專題06 全等三角形的判定（二）（含答案）【暑假預(yù)習(xí)課堂】新八年級數(shù)學(xué)同步精講精練（人教版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

目錄
【考點一直角三角形全等的判定HL】
【考點二全等三角形的判定和性質(zhì)】
【考點三全等三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用】
【聚焦考點1】
1、判定直角三角形全等的一般方法
由三角形全等的條件可知，對于兩個直角三角形，滿足一邊一銳角對應(yīng)相等，或兩直角邊對應(yīng)相等，這兩個直角三角形就全等了.這里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理.
2、判定直角三角形全等的特殊方法——斜邊，直角邊定理
在兩個直角三角形中，有斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（可以簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）.這個判定方法是直角三角形所獨有的，一般三角形不具備.
【典例剖析1】
【典例1-1】如圖，AD是△ABC的角平分線，DE、DF分別是△ABD和△ACD的高．求證Rt△ADE≌Rt△ADF．
【典例1-2】如圖，AB⊥BC，AD⊥DC，AB＝AD，求證：∠1＝∠2．
【典例1-3】如圖，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D＝90°，AC＝DE，點B、E、C、F在同一條直線上，且BE＝FC，求證：Rt△ABC≌Rt△DFE．
?
針對訓(xùn)練1
【變式1-1】已知：如圖AD為△ABC的高，E為AC上一點BE交AD于F且有BF＝AC，F(xiàn)D＝CD．
求證：Rt△BFD≌Rt△ACD．
【變式1-2】求證：一條直角邊相等且另一條直角邊上的中線相等的兩個直角三角形全等．
要求：根據(jù)給出的Rt△ABC和Rt△A′B′C′（∠C＝∠C′＝90°，AC＝A′C′），
（1）在此圖形上用尺規(guī)作出BC與B′C′邊上的中線，不寫作法，保留作圖痕跡，
（2）寫出已知、求證和證明過程．
【變式1-3】已知：如圖，∠A＝∠D＝90°，AC＝BD．求證：OB＝OC．
【能力提升1】 (HL)
【提升1-1】如圖，在△ABC中，AC＝BC，直線l經(jīng)過頂點C，過A，B兩點分別作l的垂線AE，BF，E，F(xiàn)為垂足，AE＝CF．求證：∠ACB＝90°．
【提升1-2】如圖，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝10，PQ＝AB，P，Q兩點分別在線段AC和過點A且垂直于AC的射線AM上運動，且點P不與點A，C重合，那么當(dāng)點P運動到什么位置時，才能使△ABC與△APQ全等？
【提升1-3】已知：如圖1，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，AB＝A′B′，AC＝A′C′，C＝∠C′＝90°
求證：Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等．
（1）請你用“如果…，那么…”的形式敘述上述命題；
（2）將△ABC和△A′B′C′拼在一起，請你畫出兩種拼接圖形；例如圖2：（即使點A與點A′重合，點C與點C′重合．）
（3）請你選擇你拼成的其中一種圖形，證明該命題．
【聚焦考點2】
1.平移、翻折、旋轉(zhuǎn)前后的兩個三角形全等．
2．全等三角形的性質(zhì)：（1）全等三角形的對應(yīng)邊相等；（2）全等三角形的對應(yīng)角相等．
3．全等三角形的判定方法：
（1）三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（SSS）；
（2）兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等（SAS）；
（3）兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（ASA）；
（4）兩個角和其中一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（AAS）．
（5）斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（ HL）
【典例剖析2】
【典例2-1】如圖，已知D是AC上一點，AB＝AD，AD+DC＝DE，AE＝BC．求證：∠EAD＝∠B．
【典例2-2】如圖，點B，E，C，F(xiàn)在同一直線上，∠A＝∠D＝90°，BC＝FE，AB＝DF．求證：∠B＝∠F．
【典例2-3】如圖，AB∥EF，AC∥DE，F(xiàn)C＝DB，求證：AB＝EF．
針對訓(xùn)練2
【變式2-1】如圖，點B在CD上，OB＝OD，AB＝CD，∠OBA＝∠D；
（1）求證：△ABO≌△CDO；
（2）當(dāng)AO∥CD，∠BOD＝30°，求∠A的度數(shù)．
?
