專(zhuān)題14 最短路徑問(wèn)題（含答案）【暑假預(yù)習(xí)課堂】新八年級(jí)數(shù)學(xué)同步精講精練（人教版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

目錄
【考點(diǎn)一將軍飲馬問(wèn)題一】
【考點(diǎn)二將軍飲馬問(wèn)題二】
【考點(diǎn)三造橋選址問(wèn)題】 13
【考點(diǎn)三差值最大型問(wèn)題】
【聚焦考點(diǎn)1】
將軍飲馬模型總結(jié)一：依據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短求最值
【典例剖析1】
【典例1-1】如圖，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，S△ABC＝60，AD⊥BC于點(diǎn)D，EF垂直平分AB，交AB于點(diǎn)E，AC于點(diǎn)F，在EF上確定一點(diǎn)P，使PB＋PD最小，則這個(gè)最小值為（）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】．C
【分析】
根據(jù)三角形的面積公式即可得到AD的長(zhǎng)度，再由最短路徑的問(wèn)題可知PB＋PD的最小即為AD的長(zhǎng)．
【詳解】
∵
∴
∵EF垂直平分AB
∴點(diǎn)A，B關(guān)于直線EF對(duì)稱(chēng)
∴
∴，
故選：C.
【點(diǎn)撥】本題主要考查了最短路徑問(wèn)題，熟練掌握相關(guān)解題技巧及三角形的高計(jì)算方法是解決本題的關(guān)鍵.
【典例1-2】如圖．在五邊形ABCDE中，∠BAE＝136°，∠B＝∠E＝90°，在BC、DE上分別找一點(diǎn)M、N，使得△AMN的周長(zhǎng)最小時(shí)，則∠AMN＋∠ANM的度數(shù)為（）
A．84°B．88°C．90°D．96°
【答案】B
【分析】
根據(jù)要使的周長(zhǎng)最小，即利用點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)，讓三角形的三邊在同一直線上，作出關(guān)于和的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) ,,即可得出，進(jìn)而得出即可得出答案．
【詳解】
解：如圖示，作關(guān)于和的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，，連接，交于，交于，則即為的周長(zhǎng)最小值．
延長(zhǎng)，作于點(diǎn)，
，
，
，
，，
且，，
，
故選：B．
【點(diǎn)撥】此題主要考查了平面內(nèi)最短路線問(wèn)題求法以及三角形的外角的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)已知得出，的位置是解題關(guān)鍵．
【典例1-3】如圖，，M，N分別是邊上的定點(diǎn)，P，Q分別是邊上的動(dòng)點(diǎn)，記，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，關(guān)于，的數(shù)量關(guān)系正確的是（）
B．
C． D．
【答案】B
【分析】
如圖，作M關(guān)于OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M′，N關(guān)于OA的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N′，連接M′N(xiāo)′交OA于Q，交OB于P，則MP+PQ+QN最小易知∠OPM=∠OPM′=∠NPQ，∠OQP=∠AQN′=∠AQN，KD∠OQN=180°-30°-∠ONQ，∠OPM=∠NPQ=30°+∠OQP，∠OQP=∠AQN=30°+∠ONQ，由此即可解決問(wèn)題．
【詳解】
如圖，作M關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，N關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接交于Q，交于P，則此時(shí)的值最?。?br>易知，．
∵，，
∴．
故選：B.
