北京市通州區(qū)2023-2024學年高二上學期期末考試數(shù)學試卷（Word版附解析）-試卷下載-教習網(wǎng)

本試卷共4頁，共150分．考試時長120分鐘．考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效．考試結(jié)束后，請將答題卡交回．
第一部分（選擇題共40分）
一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．
1. 已知等差數(shù)列，則等于（）
A. B. 0C. 2D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】設出等差數(shù)列的公差為，建立等量關(guān)系求解即可.
【詳解】設等差數(shù)列的公差為，
因為，所以，
解得：，.
故選：B.
2. 已知P為雙曲線右支上一點，為雙曲線的左右焦點，等于（）
A 8B. 6C. 4D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】由雙曲線的定義即可求出結(jié)果.
【詳解】因P為雙曲線右支上一點，所以.
故選：B.
3. 已知橢圓的左右焦點為，上下頂點為，若四邊形為正方形，則橢圓C的離心率為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)四邊形為正方形得到的關(guān)系，結(jié)合離心率計算公式求解出結(jié)果.
【詳解】因為四邊形為正方形，所以，所以，
所以，
故選：C.
4. 已知點在拋物線上，且點A到拋物線準線的距離為3，則等于（）
A. 1B. 2C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由拋物線的定義可求出，再由即可求出結(jié)果.
【詳解】由拋物線的定義知，點A到拋物線準線的距離為，所以，
又，所以.
故選：D.
5. 已知雙曲線的離心率為，則C的漸近線方程為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根據(jù)離心率計算出的值，然后根據(jù)漸近線方程為分析出結(jié)果.
【詳解】因為雙曲線的離心率為，所以，
所以，
又因為的漸近線方程為，且，
所以漸近線方程為，
故選：A.
6. 已知數(shù)列，則等于（）
A. 511B. 1022C. 1023D. 2047
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)遞推關(guān)系，利用累加法及等比數(shù)列求和公式得解.
【詳解】因為，
所以，，，，，，
累加可得：，
所以.
故選：C
7. 已知等差數(shù)列的前項和為，若，公差，則（）
A. 有最大值為B. 有最大值為
C. 有最大值為30D. 有最小值為30
【答案】C
【解析】
【分析】利用等差數(shù)列的求和公式結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求解即可.
【詳解】由，公差得，
，
易知一定為正整數(shù)，且結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)得當或時，取得最大值30，顯然C正確.
故選：C
8. 已知首項為，公比為q的等比數(shù)列，其前n項和為，則“”是“單調(diào)遞增”的（）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】由可判斷充分性；取可判斷必要性.
【詳解】在等比數(shù)列中，，則，
當時，，所以單調(diào)遞增，故充分性成立；
當單調(diào)遞增時，時，單調(diào)遞增，但是推不出，故必要性不成立.
故選：A.
9. 已知雙曲線的左、右焦點分別為，直線與C交于，兩點，若面積是面積的2倍，則m等于（）
A. 6B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用面積關(guān)系，得到線段比例關(guān)系，設出直線與軸交點后求參數(shù)即可.
【詳解】
易得，故，設，，
直線與軸交點，面積為，面積為，
由題意得面積是面積的2倍，則，
化簡得，結(jié)合，
故，解得，即，故，解得.
故選：D.
10. 已知數(shù)列的通項公式為，給出下列四個結(jié)論：
①數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立；
②數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立；
③數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立；
④數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立．
其中正確結(jié)論的個數(shù)有（）
A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個
【答案】B
【解析】
【分析】先根據(jù)的正負判斷出的單調(diào)性，然后根據(jù)的單調(diào)性求解出的取值范圍，由此可判斷出正確結(jié)論.
【詳解】因為，所以，
所以，
所以為單調(diào)遞減數(shù)列；
又因為，
當且，，當時，，
所以，
當時，恒成立，
當時，恒成立，
由上可知，②④正確，
故選：B.
第二部分（非選擇題共110分）
二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．
11. 已知等比數(shù)列，則__________．
【答案】27
【解析】
【分析】先求出公比，然后代入即可求解.
【詳解】由題意（為公比），所以.
故答案為：27.
12. 若拋物線的準線經(jīng)過雙曲線的左焦點，則__________．
【答案】4
【解析】
【分析】根據(jù)雙曲線的方程得出其左焦點為，根據(jù)拋物線的方程得出其準線為，再根據(jù)條件即可求出結(jié)果.
【詳解】因為雙曲線的左焦點為，又拋物線的準線為，
所以，得到，
故答案為：.
13. 已知數(shù)列的通項公式是，使數(shù)列中存在負數(shù)項的一個t的值為__________．
【答案】（答案不唯一，中的一個值）
【解析】
【分析】記，然后分類討論、，當以及時可直接根據(jù)通項公式的取值正負作出判斷，當時，根據(jù)的正負作出判斷，由此可求解出結(jié)果.
