專題13 等邊三角形（含答案）【暑假預(yù)習(xí)課堂】新八年級數(shù)學(xué)同步精講精練（人教版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

目錄
【考點一等邊三角形性質(zhì)】
【考點二等邊三角形判定】
【考點三等邊三角形判定性質(zhì)綜合應(yīng)用】
【聚焦考點1】
等邊三角形的性質(zhì)
（1）等邊三角形的定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，等邊三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作為判定一個三角形是否為等邊三角形的方法；
②可以得到它與等腰三角形的關(guān)系：等邊三角形是等腰三角形的特殊情況．在等邊三角形中，腰和底、頂角和底角是相對而言的．
（2）等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，且都等于60°．
等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸；它的任意一角的平分線都垂直平分對邊，三邊的垂直平分線是對稱軸．
【典例剖析1】
【典例1-1】如圖，在等邊三角形ABC中，AD⊥BC，垂足為D，點E在線段AD上，若∠BEC＝90°，則∠ACE的度數(shù)（）
A．60°B．45°C．30°D．15°
【答案】D
【解析】【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，
∴AD是線段BC的垂直平分線，∠ACB=60°，
∴BE=CE，
∴∠EBC=∠ECB，
∵∠BEC=90°，
∴∠EBC=∠ECB=45°，
∴∠ACE=∠ACB-∠ECB=15°，
故答案為：D.
【點評】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)得出BE=CE，∠ACB=60°，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠EBC=∠ECB=45°，利用∠ACE=∠ACB-∠ECB即可得出答案.
【典例1-2】如圖，在等邊三角形中，是邊上的高，延長至點，使，則的長為．
【解答】解：是等邊三角形，
，
是的平分線，
為的中點，
，
，
，
．
故答案為：3
【典例1-3】如圖：△ABC和△ADE是等邊三角形．證明：BD＝CE．
【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得到兩組邊對應(yīng)相等，一組角相等，從而利用SAS判定兩三角形全等，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等即可得到BD＝CE．
【解答】證明：∵△ABC和△ADE是等邊三角形（已知），
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°（等邊三角形的性質(zhì)）．
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC（等式的性質(zhì)），即∠BAD＝∠CAE．
在△BAD與△CAE中，
∵AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS）．
∴BD＝CE（全等三角形的對應(yīng)邊相等）．
【點評】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)；證明線段相等常常通過三角形全等進行解決，全等的證明是正確解答本題的關(guān)鍵．
針對訓(xùn)練1
【變式1-1】如圖，點在等邊的邊的延長線上，點在線段上，連接，，若，且，那么的度數(shù)為
A．B．C．D．
【解答】解：為等邊三角形，
，
，
，
，
，
，
．
故選：．
【變式1-2】如圖，是等邊三角形，點在的延長線上，點是的中點，連接并延長交于點，且，若，則的長為
A．3B．4C．5D．6
【解答】解：是等邊三角形，點是的中點，
，，
，
，
，
在中，，，
在中，，，
故選：．
