北京市通州區(qū)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期7月期末考試數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

本試卷共4頁(yè)，共150分.考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效.考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡交回.
第一部分（選擇題共40分）
一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).
1. 復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)的虛部為（）
A. 1B. C. D.
2. 樣本數(shù)據(jù)3，5，7，2，10，2的中位數(shù)是（）
A. 7B. 6C. 4D. 2
3. 已知向量，，那么向量可以是（）
A. B. C. D.
4. 在三角形中，角所對(duì)的邊分別為，已知，則（）
A. B. C. 或D. 或
5. 已知圓錐的底面半徑是1，高為，則圓錐的側(cè)面積是（）
A. B. C. D.
6. 如圖，在正方體中，則與所成角為（）

A B. C. D.
7. 在下列關(guān)于直線(xiàn)與平面的命題中，真命題是（）
A. 若，且，則B. 若，且，則
C. 若，，，則D. 若，且，則
8. 一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小、形狀相同的紅色、黃色和綠色小球各2個(gè)，不放回地逐個(gè)取出2個(gè)小球，則與事件“2個(gè)小球都為紅色”互斥而不對(duì)立的事件有（）
A. 2個(gè)小球恰有一個(gè)紅球B. 2個(gè)小球至多有1個(gè)紅球
C. 2個(gè)小球中沒(méi)有綠球D. 2個(gè)小球至少有1個(gè)紅球
9. 一個(gè)長(zhǎng)為，寬為長(zhǎng)方形，取這個(gè)長(zhǎng)方形的四條邊的中點(diǎn)依次為，，，，依次沿，，，，折疊，使得這個(gè)長(zhǎng)方形的四個(gè)頂點(diǎn)都重合而得到的四面體，稱(chēng)為“薩默維爾四面體”，如下圖，則這個(gè)四面體的體積為（）
A. B. C. D.
10. 達(dá)芬奇方磚是在正六邊形上畫(huà)了具有視覺(jué)效果的正方體圖案，把六片這樣的達(dá)·芬奇方磚拼成下圖的組合，這個(gè)組合再轉(zhuǎn)換成幾何體，則需要10個(gè)正方體疊落而成，若一個(gè)小球從圖中陰影小正方體出發(fā)，等概率向相鄰小正方體（具有接觸面）移動(dòng)一步，則經(jīng)過(guò)兩步移動(dòng)后小球又回到陰影小正方體的概率為（）
A. B. C. D.
第二部分（非選擇題共110分）
二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.
11. 設(shè)復(fù)數(shù)滿(mǎn)足（為虛數(shù)單位），則的模為_(kāi)_______．
12. 從寫(xiě)有數(shù)字的5張卡片中有放回的抽取兩次，兩次抽取的卡片數(shù)字和為5的概率是________．
13. 已知分別是的角的對(duì)邊，若，，，則=______，的面積為_(kāi)_____．
14. 在正方形中，是邊上一點(diǎn)，且，點(diǎn)為的延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，寫(xiě)出可以使得成立的，的一組數(shù)據(jù)為_(kāi)_______．
15. 如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，為的中點(diǎn)，為線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)，，的平面截該正方體所得截面記為，則下列命題正確的是________．
①直線(xiàn)與直線(xiàn)相交；
②當(dāng)時(shí)，為四邊形；
③當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，平面截正方體所得的截面面積為；
④當(dāng)時(shí)，截面與，分別交于，則．
三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.