【詳解】記，
當時，即，顯然恒成立，不滿足要求；
當時，或，
若，則，所以恒成立，不滿足要求；
若，此時，必然滿足數(shù)列中存在負數(shù)項，
由上可知，的可取值的范圍是，故可取，
故答案為：（答案不唯一，中的一個值）.
14. 如圖，一隧道內(nèi)設雙行線公路，其截面由一個長方形和拋物線構(gòu)成．為保證安全，要求行駛車輛頂部（設為平頂）與隧道頂部在豎直方向上高度之差不小于，已行車道AB總寬度，則車輛通過隧道的限制高度為__________m．
【答案】##
【解析】
【分析】先求出拋物線的解析式，再根據(jù)題意判斷該隧道能通過的車輛的最高高度即可得到結(jié)論.
【詳解】取隧道截面，拋物線的頂點為原點，對稱軸為軸，建立直角坐標系，
設拋物線方程為，由圖易知拋物線過點，
所以，得到，故拋物線方程為，
又行車道AB總寬度，將代入，得到，
所以限制高度為，
故答案為：.
15. 已知曲線．關(guān)于曲線W有四個結(jié)論：
①曲線W既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形；
②曲線W的漸近線方程為；
③當時曲線W為雙曲線，此時實軸長為2；
④當時曲線W為雙曲線，此時離心率為．
則所有正確結(jié)論的序號為__________．
【答案】①②④
【解析】
【分析】①根據(jù)以代換、代換、以代換，代換后方程是否變化作出判斷；②根據(jù)、時的關(guān)系式作出判斷；③根據(jù)的關(guān)系式判斷是否為雙曲線，然后通過將圖形順時針旋轉(zhuǎn)再作出判斷；④根據(jù)的關(guān)系式判斷是否為雙曲線，結(jié)合③中的旋轉(zhuǎn)過程以及漸近線方程可求解出離心率.
【詳解】①以代換可得方程，即為，故曲線關(guān)于軸對稱，
以代換可得方程，即為，故曲線關(guān)于軸對稱，
以代換，代換可得方程，即為，故曲線關(guān)于原點成中心對稱，
所以曲線既關(guān)于軸對稱，也關(guān)于軸對稱，同時關(guān)于原點成中心對稱，故①正確；
②如下圖：
當時，，可知漸近線為；
當時，，可知漸近線為；
所以曲線的漸近線方程為，故②正確；
③當時，，顯然此時曲線為雙曲線，
因為與的交點為，所以，
將雙曲線繞原點順時針旋轉(zhuǎn)，如下圖：
此時雙曲線與軸的交點為，
所以，所以實軸長為，故③錯誤；
④當時，，顯然此時曲線為雙曲線，
將雙曲線繞原點順時針旋轉(zhuǎn)，此時漸近線方程為，
所以，所以離心率，故④正確，
故答案為：①②④.
【點睛】結(jié)論點睛：曲線的方程為，①如果，則曲線關(guān)于軸對稱；②如果，則曲線關(guān)于軸對稱；③如果，則曲線關(guān)于原點成中心對稱.
三、解答題共6小題，共85分．解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程．
16. 已知圓，點．
（1）求圓C的圓心坐標及半徑；
（2）求過P點的圓C的切線方程．
【答案】（1）圓心坐標為，半徑為
（2）或
【解析】
【分析】（1）將圓的一般方程化為標準方程，求得圓心和半徑；
（2）先考慮切線斜率不存在，直接分析即可；再考慮切線斜率存在，根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑可求結(jié)果.
【小問1詳解】
將圓的一般方程化為標準方程可得：，
所以圓心坐標為，半徑為.
【小問2詳解】
當切線斜率不存在時，切線方程為，此時，不符合題意；
當切線斜率存在時，設過P點的切線方程為，即，
圓心到直線的距離，解得或，
當時，切線方程為，
當時，切線方程為，即，
綜上所述，過P點的圓C的切線方程為或．
17. 已知直線與拋物線相交于A，B兩點．
（1）求弦長及線段的中點坐標；
（2）試判斷以為直徑的圓是否經(jīng)過坐標原點O？并說明理由．
【答案】（1），中點坐標為
（2）以為直徑的圓不經(jīng)過坐標原點O，理由見解析
【解析】
【分析】（1）設出坐標，聯(lián)立直線與拋物線方程得到橫坐標的韋達定理形式，根據(jù)弦長公式結(jié)合韋達定理可求，根據(jù)的值可求線段的中點坐標；
（2）根據(jù)韋達定理計算出的值，然后可判斷出結(jié)果.
