專題07 角的平分線的性質(zhì)（含答案）【暑假預(yù)習(xí)課堂】新八年級(jí)數(shù)學(xué)同步精講精練（人教版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

目錄
【考點(diǎn)一角的平分線的性質(zhì)】
【考點(diǎn)二尺規(guī)作圖】
【考點(diǎn)三角平分線性質(zhì)的綜合應(yīng)用】
【聚焦考點(diǎn)1】
1.角平分線的作法
a.以點(diǎn)O為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交OA、OB于點(diǎn)N、M；
b.分別以點(diǎn)M、N為圓心，大于12MN的長(zhǎng)為半徑作弧，相交于點(diǎn)P；
c.畫射線OP,OP即為所求角平分線。
角平分線的性質(zhì)
角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。
角平分線的判定
角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上。
【典例剖析1】
【典例1-1】如圖，在四邊形ABCD中，∠BCD是鈍角，AB＝AD，BD平分∠ABC，若BC＝3，，△BCD的面積．
（1）判斷四邊形ABCD的形狀，并證明你的結(jié)論；
（2）求對(duì)角線AC的長(zhǎng)．
【分析】（1）過(guò)D作DM⊥BC于M，結(jié)合等邊對(duì)等角，角平分線的定義得到∠ABD＝∠DBC＝∠ADB，推出AD∥BC，根據(jù)已知線段長(zhǎng)度和圖形面積可進(jìn)一步推出BC＝CD＝3，得到AB∥CD，可得四邊形ABCD為平行四邊形，根據(jù)有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可證明；
（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，AC⊥BD，利用勾股定理求出OC，可得AC．
【解答】解：（1）四邊形ABCD為菱形，理由是：
過(guò)D作DM⊥BC于M，
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠DBC＝∠ADB，
∴AD∥BC，
∵△BCD的面積為，BC＝3，
∴，
在△BDM中，∠M＝90°，
∵，，
∴，
∵BC＝3，
∴CM＝1，
∴，
∴∠ABD＝∠DBC＝∠CDB，
∴AB∥CD，
∵AD∥BC，
∴四邊形ABCD為平行四邊形，
又AB＝AD，
∴四邊形ABCD為菱形；
（2）∵四邊形ABCD為菱形，
∴，AC⊥BD，
∵BC＝3，
∴，
∴．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，三角形面積，勾股定理，解題的關(guān)鍵是正確判斷出四邊形ABCD為菱形．
【典例1-2】如圖，在△ABC中，AD為∠BAC的平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，△ABC的面積是84cm2，AB＝15cm，AC＝13cm，求DE的長(zhǎng)．
【分析】根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得DE＝DF，再根據(jù)S△ABC＝S△ABD+S△ACD，列方程計(jì)算即可得解．
【解答】解：∵AD為∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
∵，
∴
即，
解得：DE＝6，
∴DE＝6cm．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，三角形的面積，熟記性質(zhì)并列出方程是解題的關(guān)鍵．
【典例1-3】如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊BC的延長(zhǎng)線上，∠ACB＝106°，∠ABC的平分線BE與外角∠CAF的平分線AD交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥BD，垂足為H．
（1）求∠AEB的度數(shù)．
（2）若∠CEH＝∠AEB，AB+BD＝16，AC＝6，且S△ACE＝12，求△ABD的面積．
【分析】（1）過(guò)點(diǎn)E作EM⊥BF于點(diǎn)M，作EN⊥AC于點(diǎn)N，得出AE是∠CAF的角平分線，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)可得∠FAE＝∠FBE+∠AEB，，進(jìn)而得出，即可求解；
（2）過(guò)點(diǎn)E作EM⊥BF于點(diǎn)M，作EN⊥AC于點(diǎn)N，由（1）可知：EM＝EH＝EN，根據(jù)AC＝6，且S△ACE＝12，得出EM＝EH＝EN＝4，根據(jù)S△ABD＝S△ABE+S△BDE即可求解．