【變式2-2】如圖，點D在BC上，∠ADB＝∠B，∠BAD＝∠CAE．
（1）添加條件： AC＝AE （只需寫出一個），使△ABC≌△ADE；
（2）根據(jù)你添加的條件，寫出證明過程．
【變式2-3】如圖，在△ABE和△ACF中，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，BE＝CF．
求證：（1）∠1＝∠2．
（2）CM＝BN．
?
【能力提升2】
【提升2-1】如圖，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝20°．過點A作AE⊥BC，垂足為E，延長EA至點D．使AD＝AC．在邊AC上截取AF＝AB，連接DF．求證：DF＝CB．
【提升2-2】如圖，已知△ABC中AB＝AC＝12厘米，BC＝9厘米，點D為AB的中點．
（1）如果點P在線段BC上以3厘米/秒的速度由B點向C點運動，同時，點Q在線段CA上由C點向A點運動．①若點P點Q的運動速度相等，經(jīng)過1秒后，△BPD與△CQP是否全等，請說明理由；②若點P點Q的運動速度不相等，當(dāng)點Q的運動速度為多少時，能夠使△BPD與△CQP全等？
（2）若點Q以②中的運動速度從點C出發(fā)，點P以原來的運動速度從點B同時出發(fā)，都逆時針沿△ABC三邊運動，求經(jīng)過多長時間，點P與點Q第一次在△ABC的哪條邊上相遇？此時相遇點距到達(dá)點B的路程是多少？
【提升2-3】在△ABC中，AB＝AC，D是邊BC上一點，點E在AD的右側(cè)，線段AE＝AD，且∠DAE＝∠BAC＝α．
（1）如圖1，若α＝60°，連接CE，DE．則∠ADE的度數(shù)為 60° ；BD與CE的數(shù)量關(guān)系是 BD＝CE ．
（2）如圖2，若α＝90°，連接EC、BE．試判斷△BCE的形狀，并說明理由．
【聚焦考點3】
全等三角形的應(yīng)用
（1）全等三角形的性質(zhì)與判定綜合應(yīng)用
用全等尋找下一個全等三角形的條件，全等的性質(zhì)和判定往往是綜合在一起應(yīng)用的，這需要認(rèn)真分析題目的已知和求證，分清問題中已知的線段和角與所證明的線段或角之間的聯(lián)系．
（2）作輔助線構(gòu)造全等三角形
常見的輔助線做法：①把三角形一邊的中線延長，把分散條件集中到同一個三角形中是解決中線問題的基本規(guī)律．②證明一條線段等于兩條線段的和，可采用“截長法”或“補(bǔ)短法”，這些問題經(jīng)常用到全等三角形來證明．
（3）全等三角形在實際問題中的應(yīng)用
一般方法是把實際問題先轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再轉(zhuǎn)化為三角形問題，其中，畫出示意圖，把已知條件轉(zhuǎn)化為三角形中的邊角關(guān)系是關(guān)鍵
【典例剖析3】
【典例3-1】如圖，數(shù)學(xué)實踐小組想要測量某公園的人工湖兩端A、B之間的距離，由于條件限制無法直接測得，請你用學(xué)過的數(shù)學(xué)知識幫他們按以下要求設(shè)計一種測量方案．
（1）畫出測量示意圖；
（2）寫出測量的數(shù)據(jù)，線段長度用a、b、c…表示，角度用α、β、γ…表示；（不要求寫出測量過程）
（3）根據(jù)你測量的數(shù)據(jù)，計算A、B之間的距離．（用含a、b、c…或 α、β、γ…的式子表示）
【典例3-2】某建筑測量隊為了測量一株居民樓ED的高度，在大樹AB與居民樓ED之間的地面上選了一點C，使B，C，D在一直線上，測得大樹頂端A的視線AC與居民樓頂墻E的視線EC的夾角為90°，若AB＝CD＝12米，BD＝64米，請計算出該居民樓ED的高度．
【典例3-3】新冠疫情爆發(fā)以來，人們都自覺減少外出游玩，小區(qū)內(nèi)的運動器材區(qū)成了小朋友運動的最佳場所．如圖，某小區(qū)內(nèi)小朋友蕩秋千的側(cè)面示意圖，靜止時秋千位于鉛垂線BD上，轉(zhuǎn)軸中心B到地面的距離BD＝3m．在蕩秋千過程中，當(dāng)秋千擺動到最高點A時，測得點A到BD的距離AC＝2m，點A到地面的距離AE＝1.8m；當(dāng)從A處擺動到A'處時，有A'B⊥AB．
（1）求A'到BD的距離；
（2）求A'到地面的距離．
針對訓(xùn)練3
