專題11 畫軸對稱圖形（含答案）【暑假預習課堂】新八年級數(shù)學同步精講精練（人教版）-試卷下載-教習網(wǎng)

目錄
【考點一鏡面對稱】
【考點二設計軸對稱圖形】
【考點三坐標與圖形變換-軸對稱】
【考點四軸對稱綜合題（幾何變換）】
【聚焦考點1】
軸對稱的性質
(1)由一個平面圖形可以得到它關于一條直線l成軸對稱的圖形，所得圖形與原圖形全等．
(2)新圖形上的每一點都是原圖形上的某一點關于直線l的對稱點．
(3)連接任意一對對應點的線段被對稱軸垂直平分
【典例剖析1】
【典例1-1】小明在鏡中看到身后墻上的時鐘如下，你認為（）實際時間最接近9：00．
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)鏡面對稱的性質，在平面鏡中的鐘面上的時針、分針的位置和實物應關于過12時、6時的直線成軸對稱．
【解答】解：根據(jù)平面鏡成像原理可知，鏡中的像與原圖象之間實際上只是進行了左右對換，由軸對稱知識可知，只要將其進行左可翻折，即可得到原圖象，故應該在B和D選項中選擇，B更接近9點．
故選：B．
【點評】考查了鏡面對稱，這是一道開放性試題，解決此類題注意技巧；注意鏡面反射的原理與性質．
【典例1-2】如圖，設L1和L2是鏡面平行相對且間距為30cm的兩面鏡子，把一個小球A放在L1和L2之間，小球在鏡L1中的像為A′，A′在鏡L2中的像為A′′，則AA′′等于（）
A．10cmB．20cmC．40cmD．60cm
【分析】如圖所示，經(jīng)過反射后，A'B＝AB，A'C＝CA''，從而得到AA''＝AC+A''C＝AC+A'C＝AC+2AB+AC＝2BC，即可求解．
【解答】解：如圖所示，經(jīng)過反射后，A'B＝AB，A'C＝CA''，
∴AA''＝AC+A''C＝AC+A'C＝AC+2AB+AC＝2BC＝60cm．
故選：D．
【點評】本題考查的是鏡面反射的性質；解決本題的關鍵，是理解實物與像關于鏡面對稱．那么到鏡面的距離就相等．
針對訓練1
【變式1-1】小明照鏡子的時候，發(fā)現(xiàn)T恤上的英文單詞在鏡子中呈現(xiàn)的樣子是（）
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)鏡面對稱的性質，在平面鏡中的像與現(xiàn)實中的事物恰好左右顛倒，且關于鏡面對稱，分析并作答．
【解答】解：根據(jù)鏡面對稱的性質，分析可得題中所給的圖片與A顯示的圖片成軸對稱，故選A．
【點評】本題考查鏡面反射的原理與性質．解決此類題應認真觀察，注意技巧．
【變式1-2】光線a照射到平面鏡CD上，然后在平面鏡AB和CD之間來回反射，光線的反射角等于入射角．若已知∠1＝55°，∠3＝75°，則∠2＝（）
A．50°B．55°C．66°D．65°
【分析】由入射角等于反射角可得∠6＝∠1＝55°，∠5＝∠3＝75°，那么利用三角形的內(nèi)角和定理和平角定義可得∠2+∠4＝∠5+∠6，所以∠5+∠6除以2即為∠2的度數(shù)．
【解答】解：∵∠6＝∠1＝55°，∠5＝∠3＝75°，
∴∠2＝（55+75）÷2＝65°，故選D．
【點評】解決本題的關鍵是得到所求角與所給角的數(shù)量關系；用到的知識點為：入射角等于反射角；三角形的內(nèi)角和是180°等．
【變式1-3】一輛汽車車牌如圖所示，則在正面看它在馬路上水中的倒影為（）
A．
B．
C．
D．
【分析】根據(jù)鏡面對稱的性質求解，在平面鏡中的像與現(xiàn)實中的事物恰好左右或上下順序顛倒，且關于鏡面對稱．