【解答】解：（1）如圖所示，過(guò)點(diǎn)E作EM⊥BF于點(diǎn)M，作EN⊥AC于點(diǎn)N，
∵CE是∠ACD的平分線，BE是∠ABC的平分線，
∴EN＝EH，EH＝EN，
∴EM＝EN，
∴AE是∠CAF的角平分線，
∴∠EAM＝∠EAN，
∴，
∵∠FAE＝∠FBE+∠AEB，∠CAF＝∠ABC+∠ACB，
∴，即，
∴．
（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)E作EM⊥BF于點(diǎn)M，作EN⊥AC于點(diǎn)N，
由（1）可知：EM＝EH＝EN，
∵AC＝6，且S△ACE＝12，則，
∴EN＝4，
∴EN＝4，
∴EM＝EH＝4，
∴S△ABD＝S△ABE+S△BDE
＝
＝
＝
＝
＝32．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了角平分線的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握角平分線的性質(zhì)定理：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．
針對(duì)訓(xùn)練1
【變式1-1】如圖，四邊形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，且AE平分∠BAD．
（1）求證：DE平分∠ADC；
（2）求證：AB+CD＝AD．
【分析】（1）過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AD于F，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得BE＝EF，再求出CE＝EF，然后根據(jù)到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上證明．
（2）利用角平分線的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．
【解答】證明：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AD于F，
∵∠B＝90°，AE平分∠DAB，
∴BE＝EF，
∵E是BC的中點(diǎn)，
∴BE＝CE，
∴CE＝EF，
又∵∠C＝90°，EF⊥AD，
∴DE是∠ADC的平分線．
（2）∵AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，EF⊥AD，∠B＝∠C＝90°，
∴AB＝AF，DC＝DF，
∴AB+CD＝AF+FD＝AD．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等和到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，屬于中考常考題型．
【變式1-2】如圖，點(diǎn)P在∠AOB的平分線上，PC⊥OA于點(diǎn)C，∠AOB＝30°，點(diǎn)D在邊OB上，且OD＝DP＝2．求線段CP的長(zhǎng)．
【分析】過(guò)P作PE⊥OB于E，根據(jù)角平分線性質(zhì)求出PC＝PE，求出DP∥OA，根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠PDE＝∠AOB＝30°，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)求出PE即可．
【解答】解：過(guò)P作PE⊥OB于E，
∵點(diǎn)P在∠AOB的平分線上，PC⊥OA，
∴PC＝PE，∠AOP＝∠BOP，
∵OD＝DP，
∴∠BOP＝∠DPO，
∴∠AOP＝∠DPO，
∴PD∥OA，
∴∠PDE＝∠AOB，
∵∠AOB＝30°，
∴∠PDE＝30°，
∵∠PEO＝90°，DP＝2，
∴PE＝DP＝1，
∴PC＝1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，能求出∠PDE＝30°是解此題的關(guān)鍵．
【變式1-3】如圖，四邊形ABCD中，∠B＝90°，AB∥CD，M為BC邊上的一點(diǎn)，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC．求證：
（1）AM⊥DM；
（2）M為BC的中點(diǎn)．
【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠BAD+∠ADC＝180°，根據(jù)角平分線的定義得到∠MAD+∠ADM＝90°，根據(jù)垂直的定義得到答案；
（2）作NM⊥AD，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到BM＝MN，MN＝CM，等量代換得到答案．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC＝180°，
∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，
