?通州區(qū)2022-2023學(xué)年第二學(xué)期高一年級(jí)期中質(zhì)量檢測(cè)
數(shù)學(xué)試卷2023年4月
本試卷共4頁，150分.考試時(shí)長120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.
第一部分（選擇題 共40分）
一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).
1. 復(fù)數(shù)的虛部為（ ）
A. 3 B. 2 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的定義，即可求解．
【詳解】的虛部為．
故選：C．
2. 在復(fù)平面內(nèi)，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)的模等于（ ）
A. 5 B. C. 2 D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】利用復(fù)數(shù)模公式，即可得到答案．
【詳解】點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，則其模為．
故選：B．
3. 設(shè)，是單位向量，則下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)單位向量的定義，即可得解．
【詳解】由是單位向量，知，但單位向量的方向不確定，
所以選項(xiàng)A，B和C均錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確．
故選：D．
4. 已知向量，則向量與夾角的余弦值為（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題意，設(shè)向量與夾角為，求出、和的值，進(jìn)而計(jì)算可得答案．
【詳解】根據(jù)題意，設(shè)向量與夾角為，
向量，，
則，，，
則．
故選：A．
5. 已知向量滿足，且，則在上的投影向量為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】向量在向量上的投影向量的定義計(jì)算即可.
【詳解】解：因?yàn)橄蛄?，且，那么?br /> 所以向量在向量上的投影向量為，
故選：C.
6. 已知向量，則“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件
C 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題意，由向量垂直的判斷方法分析“”和“”的關(guān)系，由此分析可得答案．
【詳解】根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，向量，，
則，有，則有，
反之，若，則，
則，解可得或1，不一定成立；
故“”是“”的充分不必要條件．
故選：A．
7. 如圖所示，點(diǎn)在線段上，且，則（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)平面向量的基本定理求解即可.
【詳解】因?yàn)椋裕?br /> 因?yàn)椋?br /> 所以，即.
故選：C.
8. 拋擲兩枚硬幣，觀察它們落地時(shí)朝上的面的情況，該試驗(yàn)的樣本空間中樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】利用基本事件的定義，列舉即可．
【詳解】先后拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，有先后順序，
則此試驗(yàn)的樣本空間為（正面，正面），（正面，反面），（反面，正面），（反面，反面）．
故選：C.
9. 若某群體中的成員會(huì)用現(xiàn)金支付的概率為0.60，會(huì)用非現(xiàn)金支付的概率為0.55，則用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為（ ）
A. 0.10 B. 0.15 C. 0.40 D. 0.45
【答案】B
【解析】
【分析】設(shè)成員會(huì)用現(xiàn)金支付為是事件A，會(huì)用非現(xiàn)金支付為事件B，則為即用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付，.
【詳解】設(shè)成員會(huì)用現(xiàn)金支付為是事件A，會(huì)用非現(xiàn)金支付為事件B，則為即用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付，
則，，則，.
故選：B.
10. 已知，若向量，，則向量與所成的角為銳角的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由題意可得，且與的方向不同，然后利用列舉法列出滿足條件的情況，再根據(jù)古典概型的概率公式求解即可.
【詳解】向量與所成的角為銳角等價(jià)于，且與的方向不同，
即，
則滿足條件的向量有，
其中或時(shí)，與同向，故舍去，故共有4種情況滿足條件，
又的取法共有種，
則向量與所成的角為銳角的概率是．
故選：B．
第二部分（非選擇題 共110分）
二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.
11. 已知i是虛數(shù)單位，則_________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的乘方運(yùn)算，即可求解．
【詳解】．
故答案為：．
12. 在△ABC中，已知AB=2,AC=3,A=60°，則sinC=_____.
【答案】
【解析】
【分析】已知利用余弦定理可求BC的值，進(jìn)而利用正弦定理可求sinC的值.
【詳解】∵AB=2，AC=3，A=60°，
∴由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2﹣2AB?ACcosA=4+9﹣2×2×37，
∵BC>0，
∴BC.
∴由正弦定理，可得.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理?正弦定理的在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.
13. 某人射擊中靶的概率為0.9，連續(xù)射擊3次，每次射擊的結(jié)果互不影響，則至少中靶一次的概率是_________．
【答案】0.999##
【解析】
【分析】由題意知本題符合獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的條件，是一個(gè)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，經(jīng)過3次射擊，至少有一次中靶的對(duì)立事件是三次未擊中目標(biāo)，代入公式得到結(jié)果．
【詳解】由題意知本題是一個(gè)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，
∵每次中靶的概率均為0.9，
經(jīng)過3次射擊，至少有一次中靶的對(duì)立事件是三次未擊中目標(biāo)，
．
故答案為：0.999．
14. 一條河寬為，一艘船從岸邊的某處出發(fā)向?qū)Π逗叫校乃俣鹊拇笮?，水流速度的大小為，則當(dāng)航程最短時(shí)，這艘船行駛完全程所需要的時(shí)間為_________．
【答案】3
【解析】
【分析】首先利用向量的模求出合速度，進(jìn)一步利用求出結(jié)果．
【詳解】如圖所示：