【解答】解：根據(jù)鏡面對稱的性質，題中所顯示的圖片與A顯示的圖片成軸對稱，所以在正面看它在馬路上水中的倒影為A顯示的圖片．故選A．
【點評】本題考查鏡面反射的原理與性質．解決此類題應認真觀察，注意技巧．
【能力提升1】
【提升1-1】某公路急轉彎處設立了一面大鏡子，從鏡子中看到汽車的車輛的號碼如圖所示，則該汽車的號碼是．
【分析】利用鏡面對稱的性質求解．鏡面對稱的性質：在平面鏡中的像與現(xiàn)實中的事物恰好順序顛倒，且關于鏡面對稱．
【解答】解：根據(jù)鏡面對稱的性質，題中所顯示的圖片中的數(shù)字與“B6395”成軸對稱，則該汽車的號碼是B6395．
【點評】本題考查鏡面反射的原理與性質．解決此類題應認真觀察，注意技巧．
【提升1-2】如圖，光線a照射到平面鏡CD上，然后在平面鏡AB和CD之間來回反射，這時光線的入射角等于反射角，即∠1＝∠6，∠5＝∠3，∠2＝∠4．若已知∠1＝55°，∠3＝75°，那么∠2等于 65 度．
【分析】由光線的入射角等于反射角，結合三角形內(nèi)角和定理易求∠2．
【解答】解：根據(jù)題意：光線的入射角等于反射角，即∠1＝∠6＝55°，∠5＝∠3＝75°，
則180°﹣∠2﹣∠4＝180°﹣∠6﹣∠5．
即2∠2＝130度．
故∠2＝65度．
【點評】本題考查鏡面反射的原理與性質，在鏡面反射中，入射角等于反射角．解決此類題應認真觀察，注意技巧．
【提升1-3】今天是2003年9月1日，小明拿起一盒牛奶剛要喝，媽媽說：“兒子，牛奶保質期過了，別喝了”，小明從鏡子里看到保質期的數(shù)字是，牛奶真的過期了嗎？為什么？
【分析】易得所求的日期與看到的日期關于豎直的一條直線成軸對稱，作出相應圖形即可求得保質日期．
【解答】解：|20030824，
∴實際的保質期應是20030824，故牛奶已經(jīng)過期．
【點評】解決本題的關鍵是找到相應的對稱軸；難點是作出相應的對稱圖形．
【聚焦考點2】
畫已知圖形的軸對稱圖形
依據(jù)：
如果兩個圖形的對應點的連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個圖形關于這條直線對稱，據(jù)此我們通過作出已知點的對稱點的方法作出已知圖形的軸對稱圖形．
(2)方法：
①選擇一些特殊的點；
②過這些點分別作已知直線(對稱軸)的垂線，并在垂線上找到一些點(截取)，使得這些點到對稱軸的距離分別相等，從而得到已知點的對稱點；
③順次連接這些對稱點得到的圖形，即為已知圖形的軸對稱圖形．
【典例剖析2】
【典例2-1】如圖，小強拿一張正方形的紙，沿圖甲中虛線對折一次得圖乙，再對折一次得圖丙，然后用剪刀沿圖丙中的虛線剪去一個角，再打開后的形狀是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】嚴格按照圖中的方法親自動手操作一下，即可很直觀地呈現(xiàn)出來．
【詳解】解：嚴格按照圖中的順序向右下對折，向左下對折，從上方角剪去一個直角三角形，展開得到結論．
故選：B．
【點評】此題主要考查了學生的動手能力及空間想象能力，解題的關鍵是學生只要親自動手操作，答案就會很直觀地呈現(xiàn)．
【典例2-2】如圖所示，在的正方形網(wǎng)格中，我們稱每個小正方形的頂點為“格點”，以格點為頂點的三角形叫做“格點三角形”. 是一個格點三角形，請你在圖1，圖2，圖3中分別畫出一個與成軸對稱的格點三角形，并將所畫三角形涂上陰影.（注：所畫的三個圖不能重復.）
【答案】圖形見解析，答案不唯一，
【分析】根據(jù)題意畫出圖形即可.
【詳解】答案不唯一，例如：
【點評】本題考查格點畫圖能力,關鍵在于理解題意,由題意畫圖.