∴2∠MAD+2∠ADM＝180°，
∴∠MAD+∠ADM＝90°，
∴∠AMD＝90°，
即AM⊥DM；
（2）作NM⊥AD交AD于N，
∵∠B＝90°，AB∥CD，
∴BM⊥AB，CM⊥CD，
∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，
∴BM＝MN，MN＝CM，
∴BM＝CM，
即M為BC的中點(diǎn)．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)和角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．
【能力提升1】角平分線的性質(zhì)
【提升1-1】如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，A（a，0），C（b，2），且滿足（a+2）2＝0，過(guò)C作CB⊥x軸于B．
（1）求三角形ABC的面積；
（2）如圖②，若過(guò)B作BD∥AC交y軸于D，且AE，DE分別平分∠CAB，∠ODB，求∠AED的度數(shù)；
（3）在x軸上是否存在點(diǎn)P，使得三角形ACP和三角形ABC的面積相等？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【分析】（1）先依據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可求得a、b的值，從而可得到點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)，接下來(lái)，再求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，最后，依據(jù)三角形的面積公式求解即可；
（2）過(guò)E作EF∥AC，首先依據(jù)平行線的性質(zhì)可知∠ODB＝∠6，∠CAB＝∠5，接下來(lái)，依據(jù)平行公理的推理可得到BD∥AC∥EF，然后，依據(jù)平行線的性質(zhì)可得到∠1＝∠3，∠2＝∠4，然后，依據(jù)角平分線的性質(zhì)可得到∠3＝∠CAB，∠4＝∠ODB，最后，依據(jù)∠AED＝∠1+∠2＝∠3+∠4求解即可；
（3）分兩種情況，當(dāng)點(diǎn)P在x軸正半軸時(shí)和點(diǎn)P在x軸負(fù)半軸時(shí)，根據(jù)三角形面積相等進(jìn)行計(jì)算即可．
【解答】解：（1）∵，
∴a+2＝0，b﹣2＝0，
∴a＝﹣2，b＝2，
∵CB⊥AB，
∴A（﹣2，0），B（2，0），C（2，2），
∴△ABC的面積為：×2×4＝4．
（2）∵CB∥y軸，BD∥AC，
∴∠CAB＝∠5，∠ODB＝∠6，∠CAB+∠ODB＝∠5+∠6＝90°，
過(guò)E作EF∥AC，如圖所示：
∵BD∥AC，
∴BD∥AC∥EF，
∵AE、DE分別平分∠CAB、∠ODB，
∴∠3＝∠CAB＝∠1，∠4＝∠ODB＝∠2，
∴∠AED＝∠1+∠2＝（∠CAB+∠ODB）＝45°．
（3）當(dāng)點(diǎn)P在x軸正半軸時(shí)，
由題意可得點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，三角形ACP和三角形ABC的面積相等，
則P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）；
當(dāng)點(diǎn)P在x軸負(fù)半軸時(shí)，
由題意可得，以BC為三角形ACP的高，當(dāng)AP＝AB時(shí)三角形ACP以AP為底，BC為高，
則此時(shí)三角形ACP和三角形ABC的面積相等，
∵AB＝2﹣（﹣2）＝4，
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為﹣2﹣4＝﹣6，
∴點(diǎn)P為（﹣6，0），
綜上所述，在x軸上存在點(diǎn)P，使得三角形ACP和三角形ABC的面積相等，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣6，0）或（2，0）．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是三角形的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、三角形的面積公式，平行線的性質(zhì)，依據(jù)三角形的面積公式進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．
【提升1-2】如圖，在∠AOB的兩邊OA、OB上分別取點(diǎn)M、N，連接MN．若MP平分∠AMN，NP平分∠MNB．
（1）求證：OP平分∠AOB；
（2）若MN＝8，且△PMN與△OMN的面積分別是16和24，求線段OM與ON的長(zhǎng)度之和．