【點(diǎn)撥】本題考查軸對(duì)稱(chēng)-最短問(wèn)題、三角形的內(nèi)角和定理．三角形的外角的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．
針對(duì)訓(xùn)練1
【變式1-1】如圖，直線L是一條河，P，Q是兩個(gè)村莊．欲在L上的某處修建一個(gè)水泵站，向P，Q兩地供水，現(xiàn)有如下四種鋪設(shè)方案，圖中實(shí)線表示鋪設(shè)的管道，則所需管道最短的是（）
B．
C．． D
【答案】A
【分析】
利用對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，通過(guò)等線段代換，將所求路線長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為兩定點(diǎn)之間的距離．
【詳解】
作點(diǎn)P關(guān)于直線L的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P′，連接QP′交直線L于M．
根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，可知選項(xiàng)D鋪設(shè)的管道，則所需管道最短．
故選：A．
【點(diǎn)撥】本題考查了最短路徑的數(shù)學(xué)問(wèn)題．這類(lèi)問(wèn)題的解答依據(jù)是“兩點(diǎn)之間，線段最短”．由于所給的條件的不同，解決方法和策略上又有所差別
【變式1-2】如圖，在中BC=5，垂直平分BC，點(diǎn)P為直線EF上一動(dòng)點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值是________．
【答案】7
【分析】
根據(jù)題意知點(diǎn)B關(guān)于直線EF的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)C，故當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí)，AP+BP的最小值，求出AC長(zhǎng)度即可得到結(jié)論．
【詳解】
解：∵EF垂直平分BC，
∴B、C關(guān)于EF對(duì)稱(chēng)，
連接AC交EF于D，
∴當(dāng)P和D重合時(shí)，AP+BP的值最小，最小值等于AC的長(zhǎng)，
∴△ABP周長(zhǎng)的最小值是4+3=7．
故答案為：7．
【點(diǎn)撥】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)-最短路線問(wèn)題的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是找出P的位置．
【變式1-3】如圖，在銳角中，，邊上有一定點(diǎn)分別是和邊上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，的度數(shù)是_________．
【答案】80°
【分析】
根據(jù)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，易求得∠C+∠EPF=180°，由 ∠ACB=50°，易求得∠D+∠G=50°，繼而求得答案；
【詳解】
∵ PD⊥AC，PG⊥BC，
∴∠PEC=∠PFC=90°，
∴ ∠C+∠EPF=180°，
∵∠C=50°，
∵∠D+∠G+∠EPF=180°，
∴ ∠D+∠G=50°，
由對(duì)稱(chēng)可知：∠G=∠GPN，∠D=∠DPM， L
∴∠GPN+∠DPM=50°，
∴∠MPN=130°-50°=80°，
故答案為：80°．
【點(diǎn)撥】此題考查了最短路徑問(wèn)題以及線段垂直平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵是注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
【聚焦考點(diǎn)2】
將軍飲馬模型總結(jié)：依據(jù)垂線段最短求最值
【典例剖析2】
【典例2-1】如圖，在中，，是的平分線．若，分別是和上的動(dòng)點(diǎn)，且的面積為，則的最小值是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
由題意可知，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，先確定當(dāng)取最小值時(shí)動(dòng)點(diǎn)、的位置，再利用三角形的面積公式即可求出答案．
【詳解】
過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，如圖所示
∵平分，、分別是和上的動(dòng)點(diǎn)
∴，與關(guān)于對(duì)稱(chēng)
∴此時(shí)，
∵，
∴
∴的最小值是
故選：C
【點(diǎn)撥】本題是軸對(duì)稱(chēng)最短路線問(wèn)題，主要考查了角平分線的性質(zhì)、對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)以及三角形的面積公式，確定是解題的關(guān)鍵．
【典例2-2】如圖，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD是BC邊上的中線且AD＝4，F(xiàn)是AD上的動(dòng)點(diǎn)，E是AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則CF+EF的最小值為_(kāi)____．
【答案】
【分析】
作BM⊥AC于M，交AD于F，根據(jù)三線合一定理求出BD的長(zhǎng)和AD⊥BC，根據(jù)三角形面積公式求出BM，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性質(zhì)求出BF＝CF，根據(jù)垂線段最短得出CF+EF≥BM，即可得出答案．
【詳解】
解：作BM⊥AC于M，交AD于F，
∵AB＝AC＝5，BC＝6，AD是BC邊上的中線，
∴BD＝DC＝3，AD⊥BC，AD平分∠BAC，
∴B、C關(guān)于AD對(duì)稱(chēng)，
∴BF＝CF，
根據(jù)垂線段最短得出：CF+EF＝BF+EF≥BF+FM＝BM，
即CF+EF≥BM，
∵S△ABC＝×BC×AD＝×AC×BM，
∴BM＝＝＝，
即CF+EF的最小值是，
故答案為：．
【點(diǎn)撥】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)﹣?zhàn)疃搪肪€問(wèn)題，關(guān)鍵是畫(huà)出符合條件的圖形，題目具有一定的代表性，是一道比較好的題目．
針對(duì)訓(xùn)練2
【變式2-1】如圖，在△ABC中，AB = AC = 8，S△ABC = 16，點(diǎn)P為角平分線AD上任意一點(diǎn)，PE⊥AB，連接PB，則PB+PE的最小值為_(kāi)____．
【答案】4
【分析】
利用角平分線定理確定當(dāng)BF⊥AC時(shí)，PB+PE的值最小，再利用三角形面積公式，即可求得.
