目錄
【考點(diǎn)一 倍長中線法證全等】
【考點(diǎn)二 截長補(bǔ)短法證全等】
【考點(diǎn)三 整體旋轉(zhuǎn)證全等】
【聚焦考點(diǎn)1】
倍長中線輔助線方法規(guī)律總結(jié)
倍長中線模型的變形——“倍長中線類”模型：
【典例剖析1】
【典例1-1】（1）方法呈現(xiàn)：如圖①：在△ABC中，若AB＝6，AC＝4，點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，求BC邊上的中線AD的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長AD到點(diǎn)E使DE＝AD，再連接BE，可證△ACD≌△EBD，從而把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線AD的取值范圍是（直接寫出范圍即可）．這種解決問題的方法我們稱為倍長中線法；
（2）探究應(yīng)用：
如圖②，在△ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，DE⊥DF于點(diǎn)D，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF，判斷BE+CF與EF的大小關(guān)系并證明；
（3）問題拓展：
如圖③，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AF與DC的延長線交于點(diǎn)F、點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，若AE是∠BAF的角平分線．試探究線段AB，AF，CF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．
【典例1-2】已知：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作直線交AB，CA的延長線于點(diǎn)E，F(xiàn)． 當(dāng)BE=CF時，求證：AE=AF．
針對訓(xùn)練1
【變式1-1】【閱讀理解】課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到點(diǎn)E，使DE＝AD，請根據(jù)小明的方法思考：
（1）由已知和作圖能得到△ADC≌△EDB的理由是
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
（2）求得AD的取值范圍是
A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7
【方法感悟】
解題時，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”字樣，可以考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個三角形中．
【問題解決】
如圖2，已知：CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中線，求證：∠C＝∠BAE．
【變式1-2】課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：
如圖1，△ABC中，若AB=8，AC=6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到點(diǎn)E，使DE=AD，請根據(jù)小明的方法思考：
(1)由已知圖能得到△ADC≌△EDB的理由是 ．
(2)求得AD的取值范圍是 ．
(3)如圖2，AD是△ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF．求證：AC=BF．
【能力提升1】 倍長中線法
【提升1-1】（1）方法學(xué)習(xí)：數(shù)學(xué)興趣小組活動時，張老師提出了如下問題：如圖1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．
小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法（如圖2），
①延長AD到M，使得DM＝AD；
②連接BM，通過三角形全等把AB、AC、2AD轉(zhuǎn)化在△ABM中；
③利用三角形的三邊關(guān)系可得AM的取值范圍為AB﹣BM＜AM＜AB+BM，從而得到AD的取值范圍是 ；
方法總結(jié)：上述方法我們稱為“倍長中線法”．“倍長中線法”多用于構(gòu)造全等三角形和證明邊之間的關(guān)系．
（2）請你寫出圖2中AC與BM的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明．
（3）深入思考：如圖3，AD是△ABC的中線，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝90°，請直接利用（2）的結(jié)論，試判斷線段AD與EF的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．
【提升1-2】如圖：已知AB∥CD，BC⊥CD，且CD＝2AB＝12，BC＝8，E是AD的中點(diǎn)，
請你用直尺（無刻度）作出一條線段與BE相等；并證明之；
【聚焦考點(diǎn)2】
截長補(bǔ)短輔助線方法規(guī)律總結(jié)
總結(jié)：因?yàn)榻亻L補(bǔ)短常得線段相等，所以截長補(bǔ)短經(jīng)常用于證明三條線段間的數(shù)量關(guān)系，如AD=BC+EF
【典例剖析2】
【典例2-1】如圖，△ABC中，∠ABC＝60°，AD、CE分別平分∠BAC、∠ACB，AD、CE相交于點(diǎn)P
（1）求∠CPD的度數(shù)；
（2）若AE＝3，CD＝7，求線段AC的長．
【典例2-2】已知：如圖，AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD．求證：BC＝AB＋CD．
圖1 圖2
針對訓(xùn)練2
【變式2-1】【問題提出】
（1）如圖①，在四邊形中，，，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且.求證：；
【問題探究】
（2）如圖②，在四邊形中，，，E、F分別是邊BC、CD延長線上的點(diǎn)，且，（1）中的結(jié)論是否仍然成立?若成立，請說明理由；若不成立，請寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.