16 已知向量，．
（1）求；
（2）若，，，求證：，，三點(diǎn)共線(xiàn)．
17. 在中小學(xué)生體質(zhì)健康測(cè)試中，甲、乙兩人各自測(cè)試通過(guò)的概率分別是0.6和0.8，且測(cè)試結(jié)果相互獨(dú)立，求：
（1）兩人都通過(guò)體質(zhì)健康測(cè)試的概率；
（2）恰有一人通過(guò)體質(zhì)健康測(cè)試的概率；
（3）至少有一人通過(guò)體質(zhì)健康測(cè)試的概率．
18. 如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱的中點(diǎn)．求證：
（1）平面；
（2）平面；
（3）求三棱錐體積．
19. 某地區(qū)高考實(shí)行新方案，規(guī)定：語(yǔ)文、數(shù)學(xué)和英語(yǔ)是考生的必考科目，考生還要從物理、化學(xué)、生物、歷史、地理和政治六個(gè)科目中選取三個(gè)科目作為選考科目．為了解某校學(xué)生選科情況，現(xiàn)從高一、高二、高三學(xué)生中各隨機(jī)選取了100名學(xué)生作為樣本進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查數(shù)據(jù)如下表，用頻率估計(jì)概率．
（1）已知該校高一年級(jí)有400人，估計(jì)該學(xué)校高一年級(jí)學(xué)生中選考?xì)v史的人數(shù)；
（2）現(xiàn)采用分層抽樣的方式從樣本中隨機(jī)抽取三個(gè)年級(jí)中選擇歷史學(xué)科的5名學(xué)生組成興趣小組，再?gòu)倪@5人中隨機(jī)抽取2名同學(xué)參加知識(shí)問(wèn)答比賽，求這2名參賽同學(xué)來(lái)自不同年級(jí)的概率；
（3）假設(shè)三個(gè)年級(jí)選擇選考科目是相互獨(dú)立．為了解不同年級(jí)學(xué)生對(duì)各科目的選擇傾向，現(xiàn)從高一、高二、高三樣本中各隨機(jī)選取1名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，設(shè)這3名學(xué)生均選擇了第k門(mén)科目的概率為，當(dāng)取得最大值時(shí)，寫(xiě)出k的值．（結(jié)論不要求證明）
20. 在△中，角所對(duì)的邊為，△的面積為S，且．
（1）求角；
（2）若，試判斷△的形狀，并說(shuō)明理由．
21. 如圖，七面體中，菱形所在平面與矩形交于，平面與平面交于直線(xiàn)．
（1）求證：；
（2）再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知條件，試求當(dāng)為何值時(shí)，平面平面？并證明你的結(jié)論．
條件①：；
條件②：．
注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
選考情況
第1門(mén)
第2門(mén)
第3門(mén)
第4門(mén)
第5門(mén)
第6門(mén)
物理
化學(xué)
生物
歷史
地理
政治
高一選科人數(shù)
80
70
35
20
35
60
高二選科人數(shù)
60
45
55
40
40
60
高三選科人數(shù)
50
40
60
40
40
70
2024北京通州高一（下）期末
數(shù) 學(xué)
2024年7月
本試卷共4頁(yè)，共150分.考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效.考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡交回.
第一部分（選擇題共40分）
一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).
1. 復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)的虛部為（）
A. 1B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意，由復(fù)數(shù)的幾何意義即可得到點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)，從而得到結(jié)果.
【詳解】復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)為，其虛部為.
故選：B
2. 樣本數(shù)據(jù)3，5，7，2，10，2的中位數(shù)是（）
A. 7B. 6C. 4D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】找中位數(shù)要把數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，位于最中間的一個(gè)數(shù)（或兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)）為中位數(shù)．
【詳解】解：先對(duì)這組數(shù)據(jù)按從小到大的順序重新排序：2，2，3，5，7，10．
位于最中間的數(shù)是3，5，
所以這組數(shù)中位數(shù)是．
故選：C．
3. 已知向量，，那么向量可以是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由可得，逐個(gè)驗(yàn)證即可.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>對(duì)于A(yíng)，若，則，所以A正確，
對(duì)于B，若，則，所以B錯(cuò)誤，
對(duì)于C，若，則，所以C錯(cuò)誤，
對(duì)于D，若，則，所以D錯(cuò)誤.
故選：A
4. 在三角形中，角所對(duì)的邊分別為，已知，則（）
A. B. C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】由得，再由正弦定理計(jì)算即可.
【詳解】由題意，,
因?yàn)?，所?
由正弦定理得,
即，
因?yàn)?
所以或.
故選：C.
5. 已知圓錐的底面半徑是1，高為，則圓錐的側(cè)面積是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意求出圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)，再利用圓錐的側(cè)面積公式可求得答案.
【詳解】因?yàn)閳A錐底面半徑是1，高為，
所以圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為，
所以圓錐的側(cè)面積為.
故選：D
6. 如圖，在正方體中，則與所成角為（）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】連接，根據(jù)定義，得到即為與所成角，即可求解.
【詳解】如圖所示：連接，

由正方體的性質(zhì)可得，，則即為與所成角，
又，所以.
