2024.07
學(xué)校__________班級__________姓名__________
考生須知1．本試卷共6頁，共三道大題，19道小題．滿分100分．考試時間90分鐘．
2．在試卷上準(zhǔn)確填寫學(xué)校名稱、班級名稱、姓名．
3．答案一律填涂或書寫在試卷上，用黑色字跡簽字筆作答．
4．考試結(jié)束，請將本試卷交回．
一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．
1. 若復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（ ）
A. B. 2C. D.
2. 已知向量，則（ ）
A. 0B. C. D.
3. 函數(shù)的部分圖象如圖所示，則其解析式為（ ）
A. B.
C. D.
4. 若，且，則（ ）
A B. C. D. 7
5. 在中，點D滿足，若，則（ ）
A. B. C. 3D.
6. 已知，則下列直線中，是函數(shù)對稱軸為（ ）
A. B. C. D.
7. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點，點，其中．若，則（ ）
A. B. C. D.
8. 在中，已知．則下列說法正確的是（ ）
A. 當(dāng)時，是銳角三角形B. 當(dāng)時，是直角三角形
C. 當(dāng)時，是鈍角三角形D. 當(dāng)時，是等腰三角形
9. 已知是非零向量，則“”是“對于任意的，都有成立”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
10. 定義域為函數(shù)的圖象的兩個端點分別為．點是的圖象上的任意一點，其中，點N滿足向量，點O為坐標(biāo)原點．若不等式恒成立，則稱函數(shù)在上為k函數(shù)．已知函數(shù)在上為k函數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
二、填空題共5小題，每小題4分，共20分．
11. 知復(fù)數(shù)z滿足，則__________，__________．
12. 在中，，P滿足，則____________．
13. 在中，若，則k的一個取值為__________；當(dāng)時，__________．
14. 一名學(xué)生想測算某風(fēng)景區(qū)山頂上古塔的塔尖距離地面的高度，由于山崖下河流的阻礙，他只能在河岸邊制定如下測算方案：他在河岸邊設(shè)置了共線的三個觀測點A，B，C（如圖），相鄰兩觀測點之間的距離為200m，并用測角儀器測得各觀測點與塔尖的仰角分別為,,,根據(jù)以上數(shù)據(jù)，該學(xué)生得到塔尖距離地面的高度為__________m．
15 已知函數(shù)，給出下列四個結(jié)論：
①對任意的，函數(shù)是周期函數(shù)；
②存在，使得函數(shù)在上單調(diào)遞減；
③存在，使得函數(shù)的圖象既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形；
④對任意的，記函數(shù)的最大值為，則．
其中所有正確結(jié)論的序號是__________．
三、解答題共4小題，共40分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．
16. 已知函數(shù)．
（1）求的值和的零點；
（2）求的單調(diào)遞增區(qū)間．
17. 已知．
（1）求；
（2）若，求的最小值．
18. 在中，．
（1）求A的大小；
（2）若，從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使得存在，求最長邊上高線長．
條件①：；
條件②：的面積為；
條件③：．
注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．
19. 已知n維向量，給定，定義變換；選取，再選取一個實數(shù)x，對的坐標(biāo)進行如下改變：若此時，則將同時加上x．其余坐標(biāo)不變；若此時，則將及同時加上x，其余坐標(biāo)不變．若a經(jīng)過有限次變換（每次變換所取的i，x的值可能不同）后，最終得到的向量滿足，則稱a為k階可等向量．例如，向量經(jīng)過兩次變換可得：，所以是2階可等向量．
（1）判斷是否是2階可等向量？說明理由；
（2）若取1，2，3，4的一個排序得到的向量是2階可等向量，求；
（3）若任取的一個排序得到的n維向量均為k階可等向量．則稱為k階強可等向量．求證：向量是5階強可等向量．
海淀區(qū)高一年級練習(xí)
數(shù)學(xué)
2024.07
學(xué)校__________班級__________姓名__________
考生須知1．本試卷共6頁，共三道大題，19道小題．滿分100分．考試時間90分鐘．
2．在試卷上準(zhǔn)確填寫學(xué)校名稱、班級名稱、姓名．
3．答案一律填涂或書寫在試卷上，用黑色字跡簽字筆作答．
4．考試結(jié)束，請將本試卷交回．
一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．
1. 若復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運算化簡，再判斷其虛部.
【詳解】因為，所以，
所以的虛部為.
故選：A
2. 已知向量，則（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示計算．
【詳解】由題意，
故選：B．
3. 函數(shù)的部分圖象如圖所示，則其解析式為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由最小值求得，由求得，再結(jié)合最小值點和周期求得．
【詳解】由圖象知，
所以，
則或，
又，所以，
，，，，
又，，已知，所以，所以，
故選：D．
4. 若，且，則（ ）
A. B. C. D. 7
【答案】D
【解析】
分析】根據(jù)正弦得到正切值，利用正切差角公式計算出答案.
【詳解】因為，所以，
又，所以，
故，
所以.
故選：D
5. 在中，點D滿足，若，則（ ）
A. B. C. 3D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)平面向量的三角形法則即可得解
【詳解】如圖，因為在中，，
所以，
又，所以,
所以，
故選：B.
