【專題導(dǎo)航】
目錄
【考點(diǎn)一 軸對(duì)稱圖形和軸對(duì)稱】
【考點(diǎn)二 線段的垂直平分線的性質(zhì)】
【考點(diǎn)三 尺規(guī)作線段的垂直平分線】
【聚焦考點(diǎn)1】
1. 軸對(duì)稱圖形
定義：如果一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線就是它的對(duì)稱軸.
2. 軸對(duì)稱
定義：把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱，這條直線叫做對(duì)稱軸.
軸對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱的區(qū)別和聯(lián)系
區(qū)別: 軸對(duì)稱是指兩個(gè)圖形的位置關(guān)系，軸對(duì)稱圖形是指具有特殊形狀的一個(gè)圖形；軸對(duì)稱涉及兩個(gè)圖形，而軸對(duì)稱圖形是對(duì)一個(gè)圖形來(lái)說(shuō)的.
聯(lián)系：如果把一個(gè)軸對(duì)稱圖形沿對(duì)稱軸分成兩個(gè)圖形，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條軸對(duì)稱；如果把成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形看成一個(gè)整體，那么它就是一個(gè)軸對(duì)稱圖形．
【典例剖析1】
【典例1-1】下列所示的四個(gè)銀行的行標(biāo)圖案中，不是利用軸對(duì)稱設(shè)計(jì)的圖案是【 】
A．AB．BC．CD．D
【答案】A
【詳解】試題解析：圖案中，只有第一個(gè)圖形沿某條直線折疊后直線兩旁的部分不能夠完全重合，故選A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱圖形的定義，正確識(shí)別軸對(duì)稱圖形是解題關(guān)鍵.
【典例1-2】“嫦娥”奔月、“祝融”探火、“羲和”逐日、“天和”遨游星辰…在浩瀚的宇宙中譜寫著中華民族飛天夢(mèng)想的樂(lè)章．下列航天圖標(biāo)（不考慮字符與顏色）為軸對(duì)稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸進(jìn)行分析即可．
【解答】解：選項(xiàng)A、B、C的圖形不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對(duì)稱圖形；
選項(xiàng)D的圖形能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對(duì)稱圖形；
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱圖形的概念，軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．
針對(duì)訓(xùn)練1
【變式1-1】如圖，已知AB＝CB，要使四邊形ABCD成為一個(gè)軸對(duì)稱圖形，還需添加一個(gè)條件，你添加的條件是 AD＝CD ．（只需寫一個(gè)，不添加輔助線）
【分析】軸對(duì)稱圖形的定義即可得到結(jié)論．
【解答】解：AD＝CD，
理由：在△ABD與△CBD中，，
∴△ABD≌△CBD，
∴四邊形ABCD是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，
故答案為：AD＝CD．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱圖形，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握軸對(duì)稱圖形的定義是解題的關(guān)鍵．
【變式1-2】等邊三角形有 條對(duì)稱軸．
【分析】軸對(duì)稱就是一個(gè)圖形的一部分，沿著一條直線對(duì)折，能夠和另一部分重合，這樣的圖形就是軸對(duì)稱圖形，這條直線就是對(duì)稱軸，依據(jù)定義即可求解．
【解答】解：等邊三角形有3條對(duì)稱軸．
故答案為：3．
【點(diǎn)評(píng)】正確理解軸對(duì)稱圖形的定義是解決本題的關(guān)鍵，本題是一個(gè)基礎(chǔ)題．
【變式1-3】如圖4×5的方格紙中，在除陰影之外的方格中任意選擇一個(gè)涂黑，與圖中陰影部分構(gòu)成軸對(duì)稱圖形的涂法有 種．
【分析】結(jié)合圖象根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念求解即可．
【解答】解：根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念可知，一共有四種涂法，如下圖所示：
．
故答案為：4．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱圖形的知識(shí)，軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．
【能力提升1】
【提升1-1】仔細(xì)觀察下列圖案，并按規(guī)律在橫線上畫(huà)出合適的圖案．
【分析】觀察圖形規(guī)律，可得空白處應(yīng)該為字母E和它的軸對(duì)稱圖形，作出圖形即可．
【解答】解：如圖所示：
．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱圖形的概念：軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分沿對(duì)稱軸折疊后可重合．
【提升1-2】如圖，將已知四邊形分別在格點(diǎn)圖中補(bǔ)成關(guān)于已知直線：l、m、n、p為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱的圖形．
【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)被對(duì)稱軸垂直平分的性質(zhì)進(jìn)行畫(huà)圖即可．
【解答】解：
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)，關(guān)鍵在于認(rèn)真的進(jìn)行畫(huà)圖．
【提升1-3】如圖，從軸對(duì)稱的角度來(lái)看，你覺(jué)得哪一個(gè)圖形比較獨(dú)特？簡(jiǎn)單說(shuō)明你的道理．
【分析】應(yīng)從對(duì)稱軸的條數(shù)進(jìn)行分析．
【解答】解：丁較獨(dú)特．
因?yàn)槎∮袩o(wú)數(shù)條對(duì)稱軸，過(guò)圓心的直線都是，其余都是兩條．
【點(diǎn)評(píng)】軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，對(duì)稱軸可使圖形兩部分折疊后重合.