所以
故．
故答案為：3．
15. 在正方形中，，P為邊的中點(diǎn)，Q為邊的中點(diǎn)，M為邊（包括端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是_________．
【答案】
【解析】
【分析】建立直角坐標(biāo)系，利用數(shù)量積的坐標(biāo)計(jì)算公式，結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【詳解】
如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD所在直線分別為x，y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，
則，
設(shè)，則，
所以，
所以.
故答案為：.
三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.
16. 已知，i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)與互為共軛復(fù)數(shù)．
（1）求a，b的值，并指出復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限；
（2）計(jì)算，，；
（3）當(dāng)實(shí)數(shù)取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)是下列數(shù)？
①實(shí)數(shù)；②虛數(shù)；③純虛數(shù)．
【答案】（1），，第四象限；
（2），，
（3）①；②；③.
【解析】
【分析】（1）直接由共軛復(fù)數(shù)的概念求a與b的值，再求出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)得答案；
（2）直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算得答案；
（3），再由復(fù)數(shù)的基本概念求解①②③中的值．
【小問1詳解】
因?yàn)榕c互為共軛復(fù)數(shù)，
所以，．
所以，．
所以復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，
所以復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第四象限．
【小問2詳解】
，
，
．
【小問3詳解】
.
①當(dāng)，即時(shí)，復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)．
②當(dāng)，即時(shí)，復(fù)數(shù)是虛數(shù)．
③當(dāng)，且，即時(shí)，復(fù)數(shù)是純虛數(shù)．
17. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)．
（1）求的值；
（2）設(shè)點(diǎn)M是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，且四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)N是直線上的動(dòng)點(diǎn)，求的最小值．
【答案】（1）
（2）
（3）-2
【解析】
【分析】（1）由向量的坐標(biāo)表示求模長即可；
（2）由平行四邊形的幾何性質(zhì)，結(jié)合向量共線的充要條件計(jì)算即可；
（2）由直線PO的方程設(shè)N坐標(biāo)，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示計(jì)算求最值即可.
【小問1詳解】
由題意可知；
【小問2詳解】
如圖所示，因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅?，故有，設(shè)，
即，解之得；
【小問3詳解】
易知直線OP為，不妨設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取得最小值-2.

18. 袋子中有5個(gè)大小質(zhì)地完全相同的球，其中紅球3個(gè)，白球2個(gè)．
（1）從中有放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球，求第一次摸到白球的概率；
（2）從中無放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球，求第二次摸到白球的概率；
（3）若同時(shí)隨機(jī)摸出2個(gè)球，求至少摸到一個(gè)白球的概率．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用有放回的抽取求出基本事件總數(shù)，事件A包含的基本事件數(shù)，再利用古典概型的概率計(jì)算公式求解即可．
（2）利用無放回的抽取求出基本事件總數(shù)，事件B包含的基本事件數(shù)，再利用古典概型的概率計(jì)算公式求解即可．
（3）求出一次抽取2個(gè)球的基本事件總數(shù)，事件C包含的基本事件數(shù)，再利用古典概型的概率計(jì)算公式求解即可．
【小問1詳解】
記三個(gè)紅球編號(hào)為1，2，3，兩個(gè)白球分別為4，5，則在有放回情況下，
第一次摸球時(shí)有5種等可能的結(jié)果，對(duì)應(yīng)第一次摸球的每個(gè)可能結(jié)果，
第二次摸球時(shí)都有5種等可能的結(jié)果．將兩次摸球的結(jié)果配對(duì)，組成25種等可能的結(jié)果.
如表1所示．
表1
第二次
第一次
1
2
3
4
5
1





