【專題導(dǎo)航】
目錄
【考點一 多邊形】
【考點二 多邊形的內(nèi)角】
【考點三 多邊形外角】
【聚焦考點1】
定義：在平面內(nèi)不在同一直線上的一些線段首尾順次相接所組成的封閉圖形叫做多邊形．其中，各個角相等、各條邊相等的多邊形叫做正多邊形.
2．相關(guān)概念：
邊：組成多邊形的各條線段叫做多邊形的邊．
頂點：每相鄰兩條邊的公共端點叫做多邊形的頂點．
內(nèi)角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫多邊形的內(nèi)角，一個n邊形有n個內(nèi)角.
外角：多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角.
對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線．
3. 多邊形的分類:畫出多邊形的任何一邊所在的直線，如果整個多邊形都在這條直線的同一側(cè)，那么這個多邊形就是凸多邊形，如果整個多邊形不在直線的同一側(cè)，這個多邊形叫凹多邊形．如圖：
凸多邊形
凹多邊形
要點詮釋：
（1）正多邊形必須滿足兩個條件（1）各邊相等，各角相等。
（2）過多邊形一個頂點有（n-3）條對角線。N邊形共有n(n?3)2條對角線
（3）過n邊形一個頂點把n邊形分成(n-2)個三角形。
【典例剖析1】關(guān)于正多邊形的概念，下列說法正確的是（ ）
A．各邊相等的多邊形是正多邊形
B．各角相等的多邊形是正多邊形
C．各邊相等或各角相等的多邊形是正多邊形
D．各邊相等且各角相等的多邊形是正多邊形
【答案】D
【提示】
根據(jù)正多邊形的定義判定即可．
【詳解】
解：A．各邊相等、各角也相等的多邊形是正多邊形，故本選項不合題意；
B．各邊相等、各角也相等的多邊形是正多邊形，故本選項不合題意；
C．各邊相等、各角也相等的多邊形是正多邊形，故本選項不合題意；
D．各邊相等且各角相等的多邊形是正多邊形，正確，故本選項符合題意．
故選：D．
【點評】
本題考查了正多邊形的定義、熟記各邊相等、各角也相等的多邊形是正多邊形是解決問題的關(guān)鍵．
【典例1-2】若一個多邊形的對角線共有14條，則這個多邊形的邊數(shù)是（ ）
A．6B．7C．10D．14
【答案】B
【提示】
根據(jù)多邊形的對角線的條數(shù)公式 列式計算即可求解．
【詳解】
解：設(shè)這個多邊形的邊數(shù)是n，
則＝14，
整理得，n2﹣3n﹣28＝0，
解得：n＝7，n＝﹣4（舍去）．
故選：B．
【點評】
本題考查一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握多邊形對角線條數(shù)與邊數(shù)的關(guān)系，并據(jù)此列出方程．
針對訓(xùn)練1
【變式1-1】下列平面圖形中，屬于八邊形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)多邊形的定義：平面內(nèi)不在同一條直線上的幾條線段首尾順次相接組成的圖形叫多邊形．平面內(nèi)不在同一條直線上的八條線段首尾順次相接組成的圖形叫八邊形，據(jù)此解答．
【解答】解：A、是六邊形，故此選項不符合題意；
B、是四邊形，故此選項不符合題意；
C、是八邊形，故此選項符合題意；
D、是圓，故此選項不符合題意．
故選：C．
【點評】本題考查了多邊形．理解多邊形的定義，能夠根據(jù)多邊形的定義進行正確判斷是解題的關(guān)鍵．
【變式1-2】三角形具有穩(wěn)定性，所以要使如圖所示的五邊形木架不變形，至少要釘上（ ）根木條．
A．1B．2C．3D．4
【分析】三角形具有穩(wěn)定性，所以要使五邊形木架不變形需把它分成三角形，即過六邊形的一個頂點作對角線，有幾條對角線，就至少要釘上幾根木條．
【解答】解：過五邊形的一個頂點作對角線，有5﹣3＝2條對角線，所以至少要釘上2根木條．
故選：B．
【點評】本題考查了三角形具有穩(wěn)定性，是基礎(chǔ)題，作出圖形更形象直觀
【變式1-3】若一個正多邊形每一個外角都相等，且一個內(nèi)角的度數(shù)是140°，則這個多邊形是（ ）
A．正七邊形B．正八邊形C．正九邊形D．正十邊形
【分析】先根據(jù)平角的定義求出每一個外角的度數(shù)，再根據(jù)邊數(shù)＝360°÷外角度數(shù)計算即可．