【詳解】
如圖，∵AB = AC = 8，AD平分
∴
∴當(dāng)BF⊥AC時(shí)，PB+PE的值最小=BF

∴BF=4
∴PB+PE的最小值為4.
【點(diǎn)撥】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)-最短路徑問(wèn)題，也可以用角平分線定理考慮，找到PE+PB最小值的情況并畫(huà)出圖形，是解題的關(guān)鍵.
【變式2-2】如圖，在△AOB中，∠OAB=∠AOB=15o，OB=5，OC平分∠AOB，點(diǎn)P在射線OC上，Q是OA上一動(dòng)點(diǎn)，則PA+PQ的最小值是__________
【答案】
【分析】
在射線OB上截取一點(diǎn)Q′，使得OQ′＝OQ，則△OPQ≌△OPQ′，可得PQ＝PQ′．作AH⊥OB于H．可得PA＋PQ＝PA＋PQ′，推出當(dāng)A、P、Q′共線，且垂直O(jiān)B時(shí)，PA＋PQ′的值最小，最小值為AH．
【詳解】
解：在射線OB上截取一點(diǎn)Q′，使得OQ′＝OQ，則△OPQ≌△OPQ′，可得PQ＝PQ′．作AH⊥OB于H．
∴PA＋PQ＝PA＋PQ′，
∴當(dāng)A、P、Q′共線，且垂直O(jiān)B時(shí)，PA＋PQ′的值最小，最小值為AH，
在Rt△ABH中，∵OB＝AB＝5，∠ABH＝30°，
∴AH＝AB＝，
∴PA＋PQ的最小值為，
故答案為：．
【點(diǎn)撥】本題考查軸對(duì)稱(chēng)?最短問(wèn)題、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形30度角性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用軸對(duì)稱(chēng)解決最短問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．
【能力提升2】
【提升2-1】如圖，在中，，，，是的角平分線，點(diǎn)，點(diǎn)分別是，邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，則的最小值為_(kāi)__________．
【答案】．．
【分析】
作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，則，，當(dāng)，，在同一直線上，且時(shí)，的最小值等于垂線段的長(zhǎng)，利用含角的直角三角形的性質(zhì)，即可得到的最小值．
【詳解】
解：如圖所示，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，則，，
，
當(dāng)，，在同一直線上，且時(shí)，的最小值等于垂線段的長(zhǎng)，
此時(shí)，△中，，
，
的最小值為，
故答案為：．
【點(diǎn)撥】本題主要考查了最短路線問(wèn)題，凡是涉及最短距離的問(wèn)題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合軸對(duì)稱(chēng)變換來(lái)解決，多數(shù)情況要作點(diǎn)關(guān)于某直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)．
【提升2-2】如圖，∠AOB的邊OB與x軸正半軸重合，點(diǎn)P是OA上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N（6，0）是OB上的一定點(diǎn)，點(diǎn)M是ON的中點(diǎn)，∠AOB=30°，要使PM+PN最小，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)____．
【答案】（3，）
【解析】
【分析】
作N關(guān)于OA的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N′，連接N′M交OA于P，則此時(shí)，PM＋PN最小，由作圖得到ON＝ON′，∠N′ON＝2∠AON＝60°，求得△NON′是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到N′M⊥ON，解直角三角形即可得到結(jié)論．
【詳解】