【分析】（1）過(guò)點(diǎn)P作PC⊥OA，垂足為C，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥MN，垂足為D，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥OB，垂足為E，先利用角平分線的性質(zhì)定理可得PC＝PD＝PE，再利用角平分線性質(zhì)定理的逆定理，即可解答；
（2）根據(jù)△PMN的面積是16，可求出PD＝4，從而可得PD＝PC＝PE＝4，然后再利用四邊形MONP的面積＝△PMN的面積+△OMN的面積＝△POM的面積+△PON的面積，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解答】（1）證明：過(guò)點(diǎn)P作PC⊥OA，垂足為C，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥MN，垂足為D，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥OB，垂足為E，
∵M(jìn)P平分∠AMN，PC⊥OA，PD⊥MN，
∴PC＝PD，
∵NP平分∠MNB，PD⊥MN，PE⊥OB，
∴PD＝PE，
∴PC＝PE，
∴OP平分∠AOB；
（2）∵△PMN的面積是16，MN＝8，
∴MN?PD＝16，
∴×8?PD＝16，
∴PD＝4，
∴PD＝PC＝PE＝4，
∵△OMN的面積是24，
∴四邊形MONP的面積＝△PMN的面積+△OMN的面積＝16+24＝40，
∴△POM的面積+△PON的面積＝40，
∴OM?PC+ON?PE＝40，
∴OM?4+ON?4＝40，
∴OM+ON＝20，
∴線段OM與ON的長(zhǎng)度之和為20．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
【提升1-3】在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，M為直線AC上一動(dòng)點(diǎn)，ME⊥BC，E為垂足，∠AME的平分線交直線AB于點(diǎn)F．
（1）如圖1，點(diǎn)M為邊AC上一點(diǎn)，則BD、MF的位置關(guān)系是平行，并證明；
（2）如圖2，點(diǎn)M為邊CA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，則BD、MF的位置關(guān)系是垂直，并證明；
（3）如圖3，點(diǎn)M為邊AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，補(bǔ)全圖形，并直接寫出BD、MF的位置關(guān)系是垂直．
【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)及平行線的判定；
（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理及垂直的判定；
（3）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理及垂直的判定．
【解答】
解：BD∥MF，理由如下：
（1）過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BC，
∵∠A＝∠BHD＝90°，∠ABD＝∠CBD，BD＝BD，
∴△ABD≌△HBD（AAS），
∴∠ADB＝∠HDB，
∵M(jìn)E⊥BC，
∴∠EMC＝∠HDC，
∴∠AMF＝∠ADH，
∴∠AMF＝∠ADB，
∴FM∥BD；
（2）BD⊥MF，理由如下：
延長(zhǎng)MF交BD于點(diǎn)H，
∵∠BAM＝∠BEM＝90°，∠AOM＝∠BOE，
∴∠ABC＝∠CME，
∴∠AMF＝∠ABD．
∵∠AFM＝∠BFM，
∴∠BHM＝∠MAB＝90°，
∴MF⊥BD．
（3）如圖：MF⊥BD．
證明方法同理（2）.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理、三角形的內(nèi)角和、平行線的判定及垂直的判定，是一道綜合題．
【聚焦考點(diǎn)2】
尺規(guī)作圖
1．尺規(guī)作圖的定義:在幾何里，把限定用沒(méi)有刻度的直尺和圓規(guī)來(lái)畫圖稱為尺規(guī)作圖．
2．五種基本作圖
1）作一條線段等于已知線段；2）作一個(gè)角等于已知角；3）作一個(gè)角的平分線；4）作一條線段的垂直平分線；5）過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線．
3．根據(jù)基本作圖作三角形
1）已知三角形的三邊，求作三角形；2）已知三角形的兩邊及其夾角，求作三角形；
3）已知三角形的兩角及其夾邊，求作三角形；4）已知三角形的兩角及其中一角的對(duì)邊，求作三角形；
5）已知直角三角形一直角邊和斜邊，求作直角三角形
4.作圖題的一般步驟
（1）已知；（2）求作；（3）分析；（4）作法；（5）證明；（6）討論．
其中步驟（3）（4）（5）（6）一般不作要求，但作圖中一定要保留作圖痕跡.