針對訓練2
【變式2-1】如圖，點A，B，C都落在網(wǎng)格的頂點上．
(1)寫出點A，B，C的坐標；
(2)△與△ABC關于y軸對稱，畫出△．
【答案】(1)A，B，C的坐標分別是（0，1），（1，3），（4，3）；
(2)見解析
【分析】（1）依據(jù)點A，B，C的位置即可得到其坐標；
（2）分別作出點A、B、C關于y軸的對稱點，順次連接即可；
【詳解】（1）解：由點A，B，C在坐標系中的位置可得點A，B，C的坐標分別是（0，1），（1，3），（4，3）；
（2）△如圖所示：
【點評】本題主要考查了利用軸對稱作圖，作圖時要先找到圖形的關鍵點，分別把這幾個關鍵點按照軸對稱確定對應點后，再順次連接對應點即可得到軸對稱后的圖形．
【變式2-2】如圖，在平面直角坐標系中，
（1）作出關于軸對稱的，并寫出三個頂點的坐標；
（2）請計算的面積；
【答案】（1）見解析；；（2）5．
【分析】（1）分別找到點A、B、C的關于y軸的對稱點A1、B1、C1，連接A1B1，A1C1，B1C1，即可畫出，然后根據(jù)關于y軸對稱的兩點坐標關系：橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標相等，即可得出結論；
（2）用一個長方形將△ABC框住，然后用長方形的面積減去三個直角三角形的面積即可得出結論．
【詳解】（1）根據(jù)題意，分別找到點A、B、C的關于y軸的對稱點A1、B1、C1，連接A1B1，A1C1，B1C1，如圖所示：即為所求．
∵點A的坐標為（0,-2），點B的坐標為（2，-4），點C的坐標為（4,-1）
∴；
（2）用一個長方形將框住，如上圖所示，
∴的面積為: ；
【點評】此題考查的是畫關于y軸對稱的圖形、求關于y軸對稱的點的坐標和求三角形的面積，掌握關于y軸對稱的兩點坐標關系：橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標相等和用一個長方形將△ABC框住，△ABC的面積等于長方形的面積減去三個直角三角形的面積是解決此題的關鍵．
【能力提升2】
【提升2-1】．如圖，△ABC在正方形網(wǎng)格中，若A(0，3)，按要求回答下列問題：
（1）在圖中建立正確的平面直角坐標系；
（2）根據(jù)所建立的坐標系，寫出B和C的坐標；
（3）在圖中畫出△ABC關于x軸對稱的△A1B1C1．
【答案】（1）見解析；（2）B(﹣3，﹣1)，C(1，1)；（3）見解析
【分析】（1）根據(jù)題意建立適當平面直角坐標系，即可求解；
（2）根據(jù)（1）中，建立平面直角坐標系，即可求解；
（3）根據(jù)題意可得：點的對應點的坐標為，再順次連接，即可求解．
【詳解】解：（1）所建立的平面直角坐標系如圖所示：
（2）點B和點C的坐標分別為：B(﹣3，﹣1)，C(1，1)；
（3）根據(jù)題意得：點的對應點的坐標為，
如圖所示，△A1B1C1即為所求．
【點評】本題主要考查了平面直角坐標系內(nèi)坐標與圖形，軸對稱圖形，熟練掌握平面直角坐標系內(nèi)坐標的特征和軸對稱圖形的性質是解題的關鍵．
【提升2-2】如圖，在平面直角坐標系中，，，．
(1)作出關于x軸對稱的圖形，并寫出點的坐標；
(2)在x軸上作出點P，使得最短，并寫出點P的坐標．
【答案】(1)圖見解析，
(2)圖見解析，
【分析】（1）根據(jù)A（4，1），B（﹣4，﹣2），C（1，﹣3）和軸對稱的性質即可作出△ABC關于x軸對稱的圖形△A1B1C1，進而寫出點B1的坐標；
（2）連接B1C交x軸于點P即可使得PB+PC最短，進而可以寫出點P的坐標．
【詳解】（1）解：如圖，△A1B1C1即為所求；
點B1的坐標為（﹣4，2）；
（2）解：如圖，點P即為所求；點P的坐標：（﹣2，0）．
【點評】本題考查了作圖﹣旋轉變換，軸對稱﹣最短路徑問題，坐標與圖形變化﹣平移，解題的關鍵是掌握旋轉的性質．
【聚焦考點3】