6. 已知，則下列直線中，是函數(shù)對稱軸的為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】舉例說明判斷ABD；利用軸對稱的意義判斷C.
【詳解】依題意，，解得，
對于A，，，則函數(shù)的圖象關(guān)于不對稱，A不是；
對于B，，，則函數(shù)的圖象關(guān)于不對稱，B不是；
對于C，，即，
，則函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，C是；
對于D，，，則函數(shù)的圖象關(guān)于不對稱，D不是.
故選：C
7. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點，點，其中．若，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先的坐標(biāo)，然后求出模長，然后結(jié)合輔助角公式化簡，建立關(guān)于的方程，解方程即可得解.
【詳解】因平面直角坐標(biāo)系xOy中，點，點
所以
所以
又
所以，即
所以，又因為
所以，即，
故選：A.
8. 在中，已知．則下列說法正確的是（ ）
A. 當(dāng)時，是銳角三角形B. 當(dāng)時，是直角三角形
C. 當(dāng)時，是鈍角三角形D. 當(dāng)時，是等腰三角形
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)邊長應(yīng)用正弦定理計算分別判斷各個選項.
【詳解】對于A:因為由正弦定理,
當(dāng)時，是鈍角三角形,
當(dāng)時，是鈍角三角形,A選項錯誤；
對于B:因為,由,
所以是直角三角形,B選項正確；
對于C:因為,由
當(dāng)時，,是銳角三角形,C選項錯誤；
對于D:因為,由,,,
因為，所以不是等腰三角形,D選項錯誤；
故選：B.
9. 已知是非零向量，則“”是“對于任意的，都有成立”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義及數(shù)量積的運算律判斷即可.
【詳解】因為是非零向量，
若，則，
所以
，
所以對于任意的，都有成立，故充分性成立；
若對于任意的，都有成立，
則，即，
所以，所以，所以，故必要性成立；
所以“”是“對于任意的，都有成立”的充要條件.
故選：C
10. 定義域為的函數(shù)的圖象的兩個端點分別為．點是的圖象上的任意一點，其中，點N滿足向量，點O為坐標(biāo)原點．若不等式恒成立，則稱函數(shù)在上為k函數(shù)．已知函數(shù)在上為k函數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出兩個端點，設(shè)的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，進一步確定，從而求出，求出，得到答案.
【詳解】在上的兩個端點分別為，
設(shè)的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，則，
故，
，
故，，
所以，
當(dāng)時，等號成立，
故實數(shù)k的取值范圍為.
故選：B
二、填空題共5小題，每小題4分，共20分．
11. 知復(fù)數(shù)z滿足，則__________，__________．
【答案】 ①. ； ②. .
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運算法則，及共軛復(fù)數(shù)的定義即可求解
【詳解】因為，所以；所以的共軛復(fù)數(shù)，
故答案為：，
12. 在中，，P滿足，則____________．
【答案】0
【解析】
【分析】根據(jù)已知及數(shù)量積運算律，即可求解.
【詳解】由題意可知，.
故答案為：
13. 在中，若，則k的一個取值為__________；當(dāng)時，__________．
【答案】 ①. （答案不唯一） ②. 1
【解析】
【分析】根據(jù)正弦定理，可以進行邊化角，然后得到，根據(jù)，可得k的取值，又，即可得到的具體值.
【詳解】因為，由正弦定理可得，
，又，所以，
所以，又，取，所以，
所以當(dāng)時，，
故答案為：，1.
14. 一名學(xué)生想測算某風(fēng)景區(qū)山頂上古塔的塔尖距離地面的高度，由于山崖下河流的阻礙，他只能在河岸邊制定如下測算方案：他在河岸邊設(shè)置了共線的三個觀測點A，B，C（如圖），相鄰兩觀測點之間的距離為200m，并用測角儀器測得各觀測點與塔尖的仰角分別為,,,根據(jù)以上數(shù)據(jù)，該學(xué)生得到塔尖距離地面的高度為__________m．
【答案】
【解析】
【分析】首先根據(jù)幾何關(guān)系表示邊長，再根據(jù)余弦定理求解.
【詳解】由題意可知，，，，，
設(shè)，則，，，
根據(jù)，
則，解得：
所以塔尖距離底面的高度為米.
故答案為：
15. 已知函數(shù)，給出下列四個結(jié)論：
①對任意的，函數(shù)是周期函數(shù)；
②存在，使得函數(shù)在上單調(diào)遞減；
③存在，使得函數(shù)的圖象既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形；
④對任意的，記函數(shù)的最大值為，則．
其中所有正確結(jié)論的序號是__________．
【答案】① ② ③
【解析】
【分析】根據(jù)周期函數(shù)的定義可以證明①，取時可以判斷②，取時可以判斷③、④.
【詳解】對于①，令，則
，
所以對任意的，函數(shù)是周期函數(shù)，故①正確；
對于②，當(dāng)時，，所以
所以，
當(dāng)時，
即，
因為，所以，易知在上單調(diào)遞減，
即存在，使得函數(shù)在上單調(diào)遞減，故②正確；
對于③，當(dāng)時，令，即，易知定義域為R.