【變式3-1】為測量一條兩岸平行的小河寬度，某班數(shù)學(xué)研究小組設(shè)計了測量方案：
請分析該數(shù)學(xué)研究小組是否能測量出小河的寬度，并說明理由．
【變式3-2】數(shù)學(xué)興趣小組想在不用涉水的情況下測量某段河流的寬度（該段河流兩岸是平行的），在數(shù)學(xué)老師帶領(lǐng)下他們是這樣做的：
①在河流的一條岸邊B點，選對岸正對的一棵樹A為參照點；
②沿河岸直走10m有一棵樹C，繼續(xù)前行10m到達(dá)D處；
③從D處沿河岸垂直的方向行走，當(dāng)?shù)竭_(dá)A樹正好被C樹遮擋住的E處停止行走；
④測得DE的長為4.5m．
（1）河流的寬度為 4.5 m；
（2）請你說明他們做法的正確性．
【變式3-3】如圖，A，B兩點位于高墻外，不能直接到達(dá)．為在該高樓的樓頂上搭建一個支架，需要在地面測量出A，B間的距離．學(xué)習(xí)了三角形全等知識后，小明給出了如下的方案：先在地面上取一點可以直接到達(dá)A點和B點的點O，連接AO并延長到C，使OC＝OA；連接BO并延長到D，使OD＝OB，連接CD并測量出CD的長度，CD的長度就是A，B間的距離．請根據(jù)以上的信息，說明AB＝CD．
【能力提升3】
【提升3-1】．池塘兩端A，B的距離無法直接測量，請同學(xué)們設(shè)計方案測量A，B的距離．八年級一班甲，乙兩位同學(xué)分別設(shè)計出了如下兩種方案：
甲：如圖①，先在平地上取一個可以直接到達(dá)點A，B的點O，連接AO并延長到點C，連接BO并延長到點D，使CO＝AO，DO＝BO，連接DC，測出DC的長即可．
乙：如圖②，先確定直線AB，過點B作直線BE⊥AB，在直線BE上找可以直接到達(dá)點A的一點D，連接DA，作DC＝DA，交直線AB于點C，最后測量BC的長即可．
請分析兩種方案可行的理由，
【提升3-2】．如圖，某村莊有一塊五邊形的田地，AB＝AE＝CD＝60m，∠ABC＝∠AED＝90°，連接對角線AC，AD，∠BAE＝2∠CAD．
（1）∠BAC，∠DAE與∠CAD之間的數(shù)量關(guān)系是 ∠BAC+∠DAE＝∠CAD ．
（2）為保護(hù)田內(nèi)作物不被牲畜踩踏，村里決定給這塊田地的五邊上圍一圈木柵欄，已知每米木柵欄的建造成本是50元，則建造木柵欄共需花費多少元？（提示：延長CB至點G，使BG＝DE）
（3）在△ADE和△ABC區(qū)域種上小麥，已知每平方米田地的小麥播種量為11.25克，請直接寫出需提前準(zhǔn)備多少千克的小麥種．
【提升3-1】．【問題背景】
在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分別是BC、CD上的點，且∠EAF＝60°，試探究圖1中線段BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系．
【初步探索】
小亮同學(xué)認(rèn)為：延長FD到點G，使DG＝BE，連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，則可得到BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系是 EF＝BE+FD ．
【探索延伸】
在四邊形ABCD中如圖2，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是BC、CD上的點，∠EAF＝∠BAD，上述結(jié)論是否仍然成立？說明理由．
【結(jié)論運用】
如圖3，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里/小時的速度前進(jìn)1.5小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E，F(xiàn)處，且兩艦艇之間的夾角（∠EOF）為70°，試求此時兩艦艇之間的距離．
課題
測量小河的寬度
成員
組長：×××組員：×××，×××，×××
測量工具
皮尺，測角儀
測量方案示意圖
說明
點A在點B的正北方，AB⊥BF，在BF上取兩點C，D，使CD＝BC，再作出BF的垂線DE，使點A，C，E在同一條直線上（如圖所示）

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