1.關于x軸、y軸對稱的點的坐標的特點點(x，y)
關于x軸對稱的點的坐標為(x，－y)
關于y軸對稱的點的坐標為(－x，y)
關于原點對稱的點的坐標為(－x，—y)，
2.平面直角坐標系中的軸對稱
方法：先求出已知圖形中一些特殊點關于x軸(或y軸)的對稱點的坐標，描出這些點，并順次連接，就可得到這個圖形關于x軸(或y軸)的對稱圖形．
3.P(x，y)關于直線x＝m，直線y＝n對稱的點的坐標
（1）點(x，y)關于直線x＝m對稱的點的坐標關系是：兩對稱點橫坐標之和等于2m，即所求點的橫坐標x1＝2m－x，縱坐標不變；
（2）關于直線y＝n對稱的點的坐標關系是：兩對稱點縱坐標之和等于2n，即所求點的縱坐標y1＝2n－y. 橫坐標不變。
【典例剖析3】
【典例3-1】已知點M（3a﹣11，5），N（﹣2，2b﹣1）．
（1）若M，N關于y軸對稱，求a，b的值；
（2）若點M向左平移3個單位長度后與點N關于x軸對稱，求a+b的平方根．
【分析】（1）關于y軸的對稱點的坐標特點：橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標不變．據(jù)此可得關于a，b的方程組，進而得出a，b的值．
（2）關于x軸的對稱點的坐標特點：縱坐標互為相反數(shù)，橫坐標不變．據(jù)此可得關于a，b的方程組，進而得出a+b的平方根．
【解答】解：（1）依題意得3a﹣11＝2，2b﹣1＝5，
∴a＝，b＝3．
（2）點M向左平移3個單位長度后的坐標為（3a﹣14，5），
∵點M向左平移3個單位長度后與點N關于x軸對稱，
∴3a?14＝?2，2b﹣1＝﹣5，
∴a＝2，b＝﹣2，
∴a+b＝2﹣2＝0，
∴a+b的平方根為0．
【點評】本題考查了關于x軸、y軸對稱的點的坐標，解決本題的關鍵是掌握好對稱點的坐標規(guī)律：關于x軸對稱的點，橫坐標相同，縱坐標互為相反數(shù)；關于y軸對稱的點，縱坐標相同，橫坐標互為相反數(shù)．
【典例3-2】在平面直角坐標系中，已知點A（x，y），點B（x﹣my，mx﹣y）（其中m為常數(shù)，且m≠0），則稱B是點A的“m族衍生點”．例如：點A（1，2）的“3族衍生點”B的坐標為（1﹣3×2，3×1﹣2），即B（﹣5，1）．
（1）點（2，0）的“2族衍生點”的坐標為；
（2）若點A的“3族衍生點”B的坐標是（﹣1，5），則點A的坐標為；
（3）若點A（x，0）（其中x≠0），點A的“m族衍生點“為點B，且AB＝OA，求m的值；
（4）若點A（x，y）的“m族衍生點”與“﹣m族衍生點”關于y軸對稱，則點A在；
（5）若點A（x，y）的“m族衍生點”（m≠1）在第一、三象限的角平分線上，則點A在．（描述點A的位置）
【分析】（1）利用“m族衍生點”的定義可求解；
（2）設點A坐標為（x，y），利用“m族衍生點”的定義列出方程組，即可求解；
（3）先求出點A的“m族衍生點“為點B（x，mx），由AB＝OA，可求解；
（4）先求出點A（x，y）的“m族衍生點”為（x﹣my，mx﹣y），點A（x，y）的“﹣m族衍生點”為（x+my，﹣mx﹣y），由關于y軸對稱的性質可求x＝0，即可求解；
（5）確定點A（x，y）的“m族衍生點”，再根據(jù)第一、三象限的角平分線的性質列等式可解答．
【解答】解：（1）點（2，0）的“2族衍生點”的坐標為（2﹣2×0，2×2﹣0），即（2，4），
故答案為（2，4）；
故答案為：（2，4）；
（2）設點A坐標為（x，y），
由題意可得：，
∴，
∴點A坐標為（2，1）；
故答案為：（2，1）；
（3）∵點A（x，0），
∴點A的“m族衍生點“為點B（x，mx），
∴AB＝|mx|，
∵AB＝OA，
∴|x|＝|mx|，
∴m＝±1；
（4）∵點A（x，y），
∴點A（x，y）的“m族衍生點”為（x﹣my，mx﹣y），點A（x，y）的“﹣m族衍生點”為（x+my，﹣mx﹣y），
∵點A（x，y）的“m族衍生點”與“﹣m族衍生點”都關于y軸對稱，