【變式2-2】利用角平分線構(gòu)造“全等模型”解決問題，事半動倍．
（1）尺規(guī)作圖：作的平分線．
【模型構(gòu)造】
（2）填空：
①如圖．在中，，是的角平分線，則______．（填“”、“”或“”）
方法一：巧翻折，造全等
在上截取，連接，
則．
②如圖，在四邊形中，，，和的平分線，交于點(diǎn)．若，則點(diǎn)到的距離是______．
方法二：構(gòu)距離，造全等
過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，
則．
【模型應(yīng)用】
（3）如圖，在中，，，是的兩條角平分線，且，交于點(diǎn)．
①請直接寫出______；
②試猜想與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【能力提升2】
【提升2-1】如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D是邊BC上一個動點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B，C重合），連接AD，點(diǎn)E在邊AC的延長線上，且DA＝DE．
（1）求證：∠BAD＝∠EDC：
（2）用等式表示線段CD，CE，AB之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
【提升2-1】（1）問題背景：如圖①：在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)且∠EAF=60°．探究圖中線段BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系．小明同學(xué)探究此問題的方法是：延長FD到點(diǎn)G，使DG=BE．連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是___________；
（2）探索延伸：如圖②，若在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E,F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF=12∠BAD，上述結(jié)論是否仍然成立？說明理由；
（3）實(shí)際應(yīng)用：如圖③，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里/小時的速度前進(jìn)2小時后，甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E,F處，此時在指揮中心觀測到兩艦艇之間的夾角為70°，試求此時兩艦艇之間的距離．
【聚焦考點(diǎn)3】
角平分線中常見輔助線總結(jié)
【典例剖析3】
【典例3-1】 已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC，求證：BC＝AC+CD．
【典例3-2】如圖，已知等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BF平分∠ABC，CD⊥BD交BF的延長線于點(diǎn)D，試說明：BF＝2CD．
針對訓(xùn)練3
【變式3-1】如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝2∠B，
求證：AB＝AC+CD．
【變式3-2】如圖，已知四邊形ABCD中，AD∥BC，若∠DAB的平分線AE交CD于E，連接BE，且BE恰好平分∠ABC，則AB的長與AD+BC的大小關(guān)系是（ ）
A．AB＞AD+BCB．AB＜AD+BCC．AB＝AD+BCD．無法確定
【能力提升3】
【提升3-1】如圖，已知在四邊形ABCD中，BD是的平分線，．2 求證：．
【提升3-2】如圖，△ABC的外角∠ACD的平分線CP與內(nèi)角∠ABC的平分線BP交于點(diǎn)P，若∠BPC＝40°，則∠CAP＝（ ）
A．40°B．45°C．50°D．60°
基本圖形
輔助線
條件與結(jié)論
應(yīng)用環(huán)境
延長AD到點(diǎn)E，
使DE=AD，連接CE
條件：△ABC，AD=BD
結(jié)論：
△ABD≌△CED(SAS)
①倍長中線常和△三邊關(guān)系結(jié)合，考察中線長的取值范圍
②倍長中線也可以和其他幾何圖形結(jié)合，考察幾何圖形的面積問題
基本圖形
輔助線
條件與結(jié)論
應(yīng)用環(huán)境
延長AD交直線l2于點(diǎn)E，
條件：l1∥l2，CD=BD
結(jié)論：
△ABD≌△ECD(AAS)
與含有平行元素的幾何圖形結(jié)合考察全等三角形的判定
基本圖形
輔助線
條件與結(jié)論
應(yīng)用環(huán)境
在AC上截取AE=AD，連接PE
條件：
AP平分∠BAC，
結(jié)論：
△APD≌△APE(SAS)
①截長補(bǔ)短類輔助線經(jīng)常和角平分線同步考察
②截長補(bǔ)短類全等的目的通常是為了等價(jià)線段

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