【解答】解：180°﹣140°＝40°，
360°÷40°＝9，
∴這個多邊形是正九邊形．
故選：C．
【點評】本題考查了正多邊形的外角與外角和的關(guān)系，需要熟練掌握并靈活運用．
【能力提升1】 多邊形
【提升1-1】已知：從n邊形的一個頂點出發(fā)共有4條對角線；從m邊形的一個頂點出發(fā)的所有對角線把m邊形分成6個三角形；正t邊形的邊長為7，周長為63．求（n﹣m）t的值．
【分析】根據(jù)題意，由多邊形的性質(zhì)，分析可得答案．
【解答】解：依題意有n＝4+3＝7，
m＝6+2＝8，
t＝63÷7＝9
則（n﹣m）t＝（7﹣8）9＝﹣1．
【點評】本題考查正多邊形的性質(zhì)，從n邊形的一個頂點出發(fā)，能引出（n﹣3）條對角線，一共有n(n?3)2條對角線，經(jīng)過多邊形的一個頂點的所有對角線把多邊形分成（n﹣2）個三角形．這些規(guī)律需要學(xué)生牢記．
【提升1-2】（1）如圖，要使四邊形木架（由四根木條釘成）不變形，可以再釘上幾根木條．請在圖①中畫出你想到的方法（至少畫兩種），至少要釘幾根木條？
（2）五邊形呢？請在圖②中畫出你想到的方法（至少畫兩種），至少要釘幾根木條？
（3））由以上探究猜想，要使n邊形的木架不變形，至少要釘上幾根木條？
【分析】從n邊性的一個頂點出發(fā)，可以引（n﹣3）條對角線．據(jù)此解答．
【解答】解：（1）如圖①根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性可知：要使木架不變形，則需要將四邊形木架釘木條轉(zhuǎn)化為三角形，至少需再釘4﹣3＝1（根）木條；
（2）如圖②五邊形木架釘木條轉(zhuǎn)化為三角形，至少需再釘5﹣3＝2（根）木條；
（3）四邊形木架至少需再釘1根木條，五邊形木架至少需再釘2根木條，綜上可得要使n邊形木架不變形，至少需要再釘（n﹣3）根木條．
【點評】本題主要考查多邊形的對角線、三角形的穩(wěn)定性，掌握三角形具有穩(wěn)定性是解題的關(guān)鍵．
【聚焦考點2】
n邊形的內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和為(n?2)?180°
【典例剖析2】多邊形的內(nèi)角和
【典例2-1】（1）正八邊形的每個內(nèi)角是每個外角的m倍，求m的值；
（2）一個多邊形的外角和是內(nèi)角和的，求這個多邊形的邊數(shù)．
【分析】（1）利用多邊形的內(nèi)角和公式及正多邊形的性質(zhì)求得正八邊形的一個內(nèi)角的度數(shù)，繼而求得一個外角的度數(shù)，兩者作商即可；
（2）設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n，利用多邊形的內(nèi)角和與外角和列得方程，解方程即可．
【解答】解：（1）∵正八邊形的每個內(nèi)角為：（8﹣2）×180°÷8＝135°，
∴它的每個外角為：180°﹣135°＝45°，
則m＝135÷45＝3；
（2）設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n，
則（n﹣2）?180°×＝360°，
解得：n＝14，
即這個多邊形的邊數(shù)為14．
【點評】本題考查多邊形的內(nèi)角和與外角和，此為基礎(chǔ)且重要知識點，必須熟練掌握．
【典例2-2】在我們蘇科版義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)七下第42頁曾經(jīng)研究過雙內(nèi)角平分線的夾角和內(nèi)外角平分線夾角問題．聰聰在研究完上面的問題后，對這類問題進行了深入的研究，他的研究過程如下：
【問題再現(xiàn)】：
（1）如圖1，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分線交于點P，∠A＝40°，則∠BPC＝ 110 °；
【問題解決】：
（2）如圖2，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分線交于點P，將△ABC沿DE折疊使得點A與點P重合，若∠1+∠2＝100°，求∠BPC的度數(shù)；
【問題推廣】：
（3）如圖3，在△ABC中，∠BAC的角平分線與△ABC的外角∠CBM的角平分線交于點P，過點B作BH⊥AP于點H，若∠ACB＝82°，直接寫出∠PBH＝ 49 °；