∴，
∴x＝0，
∴點A在y軸上，
故答案為：y軸上；
（5）∵點A（x，y）的“m族衍生點”的坐標為（x﹣my，mx﹣y），且在第一、三象限的角平分線上，
∴x﹣my＝mx﹣y，
∴x+y＝m（x+y），
∴（x+y）（m﹣1）＝0，
∴m≠1，
∴x+y＝0，
∴點A在第二、四象限角平分線上．
故答案為：在第二、四象限角平分線上．
【點評】本題考查了二元一次方程組的解法，軸對稱的性質，理解“m族衍生點”的定義并能運用是本題的關鍵．
針對訓練3
【變式3-1】已知點A（m﹣2，5）和B（3，n+4），A，B兩點關于y軸對稱，求m﹣n的值．
【分析】直接利用關于y軸對稱點的性質（橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標不變）得出m，n的值，進而得出答案．
【解答】解：∵點A（m﹣2，5）和B（3，n+4）兩點關于y軸對稱，
∴m﹣2＝﹣3，n+4＝5，
解得m＝﹣1，n＝1，
∴m﹣n＝﹣1﹣1＝﹣2．
【點評】此題主要考查了關于x，y軸對稱點的性質，正確記憶橫縱坐標的關系是解題關鍵．
【變式3-2】如圖，在直角坐標平面內(nèi)，已知點A的坐標是（0，3），點B的坐標是（﹣3，﹣2）
（1）圖中點C的坐標是（3，﹣2）．
（2）三角形ABC的面積為 15 ．
（3）點C關于x軸對稱的點D的坐標是（3，2）．
（4）如果將點B沿著與x軸平行的方向向右平移3個單位得到點B′，那么A、B′兩點之間的距離是 5 ．
（5）圖中四邊形ABCD的面積是 21 ．
【分析】（1）根據(jù)平面直角坐標系可直接寫出C點坐標；
（2）根據(jù)三角形的面積公式可得答案；
（3）根據(jù)關于x軸對稱的點的坐標特點：橫坐標不變，縱坐標互為相反數(shù)可得D點坐標；
（4）根據(jù)點的平移：橫坐標，右移加，左移減；縱坐標，上移加，下移減可得B′點坐標，進而得到答案；
（5）用△ABC的面積加上△ACD的面積即可．
【解答】解：（1）根據(jù)題意得點C的坐標為（3，﹣2）；
故答案為：（3，﹣2）；
（2）△ABC的面積：．
故答案為：15；
（3）點C關于x軸對稱的點D的坐標是（3，2）；
故答案為：（3，2）；
（4）將點B沿著與x軸平行的方向向右平移3個單位得到點B′（﹣3+3，﹣2），即（0，﹣2），
A、B′兩點之間的距離是：3﹣（﹣2）＝5；
故答案為：5；
（5），
∴四邊形ABCD的面積為：S△ABC+S△ACD＝15+6＝21．
故答案為：21
【點評】此題主要考查了坐標與圖形變化﹣平移，關于x軸對稱的點的坐標，平面直角坐標系，以及三角形的面積，關鍵是掌握點的坐標的變化規(guī)律．
【能力提升3】
【提升3-1】如圖，已知線段AC∥y軸，點B在第一象限，且AO平分∠BAC，AB交y軸于G，連OB、OC．
（1）判斷△AOG的形狀，并予以證明；
（2）若點B、C關于y軸對稱，求證：AO⊥BO．
【分析】（1）易證∠CAO＝∠AOG和∠CAO＝∠GAO，即可判定△AOG是等腰三角形；
（2）連接BC交y軸于K，過A作AN⊥y軸于N，易證△ANG≌△BKG，即可證明∠BOG＝∠OBG，∠OAG＝∠AOG，根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°性質即可解題．
【解答】解：（1）△AOG是等腰三角形；
證明：∵AC∥y軸，
∴∠CAO＝∠AOG，
∵AO平分∠BAC，
∴∠CAO＝∠GAO，
∴∠GAO＝∠AOG，
∴AG＝GO，
∴△AOG是等腰三角形；
（2）證明：連接BC交y軸于K，過A作AN⊥y軸于N，
∵AC∥y軸，點B、C關于y軸對稱，
∴AN＝CK＝BK，
在△ANG和△BKG中，
，
∴△ANG≌△BKG，（AAS）
∴AG＝BG，
∵AG＝OG，（1）中已證，
∴AG＝OG＝BG，
∴∠BOG＝∠OBG，∠OAG＝∠AOG，
∵∠OAG+∠AOG+∠BOG+∠OBG＝180°，