故選：C.
7. 在下列關(guān)于直線(xiàn)與平面的命題中，真命題是（）
A. 若，且，則B. 若，且，則
C. 若，，，則D. 若，且，則
【答案】B
【解析】
【分析】利用線(xiàn)面垂直的判定條件說(shuō)明、推理判斷AB；利用面面平行的判定說(shuō)明判斷C,利用線(xiàn)面平行的判定說(shuō)明判斷D.
【詳解】對(duì)于A(yíng)，，當(dāng)平面的交線(xiàn)為時(shí)，滿(mǎn)足，此時(shí)，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，由，得存在過(guò)直線(xiàn)平面，，由于，
則平面與平面必相交，令，于是，
顯然，而，則，同理，又是平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)，因此，B正確；
對(duì)于C，,,,或異面，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，，令，當(dāng)直線(xiàn)在平面內(nèi)，且時(shí)，滿(mǎn)足，此時(shí)不成立，D錯(cuò)誤.
故選：B
8. 一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小、形狀相同紅色、黃色和綠色小球各2個(gè)，不放回地逐個(gè)取出2個(gè)小球，則與事件“2個(gè)小球都為紅色”互斥而不對(duì)立的事件有（）
A. 2個(gè)小球恰有一個(gè)紅球B. 2個(gè)小球至多有1個(gè)紅球
C. 2個(gè)小球中沒(méi)有綠球D. 2個(gè)小球至少有1個(gè)紅球
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題意，由互斥事件的定義依次分析選項(xiàng)，即可得到結(jié)果.
【詳解】2個(gè)小球恰有一個(gè)紅球包括2個(gè)小球1個(gè)紅球1個(gè)黃球和2個(gè)小球1個(gè)紅球1個(gè)綠球，與事件“2個(gè)小球都為紅色”互斥而不對(duì)立，符合題意，故A正確；
2個(gè)小球至多有1個(gè)紅球包括2個(gè)小球都不是紅球和2個(gè)小球恰有1個(gè)紅球，則2個(gè)小球至多有1個(gè)紅球與事件“2個(gè)小球都為紅色”是對(duì)立事件，故B錯(cuò)誤；
2個(gè)小球中沒(méi)有綠球包括2個(gè)小球都為紅色，2個(gè)小球都為黃色和2個(gè)小球1個(gè)紅球1個(gè)黃球，則事件“2個(gè)小球都為紅色”是2個(gè)小球中沒(méi)有綠球的子事件，故C錯(cuò)誤；
2個(gè)小球至少有1個(gè)紅球包括2個(gè)小球都是紅球和2個(gè)小球1個(gè)紅球1個(gè)不是紅球，則事件“2個(gè)小球都為紅色”是2個(gè)小球至少有1個(gè)紅球的子事件，故D錯(cuò)誤；
故選：A
9. 一個(gè)長(zhǎng)為，寬為的長(zhǎng)方形，取這個(gè)長(zhǎng)方形的四條邊的中點(diǎn)依次為，，，，依次沿，，，，折疊，使得這個(gè)長(zhǎng)方形的四個(gè)頂點(diǎn)都重合而得到的四面體，稱(chēng)為“薩默維爾四面體”，如下圖，則這個(gè)四面體的體積為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意，由線(xiàn)面垂直的判定定理可得平面，再由錐體的體積公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.
【詳解】
由題意可得，，，
取中點(diǎn)，連接，又，所以，
且，，
則，所以，且，平面，
所以平面，
則.
故選：B
10. 達(dá)芬奇方磚是在正六邊形上畫(huà)了具有視覺(jué)效果的正方體圖案，把六片這樣的達(dá)·芬奇方磚拼成下圖的組合，這個(gè)組合再轉(zhuǎn)換成幾何體，則需要10個(gè)正方體疊落而成，若一個(gè)小球從圖中陰影小正方體出發(fā)，等概率向相鄰小正方體（具有接觸面）移動(dòng)一步，則經(jīng)過(guò)兩步移動(dòng)后小球又回到陰影小正方體的概率為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】，根據(jù)題意，由全概率公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.