【拓展提升】：
（4）在四邊形BCDE中，EB∥CD，點F在射線DE上運動（點F不與E，D兩點重合），連接BF，CF，∠EBF、∠DCF的角平分線交于點Q，若∠EBF＝α，∠DCF＝β，直接寫出∠Q和α，β之間的數(shù)量關(guān)系．
【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和角平分線的定義求解即可；
（2）先由折疊的性質(zhì)和平角的定義得到∠AED+∠ADE＝130°，進而求出∠A＝50°，同（1）即可得到答案；
（3）先由角平分線的定義得到∠BAC＝2∠BAP，∠CBM＝2∠CBP，再由三角形外角的性質(zhì)得到∠CBP＝∠BAP+41°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理推出∠P＝180°﹣∠BAP﹣∠ABP＝41°，再由垂線的定義得到∠BHP＝90°，則∠PBH＝180°﹣∠P﹣∠BHP＝49°；
（4）分點F在點E左側(cè)，點F在D、E之間，點F在點D右側(cè)三種情況討論求解即可．
【解答】解：（1）∵∠A＝40°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝140°，
∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴∠ABC＝2∠PBC，∠ACB＝2∠PCB（角平分線的定義），
∴2∠PBC+2∠PCB＝140°，
即∠PBC+∠PCB＝70°，
∴∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB＝110°，
故答案為：110；
（2）由折疊的性質(zhì)可得∠AED＝∠PED，∠ADE＝∠PDE，
∵∠1+∠AEP＝180°，∠2+∠ADP＝180°，∠1+∠2＝100°，
∴2∠AED+2∠ADE＝260°，
∴∠AED+∠ADE＝130°，
∴∠A＝180°﹣∠AED﹣∠ADE＝50°，
∵∠A＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝130°，
∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴∠ABC＝2∠PBC，∠ACB＝2∠PCB（角平分線的定義），
∴2∠PBC+2∠PCB＝130°，
即∠PBC+∠PCB＝65°，
∴∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB＝115°；
（3）∵AP平分∠BAC，BP平分∠CBM，
∴∠BAC＝2∠BAP，∠CBM＝2∠CBP（角平分線的定義），
∵∠CBM＝∠BAC+∠ACB，
∴∠CBP＝∠BAP+41°，
∵∠ABC＝180°﹣∠ACB﹣∠BAC，
∴∠ABC＝98°﹣2∠BAP，
則∠ABC+∠CBP+∠BAP+∠P＝180°（平角定義），
∴∠P＝180°﹣∠BAP﹣∠ABC﹣∠CBP＝41°，
∵BH⊥AP，
即∠BHP＝90°（垂直定義），
∴∠PBH＝180°﹣∠P﹣∠BHP＝49°；
故答案為：49；
（4）當F在E點左側(cè)時，如圖4﹣1所示：
∵DE∥CD，
∴∠CBE+∠BCD＝180°，
∵BQ平分∠EBF，CQ平分∠DCF，
∴∠EBQ＝∠EBF＝，
∠QCF＝∠DCF＝，
∠Q＝180°﹣∠QBC﹣∠QCB＝180°﹣∠QBE﹣∠EBC﹣∠FCB﹣∠QCF＝，
當F在D，E之間時，如圖所示：
同理可得，，
∠FBC+∠FCB＝180°﹣∠DCF﹣∠EBF＝180°﹣α﹣β，
∴；
綜上所述，F(xiàn)在ED中間；F在D左側(cè)∠Q＝．
【點評】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，垂線的定義，熟知相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．
【典例2-3】將三角形紙片ABC沿直線DE折疊，使點A落在A′處．
【感知】如果點A′落在邊AB上，這時圖①中的∠1變?yōu)?°，那么∠A′與∠2之間的關(guān)系是 ∠2＝2∠EA'D ；