∴∠AOG+∠BOG＝90°，
∴AO⊥BO．
【點評】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應邊、對應角相等的性質，本題中求證△ANG≌△BKG是解題的關鍵．
【提升3-2】在平面直角坐標系中，有點A（a，1）、點B（2，b）．
（1）當A、B兩點關于直線y＝﹣1對稱時，求△AOB的面積；
（2）當線段AB∥x軸，且AB＝4時，求a﹣b的值．
【分析】（1）利用對稱的性質得a＝2，b＝﹣3，進而得到A（2，1），B（2，﹣3），然后根據(jù)三角形面積公式求解；
（2）利用AB∥x軸得到A、B的縱坐標相同，則b＝1，所以|a﹣2|＝4，解得b＝﹣2或b＝6，然后分別計算對應的a﹣b的值．
【解答】解：（1）由題意，得a＝2，b＝﹣3，則A（2，1），B（2，﹣3）．
設AB與x軸相交于點D，則OD＝2，AB＝4．
∴S△AOB＝AB×OD＝×4×2＝4．
（2）∵AB∥x軸，
∴A、B的縱坐標相同，
∴b＝1．
∴B（2，1）
∵AB＝4，
∴|a﹣2|＝4．
解得a＝﹣2或a＝6．
當a＝﹣2，b＝1時，a﹣b＝﹣3．
當a＝6，b＝1時，a﹣b＝5．
【點評】本題考查了坐標與圖形變化﹣對稱：關于x軸對稱，橫坐標相等，縱坐標互為相反數(shù)；關于y軸對稱，縱坐標相等，橫坐標互為相反數(shù)．
【聚焦考點4】
【典例剖析4】
【典例4-1】如圖，△ABE和△ADC分別沿著邊AB、AC翻折180°形成的，若∠BCA：∠ABC：∠BAC＝28：5：3，BE與DC交于點F，則∠EFC的度數(shù)為（）
A．20°B．30°C．40°D．45°
【分析】根據(jù)∠BCA：∠ABC：∠BAC＝28：5：3，三角形的內(nèi)角和定理分別求得∠BCA，∠ABC，∠BAC的度數(shù)，然后根據(jù)折疊的性質求出∠D、∠DAE、∠BEA的度數(shù)，在△AOD中，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠AOD的度數(shù)，繼而可求得∠EOF的度數(shù)，最后根據(jù)三角形的外角定理求出∠EFC的度數(shù)．
【解析】在△ABC中，
∵∠BCA：∠ABC：∠BAC＝28：5：3，
∴設∠BCA為28x，∠ABC為5x，∠BAC為3x，
則28x+5x+3x＝180°，
解得：x＝5°，
則∠BCA＝140°，∠ABC＝25°，∠BAC＝15°，
由折疊的性質可得：∠D＝25°，∠DAE＝3∠BAC＝45°，∠BEA＝140°，
在△AOD中，∠AOD＝180°﹣∠DAE﹣∠D＝110°，
∴∠EOF＝∠AOD＝110°，
∴∠EFC＝∠BEA﹣∠EOF＝140°﹣110°＝30°．
故選：B．
【點評】本題考查圖形的折疊變化及三角形的內(nèi)角和定理．關鍵是要理解折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據(jù)軸對稱的性質，折疊前后圖形的形狀和大小不變，只是位置變化．
【典例3-2】在△ABC中，∠ACB＝90°AC＝BC，直線MN經(jīng)過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）當MN繞點C旋轉到圖1的位置時，請你探究線段DE、AD、BE之間的數(shù)量關系（直接寫出結論，不要求寫出證明過程）；
（2）當MN繞點C旋轉到圖2的位置時，你在（1）中得到的結論是否發(fā)生變化？請寫出你的猜想，并加以證明；
（3）當MN繞點C旋轉到圖3的位置時，你在（1）中得到的結論是否發(fā)生變化？請寫出你的猜想，并加以證明．
【分析】（1）根據(jù)題意推出△ADC≌△CEB，即可，（2）根據(jù)題意推出△ACD≌△CBE，即可推出DE＝AD﹣BE，（3）根據(jù)題意推出△ACD≌△CBE，即可推出DE＝BE﹣AD．