【變式1-3】如圖，△ABC中，∠A＜60°，AB＝AC，D是△ABC外一點，∠ACD＝∠ABD＝60°，用等式表示線段BD、CD、AC的數(shù)量關(guān)系，并證明．
【分析】延長BD至E，使BE＝AB，連接AE、CE，可得△ABE是等邊三角形，即可求得AC＝AE，可得∠ACE＝∠AEC，即可求得∠DCE＝∠DEC，可得DE＝CD，即可解題．
【解答】解：AC＝BD+CD，理由如下：延長BD至E，使BE＝AB，連接AE、CE，
∵∠ABD＝60°，
∴△ABE是等邊三角形，
∴AE＝AB，∠AEB＝60°，
∵AB＝AC，
∴AC＝AE，
∴∠ACE＝∠AEC，
∵∠ACD＝60°，
∴∠ACE﹣∠ACD＝∠AEC﹣∠AEB，
即∠DCE＝∠DEC，
∴DE＝CD，
∴BE＝BD+DE＝BD+CD，
∴AC＝BE＝BD+CD．
【能力提升1】
【提升1-1】如圖，是等邊三角形，兩個銳角都是的三角尺的一條直角邊在上，則的度數(shù)為（）
B．C．D．
【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論．
解：∠1=∠3=180°-∠2-∠B=180°-45°-60°=75°，
故選：D．
【提升1-2】如圖，等邊中，，點是邊上一點，則的最小值是
A．3B．4C．5D．
【解答】解：過點作于，如圖，
為等邊三角形，
，
，
當(dāng)點與點重合時，的值最小，
的最小值是．
故選：．
【提升1-3】如圖．已知等邊三角形ABC中，D是AC的中點，E是BC延長線上一點，且CD＝CE，M是BE的中點．
（1）求∠E的度數(shù)；
（2）求證：DM⊥BC．
【分析】（1）由等邊△ABC的性質(zhì)可得：∠ACB＝∠ABC＝60°，然后根據(jù)等邊對等角可得：∠E＝∠CDE，最后根據(jù)外角的性質(zhì)可求∠E的度數(shù)；
（2）先連接BD，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，得出∠DBC＝∠ABC＝30°，再根據(jù)CD＝CE，得出∠E＝∠EDC＝∠ACB＝30°，最后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出結(jié)論即可．
【解答】（1）解：∵三角形ABC是等邊△ABC，
∴∠ACB＝∠ABC＝60°，
又∵CE＝CD，
∴∠E＝∠CDE，
又∵∠ACB＝∠E+∠CDE，
∴∠E＝∠ACB＝30°；
（2）證明：如圖，連接BD，
∵正△ABC中，D是AC中點，
∴BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠ABC＝30°，
∵CD＝CE，
∴∠E＝∠EDC＝∠ACB＝30°，
∵∠E＝∠DBC，
∴BD＝DE，
∵M是BE中點，
∴DM⊥BE．
【聚焦考點2】
等邊三角形的判定
（1）由定義判定：三條邊都相等的三角形是等邊三角形．
（2）判定定理1：三個角都相等的三角形是等邊三角形．
（3）判定定理2：有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形．
說明：在證明一個三角形是等邊三角形時，若已知或能求得三邊相等則用定義來判定；若已知或能求得三個角相等則用判定定理1來證明；若已知等腰三角形且有一個角為60°，則用判定定理2來證明．
【典例剖析2】
【典例2-1】下列對三角形的判斷，錯誤的是
A．若，則是直角三角形
B．若，，則是等邊三角形
C．若，，則是等腰三角形
D．若，，則
【解答】解：．若，，，，所以是直角三角形，正確，故選項不符合題意；
．若，，所以，，所以是等邊三角形，正確，故選項不符合題意；
．若，，所以，，所以是等腰三角形，正確，故選項不符合題意；
．若，，所以，那么，故選項錯誤，符合題意．
故選：．
【典例2-2】如圖，D、E、F分別是等邊△ABC各邊上的點，且AD=BE=CF，則△DEF的形狀是（）．
A．等邊三角形B．腰和底邊不相等的等腰三角形
C．直角三角形D．不等邊三角形
【分析】根據(jù)等邊△ABC中AD=BE=CF，證得△ADF≌△BED≌△CFE即可得出：△DEF是等邊三角形．
解：∵△ABC為等邊三角形，且AD=BE=CF，∴AE=BF=CD，
又∵∠A=∠B=∠C=60°，∴△ADE≌△BEF≌△CFD（SAS），
∴DF=ED=EF，∴△DEF是等邊三角形，故選A.