2





3





4





5





第一次摸到白球的可能結(jié)果有10種，見表中后兩行．
記 “第一次摸到白球”，則．
【小問2詳解】
在無放回情況下，第一次摸球時(shí)有5種等可能的結(jié)果，對(duì)應(yīng)第一次摸球的每個(gè)可能結(jié)果，
第二次摸球時(shí)都有4種等可能的結(jié)果．將兩次摸球的結(jié)果配對(duì)，組成20種等可能的結(jié)果，如表2所示．
表2
第二次
第一次
1
2
3
4
5
1
×




2

×



3


×


4



×

5




×
第二次摸到白球的可能結(jié)果有8種，見表中后兩列.
記 “第二次摸到白球”，則．
【小問3詳解】
“同時(shí)摸出兩個(gè)球”的基本事件有，共10件，
其中至少摸到一個(gè)白球基本事件有，共7件，
記 “至少摸到一個(gè)白球”，則.
19. 已知的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，向量與垂直．
（1）求A的大??；
（2）若，求的面積．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）運(yùn)用向量垂直的條件：數(shù)量積為0，結(jié)合正弦定理和同角的商數(shù)關(guān)系，可得所求角；
（2）運(yùn)用余弦定理求得c，再由三角形的面積公式計(jì)算即可得到所求值．
【小問1詳解】
因?yàn)?，所以，?
即．
由正弦定理得．
因?yàn)椋裕?所以，所以．
因?yàn)椋裕?br /> 【小問2詳解】
由余弦定理，得， 　
所以，
解得，或（舍）．
所以的面積．
20. 在中，角的對(duì)邊分別為.
（1）求的大??；
（2）再從條件①?條件②?條件③這三個(gè)條件選擇一個(gè)作為已知，使得存在且唯一確定，求邊上高線的長.
條件①：；條件②：；條件③：.
注：如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答給分.
【答案】（1）.
（2）條件①：；條件③：.
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理，邊化角，再利用三角恒等變換求解即可.
（2）根據(jù)三角形全等條件可知①③滿足條件，條件②由余弦定理可得有兩解，不滿足條件，條件①：根據(jù)，結(jié)合等面積求解即可；條件③：利用余弦定理結(jié)合等面積求解即可.
【小問1詳解】
在中因?yàn)椋?br /> 由正弦定理得，
所以，即，
又因?yàn)?，，所以?
【小問2詳解】
設(shè)邊上的高為，
條件①：因?yàn)椋?，，
所以，根據(jù)三角形全等（角角邊）可知存且唯一確定.
所以，
則，解得，即邊上的高為.
條件②：由余弦定理得，即，
解得，此時(shí)滿足條件的的三角形有兩個(gè)，條件②不符合題意.
條件③：根據(jù)三角形全等（邊角邊）可得存在且唯一確定，
由余弦定理得，即，解得，
則，解得，即邊上的高為.
21. 若函數(shù)，則稱向量為函數(shù)的特征向量，函數(shù)為向量的特征函數(shù)．
（1）若函數(shù)，求的特征向量；
（2）若向量特征函數(shù)為，求當(dāng)，且時(shí)的值；
（3）已知點(diǎn)，設(shè)向量的特征函數(shù)為，函數(shù)．在函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn)Q，使得？如果存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）不存在理由見解析
【解析】
【分析】（1）由三角函數(shù)的和差公式可得，再結(jié)合特征向量的定義，即可得出答案．
（2）由特征向量的定義可得，代入解得，再計(jì)算，最后利用兩角和差公式即可得出答案．
（3）由特征向量的定義可得，三角函數(shù)倍角公式可得，若函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn)Q，使得；再計(jì)算其數(shù)量積可得，再利用整體法結(jié)合余弦型函數(shù)的值域即可判斷．
【小問1詳解】
因?yàn)椋?
所以函數(shù)的特征向量.
【小問2詳解】
因?yàn)?，所?
又 ．
所以． 　
因?yàn)?，所以?br /> 所以．
所以
．
【小問3詳解】
不存在．理由如下：
由向量的特征函數(shù)為，得
，
所以．
設(shè)函數(shù)的圖象上任一點(diǎn)，
則，．
所以
．
因?yàn)椋?br /> 所以，
所以，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)．
所以．
所以函數(shù)的圖象上任一點(diǎn)Q，都不能使得．
即函數(shù)的圖象上不存在點(diǎn)Q，使得．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第三問的關(guān)鍵是計(jì)算出，然后再去設(shè)點(diǎn)，得到向量從而化簡向量數(shù)量積為得，再利用整體法即可判斷.


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