【探究】如果點A′落在四邊形BCDE的內(nèi)部（如圖①），那么∠A′與∠1、∠2之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．
【拓展】如果點A′落在四邊形BCDE的外部（如圖②），那么請直接寫出∠A′與∠1、∠2之間存在數(shù)量關(guān)系 2∠A′＝∠2﹣∠1 ．
【分析】（1）根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出，∠2＝∠A+∠A'，即可求出答案；
（2）根據(jù)折疊性質(zhì)得出∠AED＝∠A′ED，∠ADE＝∠ADE，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可；
（3）沿DE折疊A和A′重合，利用三角形外角性質(zhì)求解即可．
【解答】解：（1）如圖，
∵∠2＝∠A+∠EA′D，由折疊可知：∠A＝∠EA'D，
∴∠2＝2∠EA'D；
故答案為：2∠EA'D＝∠2；
（2）圖1中，2∠A'＝∠1+∠2．
理由是：∵沿DE折疊A和A′重合，
∴∠A＝∠A'，∠AED＝∠A′ED，∠ADE＝∠A′DE，∠AED+∠ADE＝180°﹣∠A，
∵∠1+∠2＝180°+180°﹣2 （∠AED+∠ADE），
∴∠1+∠2＝360°﹣2 （180°﹣∠A）＝2∠A，
∴2∠A＝∠1+∠2；
∵∠A＝∠A'，
∴∠1+∠2＝2∠A'．
（3）如圖2，2∠A＝∠2﹣∠1，
理由是：∵沿DE折疊A和A′重合，
∴∠A＝∠A′，
∵∠DME＝∠A'+∠1，∠2＝∠A+∠DME，
∴∠2﹣∠A＝∠A+∠1，即 2∠A＝∠2﹣∠1．
【點評】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，及三角形外角的性質(zhì)等知識，根據(jù)已知得出△ADE≌△A'DE是解題關(guān)鍵．
針對訓(xùn)練2
【變式2-1】如圖，已知四邊形紙片ABCD的邊AB∥CD，E是邊CD上任意一點，沿BE折疊△BCE，點C落在點F的位置．
（1）如圖①，點F落在四邊形ABED的內(nèi)部，探索∠FED，∠ABF，∠C之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（2）如圖②，點F落在邊CD的上方，設(shè)BF與CD交于點N，直接寫出∠FED，∠ABF，∠C之間的數(shù)量關(guān)系，不需要說明理由．
【分析】（1）數(shù)量關(guān)系：∠FED+∠ABF＝∠C．理由：過點F作MN∥CD，交AD于點M，交BC于點N，由平行線的性質(zhì)可得∠FED＝∠EFN，根據(jù)平行公理的推論可得MN∥AB，繼而得到∠NFB＝∠ABF，再結(jié)合折疊的性質(zhì)可得數(shù)量關(guān)系．
（2）過點F作GH∥CD，由平行線的性質(zhì)可得∠FED＝∠HFE，根據(jù)平行公理的推論可得GH∥AB，繼而得到得∠ABF＝∠HFB，再結(jié)合折疊的性質(zhì)可得數(shù)量關(guān)系．
【解答】解：（1）∠FED，∠ABF，∠C 之間的數(shù)量關(guān)系：∠FED+∠ABF＝∠C．
理由如下：如圖①，過點F作MN∥CD，交AD于點M，交BC于點N
則∠FED＝∠EFN，
∵AB∥CD，
∴MN∥AB，
∴∠NFB＝∠ABF，
∴∠FED+∠ABF＝∠EFN+∠NFB＝∠EFB，
由折疊的性質(zhì)得，△BCE≌△BFE，
∴∠EFB＝∠C，
∴∠FED+∠ABF＝∠C，
∴∠FED，∠ABF，∠C 之間的數(shù)量關(guān)系是：∠FED+∠ABF＝∠C．
（2）如圖②，過點F作GH∥CD
則∠FED＝∠HFE，
∵AB∥CD，
∴GH∥AB，
∴∠ABF＝∠HFB＝∠HFE+∠BFE＝∠FED+∠BFE，
由折疊的性質(zhì)得，△BCE≌△BFE，
∴∠BFE＝∠C，
∴∠ABF＝∠FED+∠C，即∠ABF﹣∠FED＝∠C，
∴∠FED，∠ABF，∠C 之間的數(shù)量關(guān)系是：∠ABF﹣∠FED＝∠C．
【點評】本題考查折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，平行公理的推論．掌握折疊的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式2-2】閱讀小明和小紅的對話，解決下列問題．
?