二、尺規(guī)作圖的方法
尺規(guī)作圖的關(guān)鍵
1）先分析題目，讀懂題意，判斷題目要求作什么；2）讀懂題意后，再運(yùn)用幾種基本作圖方法解決問(wèn)題．
【典例剖析2】
【典例2-1】如圖，是尺規(guī)作圖中“畫一個(gè)角等于已知角”的示意圖，該作法運(yùn)用了“全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等”這一性質(zhì)，則判定圖中兩三角形全等的條件是
A．B．C．D．
【分析】如圖，由作圖可知，，．根據(jù)證明．
【解答】解：如圖，由作圖可知，，．
在和中，
，
，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】尺規(guī)作圖的依據(jù)是邊邊邊公理。
【典例2-2】如圖，中，，，要求用圓規(guī)和直尺作圖，把它分成兩個(gè)三角形，其中一個(gè)三角形是等腰三角形．其作法錯(cuò)誤的是
A．B．
C．D．
【分析】．由作法知，可判斷；．由作法知所作圖形是線段的垂直平分線，可判斷；由作法知，所作圖形是線段的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，可判斷；．由作法知是的平分線，根據(jù)角平分線的定義和等腰三角形的判定得到，可判斷．
【解答】解：．由作法知，
是等腰三角形，故選項(xiàng)不符合題意；
．由作法知所作圖形是線段的垂直平分線，
不能推出和是等腰三角形，故選項(xiàng)符合題意；
由作法知，所作圖形是線段的垂直平分線，
，
是等腰三角形，故選項(xiàng)不符合題意；
．，，
，
由作法知是的平分線，
，
，
是等腰三角形，故選項(xiàng)不符合題意；
故選．
【點(diǎn)評(píng)】熟練掌握基本作圖是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。
針對(duì)訓(xùn)練2
【變式2-1】觀察下列尺規(guī)作圖的痕跡：
其中，能夠說(shuō)明的是（）
A．①②B．②③C．①③D．③④
【答案】C
【分析】
根據(jù)中垂線、角平分線、畫等長(zhǎng)線段以及作角平分線等知識(shí)點(diǎn)解答即可．
【詳解】
解：如圖①為作BC的中垂線，即BD=DC, 由在△ABC中,AD+DC＞AC,即AD+DB＞AC，可判；
如圖②為作∠ABC的角平分線，無(wú)法判定;
如圖③為以AC為半徑畫弧交AB于D，即;
如圖③為作∠ACB的平分線，無(wú)法判定;
綜上，①③正確．
故選C．
【點(diǎn)評(píng)】熟練掌握基本作圖是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。
【變式2-2】如圖，在中，，利用尺規(guī)在，上分別截取，，使；分別以D，E為圓心、以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點(diǎn)F；作射線交于點(diǎn)H．若，P為上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（）
A．B．2C．1D．無(wú)法確定
【答案】B
【分析】
根據(jù)作圖過(guò)程可得BH平分∠ABC，當(dāng)HP⊥BC時(shí)，HP最小，根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得HP的最小值．
【詳解】
解：根據(jù)作圖過(guò)程可知：BH平分∠ABC，
當(dāng)HP⊥BC時(shí)，HP最小，
∴HP＝HA＝2．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】熟練掌握基本作圖是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。
【能力提升2】
【提升2-1】如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E．
（1）用尺規(guī)完成以下基本作圖：過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F，連接EF交AD于點(diǎn)G．（不寫作法，保留作圖痕跡）
（2）在（1）中所作的圖形中，求證：AD⊥EF．
【解答】（1）解：如圖，
（2）證明：∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE＝AF，
而DE＝DF，
∴AD垂直平分EF，
即AD⊥EF．
【點(diǎn)評(píng)】熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵。
【提升2-2】如圖，∠ACB=90°，AC=BC，AB為水平邊，D為AB邊上一點(diǎn)．
（1）只用圓規(guī)在B的正上方作一點(diǎn)E，使BE=AD（說(shuō)明作法，不需要證明）；