【典例2-3】小明在學(xué)習(xí)完“等腰三角形底邊上的高線、中線及頂角平分線重合”，繼續(xù)探索，他猜想“如果三角形的一條角平分線是這個角對邊上的中線，那么這個三角形是等腰三角形”并進行了證明．
（1）請根據(jù)以上命題和圖形寫出已知和求證：
已知：如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，D為BC中點，
求證： △ABC是等腰三角形．
（2）請證明以上命題．
【分析】（1）根據(jù)命題和圖形寫出已知和求證即可；
（2）
【解答】（1）解：已知：如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，D為BC中點．
求證：△ABC是等腰三角形；
故答案為：如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，D為BC中點，△ABC是等腰三角形；
（2）證明：過點D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠DEB＝∠DFC＝90°，
∵D是BC中點，
∴BD＝CD，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴∠B＝∠C，
∴△ABC是等腰三角形．
針對訓(xùn)練2
【變式2-1】下列推理中，不能判斷是等邊三角形的是
A．B．，
C．，D．，且
【解答】解：、由“三個角都相等的三角形是等邊三角形”可以判斷是等邊三角形，故本選項不符合題意．
、由“有一個角是的等腰三角形是等邊三角形”可以判斷是等邊三角形，故本選項不符合題意．
、由“，”可以得到“”，則由“三個角都相等的三角形是等邊三角形”可以判斷是等邊三角形，故本選項不符合題意．
、由“，且”只能判定是等腰三角形，故本選項符合題意．
故選：．
【變式2-2】如圖，在△ABC中，∠B＝60°，延長BC到D，延長BA到E，使AE＝BD，連接CE、DE，使EC＝DE，求證：△ABC是等邊三角形．
【分析】首先延長BD至F，使DF＝BC，連接EF，求出△ECB≌△EDF，得出△BEF為等邊三角形，從而得出BE＝BF，結(jié)合AE＝BD推出AB＝BC，進一步得出結(jié)論即可．
【解答】證明：延長BD至F，使DF＝BC，連接EF，
∵EC＝ED，
∴∠ECD＝∠EDC，
∴∠ECB＝∠EDF，
∴△ECB≌△EDF（SAS），
∴BE＝EF，∠B＝60°，
∴△BEF為等邊三角形，
∴BE＝BF，
∵AE＝BD，
∴DF＝AB，BC＝DF，
∴AB＝BC，
∴△ABC是等邊三角形．
【點評】此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定以及全等三角形的判定等知識，作出輔助線是解決問題的關(guān)鍵．
【變式2-3】如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為AB邊的中點，DE⊥AC于點E，DF⊥BC于點F，DE＝DF．求證：△ABC是等邊三角形．
【分析】先利用“HL”證明Rt△ADE≌Rt△BDF，再利用全等三角形的性質(zhì)可得∠A=∠B，再利用等角對等邊的性質(zhì)可得CA=CB，再結(jié)合AB=AC，可得AB=BC=AC，即可證明△ABC是等邊三角形
【解析】證明：∵D為AB的中點，
∴AD=BD．
∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠AED=∠BFD=90°．
在Rt△ADE和Rt△BDF中，
AD=BDDE=DF，
∴Rt△ADE≌Rt△BDF(HL)，
∴∠A=∠B，
∴CA=CB，
∵AB=AC，
∴ΔABC是等邊三角形．∴AB=BC=AC
【能力提升2】
【提升2-1】如圖，在中，是邊上的高，平分交邊于，兩線相交于點．
（1）若，，求的大??；
（2）若是的中點，，求證：是等邊三角形．
【解答】（1）解：，，
，
平分，
，
，
，
．
（2）證明：，平分，
，
，，
，
是等邊三角形．
【提升2-2】．如圖，已知和均為等邊三角形，且點、、在同一條直線上，連接、，交和分別于、點，連接．
（1）請說出的理由；
（2）試說出的理由；
（3）試猜想：是什么特殊的三角形，并加以說明．
【解答】解：（1）和均為等邊三角形
，
；
（2）
，點、、在同一條直線上
又
；
（3）是等邊三角形，理由如下：
（全等三角形的對應(yīng)邊相等）
又
是等邊三角形（有一內(nèi)角為60度的等腰三角形為等邊三角形）；
【提升2-2】如圖，△ABC ≌ △ADE，∠BAD ＝ 60°．求證：△ACE是等邊三角形．
【答案】解：∵ △ABC≌△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，AC＝AE．
∴∠BAD＋∠DAC＝∠CAE＋∠DAC．即 ∠BAD＝∠CAE．
∵∠BAD＝60°，
∴∠CAE＝60°．
又∵ AC＝AE，
∴△ACE是等邊三角形
【點評】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠BAC＝∠DAE，AC＝AE，進而可得∠BAD＝∠CAE，然后根據(jù)有一個角為60°的等腰三角形即可判斷△ACE是等邊三角形.