因為
所以圖象關(guān)于軸對稱；
又因為，
所以為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點中心對稱，
所以存在，使得函數(shù)的圖象既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形；故③正確；
對于④，假設(shè)④為假命題，則它的否定：
“存在，記函數(shù)的最大值為，則”為真命題，
由③知，當(dāng)時，
所以，所以，存在，函數(shù)的最大值為，則，所以假設(shè)成立，即④為假命題，
故答案為：①②③.
三、解答題共4小題，共40分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．
16. 已知函數(shù)．
（1）求的值和的零點；
（2）求的單調(diào)遞增區(qū)間．
【答案】（1），的零點為；
（2）的單調(diào)遞增區(qū)間為.
【解析】
【分析】（1）先應(yīng)用誘導(dǎo)公式及兩角和差化簡，再根據(jù)正弦函數(shù)的對稱中心求出零點即可；
（2）應(yīng)用正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求解即可.
【小問1詳解】
令，所以．
所以的零點為
【小問2詳解】
因為的單調(diào)遞增區(qū)間為
所以．
所以
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為
17. 已知．
（1）求；
（2）若，求的最小值．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）先求，然后直接求的平方即可得解；
（2）利用向量的運算律，將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次函數(shù)，然后求出最值即可.
小問1詳解】
因為，
，
因為
所以，
【小問2詳解】
由（1）知，，
因為
所以當(dāng)時，的最小值為
18. 在中，．
（1）求A的大??；
（2）若，從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使得存在，求最長邊上高線的長．
條件①：；
條件②：面積為；
條件③：．
注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．
【答案】（1）；
（2）答案見解析，最長邊上高線長.
【解析】
【分析】（1）利用二倍角的余弦公式，化簡求值；
（2）若選擇條件①，方法一，根據(jù)正弦定理和余弦定理求三邊，判斷最長邊，再根據(jù)幾何關(guān)系求高，方法二，根據(jù)邊長和角，根據(jù)大角對大邊，直接判斷最長邊，再求高；
若選擇條件②，根據(jù)面積求，再根據(jù)余弦定理求邊長，再求最長邊的高；
如選擇條件③，根據(jù)正弦定理，判斷是否存在.
【小問1詳解】
因為，所以
所以，
所以，因為，所以舍
所以，則；
【小問2詳解】
選擇①
因為，由正弦定理
代入，得
法一：
由余弦定理
代入得
所以
所以或（舍），所以邊最長，
邊上的高線
法二：
因為，所以，
所以，所以，所以為最長邊
邊上的高線
選擇②
因為
所以
因為，由余弦定理
所以
所以或
所以最長邊上的高線，
若選擇③，，
根據(jù)正弦定理，，則，不成立，
此時不存在.
19. 已知n維向量，給定，定義變換；選取，再選取一個實數(shù)x，對的坐標(biāo)進行如下改變：若此時，則將同時加上x．其余坐標(biāo)不變；若此時，則將及同時加上x，其余坐標(biāo)不變．若a經(jīng)過有限次變換（每次變換所取的i，x的值可能不同）后，最終得到的向量滿足，則稱a為k階可等向量．例如，向量經(jīng)過兩次變換可得：，所以是2階可等向量．
（1）判斷是否是2階可等向量？說明理由；
（2）若取1，2，3，4的一個排序得到的向量是2階可等向量，求；
（3）若任取的一個排序得到的n維向量均為k階可等向量．則稱為k階強可等向量．求證：向量是5階強可等向量．
【答案】（1）是2階可等向量，理由見解析；
（2）5； （3）證明見解析.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)的定義即可求解，
（2）根據(jù)的定義即可求解，，即可結(jié)合是2階可等向量求解，
（3）根據(jù)是階可等向量，等價于是階可等向量，即可根據(jù)變換求證.
【小問1詳解】
是2階可等向量．
例如經(jīng)過兩次變換可得：
【小問2詳解】
設(shè)進行一次變換后得，
當(dāng)時，
當(dāng)時，
當(dāng)時，
當(dāng)時，
綜上，我們得到
．
因為是2階可等向量，即
所以．
所以
【小問3詳解】
任取的一個排序，記為．
注意到，是階可等向量，等價于是階可等向量．
變換即對連續(xù)五個維度坐標(biāo)（首尾也看成連續(xù)）同時加上，
相當(dāng)于對剩余兩個連續(xù)維度的坐標(biāo)同時加上．
對依次加上，相當(dāng)于對單獨加上；
對依次加上，相當(dāng)于對單獨加上；
……
基于上述分析，相當(dāng)于可以對分別單獨加上．
所以為5階可等向量，為5階強可等向量．
【點睛】方法點睛：對于新型定義，首先要了解定義的特性，抽象特性和計算特性，抽象特性是將集合可近似的當(dāng)作數(shù)列或者函數(shù)分析.計算特性，將復(fù)雜的關(guān)系通過找規(guī)律即可利用已學(xué)相關(guān)知識求解.

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