（2）在（1）的條件下，連接DE，若AC=，AD=3，求DE的長(zhǎng)度．
【答案】（1）作圖見解析；（2）
【分析】
（1）以CB為邊在CB右側(cè)作，即可得到答案；
（2）利用（1）的全等，證明，即可得解；
【詳解】
（1）以C為圓心，CD長(zhǎng)為半徑作圓，再以B為圓心，AD長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧的交點(diǎn)即為所求；
（2）如圖，
∵，，，
∴，，
∵，
∴，
結(jié)合（1）得：，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用基本作圖作一個(gè)三角形與已知三角形全等，勾股定理求線段長(zhǎng)度。熟練掌握基本作圖是解題關(guān)鍵。
【聚焦考點(diǎn)3】
角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等；
數(shù)學(xué)語(yǔ)言：
∵∠MOP=∠NOP，PA⊥OM PB⊥ON
∴PA=PB
判定定理：到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上．
數(shù)學(xué)語(yǔ)言：
∵PA⊥OM PB⊥ON PA=PB
∴∠MOP=∠NOP
三角形的內(nèi)心
三角形三條角平分線的交點(diǎn)。
【典例剖析3】
【典例3-1】如圖，在∠AOB的兩邊OA、OB上分別取點(diǎn)M、N，連接MN．若MP平分∠AMN，NP平分∠MNB．
(1)求證：OP平分∠AOB；
(2)若MN=8，且△PMN與△OMN的面積分別是16和24，求線段OM與ON的長(zhǎng)度之和．
【答案】(1)證明過(guò)程見詳解
(2)OM+ON=20
【分析】（1）根據(jù)到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角平分線上，即可求證；
（2）通過(guò)△PMN的面積等于16可求出（1）中PC，PD，PE的長(zhǎng)度，根據(jù)△PMN與△OMN的面積和等于四邊形MONP的面積，即可將線段OM與ON建立聯(lián)系，由△PMN與△OMN的面積關(guān)系即可求出答案．
【詳解】（1）證明：如圖所示，過(guò)P作PC⊥MN，PD⊥OA，PE⊥OB，
∵M(jìn)P平分∠AMN，NP平分∠MNB，
∴PD=PE，PC=PE，
∴PD=PE，
∵PD⊥AO，PE⊥BO，
∴OP平分∠AOB．
（2）解：如圖所示，過(guò)P作PC⊥MN，PD⊥OA，PE⊥OB，連接OP，
∵M(jìn)N=8，S△PMN=12MN·PC=16，
∴PC=4，由（1）可知PD=PE=PC=4，
∵S△PMN=16，S△OMN=24，
∴S四邊形MONP=40，即S四邊形MONP=S△OPM+S△ONP=12OM·PD+12ON·PE，
∴40=12×4·OM+12×4·ON=2OM+2ON，
∴OM+ON=20．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查角平分線的性質(zhì)與面積的綜合應(yīng)用，理解角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，三角形的面積與線段的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
【典例3-2】在△ABC和△DEC中，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=90°．
(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)A，C，D在同一條直線上時(shí)，求證：AE=BD，AE⊥BD；
(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)A、C、D不在同一條直線上時(shí)，（1）中結(jié)論是否仍然成立，為什么；
(3)如圖3，在（2）的條件下，連接CF并延長(zhǎng)CF交AD于點(diǎn)G，∠AFG的大小固定嗎？若是，求出∠AFG的度數(shù)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)見解析
(2)成立，理由見解析
(3)是，∠AFG=45°
【分析】（1）證明△ACE≌△BCD，得到∠1=∠2，由對(duì)頂角相等得到∠3=∠4，所以∠BFE=∠ACE=90°，即可解答；
（2）證明△ACE≌△BCD，得到∠1=∠2，又由∠3=∠4，得到∠BFA=∠BCA=90°，即可解答；
（3）∠AFG=45°，如圖3，過(guò)點(diǎn)C作CM⊥BD，CN⊥AE，垂足分別為M、N，由△ACE≌△BCD，得到S△ACE=S△BCD，AE=BD，證明得到CM=CN，得到CF平分∠BFE，由AF⊥BD，得到∠BFE=90°，所以∠EFC=45°，根據(jù)對(duì)頂角相等得到∠AFG=45°．