【解析】（1）線段DE、AD、BE之間的數(shù)量關系是DE＝AD+BE．（2分）
（2）如圖2，
猜想：（1）中得到的結論發(fā)生了變化．
證明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°．
∴∠BCE+∠CBE＝90°．
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°．
∴∠ACD＝∠CBE．
∵AC＝CB，
∴△ACD≌△CBE．（3分）
∴AD＝CE，CD＝BE．（4分）
∵DE＝CE﹣CD，
∴DE＝AD﹣BE．（5分）
（3）如圖3，
猜想：（1）中得到的結論發(fā)生了變化．
證明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°．
∴∠BCE+∠CBE＝90°．
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°．
∴∠ACD＝∠CBE．
∵AC＝CB，
∴△ACD≌△CBE．（6分）
∴AD＝CE，CD＝BE．（7分）
∵DE＝CD﹣CE，
∴DE＝BE﹣AD．（8分）
【點評】本題主要考查全等三角形的判定和性質，關鍵在于求證相關的三角形全等，找出等量關系進行代換即可．
針對訓練4
【變式4-1】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝7cm，BC＝5cm，CD為AB邊上的高，點E從點B出發(fā)，在直線BC上以2cm/s的速度移動，過點E作BC的垂線交直線CD于點F．
（1）求證：∠A＝∠BCD；
（2）當CF＝AB時，點E運動多長時間？并說明理由．
【分析】（1）根據(jù)余角的性質即可得到結論；
（2）如圖，分點E在射線BC上移動和點E在射線CB上移動兩種情況，證△CEF≌△ACB得CE＝AC＝5，繼而得出BE的長，從而得出答案．
【解析】（1）∵∠A+∠ACD＝90°，∠BCD+∠ACD＝90°，
∴∠A＝∠BCD；
（2）如圖，當點E在射線BC上移動時，
∵∠A＝∠BCD，∠BCD＝∠ECF，
∴∠A＝∠ECF，
在△CFE與△ABC中，
∠CEF=∠ACB∠ECF=∠ACF=AB，
∴△CEF≌△ACB（AAS），
∴CE＝AC＝7，
∴BE＝BC+CE＝12，
∴t＝12÷2＝6（s）；
當點E在射線CB上移動時，
同理△CF′E′≌△CBA（AAS），
∴CE′＝AC＝7，
∴BE′＝CE′﹣CB＝2，
∴t＝2÷2＝1（s）
總之，當點E在射線CB上移動6s或1s時，CF＝AB．
【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質，余角的性質，熟練掌握全等三角形的判定和性質是解題的關鍵．
【變式4-2】如圖，在△ABC中，點E是BC邊上的一點，連接AE，BD垂直平分AE，垂足為F，交AC于點D，連接DE．
（1）若△ABC的周長為18，△DEC的周長為6，求AB的長．
（2）若∠ABC＝30°，∠C＝45°，求∠CDE的度數(shù)．
【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質得到AB＝BE，AD＝DE，根據(jù)三角形的周長公式計算，得到答案；
（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC，證明△BAD≌△BED，根據(jù)全等三角形的性質得到∠BED＝∠BAC＝105°，根據(jù)三角形的外角性質計算即可．
【解析】解：（1）∵BD是線段AE的垂直平分線，
∴AB＝BE，AD＝DE，
∵△ABC的周長為18，△DEC的周長為6，
∴AB+BE+EC+CD+AD＝18，CD+EC+DE＝CD+CE+AD＝6，
∴AB+BE＝18﹣6＝12，
∴AB＝6；
（2）∵∠ABC＝30°，∠C＝45°，
