f(1,2)，∠CDF＝180°－∠ACB＝90°，∴點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，CD＝eq \f(1,2)AC＝4， ∴DF是△ABC的中位線(xiàn)，∴DF＝eq \f(1,2)BC＝3. ∴四邊形CFDE的周長(zhǎng)為2(DF＋CF)＝2×(3＋5)＝16， 四邊形CFDE的面積為DF·CD＝3×4＝12. 二、9.60°　10.135°　11.eq \f(\r(2),2)　12.30　13.12 eq \r(3)　 14．3或3 eq \r(3)或3 eq \r(7) 三、15.解：(1)原式＝eq \f(（\r(3)）2＋2×\f(\r(2),2),2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))\s\up12(2)－\f(1,2))＝eq \f(3＋\r(2),\f(3,2)－\f(1,2))＝3＋eq \r(2). (2)原式＝2×eq \f(\r(3),3)＋1－4×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(2 \r(3),3)＋1－2 eq \r(3) ＝1－eq \f(4 \r(3),3). 16．解：(1)在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，BC＝8， ∴AB＝eq \f(BC,sin 60°)＝eq \f(8,\f(\r(3),2))＝eq \f(16 \r(3),3)，AC＝eq \f(BC,tan 60°)＝eq \f(8,\r(3))＝eq \f(8 \r(3),3). (2)在△ABC中，∠C＝90°，BC＝eq \r(6)，AC＝3 eq \r(2)， ∴tan A＝eq \f(BC,AC)＝eq \f(\r(6),3 \r(2))＝eq \f(\r(3),3)，∴∠A＝30°， ∴AB＝2BC＝2 eq \r(6)，∠B＝90°－∠A＝60°. 17．解：由題意知∠BCD＝90°，∠EBC＝37°，∠A＝45°，∠DBC＝60°.設(shè)BC＝x m，在Rt△BCE中，EC＝BC·tan ∠EBC＝BC·tan 37°≈eq \f(3,4)x m，在Rt△BCD中，DC＝BC·tan ∠DBC＝BC·tan 60°＝eq \r(3)x m．∵∠A＝45°，∴易得AC＝CD，∴x＋48＝eq \r(3)x，解得x＝24＋24 eq \r(3)，∴EC≈(18＋18 eq \r(3))m，DC＝(72＋24 eq \r(3))m， ∴DE＝DC－EC≈(72＋24 eq \r(3))－(18＋18 eq \r(3)) ＝54＋6 eq \r(3)(m)． 答：塔DE的高度約為(54＋6 eq \r(3))m. 18．解：(1)58 (2)如圖，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥l，垂足為點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)B作BN⊥CF，垂足為點(diǎn)N，則易得四邊形ABNF是矩形， ∴FN＝AB＝18 cm，∠ABN＝90°. ∵∠ABC＝148°，∴∠CBN＝∠ABC－∠ABN＝148°－90°＝58°，在Rt△CBN中，BC＝40 cm， ∴CN＝40·sin 58°≈40×0.85＝34(cm)， ∴CF＝CN＋FN≈34＋18＝52(cm)， ∴懸臂端點(diǎn)C到桌面l的距離約為52 cm. (第18題) (3)如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥l，垂足為點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥CF，垂足為點(diǎn)M，則易得四邊形DEFM是矩形， ∴MF＝DE.由題意得DE＝30 cm，∴MF＝30 cm， ∴CM＝CF－MF≈52－30＝22(cm)， 在Rt△CDM中，CD＝44 cm，CM≈22 cm， ∴cos ∠DCM＝eq \f(CM,CD)≈eq \f(1,2)，∴∠DCM≈60°. 在Rt△CBN中，∵∠CBN＝58°，∴∠BCN＝32°， ∴∠BCD＝∠DCM－∠BCN≈60°－32°＝28°.∴此時(shí)懸臂CD與連桿BC的夾角∠BCD的度數(shù)約為28°. 19．解：(1)如圖，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AE，交AE的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F. (第19題) 由題易得四邊形ACDF是矩形，∴DF＝AC＝170 m， 在Rt△EFD中，∠DEF＝58°，∴DE＝eq \f(DF,sin 58°)≈eq \f(170,0.85)＝200(m)，∴步道DE的長(zhǎng)度約為200 m. (2)從點(diǎn)A出發(fā)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)D的路較近． 理由：在Rt△EFD中，∠DEF＝58°，DF＝170 m， ∴EF＝eq \f(DF,tan 58°)≈eq \f(170,1.60)＝106.25(m)． 在Rt△ABC中，∠BAC＝90°－30°＝60°，AC＝170 m， ∴BC＝AC·tan 60°＝170 eq \r(3) m， AB＝eq \f(AC,cos 60°)＝eq \f(170,\f(1,2))＝340(m)． ∵BD＝100 m， ∴CD＝BC＋BD＝(170 eq \r(3)＋100)m. ∵四邊形ACDF是矩形， ∴AF＝CD＝(170 eq \r(3)＋100)m， ∴AE＝AF－EF≈170 eq \r(3)＋100－106.25≈288(m)． 因此，某人從點(diǎn)A出發(fā)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)D的路程為AB＋BD＝340＋100＝440(m)，從點(diǎn)A出發(fā)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)D的路程為AE＋DE≈288＋200＝488(m)． ∵440＜488， ∴從點(diǎn)A出發(fā)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)D的路較近． 20．解：(1)eq \f(1,2) (2)eq \f(PQ,PB)的值不發(fā)生變化． 過(guò)點(diǎn)P作PF⊥OA于點(diǎn)F，反向延長(zhǎng)PF交BC于點(diǎn)E，∴PE⊥BC，∴易得四邊形OFEC是矩形， ∴EF＝OC＝4.設(shè)PE＝a，則PF＝EF－PE＝4－a. 在Rt△CEP中，tan∠ACB＝eq \f(PE,CE)＝eq \f(1,2)， ∴CE＝2PE＝2a. ∴BE＝BC－CE＝8－2a＝2(4－a)． ∵PQ⊥PB， ∴∠BPE＋∠FPQ＝90°. ∵∠BPE＋∠EBP＝90°， ∴∠FPQ＝∠EBP. ∵∠PFQ＝∠BEP＝90°， ∴△PFQ∽△BEP， ∴eq \f(PQ,PB)＝eq \f(PF,BE). 又∵PF＝4－a，BE＝2(4－a)，∴eq \f(PQ,PB)＝eq \f(4－a,2（4－a）)＝eq \f(1,2). (3)PC＝eq \f(12 \r(5),5). 題序12345678答案

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