【詳解】（1）解：證明：如圖1，
在△ACE和△BCD中，
∵ AC=BC∠ACB=∠ECD=90°EC=DC，
∴△ACE≌△BCDSAS，
∴∠1=∠2，AE=BD，
∵∠3=∠4，
∴∠BFE=∠ACE=90°，
∴AE⊥BD；
（2）成立，證明：如圖2，
∵∠ACB=∠ECD，
∴∠ACB+∠ACD=∠ECD+∠ACD，
∴∠BCD=∠ACE，
在△ACE和△BCD中，
AC=BC∠ACE=∠BCDEC=DC，
∴△ACE≌△BCD，
∴∠1=∠2，AE=BD，
∵∠3=∠4，
∴∠BFA=∠BCA=90°，
∴AF⊥BD．
（3）∠AFG=45°，
如圖3，過(guò)點(diǎn)C作CM⊥BD，CN⊥AE，垂足分別為M、N，
∵△ACE≌△BCD，
∴S△ACE=S△BCD，AE=BD，
∵S△ACE=12AE?CN，
S△BCD=12BD?CM，
∴CM=CN，
∵CM⊥BD，CN⊥AE，
∴CF平分∠BFE，
∵AF⊥BD，
∴∠BFE=90°，
∴∠EFC=45°，
∴∠AFG=45°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定定理與性質(zhì)定理，角平分線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是證明△ACE≌△BCD，得到三角形的面積相等，對(duì)應(yīng)邊相等．
針對(duì)訓(xùn)練3
【變式3-1】如圖，△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB，垂足為F，且∠AEF＝50°，連接DE．
（1）求∠CAD的度數(shù)；
（2）求證：DE平分∠ADC；
（3）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面積．
【分析】（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠FAE，根據(jù)補(bǔ)角的定義計(jì)算，得到答案；
（2）過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到EF＝EG，EF＝EH，等量代換得到EG＝EH，根據(jù)角平分線的判定定理證明結(jié)論；
（3）根據(jù)三角形的面積公式求出EG，再根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算，得到答案．
【解答】（1）解：∵EF⊥AB，∠AEF＝50°，
∴∠FAE＝90°﹣50°＝40°，
∵∠BAD＝100°，
∴∠CAD＝180°﹣100°﹣40°＝40°；
（2）證明：過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，
∵∠FAE＝∠DAE＝40°，EF⊥BF，EG⊥AD，
∴EF＝EG，
∵BE平分∠ABC，EF⊥BF，EH⊥BC，
∴EF＝EH，
∴EG＝EH，
∵EG⊥AD，EH⊥BC，
∴DE平分∠ADC；
（3）解：∵S△ACD＝15，
∴×AD×EG+×CD×EH＝15，即×4×EG+×8×EG＝15，
解得，EG＝EH＝，
∴EF＝EH＝，
∴△ABE的面積＝×AB×EF＝×7×＝．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是角平分線的性質(zhì)、三角形的面積計(jì)算，掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．
【變式3-2】如圖，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC，DE⊥AB（E在AB之間），DF⊥BC，已知BD＝5，DE＝3，CF＝4，試求△DFC的周長(zhǎng)．
【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)可證∠ABD＝∠CBD，即可求得∠CBD＝∠C，即BD＝CD，再根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離相等即可求得DE＝DF，即可解題．
【解答】解：∵∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠C，
∴BD＝CD，
∵BD平分∠ABC，
∴DE＝DF，
∴△DFC的周長(zhǎng)＝DF+CD+CF＝DE+BD+CF＝3+5+4＝12．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線上點(diǎn)到角兩邊距離相等的性質(zhì)，考查了角平分線平分角的性質(zhì)，考查了三角形周長(zhǎng)的計(jì)算，本題中求證DE＝DF是解題的關(guān)鍵．
【能力提升3】
【提升3-1】如圖所示，BD平分∠ABC，CD平分∠ECA，∠BDC＝40°．
（1）求證：點(diǎn)D也在∠CAF的角平分線上；