（1）這個“多加的銳角”是 30 ?度．
（2）小明求的是幾邊形內(nèi)角和？
（3）若這是個正多邊形，則這個正多邊形的一個內(nèi)角是多少度？
【分析】（1）根據(jù)多邊形內(nèi)角和的計算方法進行估算即可；
（2）根據(jù)對話和多邊形內(nèi)角和的計算方法列方程求解即可；
（3）根據(jù)正多邊形內(nèi)角的計算方法進行計算即可．
【解答】解：（1）12邊形的內(nèi)角和為（12﹣2）×180°＝1800°，而13邊形的內(nèi)角和為（13﹣2）×180°＝1980°，
由于小紅說“多邊形的內(nèi)角和不可能是1830°，你一定是多加了一個銳角”，
所以這個“多加的銳角”是1830°﹣1800°＝30°，
故答案為：30；
（2）設(shè)這個多邊形為n邊形，由題意得，
（n﹣2）×180°＝1800°，
解得n＝12，
答：小明求的是12邊形內(nèi)角和；
（3）正十二邊形的每一個內(nèi)角為＝150°，
答：這個正多邊形的一個內(nèi)角是150°．
【點評】本題考查多邊形的內(nèi)角和和外角和，掌握多邊形內(nèi)角和的計算方法以及正多邊形的性質(zhì)是正確解答的前提．
【變式2-3】如圖1，四邊形ABCD中，∠PAD，∠QCD是四邊形ABCD的外角．
（1）若∠B＝40°，∠ADC＝120°，則∠PAD+∠QCD＝ 160 °；
（2）如圖2，AE平分外角∠PAD，CF平分外角∠QCD，AE與CF相交于點M，若∠ADC＝∠B+90°，求∠AMC的度數(shù)；
（3）如圖3，AE平分外角∠PAD，CF平分外角∠QCD，若∠ADC＝∠B，判斷AE與CF的位置關(guān)系，并說明理由．
【分析】（1）通過連接BD，根據(jù)三角形外角性質(zhì)及∠ABC和∠ADC的度數(shù)求出答案；
（2）通過延長CD交AM于點G，連接BD，根據(jù)三角形外角性質(zhì)即可得到∠ADC＝∠DAM+∠DCM+∠AMC，根據(jù)（1）中結(jié)論，即可得到∠PAD+∠QCD＝∠ABC+∠ADC，根據(jù)角平分線的定義即可得到，根據(jù)∠ADC＝∠ABC+90°，即可求出答案；
（3）先判斷出AE與CF的位置關(guān)系為AE∥CF，過點D作DN∥AE，根據(jù)（1）中結(jié)論及∠ADC＝∠B，即可得到∠PAD+∠QCD＝2∠ADC，據(jù)平行線性質(zhì)即可得到∠DAE＝∠ADN，進一步得到∠CDN＝∠DAF，即可判斷出結(jié)論成立．
【解答】解：（1）如圖，連接BD，
∵∠PAD是△ABD的外角，∠QCD是△BCD的外角，
∴∠PAD＝∠ABD+∠ADB，∠QCD＝∠CBD+∠CDB，
∵∠ABD+∠CBD＝∠ABC＝40°，∠ADB+∠CDB＝∠ADC＝120°，
∴∠PAD+∠QCD＝∠ABD+∠ADB+∠CBD+∠CDB＝∠ABC+∠ADC＝160°，
故答案為：160；
（2）如圖，延長CD交AM于點G，連接BD，
∵∠AGC是△CGM的外角，
∴∠AGD＝∠AMC+∠DCM，
∵∠ADC是△ADG，
∴∠ADC＝∠DAM+∠AGC＝∠DAM+∠DCM+∠AMC，
由（1）可知：∠PAD+∠QCD＝∠ABC+∠ADC，
∵AE平分∠PAD，CF平分∠QCD，
∴，，
∴∠DAM+∠DCM＝＝，
∴∠DAM+∠DCM＝＝∠ABC+45°，
∴∠ABC+90°＝∠AMC+∠ABC+45°，
∴∠AMC＝45°；
（3）AE與CF的位置關(guān)系為AE∥CF理由如下：
如圖，過點D作DN∥AE，
由（1）知：∠PAD+∠QCD＝∠B+∠ADC，
∵∠ADC＝∠B，
∴∠PAD+∠QCD＝2∠ADC，
∵AE平分∠PAD，CF平分∠QCD，
∴，
∴∠DAE+∠DCF＝＝，
∵AE∥DN，
∴∠DAE＝∠ADN，
∴∠CDN＝∠DCF，
∴DN∥CF，
∴AE∥CF．
【點評】本題考查了角平分線的定義與三角形的外角性質(zhì)的應(yīng)用及平行線的性質(zhì)，熟練掌握其性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．
【能力提升2】多邊形的內(nèi)角和
【提升2-1】如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC、∠ADC的平分線分別與CD、AB相交于點E、F．