【小問1詳解】
設，
聯(lián)立，消去y整理得，且，
所以，
所以，
又因為，
所以線段的中點坐標為．
【小問2詳解】
以為直徑的圓不經(jīng)過坐標原點O．
因為，
所以與不垂直，
故以為直徑的圓不經(jīng)過坐標原點O．
18. 設數(shù)列為公差不為零的等差數(shù)列，其前n項和為，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個符合題目要求的條件作為已知，完成下列問題．
（1）求的通項公式；
（2）設，求數(shù)列的前n項和．
條件①：且;
條件②：且；
條件③：且．
注：如果選擇的條件不符合要求，得0分；如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．
【答案】18. 選擇條件①：，不合題意；選擇條件②：；選擇條件③：
19. 選擇條件②：；選擇條件③：.
【解析】
【分析】（1）選①，利用等差數(shù)列的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為首項和公差的方程組，求出公差不符合題意，選②，③利用等差數(shù)列的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為首項和公差的方程組，求出首項和公差即可求出通項公式.
（2）將第一問結(jié)論代入，再利用裂項相消即可求出結(jié)果.
【小問1詳解】
設等差數(shù)列首項為，公差為d．
選擇條件①：且，解得，不合題意．
選擇條件②：且，
由等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式得解得．
所以等差數(shù)列通項公式為．
選擇條件③：且，
由等差數(shù)列前n項和公式得解得．
所以等差數(shù)列的通項公式為．
【小問2詳解】
選擇條件②：因為，所以，
．
選擇條件③：因為，
所以．
所以
．
19. 如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面．
（1）求證：平面；
（2）求平面與平面夾角的余弦值；
（3）求點B到平面的距離．
【答案】（1）證明見解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用線面平行的判定定理即可證明；
（2）建立空間直角坐標系，利用向量法即可求出面面角的余弦值；
（3）利用點到平面距離的向量公式求解即可.
【小問1詳解】
因為為正方形，所以，
又平面，平面，
所以平面.
【小問2詳解】
因為平面，平面，
所以，，又，所以兩兩垂直，
以A為原點，AB，AD，AP所在直線分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標系，如圖，
由，
則，
，
設平面的法向量，
則，令，則，所以，
又因為平面，所以為平面的一個法向量，
設平面與平面夾角為，
則，
所以平面與平面夾角的余弦值為.
【小問3詳解】
因為平面的法向量，，
所以，
所以點B到平面的距離為.
20. 已知橢圓，點A，B為橢圓C的左右頂點（A點在左），，離心率為．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）過點的直線與橢圓C交于（與A，B不重合）兩點，直線與交于點P，證明：點P在定直線上．
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)條件先求解出的值，然后根據(jù)求得的值，則橢圓方程可知；
（2）設出方程以及坐標，然后聯(lián)立直線與橢圓方程得到縱坐標的韋達定理形式，表示出直線的方程并得到點橫坐標滿足的關(guān)系式，結(jié)合韋達定理可求點橫坐標，由此完成證明.
【小問1詳解】
由題意可知：，所以，所以，
所以橢圓的標準方程為；
【小問2詳解】
證明：由題意，直線的斜率不為0，設直線，，
聯(lián)立可得，
顯然，
所以，所以，
又因為，
所以，
令，
則，
解得，即，
所以點P在定直線上.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查直線與橢圓的綜合應用，涉及橢圓方程求解、橢圓中定直線問題，對學生的計算能力要求較高，難度較大.解答本題第二問的關(guān)鍵在于：利用縱坐標的韋達定理關(guān)系表示出直線與直線的交點的橫坐標，根據(jù)坐標判斷出點是否位于定直線上.
21. 已知數(shù)列滿足：．
（注：）
（1）若，求及數(shù)列的通項公式；
（2）若，求的值．
【答案】21. ，
22. 199
【解析】
【分析】（1）根據(jù)遞推關(guān)系式可得，再寫出，兩式相減化簡可得數(shù)列成等比數(shù)列，即可得解；
（2）根據(jù)遞推關(guān)系得出，再寫出兩式相減可得數(shù)列為等差數(shù)列，求出通項公式可得，再由（1）可得，化簡即可得解.
【小問1詳解】
因為，，
所以.
因為，，
所以，
即①
②
②①得，
化簡得：，即，
所以數(shù)列成等比數(shù)列，公比為，
故.
【小問2詳解】
由（1）可知，，
數(shù)列為等比數(shù)列，所以，
因為，，
所以，
即③
④
④③化簡得，
變形得，
即，
由，當時，，即，
所以數(shù)列是以為首項，2為公差的等差數(shù)列，
所以
所以，
因為，所以，
又，所以，
又因，所以，
即，即，
所以.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解題的關(guān)鍵在于對遞推關(guān)系的變形，通過變形可得兩個和式，作差后變形，能夠證明數(shù)列為等差或等比數(shù)列是解題的關(guān)鍵，其次對于抽象式子的運算、及有方向性的變形、推理是解決問題的第二個關(guān)鍵所在.

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷更多

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷 更多

相關(guān)試卷更多