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣45°＝105°，
在△BAD和△BED中，
BA=BEBD=BDDA=DE，
∴△BAD≌△BED（SSS），
∴∠BED＝∠BAC＝105°，
∴∠CDE＝∠BED﹣∠C＝105°﹣45°＝60°．
【能力提升4】
【提升4-1】如圖，在△ABC中，∠ACB＝90，AC＝6，BC＝8．點P從點A出發(fā)，沿折線AC﹣﹣CB以每秒1個單位長度的速度向終點B運動，點Q從點B出發(fā)沿折線BC﹣CA以每秒3個單位長度的速度向終點A運動，P、Q兩點同時出發(fā)．分別過P、Q兩點作PE⊥l于E，QF⊥l于F．設點P的運動時間為t（秒）：
（1）當P、Q兩點相遇時，求t的值；
（2）在整個運動過程中，求CP的長（用含t的代數(shù)式表示）；
（3）當△PEC與△QFC全等時，直接寫出所有滿足條件的CQ的長．
【分析】（1）由題意得t+3t＝6+8，即可求得P、Q兩點相遇時，t的值；
（2）根據(jù)題意即可得出CP的長為6?t(t≤6)t?6(6＜t≤14)；
（3）分兩種情況討論得出關于t的方程，解方程求得t的值，進而即可求得CQ的長．
【解析】（1）由題意得t+3t＝6+8，
解得t=72（秒），
當P、Q兩點相遇時，t的值為72秒；
（2）由題意可知AP＝t，
則CP的長為6?t(t≤6)t?6(6＜t≤14)；
（3）當P在AC上，Q在BC上時，
∵∠ACB＝90，
∴∠PCE+∠QCF＝90°，
∵PE⊥l于E，QF⊥l于F．
∴∠EPC+∠PCE＝90°，∠PEC＝∠CFQ＝90°，
∴∠EPC＝∠QCF，
∴△PCE≌△CQF，
∴PC＝CQ，
∴6﹣t＝8﹣3t，解得t＝1，
∴CQ＝8﹣3t＝5；
當P在AC上，Q在AC上時，即P、Q重合時，則CQ＝PC，
由題意得，6﹣t＝3t﹣8，
解得t＝3.5，
∴CQ＝3t﹣8＝2.5，
當P在BC上，Q在AC上時，即A、Q重合時，則CQ＝AC＝6，
綜上，當△PEC與△QFC全等時，滿足條件的CQ的長為5或2.5或6．
【點評】本題考查了三角形全等的判定和性質，根據(jù)題意得出關于t的方程是解題的關鍵．
【提升3-2】將兩個全等的△ABC和△DBE按圖1方式擺放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠A＝∠D＝30°，點E落在AB上，DE所在直線交AC所在直線于F．
（1）求證：AF+EF＝DE；
（2）若將圖1中的△DBE繞點B順時針旋轉角a，且60°＜α＜180°，其他條件不變，如圖2，請直接寫出此時線段AF、EF與DE之間的數(shù)量關系．
【分析】（1）由全等三角形的性質可得BC＝BE，DE＝AC，AB＝BD，由“HL”可證Rt△BCF≌Rt△BEF，可得EF＝CF，由線段之間關系可求解；
（2）由全等三角形的性質可得BC＝BE，DE＝AC，AB＝BD，由“HL”可證Rt△BCF≌Rt△BEF，可得EF＝CF，由線段之間關系可求解．
證明：（1）連接BF，
∵△ABC≌△DBE
∴BC＝BE，DE＝AC，AB＝BD，
∵BE＝BC，BF＝BF
∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL）
∴EF＝CF
∴DE＝AC＝AF+CF＝AF+EF
（2）連接BF，
∵△ABC≌△DBE
∴BC＝BE，DE＝AC，AB＝BD，
∵BE＝BC，BF＝BF
∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL）
∴EF＝CF
∴AF＝AC+CF＝DE+EF
【點評】本題考查了旋轉的性質，全等三角形的判定和性質，熟練運用全等三角形的判定是本題的關鍵．

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