（1）若∠A＝∠C＝90°，試說明DF∥BE．
（2）若DF∥BE，則結(jié)論“∠A＝∠C＝90°”一定成立嗎？說明你的理由．
【分析】（1）根據(jù)四邊形內(nèi)角和得到∠ABC+∠ADC＝180°，再根據(jù)角平分線定義得到∠ABE＝∠ABC，∠ADF＝∠ADC，則∠ABE+∠ADF＝90°，加上∠AFD+∠ADF＝90°，利用等角的余角相等得∠AFD＝∠ABE，然后根據(jù)平行線的判定定理得到DF∥BE；
（2）先根據(jù)∠ABC、∠ADC的平分線分別與CD、AB相交于點E、F得∠ABE＝∠ABC，而∠ADF＝∠ADE，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出結(jié)論．
【解答】解：（1）DF∥BE，理由：
∵在四邊形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵BE是∠ABC、DF是∠ADC的平分線，
∴∠ABE＝∠ABC，∠ADF＝∠ADC，
∴∠ABE+∠ADF＝90°，
而∠AFD+∠ADF＝90°，
∴∠AFD＝∠ABE，
∴DF∥BE；
（2）不成立，理由：
∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC，
∵∠ADF＝∠AFD＝∠ADE，
∵BE∥DF，
∴∠ABE＝∠AFD＝∠CBE，∠ADF＝∠CDF＝∠CEB，
∵∠C+∠CEB+∠CBE＝180°＝∠A+∠AFD+∠ADF，
∴∠A＝∠C．
【點評】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，掌握平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義是正確解答的前提．
【提升2-2】已知，如圖，AD與BC交于點O．
（1）如圖1，判斷∠A+∠B與∠C+∠D的數(shù)量關(guān)系： ∠A+∠B＝∠C+∠D ，并證明你的結(jié)論．
（2）如圖2，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠M的度數(shù)為 540° ．
（3）如圖3，若CF平分∠BCD，DE平分∠ADC，CF與DE交于點M，∠E+∠F＝50°，請直接寫出∠A+∠B＝ 100° ．
【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及對頂角相等可得結(jié)論；
（2）利用（1）的結(jié)論以及五邊形的內(nèi)角和計算方法進行計算即可；
（3）利用角平分線的定義以及（1）的結(jié)論可得∠A+∠B＝∠OCD+∠ODC＝2（∠E+∠F）即可．
【解答】解：（1）∵∠AOB+∠A+∠B＝180°＝∠COD+∠C+∠D，∠AOB＝∠COD，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D，
故答案為：∠A+∠B＝∠C+∠D；
（2）如圖2，連接AB，
由（1）得，∠OBA+∠OAB＝∠C+∠D，
∴∠DAM+∠CBE+∠C+∠D+∠E+∠F+∠M的度數(shù)為五邊形ABEFM的內(nèi)角和，
即（5﹣2）×180°＝540°，
故答案為：540°；
（3）∵CF平分∠BCD，DE平分∠ADC，
∴∠MCD＝∠OCD，∠MDC＝∠ODC，
由（1）可得，∠E+∠F＝∠MCD+∠MDC，
∴∠OCD+∠ODC＝50°，
∴∠OCD+∠ODC＝100°，
∴∠A+∠B＝∠OCD+∠ODC＝100°，
故答案為：100°．
【點評】本題考查多邊形的內(nèi)角與外角，三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的定義，掌握三角形內(nèi)角和是180°，角平分線的定義以及多邊形內(nèi)角和的計算方法是正確解答的前提．
【提升2-3】直線在同一平面內(nèi)有平行和相交兩種位置關(guān)系，線段首尾連接可以變換出很多不同的圖形，這些不同的角又有很多不同關(guān)系，今天我們就來探究一下這些奇妙的圖形吧!