【提升1-4】在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小穎將一個(gè)四邊形紙片依次按下圖①、②的方式對(duì)折，然后沿按圖③中的虛線裁剪成圖④樣式，將紙片展開(kāi)鋪平，所得到的圖形是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】嚴(yán)格按照?qǐng)D中的順序，向右對(duì)折，向上對(duì)折，從斜邊處剪去一個(gè)直角三角形，從直角頂點(diǎn)處剪去一個(gè)等腰直角三角形，展開(kāi)后實(shí)際是從原菱形的四邊處各剪去一個(gè)直角三角形，從菱形的中心剪去一個(gè)和菱形位置基本一致的正方形．
故選A.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了剪紙問(wèn)題，解決此類問(wèn)題，學(xué)生只要親自動(dòng)手操作，答案就會(huì)很直觀的呈現(xiàn).學(xué)生的動(dòng)手能力及空間想象能力是非常重要的，做題時(shí)要注意培養(yǎng).
【提升1-5】如圖，△ABC與△ADE關(guān)于直線MN對(duì)稱，BC與DE的交點(diǎn)F在直線MN上．若ED=4cm，F(xiàn)C=1cm，∠BAC=76°，∠EAC=58°．
（1）求出BF的長(zhǎng)度；
（2）求∠CAD的度數(shù)．
【答案】（1）BF＝3cm；（2）∠CAD＝18°
【分析】（1）根據(jù)△ABC與△ADE關(guān)于直線MN對(duì)稱確定對(duì)稱點(diǎn)，從而確定對(duì)稱線段相等即BC＝ED，即可求出BF的值；
（2）根據(jù)△ABC與△ADE關(guān)于直線MN對(duì)稱，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)得出對(duì)稱角∠EAD＝∠BAC，即可解決問(wèn)題；
【詳解】解：（1）∵△ABC與△ADE關(guān)于直線MN對(duì)稱，ED＝4cm，F(xiàn)C＝1cm，
∴BC＝ED＝4cm，
∴BF＝BC?FC＝3cm．
（2）∵△ABC與△ADE關(guān)于直線MN對(duì)稱，∠BAC＝76°，∠EAC＝58°，
∴∠EAD＝∠BAC＝76°，
∴∠CAD＝∠EAD?∠EAC＝76°?58°＝18°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查軸對(duì)稱的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．
【聚焦考點(diǎn)2】
線段垂直平分線性質(zhì)定理及其逆定理
性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩端的距離相等。
判定定理：到線段兩端的距離相等點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上。
常見(jiàn)輔助線：連結(jié)兩點(diǎn)
常結(jié)合考點(diǎn)：三角形的周長(zhǎng)，直角三角形的內(nèi)角和，角平分線的定義等
易混淆考點(diǎn)：角平分線性質(zhì)定理
【典例剖析2】
【典例2-1】如圖，△ABC中，AB的垂直平分線交AC于D，已知AC＝10cm，BC＝7cm，則△BCD的周長(zhǎng)是 ．
【分析】由AB的垂直平分線交AC于D，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，即可得AD＝BD，又由△BCD的周長(zhǎng)為：BC+CD+BD＝BC+AC，即可求得答案．
【解答】解：∵AB的垂直平分線交AC于D，
∴AD＝BD，
∵AC＝16cm，BC＝10cm，
∴△BCD的周長(zhǎng)為：BC+CD+BD＝BC+CD+AD＝BC+AC＝7+10＝17（cm）．
故答案為：17cm．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)．此題比較簡(jiǎn)單，解題的關(guān)鍵是掌握垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等定理的應(yīng)用．
【典例2-2】如圖，△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝4，邊AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)D，則△BDC的周長(zhǎng)是 ．
【分析】根據(jù)垂直平分線性質(zhì)得出AD＝BD，求出△BDC的周長(zhǎng)等于BC+AC，代入求出即可．
【解答】解：∵邊AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)D，AC＝6，BC＝4，
∴AD＝BD，
∴△BDC的周長(zhǎng)＝BC+CD+BD＝BC+CD+AD＝BC+AC＝4+6＝10．
故答案為：10．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線段的垂直平分線性質(zhì)，注意：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．