【聚焦考點3】
等邊三角形的判定與性質(zhì)
等邊三角形是一個非常特殊的幾何圖形，它的角的特殊性給有關(guān)角的計算奠定了基礎(chǔ)，它的邊角性質(zhì)為證明線段、角相等提供了便利條件．同是等邊三角形又是特殊的等腰三角形，同樣具備三線合一的性質(zhì)，解題時要善于挖掘圖形中的隱含條件廣泛應(yīng)用．
【典例剖析3】
【典例3-1】如圖所示，在等邊△ABC中，AB＝9cm，點P從點C出發(fā)沿CB邊向點B以2cm/s的速度移動，點Q從點B出發(fā)沿BA邊向點A以5cm/s的速度移動．P，Q兩點同時出發(fā)，它們移動的時間為1s．
（1）你能用含的式子表示BP和BQ的長度嗎？請你表示出來．
（2）請問幾秒后，△PBQ第一次為等邊三角形？
（3）若P，Q兩點分別從C，B兩點同時出發(fā)，并且按順時針方向沿△ABC三邊運動，請問經(jīng)過幾秒后點P與點Q第一次在△ABC的哪條邊上相遇？
【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)可求得BC的長，用t可表示出BP和BQ的長；
（2）由等邊三角形的性質(zhì)可知BQ＝BP，可得到關(guān)于t的方程，可求得t的值；
（3）設(shè)經(jīng)過t秒后第一次相遇，由條件可得到關(guān)于t的方程，可求得t的值，可求得點P走過的路程，可確定出P點的位置．
【解答】解：（1）∵△ABC為等邊三角形，
∴BC＝AB＝9cm，
∵點P的運動速度為2cm/s，運動時間為ts，
∴BP＝BC﹣CP＝（9﹣2t）cm，
∵點Q的運動速度為5cm/s，運動時間為ts，
∴BQ＝5t（cm）；
（2）若△PBQ為等邊三角形，
則有BQ＝BP，即9﹣2t＝5t，解得t＝，
∴s時，△PBQ第一次為等邊三角形；
（3）設(shè)ts時，Q與P第一次相遇，
根據(jù)題意得5t﹣2t＝18，解得t＝6，
即6s時，兩點第一次相遇．
當(dāng)t＝6s時，P走過的路程為2×6＝12cm，
而9＜12＜18，即此時P在AB邊上，
∴經(jīng)過6秒后點P與點Q在AB上第一次相遇．
【典例3-2】在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，垂足為G，且AD＝AB．∠EDF＝60°，其兩邊分別交邊AB，AC于點E，F(xiàn)．
（1）求證：△ABD是等邊三角形；
（2）求證：BE＝AF．
【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)和已知條件得出∠BAD＝∠DAC=12×120°＝60°，再由AD＝AB，即可得出結(jié)論；
（2）由△ABD是等邊三角形，得出BD＝AD，∠ABD＝∠ADB＝60°，證出∠BDE＝∠ADF，由ASA證明△BDE≌△ADF，得出BE＝AF．
【解答】（1）證明：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠DAC=12∠BAC，
∵∠BAC＝120°，
∴∠BAD＝∠DAC=12×120°＝60°，
∵AD＝AB，
∴△ABD是等邊三角形；
（2）證明：∵△ABD是等邊三角形，
∴∠ABD＝∠ADB＝60°，BD＝AD
∵∠EDF＝60°，
∴∠BDE＝∠ADF，
在△BDE與△ADF中，
∠DBE=∠DAF=60°BD=AD∠BDE=∠ADF，
∴△BDE≌△ADF（ASA），
∴BE＝AF．
【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，并能進行推理論證是解決問題的關(guān)鍵．
【典例3-3】小明遇到這樣一個問題：△ABC是等邊三角形，點D在射線BC上，且滿足∠ADE＝60°，DE交等邊△ABC外角平分線CE于點E，試探究AD與DE的數(shù)量關(guān)系．
（1）（初步探究）
小明發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點D為BC的中點時，如圖①，過點D作DF∥AC，交AB于點F，通過構(gòu)造全等三角形，經(jīng)過推理論證，能夠得到線段AD與DE的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出結(jié)論；
（2）（類比探究）