【問題探究】
（1）①如圖1，若AB∥CD，點P在AB，CD內(nèi)部，∠B＝55°，∠D＝30°，則∠BPD＝ 85° ；
②如圖2，若AB∥CD，將點P在AB，CD外部，則∠BPD，∠B，∠D之間數(shù)量關(guān)系： ∠BFD+∠D＝∠B （不需證明）；
③如圖3，寫出∠BPD，∠B，∠D，∠BQD之間的數(shù)量關(guān)系： ∠B+∠D+∠BQD＝∠BPD （不需證明）．
【變式拓展】
（2）如圖4，五角星ABCDE，請直接寫出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝ 180° ．
（3）如圖5，將五角星ABCDE去掉一個角后，∠B+∠C+∠D+∠E+∠P+∠Q是多少？請證明你的結(jié)論．
【分析】（1）①根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得出答案；
②利用平行線的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理可得答案；
③利用三角形的外角的性質(zhì)可得答案；
（2）利用三角形內(nèi)角和定理以及外角的性質(zhì)進行計算即可；
（3）利用三角形的內(nèi)角和定理以及四邊形的內(nèi)角和是360°進行計算即可．
【解答】解：（1）①如圖1，過點P作PQ∥AB，
∵ABCD，
∴AB∥PQ∥CD，
∴∠B＝∠BPQ，∠D＝∠DPQ，
∴∠BPD＝∠B+∠D
＝55°+30°
＝85°，
故答案為：85°；
②如圖2，
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠BQD，
又∵∠BQD＝∠D+∠BPD，
∴∠B＝∠BPD+∠D，
故答案為：∠B＝∠BPD+∠D；
③如圖3，延長BP交CD于點E，
∵∠BPD＝∠D+∠BED，∠BED＝∠QBP+∠BQD，
∴∠BPD＝∠D+∠QBP+∠BQD，
即∠BPD＝∠BQD+∠B+∠D，
故答案為：∠BPD＝∠BQD+∠B+∠D；
（2）如圖4，
∵∠CMN＝∠A+∠D，∠CNM＝∠B+∠E，
又∵∠CMN+∠CNM+∠C＝180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°，
故答案為：180°；
（3）證明：如圖5，連接CD，
∵∠B+∠E+∠BME＝∠DCE+∠BDC+∠CMD＝180°，∠BME＝∠CMD，
∴∠B+∠E＝∠DCE+∠BDC，
∵∠PCE+∠DCE+∠BDC+∠BDQ+∠P+∠Q＝360°，
∴∠B+∠C+∠D+∠E+∠P+∠Q＝360°．
【點評】本題考查平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理以及三角形的外角，掌握平行線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理是正確解答的前提.