作N關(guān)于OA的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N′，連接N′M交OA于P，
則此時(shí)，PM＋PN最小，
∵OA垂直平分NN′，
∴ON＝ON′，∠N′ON＝2∠AON＝60°，
∴△NON′是等邊三角形，
∵點(diǎn)M是ON的中點(diǎn)，
∴N′M⊥ON，
∵點(diǎn)N（6，0），
∴ON＝6，
∵點(diǎn)M是ON的中點(diǎn)，
∴OM＝3，
∴PM＝，
∴P（3，）．
故答案為：（3，）
【點(diǎn)撥】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)?最短路線問(wèn)題，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，關(guān)鍵是確定P的位置．
【聚焦考點(diǎn)3】
造橋選址問(wèn)題
構(gòu)造平行四邊形AA`NM，則AM轉(zhuǎn)化為A`N，之后再依據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，連接A`B即為A、B之間陸地距離的最小值
村莊A和村莊B位于一條小河的兩側(cè)，若河岸彼此平行，要架設(shè)一座與河岸垂直的橋，橋址應(yīng)該如何選擇，才能使A與B之間的距離最短
A`
特別地：“兩動(dòng)兩定”型將軍飲馬，平行四邊形的構(gòu)造都是為了消除動(dòng)點(diǎn)間的間距d，所以平行四邊形的兩鄰邊中，一邊是間距d、另一邊是定動(dòng)線段AM或BN中的一條。
【典例剖析3】
【典例3-1】如圖，矩形OACB中，OA＝3，OB＝4，D為OB中點(diǎn)，E，F(xiàn)為OA上兩動(dòng)點(diǎn)，且EF＝2，則四邊形CDEF周長(zhǎng)最小值為。
解析提示：
【解答】解：作點(diǎn)D關(guān)于OA的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M，作MN∥OA，使MN＝2，連接CN，交OA于點(diǎn)E，過(guò)M點(diǎn)作MF∥EN，交OA于F，則此時(shí)四邊形CDEF周長(zhǎng)最??；
∵BC＝3，BD＝2，
∴CD＝＝，
∵DF＝MF＝EN，
∴DF+CE＝CN，
∵CN＝＝＝，
∴四邊形CDEF周長(zhǎng)最小值為CD+EF+CN＝++2．故答案為++2．
【典例3-1】如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3，E、F是對(duì)角線BD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且EF＝，連接CE、CF，則△CEF周長(zhǎng)的最小值為。
解析提示：
【解答】解：如圖所示，連接AE，AC，以AE，EF為鄰邊作平行四邊形AEFG，
則AE＝FG，EF＝AG＝，∠GAD＝∠ADF＝45°＝∠DAC，
∴∠GAC＝90°，
∵AB＝CB，∠ABE＝∠CBE，BE＝BE，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴CE＝AE＝GF，
∴CE+CF＝GF+CF，
∴當(dāng)G，F(xiàn)，C在同一直線上時(shí)，CF+FG的最小值等于CG的長(zhǎng)，
此時(shí)，Rt△ACG中，CG＝＝＝2，
∴CF+FG的最小值等于2，又∵EF＝，
∴△CEF周長(zhǎng)的最小值為，故答案為：
針對(duì)訓(xùn)練3
【變式3-1】如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P、Q在EF上．且滿足PQ＝2，則四邊形APQB周長(zhǎng)的最小值為。
【解答】解：∵AB＝5，PQ＝2，
∴四邊形APQB的周長(zhǎng)為AP+PQ+BQ+AB＝AP+BQ+7，
則要使四邊形APQB的周長(zhǎng)最小，只要AP+BQ最小即可．
在AB邊上截取AM＝PQ，
∵點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)B關(guān)于EF的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)C，
連接CM，交EF于點(diǎn)Q，