【典例2-3】已知：如圖，∠BAC的平分線與BC的垂直平分線相交于點(diǎn)P，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分別為E、F．若AB＝8，AC＝4，則AE＝ ．
【分析】首先連接PB，PC，由∠BAC的平分線與BC的垂直平分線相交于點(diǎn)P，PE⊥AB，PF⊥AC，易得PE＝PF，PB＝PC，繼而證得△PBE≌△PCF，AE＝AF，又由AB＝8，AC＝4，即可求得答案．
【解答】解：連接PB，PC，
∵點(diǎn)P在BC的垂直平分線上，
∴PB＝PC，
∵AC平分∠BAC，PE⊥AB，PF⊥AC，
∴PE＝PF，∠PEB＝∠PFC＝90°，
∴∠APE＝∠APF，
∴AE＝AF，
在Rt△PBE和Rt△PCF中，
，
∴Rt△PBE≌Rt△PCF（HL），
∴BE＝CF，
∵AB＝AE+BE，AF＝AC+CF，
∴AB＝AC+CF+BE，
∵AB＝8，AC＝4，
∴BE＝CF＝2，
∴AE＝AC+CF＝6．
故答案為：6．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．
針對(duì)訓(xùn)練2
【變式2-1】如圖，AD與BC相交于點(diǎn)O，OA＝OC，∠A＝∠C，BE＝DE．求證：OE垂直平分BD．
【分析】先利用ASA證明△AOB≌△COD，得出OB＝OD，根據(jù)線段垂直平分線的判定可知點(diǎn)O在線段BD的垂直平分線上，再由BE＝DE，得出點(diǎn)E在線段BD的垂直平分線上，即O，E兩點(diǎn)都在線段BD的垂直平分線上，從而可證明OE垂直平分BD．
【解答】證明：在△AOB與△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（ASA），
∴OB＝OD，
∴點(diǎn)O在線段BD的垂直平分線上，
∵BE＝DE，
∴點(diǎn)E在線段BD的垂直平分線上，
∴OE垂直平分BD．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線段垂直平分線的判定：到一條線段兩端距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上，同時(shí)考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．
【變式2-2】如圖，AD是△ABC的角平分線，EF是AD的垂直平分線．
求證：（1）∠EAD＝∠EDA．
（2）DF∥AC．
（3）∠EAC＝∠B．
【分析】（1）根據(jù)垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得到AE＝DE，再根據(jù)等角對(duì)等邊可得到∠EAD＝∠EDA；
（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)證明AF＝DF，進(jìn)而得到∠BAD＝∠ADF，再利用角平分線的性質(zhì)可得到∠BAD＝∠CAD，利用等量代換可得∠ADF＝∠CAD，再根據(jù)平行線的判定即可得到DF∥AC；
（3）根據(jù)三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系可得到結(jié)論．
【解答】證明：（1）∵EF是AD的垂直平分線，
∴AE＝DE，
∴∠EAD＝∠EDA；
（2）∵EF是AD的垂直平分線，
∴AF＝DF，
∴∠BAD＝∠ADF，
∵AD是△ABC的角平分線，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠ADF＝∠CAD，
∴DF∥AC；
（3）由（1）∠EAD＝∠EDA，
即∠ADE＝∠CAD+∠EAC，
∵∠ADE＝∠BAD+∠B，
∠BAD＝∠CAD，
∴∠EAC＝∠B．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定以及三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系，題目綜合性較強(qiáng)，但是難度不大，需要同學(xué)們掌握好基礎(chǔ)知識(shí)．
【變式2-3】如圖，在△ABC中，DE垂直平分AB交BC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，F(xiàn)G垂直平分AC交BC于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)G．
（1）若BC＝9cm，求△ADF的周長(zhǎng)．
（2）若∠BAC＝110°，求∠DAF的度數(shù)．
【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線定理：可得BD＝AD，AF＝CF，然后表示出△ADF的三邊之和，等量代換可得其周長(zhǎng)等于BC的長(zhǎng)；
（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠B+∠C，根據(jù)線段垂直平分線求出AD＝BD，AF＝CF，推出∠BAD＝∠B，∠CAF＝∠C，即可求出答案．
【解答】解：（1）∵DE垂直平分AB，
∴BD＝AD，
∵FG垂直平分AC，
∴AF＝CF，
∴△ADF的周長(zhǎng)＝AD+AF+DF＝BD+DF+CF＝BC＝9cm；
（2）在△ABC中，∵∠BAC＝110°，
∴∠B+∠C＝180°﹣110°＝70°，
∵DE垂直平分AB，
∴BD＝AD，
∵FG垂直平分AC，
∴AF＝CF，
∴∠BAD＝∠B，∠CAF＝∠C，