（2）求∠CAD的度數(shù)．
【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)，由點(diǎn)D分別向BE，BF，AC作垂線DG，DM，DN，利用角平分線的性質(zhì)得DG＝DM＝DN，由角平分線的判定定理得AD平分∠FAC．
（2）根據(jù)三角形外角性質(zhì)，即可得到∠BAC的度數(shù)，再根據(jù)AD平分∠FAC，即可得到∠CAD的度數(shù)．
【解答】解：（1）如圖所示，過(guò)D作DG⊥BE于G，DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ECA，
∴DM＝DG，DN＝DG，
∴DM＝DN，
又∵DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，
∴點(diǎn)D在∠CAF的角平分線上；
（2）∵∠DCE是△BCD的外角，∠ACE是△ABC的外角，
∴∠BDC＝∠DCE﹣∠DBC，∠BAC＝∠ACE﹣∠ABC，
又∵BD平分∠ABC，CD平分∠ECA，
∴∠DCE＝∠ACE，∠DBC＝∠ABC，
∴∠BDC＝∠ACE﹣∠ABC＝（∠ACE﹣∠ABC）＝∠BAC，
∴∠BAC＝2∠BDC＝80°，
∴∠CAF＝100°，
又∵AD平分∠FAC，
∴∠CAD＝∠CAF＝50°．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了角平分線的判定和性質(zhì)，作出適當(dāng)?shù)妮o助線是解答此題的關(guān)鍵．
【提升3-2】如圖，△ABC的角平分線AD、BE相交于點(diǎn)P，
（1）在圖1中，分別畫出點(diǎn)P到邊AC、BC、BA的垂線段PF、PG、PH，這3條線段相等嗎？為什么？
（2）在圖2中，∠ABC是直角，∠C＝60°，其余條件都不變，請(qǐng)你判斷并寫出PE與PD之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
【分析】（1）PF、PG與PH，3條線段相等，理由為：因?yàn)锳D為∠BAC的平分線，PF垂直于AC，PH垂直于AB，根據(jù)角平分線定理得到PF＝PH，同理BE為∠ABC的平分線，PG垂直于BC，PH垂直于AB，得到PG＝PH，等量代換即可得證；
（2）PE＝PD，理由為：過(guò)P作PF垂直于AC，PG垂直于BC，由∠PDG為△ADC的一個(gè)外角，根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩內(nèi)角之和，得到∠PDG＝∠C+∠CAD，又∠CAB＝30°，AD為∠CAB的平分線得到∠CAD＝∠CAB，求出∠PDG的度數(shù)，同理∠PEF是△ABE的一個(gè)外角，即可求出∠PEF的度數(shù)，發(fā)現(xiàn)兩角相等，再由垂直得到一對(duì)直角相等，由第一問(wèn)得到PF＝PG，根據(jù)“AAS”即可得到三角形PEF與三角形PDG全等，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可得證．
【解答】解：（1）PF＝PH＝PG，理由如下：
∵AD平分∠BAC，PF⊥AC，PH⊥AB，
∴PF＝PH，
∵BE平分∠ABC，PG⊥BC，PH⊥AB，
∴PG＝PH，
∴PF＝PH＝PG；
（2）PE＝PD．
證明：∵∠ABC＝90°，∠C＝60°，
∴∠CAB＝30°，
∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴∠CAD＝∠BAD＝∠CAB＝15°，∠ABE＝∠CBE＝∠ABC＝45°，
過(guò)點(diǎn)P作PF⊥AC，PG⊥BC，垂足分別為F、G，
則∠PFE＝∠PGD＝90°，
∵∠PDG為△ADC的一個(gè)外角，
∴∠PDG＝∠C+∠CAD＝60°+∠CAB＝60°+15°＝75°，
∵∠PEF是△ABE的一個(gè)外角，
∴∠PEF＝∠CAB+∠ABE＝30°+∠CBA＝30°+45°＝75°，
∴∠PEF＝∠PDG，
∵PF⊥AC，PG⊥BC，
∴∠PFE＝∠PGD＝90°，
由第一問(wèn)得：PF＝PG，
∴△PFE≌△PGD，
∴PE＝PD．
【點(diǎn)評(píng)】此題綜合考查了角平分線定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及三角形的外角性質(zhì)．遇到角平分線常常經(jīng)過(guò)角平分線上的點(diǎn)作角兩邊的垂線，得到兩垂線段的長(zhǎng)相等，此道題的兩問(wèn)都是先實(shí)驗(yàn)猜想，再探索證明，其目的是考查學(xué)生提出問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力，這類題是近幾年中考試題的熱點(diǎn)試題．

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