則CM即為AP+BQ的最小值．
在Rt△BCM中，MB＝AB﹣AM＝5﹣2＝3，BC＝4，
∴CM＝＝5，
∴四邊形APQB的周長(zhǎng)最小值為5+7＝12．故答案為：12．
【變式3-2】如圖，已知，在矩形ABCD中，AD＝4，AB＝8，點(diǎn)E，F(xiàn)是邊CD上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)F在點(diǎn)E右側(cè)），且EF＝2，則四邊形ABFE周長(zhǎng)的最小值為。
【解答】解：在AB上截取AA′＝EF，作點(diǎn)A′關(guān)于直線DC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A″，連接BA″交CD于F，此時(shí)四邊形AEFB的周長(zhǎng)最?。?br>四邊形AEFB的周長(zhǎng)的最小值＝AB+EF+AE+BF＝AB+EF+A′F+BF＝AB+EF+A″F+BF＝AB+EF+A″B＝8+2+＝20，
故答案為20．
【能力提升3】
【提升3-1】如圖，在邊長(zhǎng)為10的菱形ABCD中，對(duì)角線BD＝16．點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，P、Q是BD上的動(dòng)點(diǎn)，且始終保持PQ＝2．則四邊形AEPQ周長(zhǎng)的最小值為。（結(jié)果保留根號(hào)）
【解答】解：如圖所示：
將菱形ABCD放置在平面直角坐標(biāo)系中，使得B為原點(diǎn)，BD在x的正半軸上，
∵菱形ABCD的邊長(zhǎng)是10，對(duì)角線BD＝16，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，
∴A（8，6），B（0，0），E（4，3），將A平行向左移動(dòng)2個(gè)單位到A'點(diǎn)，則A'（6，6），作A'關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F，則F（6，﹣6），連EF，交x軸于點(diǎn)P，在x軸上向正方向上截取PQ＝2，
此時(shí)，四邊形AEPQ的周長(zhǎng)最小，
∵AE＝＝5，PQ＝2，AQ+EP＝A'P+EP＝FP+EP＝EF，
∴四邊形四邊形AEPQ的周長(zhǎng)＝5+2+＝7+．故答案為：7+．
【提升3-2】已知點(diǎn)A（1，0）函數(shù)y＝x+1的圖象上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P、Q，且PQ＝3，求四邊形OPQA的周長(zhǎng)最小值。
【解答】解：如圖，作AE∥PQ，使得AE＝PQ＝3，作點(diǎn)E關(guān)于直線PQ的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F，連接OF交直線y＝x+1于P，
此時(shí)四邊形OAQP的周長(zhǎng)最?。絆A+AQ+PQ+OP＝OA+PQ+PE+OP＝OA+PF+OP+PQ＝OA+PQ+OF．
由題意E（﹣2，﹣3），F(xiàn)（﹣4，﹣1），
∴OF＝＝，
∴四邊形OAQP的周長(zhǎng)的最小值為1+3+．
故答案為：1+3+．
【聚焦考點(diǎn)4】
差值最大型
1.如圖，定點(diǎn)A與B在定直線l的同側(cè)（A，B兩點(diǎn)到l的距離不相等），在直線上l求作一點(diǎn)P，使的值最大.

如圖：連接BA并延長(zhǎng)，交直線l于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求。此時(shí)
最大，最大值為AB的長(zhǎng).
原理：三角形任意兩邊之差小于第三邊.
2.如圖，定點(diǎn)A，B在定直線l的異側(cè)（A,B兩點(diǎn)到l的距離不相等），在直線l上求作一點(diǎn)P，使的值最大.

作法：如圖，作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A'，連接A'B并延長(zhǎng)交直線l于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求，此時(shí)最大，最大值為BA'的長(zhǎng).
原理：三角形任意兩邊之差小于第三邊.