∴∠DAF＝∠BAC﹣（∠BAD+∠CAF）
＝∠BAC﹣（∠B+∠C）＝110°﹣70°＝40°．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)．注意垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等．
【能力提升2】
【提升2-1】．（1）如圖，△ABC的兩條角平分線CE，BD相交于點(diǎn)F．
求證：∠BFC＝90°+∠A．
（2）如圖，△ABC的兩邊的垂直平分線DE、FG相交于點(diǎn)H．
求證：△ABC的三邊垂直平分線DE、FG、PQ相交于點(diǎn)H．
【分析】（1）利用角平分線的定義可得∠FBC＝∠ABC，∠FCB＝∠ACB，然后利用三角形的內(nèi)角和定理以及等量代換，進(jìn)行計(jì)算即可解答；
（2）連接HA，HB，HC，利用線段垂直平分線的性質(zhì)可得HA＝HB＝HC，從而可得點(diǎn)H在AB的垂直平分線上，即可解答．
【解答】證明：（1）∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠FBC＝∠ABC，∠FCB＝∠ACB，
∴∠BFC＝180°﹣（∠FBC+∠FCB）
＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）
＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）
＝180°﹣（180°﹣∠A）
＝180°﹣90°+∠A
＝90°+∠A；
（2）連接HA，HB，HC，
∵HD是AC的垂直平分線，
∴HA＝HC，
∵HF是BC的垂直平分線，
∴HB＝HC，
∴HA＝HB，
∴點(diǎn)H在AB的垂直平分線上，
∴△ABC的三邊垂直平分線DE、FG、PQ相交于點(diǎn)H．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)，以及三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．
【提升2-2】如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一點(diǎn)，BD＝BC，過(guò)點(diǎn)D作AB的垂線交AC于點(diǎn)E，求證：BE垂直平分CD．
【分析】證明Rt△BDE≌Rt△BCE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到ED＝EC，根據(jù)線段垂直平分線的判定定理證明．
【解答】證明：∵∠ACB＝90°，DE⊥AB，
∴∠ACB＝∠BDE＝90°，
在Rt△BDE和Rt△BCE中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△BCE，
∴ED＝EC，
∵ED＝EC，BD＝BC，
∴BE垂直平分CD．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是線段垂直平分線的判定，掌握到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上是解題的關(guān)鍵．
【提升2-3】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝22.5°，斜邊AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)D，點(diǎn)F在AC上，點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，CE＝CF，連接BF，DE．線段DE和BF在數(shù)量和位置上有什么關(guān)系？并說(shuō)明理由．
【分析】連接BD，延長(zhǎng)BF交DE于點(diǎn)G，根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到AD＝BD，求出∠CBD＝45°，證明△ECD≌△FCB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答即可．
【解答】解：DE＝BF，DE⊥BF．理由如下：
連接BD，延長(zhǎng)BF交DE于點(diǎn)G．
∵點(diǎn)D在線段AB的垂直平分線上，
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝22.5°．
在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∠A＝22.5°，
∴∠ABC＝67.5°，
∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝45°，
∴△BCD為等腰直角三角形，
∴BC＝DC．
在△ECD和△FCB中，
，
∴Rt△ECD≌Rt△FCB（SAS），
∴DE＝BF，∠CED＝∠CFB．
∵∠CFB+∠CBF＝90°，
∴∠CED+∠CBF＝90°，
∴∠EGB＝90°，即DE⊥BF．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．
【聚焦考點(diǎn)3】
尺規(guī)作線段的垂直平分線
1.分別以點(diǎn)A和B為圓心、以大于12AB的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于C，D兩點(diǎn).
2.作直線CD.