【詳解】由題意可得，一個(gè)小球從圖中陰影小正方體出發(fā)，可以向上，向下或水平移動(dòng)，
設(shè)小球向上移動(dòng)為事件，小球水平移動(dòng)為事件，小球向下移動(dòng)為事件，
小球回到陰影為事件，
則，
則
.
故選：D
第二部分（非選擇題共110分）
二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.
11. 設(shè)復(fù)數(shù)滿(mǎn)足（為虛數(shù)單位），則的模為_(kāi)_______．
【答案】
【解析】
【分析】由復(fù)數(shù)的除法、乘法運(yùn)算以及模的計(jì)算公式即可得解.
【詳解】.
故答案為：.
12. 從寫(xiě)有數(shù)字的5張卡片中有放回的抽取兩次，兩次抽取的卡片數(shù)字和為5的概率是________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)條件，求出樣本空間及事件包含的樣本點(diǎn)，再利用古典概率公式，即可求出結(jié)果..
【詳解】用中的表示第一次取到的卡片數(shù)字，表示第一次取到的卡片數(shù)字，
由題知，樣本空間為
，共25個(gè)，
記事件：兩次抽取的卡片數(shù)字和為5，事件包含的樣本點(diǎn)為，共個(gè)，
所以?xún)纱纬槿〉目ㄆ瑪?shù)字和為5的概率是，
故答案為：.
13. 已知分別是的角的對(duì)邊，若，，，則=______，的面積為_(kāi)_____．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用向量夾角公式計(jì)算即得，再利用三角形面積公式求出面積.
【詳解】依題意，，在中，，
所以；的面積.
故答案為：；
14. 在正方形中，是邊上一點(diǎn)，且，點(diǎn)為的延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，寫(xiě)出可以使得成立的，的一組數(shù)據(jù)為_(kāi)_______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根據(jù)向量的線(xiàn)性運(yùn)算表示出，再結(jié)合向量的共線(xiàn)即可求得答案.
【詳解】
由題意知，而，
故,
則，
又點(diǎn)為的延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，故,
可取，則，
故使得成立的的一組數(shù)據(jù)為，
故答案為：.
15. 如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，為的中點(diǎn)，為線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)，，的平面截該正方體所得截面記為，則下列命題正確的是________．
①直線(xiàn)與直線(xiàn)相交；
②當(dāng)時(shí)，為四邊形；
③當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，平面截正方體所得的截面面積為；
④當(dāng)時(shí)，截面與，分別交于，則．
【答案】②③④
【解析】
【分析】①，由平面，可知直線(xiàn)與直線(xiàn)不可能相交，即可判斷；
②，由可得截面S與正方體的另一個(gè)交點(diǎn)落在線(xiàn)段上，即可判斷；
③，由為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，可得截面為等腰梯形，求出等腰梯形的上、下底和高，即可求得截面面積，即可判斷；
④，當(dāng)時(shí)，延長(zhǎng)至，使，連接交于，連接交于連接，取的中點(diǎn)，上一點(diǎn)，使，連接，可求得，再利用勾股定理求出，即可判斷.
【詳解】①，因?yàn)闉榫€(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，所以平面，由正方體可知平面，所以直線(xiàn)與直線(xiàn)不可能相交，故①錯(cuò)誤；
②，當(dāng)時(shí)，截面S與正方體的另一個(gè)交點(diǎn)落在線(xiàn)段上，如圖所示：
所以截面為四邊形；
又面，故//面，故②正確；
③，連接，如下所示：

因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)，
則，故面即為平面截正方體所得截面；
在和中，
又，故該截面為等腰梯形，
又，，
故截面面積，故③正確；
④，當(dāng)時(shí)，延長(zhǎng)至，使，
連接交于，連接交于連接，
取的中點(diǎn)，上一點(diǎn)，使，連接，
如圖所示：
因?yàn)榍?，且?br>所以且，所以四邊形是平行四邊形，則，
由，，所以，
則為中點(diǎn)，則，所以，
又，
可得，
所以，
則在中，故④正確；
故答案為：②③④.
三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.