當(dāng)點D是線段BC上（不與點B，C重合）任意一點時，其他條件不變，如圖②，試猜想AD與DE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（3）（拓展應(yīng)用）
當(dāng)點D在BC的延長線上時，滿足CD＝BC，其他條件不變，連接AE，請在圖③中補全圖形，并直接寫出∠AED的大小．
【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得到∠BDF＝∠BFD＝60°，于是得到△BDF是等邊三角形，再證明△AFD≌△DCE即可得到結(jié)論；
（2）由等邊三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得到∠BDF＝∠BFD＝60°，于是得到△BDF是等邊三角形，再證明△AFD≌△DCE即可得到結(jié)論；
（3）由BC＝CD，得到AC＝CD，得到CE垂直平分AD，證出△ADE是等邊三角形．
【解答】解：（1）AD＝DE．理由如下：
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB＝AC，∠B＝∠ACB＝∠BAC＝60°．
又∵DF∥AC，
∴∠BDF＝∠BFD＝60°．
∴△BDF是等邊三角形，∠AFD＝180°﹣∠BFD＝120°．
∴DF＝BD．
∵點D為BC的中點，
∴BD＝CD．
∴DF＝CD．
∵EC是△ABC外角的平分線，
∴∠ACE=12（180°﹣∠ACB）＝60°，
∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝120°＝∠AFD．
∵AB＝AC，點D為BC的中點，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°．
又∵∠BDF＝60°，∠ADE＝60°，
∴∠ADF＝∠EDC＝30°．
在△AFD和△ECD中，
∠AFD=∠ECDFD=CD∠ADF=∠EDC，
∴△AFD≌△DCE（ASA）．
∴AD＝DE．
（2）AD＝DE．
證明如下：如圖2，
過點D作DF∥AC，交AB于點F．
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB＝BC，∠B＝∠BAC＝∠ACB＝60°．
又∵DF∥AC，
∴∠BDF＝∠BFD＝60°．
∴△BDF是等邊三角形，∠AFD＝120°．
∴BF＝BD．
∴AB﹣BF＝BC﹣BD，
即AF＝CD．
∵CE是△ABC外角的平分線，
∴∠ACE=12（180°﹣∠ACB）＝60°，
∴∠DCE＝120°＝∠AFD．
∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝60°+∠BAD．
∵∠ADE＝60°，
∴∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝60°+∠EDC．
∴∠BAD＝∠EDC．
在△AFD和△DCE中，
∠AFD=∠DCEAF=DC∠FAD=∠CDE，
∴△AFD≌△DCE（ASA）．
∴AD＝DE．
（3）如圖3，
∵△ABC是等邊三角形，
∴BC＝AC．
∵BC＝CD，
∴AC＝CD．
∵CE平分∠ACD，
∴CE垂直平分AD．
∴AE＝DE．
∵∠ADE＝60°，
∴△ADE是等邊三角形，
∴∠AED＝60°．
【點評】本題是三角形綜合題，主要考查了平行線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的判定與性質(zhì)，中垂線的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
針對訓(xùn)練3
【變式3-1】如圖，、、三點在同一直線上，分別以、為邊，在直線的同側(cè)作等邊和等邊，連接交于點，連接交于點，連接得．
（1）求證：．
（2）試判斷的形狀，并說明理由．
【解答】解：（1）證明：等邊和等邊，
，，，
，
在和中，
，
；
（2）為等邊三角形，理由為：
證明：，
，
又，
，
即，
在和中，
，
，
，，
則為等邊三角形．
【變式3-2】如圖，在△ABC中，∠B＝60°，點M從點B出發(fā)沿線段BC方向，在線段BC上運動．在點M運動的過程中，連結(jié)AM，并以AM為邊在線段BC上方，作等邊△AMN，連結(jié)CN．