CD就是所求作的直線
【典例剖析3】
【典例3-1】已知點(diǎn)P在 ABC的邊BC上，且滿足PA＝PC，則下列確定點(diǎn)P位置的尺規(guī)作圖，正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】作圖-線段垂直平分線
【解析】
【解答】解：滿足PA＝PC，則點(diǎn)P在線段AC的垂直平分線上
A、由作圖痕跡可得，P在線段BC的垂直平分線上，不符合題意；
B、由作圖痕跡可得，P在線段AC的垂直平分線上，符合題意；
C、由作圖痕跡可得，P在∠BAC的角平分線上，不符合題意；
D、由作圖痕跡可得，AP⊥BC，不在線段AC的垂直平分線上，不符合題意.
故答案為：B.
【點(diǎn)評(píng)】要使PA=PC，則點(diǎn)P在線段AC的垂直平分線上，觀察各選項(xiàng)中的作圖，可得答案.
【典例3-2】如圖，A，B，C三點(diǎn)表示三個(gè)村莊，為了解決村民子女就近入學(xué)的問(wèn)題，計(jì)劃新建一所學(xué)校，要使學(xué)校到三個(gè)村莊的距離相等，請(qǐng)你在圖中確定學(xué)校的位置．
【答案】解：(1)連接AB，BC;
(2)分別作AB，BC的垂直平分線交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P就是所要確定的學(xué)校的位置，如圖所示．
【點(diǎn)評(píng)】三角形三邊的垂直平分線交于一點(diǎn)，并且這點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，找三角形中到三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的方法就是找任意兩邊的垂直平分線的交點(diǎn)
【典例3-3】如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，以點(diǎn)C為圓心，CB長(zhǎng)為半徑作弧，交AB于點(diǎn)D；再分別以點(diǎn)B和點(diǎn)D為圓心，大于 BD的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)E，作射線CE交AB于點(diǎn)F，則AF的長(zhǎng)為( )
A．5B．6C．7D．8
【答案】B
【分析】線段垂直平分線的性質(zhì)；含30°角的直角三角形；作圖-線段垂直平分線
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，
∴AB=2BC=8，∠ABC=60°，
連接CD，BE，DE，由題意可得BC=CD，
∴△BCD是等邊三角形，
又∵BE=DE，
∴CE是線段BD的垂直平分線，
∴BF=DF，CE⊥AB，
在Rt△BCF中，∠ABC=60°，
∴BF= ，
∴AF=AB-BF=8-2=6
故答案為B.
【點(diǎn)評(píng)】理解題中的作圖方式是解題的關(guān)鍵：由“以點(diǎn)C為圓心，CB長(zhǎng)為半徑作弧，交AB于點(diǎn)D”可得CB=CD；由“再分別以點(diǎn)B和點(diǎn)D為圓心，大于 BD的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)E，作射線CE交AB于點(diǎn)F”可得BE=DE，則可得CE是線段BD的垂直平分線，則有AF=AB-BF=AB- .
針對(duì)訓(xùn)練3
【變式3-1】如圖，在已知的△ABC中，按以下步驟作圖：
若CD=AC，∠A=50°，則∠ACB的度數(shù)為 °．
①分別以B，C為圓心，以大于BC的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于兩點(diǎn)M，N；
②作直線MN交AB于點(diǎn)D，連接CD．
【答案】105
【分析】三角形的外角性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；作圖-線段垂直平分線
【解析】【解答】解：直線MN如圖所示：
∵M(jìn)N垂直平分BC，
∴CD=BD，
∴∠DBC=∠DCB
∵CD=AC，∠A=50°，
∴∠CDA=∠A=50°，
∵∠CDA=∠DBC+∠DCB，
∴∠DCB=∠DBC=25°，∠DCA=180°﹣∠CDA﹣∠A=80°，
∴∠ACB=∠CDB+∠ACD=25°+80°=105°．
故答案為105．
【點(diǎn)評(píng)】根據(jù)要求先畫(huà)出圖形，利用等腰三角形的性質(zhì)以及三角形外角定理求出∠CDB和∠ACD即可．
【變式3-2】如圖，在△ABC中，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，大于AB的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)M，N，作直線MN，交BC于點(diǎn)D，連接AD．若△ADC的周長(zhǎng)為10，AB=7，則△ABC的周長(zhǎng)為
【答案】17
【分析】線段垂直平分線的性質(zhì)；作圖-線段垂直平分線
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，大于AB的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)M，N，作直線MN，交BC于點(diǎn)D，連接AD．