16. 已知向量，．
（1）求；
（2）若，，，求證：，，三點(diǎn)共線(xiàn)．
【答案】（1）
（2）證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算，以及向量模公式，即可求解；
（2）結(jié)合向量共線(xiàn)的性質(zhì)，即可求解．
【小問(wèn)1詳解】
解：，，
則，
故；
【小問(wèn)2詳解】
證明：，，
則；
，
所以，
所以，，三點(diǎn)共線(xiàn)．
17. 在中小學(xué)生體質(zhì)健康測(cè)試中，甲、乙兩人各自測(cè)試通過(guò)的概率分別是0.6和0.8，且測(cè)試結(jié)果相互獨(dú)立，求：
（1）兩人都通過(guò)體質(zhì)健康測(cè)試的概率；
（2）恰有一人通過(guò)體質(zhì)健康測(cè)試的概率；
（3）至少有一人通過(guò)體質(zhì)健康測(cè)試的概率．
【答案】（1）0.48
（2）0.44 （3）0.92
【解析】
【分析】根據(jù)題意，由相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.
【小問(wèn)1詳解】
根據(jù)題意，記甲通過(guò)體能測(cè)試為事件，乙通過(guò)體能測(cè)試為事件，
且事件與事件相互獨(dú)立，
則兩人都通過(guò)體能測(cè)試的概率.
【小問(wèn)2詳解】
由事件與事件相互獨(dú)立，則恰有一人通過(guò)體能測(cè)試的概率為
.
【小問(wèn)3詳解】
由事件與事件相互獨(dú)立，則至少有一人通過(guò)體能測(cè)試的概率為
.
18. 如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱的中點(diǎn)．求證：
（1）平面；
（2）平面；
（3）求三棱錐的體積．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）證明見(jiàn)解析（3）
【解析】
【分析】（1）先證明四邊形為平行四邊形，得出，再根據(jù)線(xiàn)面平行的判定定理即可得證；
（2）根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定與性質(zhì)定理即可得證；
（3）利用到平面距離為三棱錐的高，結(jié)合等體積法求解即可．
【小問(wèn)1詳解】
證明：，分別為，的中點(diǎn)，，，
且，
四邊形為平行四邊形，
，
又平面，不在平面，
平面；
【小問(wèn)2詳解】
證明：四邊形為正方形，
，
，
，
平面，平面，
，
，，又，，平面，
平面；
【小問(wèn)3詳解】
到平面距離為三棱錐的高，
，
故三棱錐的體積．
19. 某地區(qū)高考實(shí)行新方案，規(guī)定：語(yǔ)文、數(shù)學(xué)和英語(yǔ)是考生的必考科目，考生還要從物理、化學(xué)、生物、歷史、地理和政治六個(gè)科目中選取三個(gè)科目作為選考科目．為了解某校學(xué)生選科情況，現(xiàn)從高一、高二、高三學(xué)生中各隨機(jī)選取了100名學(xué)生作為樣本進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查數(shù)據(jù)如下表，用頻率估計(jì)概率．
（1）已知該校高一年級(jí)有400人，估計(jì)該學(xué)校高一年級(jí)學(xué)生中選考?xì)v史的人數(shù)；
（2）現(xiàn)采用分層抽樣的方式從樣本中隨機(jī)抽取三個(gè)年級(jí)中選擇歷史學(xué)科的5名學(xué)生組成興趣小組，再?gòu)倪@5人中隨機(jī)抽取2名同學(xué)參加知識(shí)問(wèn)答比賽，求這2名參賽同學(xué)來(lái)自不同年級(jí)的概率；
（3）假設(shè)三個(gè)年級(jí)選擇選考科目是相互獨(dú)立的．為了解不同年級(jí)學(xué)生對(duì)各科目的選擇傾向，現(xiàn)從高一、高二、高三樣本中各隨機(jī)選取1名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，設(shè)這3名學(xué)生均選擇了第k門(mén)科目的概率為，當(dāng)取得最大值時(shí)，寫(xiě)出k的值．（結(jié)論不要求證明）
【答案】（1）80人（2）
（3）6
【解析】
【分析】（1）樣本中高一學(xué)生共有100人，其中選擇歷史學(xué)科的學(xué)生有20人，由此能估計(jì)高一年級(jí)選歷史學(xué)科的學(xué)生人數(shù)．
（2）應(yīng)從樣本中三個(gè)年級(jí)選歷史的學(xué)生中分別抽取人數(shù)為1，2，2，編號(hào)為，，，，，從這5名運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)抽取2名參加比賽，利用列舉法能求出事件“這2名參賽同學(xué)來(lái)自相同年級(jí)”的概率．