（1）當(dāng)∠BAM＝ °時，AB＝2BM；
（2）請?zhí)砑右粋€條件： ▲ ，使得△ABC為等邊三角形；當(dāng)△ABC為等邊三角形時，求證：CN+CM＝AC．
【答案】（1）30
（2）解：AB＝AC；證明：如圖1中，
∵△ABC與△AMN是等邊三角形，
∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，
∴∠BAC﹣∠MAC＝∠MAN﹣∠MAC，
即∠BAM＝∠CAN，
在△BAM與△CAN中，
AB=AC∠BAM=∠CANAM=AN，
∴△BAM≌△CAN（SAS），
∴BM＝CN，
∴AC＝BC＝CN+MC．
【解析】【解答】解：（1）當(dāng)∠BAM＝30°時，
∴∠AMB＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∴AB＝2BM；
故答案為：30；
【點評】（1）根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)解答即可；
（2）利用等邊三角形的判定即可解答；利用等邊三角形的性質(zhì)和可證△BAM≌△CAN（SAS），可得BM＝CN，即AC＝BC＝CN+MC．
【變式3-3】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分線交AC于點D，交AB于點E，BD平分∠ABC．
（1）求∠A、∠ABC的度數(shù)；
（2）連接CE，且CE=12AB，求證：△BCE是等邊三角形．
【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得AD＝BD，根據(jù)等邊對等角可得∠DBA＝∠A，然后利用直角三角形兩銳角互余列式求出∠CBD＝∠DBA＝∠A＝30°；
（2）根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半可得BE＝CE，根據(jù)等邊三角形的判定方法即可得出△BCE是等邊三角形．
【解答】（1）解：∵DE垂直平分AB，
∴AD＝BD，AE＝BE，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵∠ABD+∠CBD+∠A＝90°
∴∠CBD＝∠DBA＝∠A＝30°；
∴∠ABC＝60°．
（2）證明：∵CE是斜邊AB的中線，
∴BE＝CE，
∵∠ABC＝60°，
∴△BCE是等邊三角形．
【點評】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)以及線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質(zhì)，角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，等邊對等角的性質(zhì)，以及三角形的內(nèi)角和定理，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【能力提升3】
【提升3-1】在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，點D在BC邊所在的直線上，點E在射線AC上，且始終保持∠ADE＝∠AED．
（1）如圖1，若∠B＝∠C＝30°，∠BAD＝80°，求∠CDE的度數(shù)；
（2）如圖2，若∠ABC＝∠ACB＝70°，∠CDE＝15°，求∠BAD的度數(shù)；
（3）如圖3，當(dāng)點D在BC邊的延長線上時，猜想∠BAD與∠CDE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【分析】（1）在三角形ABD中，利用三角形內(nèi)角和定理求出∠ADB的度數(shù)，根據(jù)∠BAC﹣∠BAD求出∠DAE度數(shù)，進而求出∠ADE度數(shù)，由∠AED﹣∠C求出∠EDC第三節(jié)課；
（2）由∠ACB為三角形DCE外角，利用外角性質(zhì)求出∠CDE度數(shù)，進而求出∠ADB度數(shù)，再由∠ABC為三角形ABD外角，利用外角性質(zhì)求出∠BAD度數(shù)即可；