∴MN是AB的垂直平分線，
∴AD=BD，
∵△ADC的周長(zhǎng)為10，
∴AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC=10，
∵AB=7，
∴△ABC的周長(zhǎng)為：AC+BC+AB=10+7=17．
故答案為17．
【點(diǎn)評(píng)】首先根據(jù)題意可得MN是AB的垂直平分線，由線段垂直平分線的性質(zhì)可得AD=BD，再根據(jù)△ADC的周長(zhǎng)為10可得AC+BC=10，又由條件AB=7可得△ABC的周長(zhǎng)．
【變式3-3】已知∠AOB，點(diǎn)M、N，在∠AOB的內(nèi)部求作一點(diǎn)P．使點(diǎn)P到∠AOB的兩邊距離相等，且PM=PN（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）．
【答案】解：如圖所示：P點(diǎn)即為所求．
【分析】作圖-角的平分線；作圖-線段垂直平分線
【解析】【分析】使P到點(diǎn)M、N的距離相等，即畫(huà)MN的垂直平分線，且到∠AOB的兩邊的距離相等，即畫(huà)它的角平分線，兩線的交點(diǎn)就是點(diǎn)P的位置．
【能力提升3】
【提升3-1】作圖題：要求保留作圖痕跡，不寫作法
（1）作線段AC的垂直平分線，分別交AC、BC于E、F.在直線EF上找一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到射線AB，AC的距離相等.
（2）若AB＝6，BC＝8，連接AF，求△ABF的周長(zhǎng).
【答案】（1）解：作圖如下，根據(jù)作 的角平分線與 的交點(diǎn)為點(diǎn)P，
（2）解：連接 ，如下圖：
根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得：
，
，
，
.
【知識(shí)點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)；作圖-角的平分線；作圖-線段垂直平分線
【解析】【分析】（1）根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等可知點(diǎn)P應(yīng)該是∠BAC的角平分線與EF的垂直平分線的交點(diǎn)，據(jù)此即可做出圖形；
（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得AF=CF，則BC=BF+AF=8，據(jù)此不難求出△ABF的周長(zhǎng).
【提升3-2】如圖，依據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，計(jì)算∠α=（ ）
A．68°B．56°C．28°D．34°
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】平行線的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理；作圖-角的平分線；作圖-線段垂直平分線
【解析】【解答】解：如圖，取E、F點(diǎn)，
∵BC∥AD，
∴∠DAC=∠ACB=68°，
由作圖可知，AF平分∠CAD，EF是AC的垂直平分線，
∴∠EAF=∠DAC=34°，∠AEF=90°，
∴∠α=180°-∠AEF-∠EAF=180°-90°-34°=56°.
故答案為：B.
【分析】由平行線的性質(zhì)可得∠DAC的度數(shù)，然后由作圖過(guò)程可知AF平分∠CAD，EF是AC的垂直平分線，從而得出∠EAF和∠AEF的度數(shù)，最后利用三角形內(nèi)角和定理即可求得結(jié)果.
【提升3-3】如圖，在 中， 平分 ．
（1）尺規(guī)作圖（不寫作法，保留作圖痕跡），作 的垂真平分線 ，與 相交于點(diǎn) ，與 相交于點(diǎn) ；
（2）在（1）條件下，連接 ， ， 和 有何數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論．
【答案】（1）線段BC的中垂線EG如圖所示；
（2）結(jié)論：∠BAC+∠BGC=180°．
理由：在AB上截取AD=AC，連接DG．
∵AM平分∠BAC，
∴∠DAG=∠CAG，
在△DAG和△CAG中
∵
∴△DAG≌△CAG（SAS），
∴∠ADG=∠ACG，DG=CG，
∵G在BC的垂直平分線上，
∴BG=CG，
∴BG=DG，
∴∠ABG=∠BDG，
∵∠BDG+∠ADG=180°，
∴∠ABG+∠ACG=180°，
∵∠ABG+∠BGC+∠ACG+∠BAC=360°，
∴∠BAC+∠BGC=180°．
【解析】【分析】（1）作線段BC的垂直平分線即可；（2）在AB上截取AD=AC，連接DG．首先證明△DAG≌△CAG（SAS），推出∠ABG+∠ACG=180°，利用四邊形內(nèi)角和定理即可解決問(wèn)題
【點(diǎn)評(píng)】利用多邊形內(nèi)角與外角；三角形全等的判定（SAS）證明，正確作圖-線段垂直平分線是解題關(guān)鍵。

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