（3）利用相互獨(dú)立事件概率乘法公式求解．
【小問(wèn)1詳解】
解：由題意知，樣本中高一學(xué)生共有人，其中選擇歷史學(xué)科的學(xué)生有人，
故估計(jì)高一年級(jí)選歷史學(xué)科的學(xué)生有人．
【小問(wèn)2詳解】
解：應(yīng)從樣本中三個(gè)年級(jí)選歷史的學(xué)生中分別抽取人數(shù)為1，2，2，
編號(hào)為，，，，，
從這5名運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)抽取2名參加比賽，所有可能的結(jié)果為，
，，，，，，，，，共10種，
設(shè)為事件“這2名參賽同學(xué)來(lái)自不同年級(jí)”，
則為事件“這2名參賽同學(xué)來(lái)自相同年級(jí)”有，，，共2種，
所以事件發(fā)生的概率．
【小問(wèn)3詳解】
解：，
，
，
，
，
，
當(dāng)取得最大值時(shí)，．
20. 在△中，角所對(duì)的邊為，△的面積為S，且．
（1）求角；
（2）若，試判斷△的形狀，并說(shuō)明理由．
【答案】（1）
（2）等腰直角三角形，理由見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）應(yīng)用面積公式及余弦定理得出正切進(jìn)而得出角；
（2）先應(yīng)用正弦定理及兩角和差的正弦公式化簡(jiǎn)得出，結(jié)合判斷三角形形狀即可.
【小問(wèn)1詳解】
在中，因，則，
整理得，且，所以.
【小問(wèn)2詳解】
由正弦定理得,
,
,
,
于是,
又，故，所以或，因此（舍去）或，所以.
是等腰直角三角形.
21. 如圖，七面體中，菱形所在平面與矩形交于，平面與平面交于直線(xiàn)．
（1）求證：；
（2）再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知條件，試求當(dāng)為何值時(shí)，平面平面？并證明你的結(jié)論．
條件①：；
條件②：．
注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）答案見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）由于平面，由線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理可證；
（2）若選①，設(shè)，取的中點(diǎn)，連結(jié)如圖所示，由平面平面，可得平面，從而，進(jìn)一步由，得，假設(shè)平面平面，可得，，從而；若選②，可得平面，可得平面，從而，進(jìn)一步由，得，假設(shè)平面平面，可得，，從而.
【小問(wèn)1詳解】
菱形中，，
又平面，平面，平面，
又平面，平面平面.
；
【小問(wèn)2詳解】
若選①
當(dāng)時(shí)，平面平面，
設(shè)，取的中點(diǎn)，連結(jié)如圖所示，
平面平面，平面平面，
矩形中，平面，
平面，，
同理可得：，
，
因?yàn)榱庑沃?，矩形中?br>，，是的中點(diǎn)，，
假設(shè)平面平面成立，
平面平面，且，
平面，平面，，
矩形中是的中點(diǎn)，菱形中是的中點(diǎn)，
，
平面，平面，，
又，是的中點(diǎn)，可知△為等腰直角三角形，
，
，故當(dāng)時(shí)，平面平面；
若選②
當(dāng)時(shí)，，矩形中，
，平面，平面，
矩形中，平面，
平面，，
同理可得：，
，
因?yàn)榱庑沃?，矩形中?br>，，是的中點(diǎn)，，
假設(shè)平面平面成立，
平面平面，且，
平面，平面，，
矩形中是的中點(diǎn)，菱形中是的中點(diǎn)，
，
平面，平面，，
又，是的中點(diǎn)，可知△為等腰直角三角形，
，
，故當(dāng)時(shí)，平面平面.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第（2）問(wèn)求當(dāng)為何值時(shí)，平面平面，在解析時(shí)先假設(shè)平面平面成立，從而利用面面垂直的性質(zhì)定理進(jìn)一步推理.
選考情況
第1門(mén)
第2門(mén)
第3門(mén)
第4門(mén)
第5門(mén)
第6門(mén)
物理
化學(xué)
生物
歷史
地理
政治
高一選科人數(shù)
80
70
35
20
35
60
高二選科人數(shù)
60
45
55
40
40
60
高三選科人數(shù)
50
40
60
40
40
70

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