（3）當(dāng)點D在線段BC的延長線上時，設(shè)∠ABC＝∠ACB＝x，∠ADE＝∠AED＝y(tǒng)，∠CDE＝α，∠BAD＝β，則有∠ADC＝x﹣α，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理列出關(guān)系式，消去x與y得到α與β關(guān)系式，即可得證．
【解答】解：（1）在△ABD中，∠B＝∠C＝30°，∠BAD＝80°，
∴∠ADB＝180°﹣（∠B+∠BAD）＝180°﹣110°＝70°，∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C）＝180°﹣60°＝120°，
∴∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD＝120°﹣80°＝40°，
∵∠ADE＝∠AED，
∴∠ADE＝×（180°﹣40°）＝70°，
∴∠EDC＝70°﹣30°＝40°；
（2）∵∠ACB為△DCE的外角，
∴∠ACB＝∠AED+∠CDE，
∵∠ABC＝∠ACB＝70°，∠CDE＝15°，
∴∠ADE＝∠AED＝55°，
∴∠ADC＝∠ADE﹣∠CDE＝40°，
∵∠ABC為△ABD的外角，
∴∠ABC＝∠ADC+∠BAD，
∴∠BAD＝30°；
（3）∠CDE和∠BAD的數(shù)量關(guān)系是∠BAD＝2∠CDE，理由如下：
當(dāng)點D在BC的延長線上時，
設(shè)∠ABC＝∠ACB＝x，∠ADE＝∠AED＝y(tǒng)，∠CDE＝α，∠BAD＝β，則有∠ADC＝y(tǒng)﹣α，
根據(jù)題意得：，
②﹣①得：2α﹣β＝0，即2α＝β，
故∠BAD＝2∠CDE．
【提升3-2】如圖，點是等邊內(nèi)一點，，．將繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)得，連接．
（1）求證：是等邊三角形；
（2）探究：當(dāng)為多少度時，是等腰三角形？
【解答】（1）證明：將繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)得，
，，
是等邊三角形；
（2）解或或時，是等腰三角形．
理由：是等邊三角形．
，
將繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)得，
，
①若，是等腰三角形，
②若，是等腰三角形
則
③若，是等腰三角形
則
或或時，是等腰三角形
【提升3-3】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝12cm．動點P從點A出發(fā)，沿AB向點B運動，動點Q從點B出發(fā)，沿BC向點C運動，如果動點P以2cm/s，Q以1cm/s的速度同時出發(fā)，設(shè)運動時間為t（s），解答下列問題：
（1）t為多少時，△PBQ是等邊三角形？
（2）P、Q在運動過程中，△PBQ的形狀不斷發(fā)生變化，當(dāng)t為多少時，△PBQ是直角三角形？請說明理由．
【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)解答即可；
（2）分兩種情況利用直角三角形的性質(zhì)解答即可．
【解答】解：（1）要使△PBQ是等邊三角形，即可得：PB＝BQ，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝12cm．
∴AB＝24cm，
可得：PB＝（24﹣2t）cm，BQ＝tcm，
即24﹣2t＝t，
解得：t＝8，
故答案為：8；
（2）當(dāng)t為6s或s時，△PBQ是直角三角形，
理由如下：
∵∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝12cm，
∴AB＝2BC＝12×2＝24（cm），
∵動點P以2cm/s，Q以1cm/s的速度出發(fā)，
∴BP＝AB﹣AP＝（24﹣2t）cm，BQ＝tcm，
∵△PBQ是直角三角形，
∴BP＝2BQ或BQ＝2BP，
當(dāng)BP＝2BQ時，
24﹣2t＝2t，
解得t＝6；
當(dāng)BQ＝2BP時，
t＝2（24﹣2t），
解得t＝．
所以，當(dāng)t為6s或s時，△PBQ是直角三角形．

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