【典例剖析4】
【典例4-1】、已知：A（1，2），B（4，-2），在直線上找一點(diǎn)P，使最大，并求其最大值。

總結(jié)：
【簡(jiǎn)解】A關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A'(3,0)據(jù)知識(shí)點(diǎn)3易得的最大值為
A'B=,
【典例4-2】如圖，兩點(diǎn)A，B在直線MN的同側(cè)，A到MN的距離AC=8，B到MN的距離BD=5，CD=4，P在直線MN上運(yùn)動(dòng)，則的最大值為。
【解答】解：延長(zhǎng)AB交MN于點(diǎn)P′，
∵P′A﹣P′B＝AB，AB≥|PA﹣PB|，∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到P′點(diǎn)時(shí)，|PA﹣PB|最大，
∵BD＝5，CD＝4，AC＝8，
過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AC，則BE＝CD＝4，AE＝AC﹣BD＝8﹣5＝3，
∴AB＝＝＝5．∴|PA﹣PB|＝5為最大．故答案為：5．
針對(duì)訓(xùn)練4
【變式4-1】如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均相等，的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上．
(1)在圖中畫(huà)出與關(guān)于直線l成軸對(duì)稱(chēng)的；
(2)在直線l上找出一點(diǎn)Q，使得的值最??；（描出該點(diǎn)并標(biāo)注字母Q）
(3)在直線l上找出一點(diǎn)P，使得的值最大．（保留作圖痕跡并標(biāo)注點(diǎn)P）
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)見(jiàn)解析
(3)見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的選擇作圖即可；
（2）與直線l上找出一點(diǎn)Q，利用兩點(diǎn)之間線段最短可判斷Q點(diǎn)滿足條件；
（3）連接并延長(zhǎng)，交直線l于點(diǎn)P，連接，此時(shí)最大．
【詳解】（1）如圖，即為所求．
（2）如圖，點(diǎn)Q即為所求．
（3）如圖，點(diǎn)P即為所求．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖—軸對(duì)稱(chēng)變換，熟練掌握軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．
【能力提升4】
【提升4-1】如圖，A、B兩點(diǎn)在直線l的兩側(cè)，點(diǎn)A到直線l的距離AC＝4，點(diǎn)B到直線l的距離BD＝2，且CD＝6，P為直線CD上的動(dòng)點(diǎn)，則|PA﹣PB|的最大值是。
【解答】解：作點(diǎn)B于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′，連AB′并延長(zhǎng)交直線l于P．
∴B′D＝BD＝2，∵AC∥B′D，
∴，即，
解得：PD＝6，PC＝6+6＝12，
∴PA＝，PB′＝，
∴|PA﹣PB|的最大值＝2．
類(lèi)型
問(wèn)題
作法
圖形
原理
異側(cè)型“兩定一動(dòng)”型
連接AB
PA＋PB的最小值為AB，兩點(diǎn)之間，線段最短
同側(cè)型“兩定一動(dòng)”型
作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A`，連接A`B，A`B與直線l的交點(diǎn)即為點(diǎn)P
AP+BP=A`B，兩點(diǎn)之間線段最短
角內(nèi)部“一定兩動(dòng)”型
分別作點(diǎn)P關(guān)于兩直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P`，P``，連接P`P``，與兩直線交點(diǎn)即為點(diǎn)M、N
PM+MN+PN=P`P``，兩點(diǎn)之間，線段最短
角內(nèi)部“兩定兩動(dòng)”型
分別作點(diǎn)P、Q關(guān)于直線l1，l2的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P`，Q`，連接P`Q`，與直線的交點(diǎn)即為點(diǎn)M、N
PQ+PM+MN+NQ=PQ+P`Q`，兩點(diǎn)之間線段最短
如圖，點(diǎn)P、點(diǎn)Q分別為直線BC、直線AB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求AP＋PQ的最小值
作點(diǎn)A關(guān)于直線BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A`，過(guò)點(diǎn)A`作A`Q⊥AB與點(diǎn)Q，A`Q與直線BC交點(diǎn)即為點(diǎn)P
AP+PQ=A`Q，點(diǎn)到直線的距離，垂線段最短

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