【聚焦考點3】
n邊形的外角和定理：多邊形的外角和等于360°（與多邊形的形狀和邊數(shù)無關(guān)）。
【典例剖析3】多邊形的外角和
【典例3-1】一個多邊形的外角和與它的內(nèi)角和的比是2：9，求這個多邊形的邊數(shù)．
【分析】根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式180°（n﹣2）和外角和360°，列式計算即可．
【解答】解：設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n，
∴多邊形的內(nèi)角和是180°（n﹣2），
又∴多邊形的外角和是360°，
∴，
解得n＝11，
經(jīng)檢驗n＝11符合題意，
∴這個多邊形的邊數(shù)是11．
【點評】本題考查了多邊形的內(nèi)角和、外角和，解題的關(guān)鍵是掌握多邊形的內(nèi)角和計算公式，外角和360°．
【典例3-2】如圖，淇淇從點A出發(fā)，前進10米后向右轉(zhuǎn)20°，再前進10米后又向右轉(zhuǎn)20°，這樣一直下去，直到他第一次回到出發(fā)點A為止，他所走的路徑構(gòu)成了一個多邊形．
（1）求淇淇一共走了多少米？
（2）求這個多邊形的內(nèi)角和．
【分析】（1）第一次回到出發(fā)點A時，所經(jīng)過的路線正好構(gòu)成一個外角是20度的正多邊形，求得邊數(shù)，即可求解；
（2）根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式即可得到結(jié)論．
【解答】解：（1）∵所經(jīng)過的路線正好構(gòu)成一個外角是20度的正多邊形，
∴360÷20＝18，
18×10＝180（米）．
答：淇淇一共走了180米．
（2）根據(jù)題意，得（18﹣2）×180°＝2880°，
答：這個多邊形的內(nèi)角和是2880°．
【點評】本題考查了正多邊形的外角的計算以及多邊形的內(nèi)角和，第一次回到出發(fā)點A時，所經(jīng)過的路線正好構(gòu)成一個外角是20度的正多邊形是關(guān)鍵．
針對訓(xùn)練3
【變式3-1】閱讀佳佳與明明的對話，解決下列問題：
（1）“多邊形內(nèi)角和為2020°”，為什么不可能？
（2）明明求的是幾邊形的內(nèi)角和？
（3）多加的那個外角為多少度？
【分析】（1）根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式判斷即可；
（2）根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式判斷即可；
（3）由（2）即可得出答案．
【解答】解：（1）由多邊形內(nèi)角和180°（n﹣2）可知，多邊形內(nèi)角和是180的倍數(shù)，而2020不是180的倍數(shù)，故不可能是多邊形內(nèi)角和；
（2）由多邊形內(nèi)角和180°（n﹣2）可知，2020÷180＝11……40，所以n﹣2＝11，所以n＝13故多邊形是十三邊形；
（3）由（2）計算可知余數(shù)為40°，所以多加的外角為40°．
【點評】本題考查了多邊形內(nèi)角和公式，熟記多邊形內(nèi)角和180°（n﹣2）是解題的關(guān)鍵．
【變式3-2】（1）一個多邊形的內(nèi)角和是外角和的2倍，這個多邊形是幾邊形？
（2）小明求得一個多邊形的內(nèi)角和為1180°，小強很快發(fā)現(xiàn)小明所得的度數(shù)有誤，后來小明復(fù)查時發(fā)現(xiàn)他重復(fù)加了一個內(nèi)角，你能求出這個多邊形的邊數(shù)以及他重復(fù)加的那個角的度數(shù)是多少嗎？
【分析】（1）由多邊形內(nèi)角和定理，多邊形的外角和是360°，即可求解；
（2）由多邊形內(nèi)角和定理，即可求解．
【解答】解：（1）設(shè)這個多邊形的邊數(shù)是n，
由題意得：（n﹣2）×180°＝360°×2，
∴n＝6，
答：這個多邊形是6邊形；
（2）設(shè)這個多邊形的邊數(shù)是m，重復(fù)加的那個角的度數(shù)是x°，
由題意得：（m﹣2）×180°+x°＝1180°，
∴（m﹣2）×180°＝1180°﹣x°，
∵1180°÷180°＝6……100°，
∴x＝100，（m﹣2）×180°＝1080°，
∴m＝8．
答：這個多邊形的邊數(shù)是8，重復(fù)加的那個角的度數(shù)是100°．
【點評】本題考查多邊形的內(nèi)角和定理，關(guān)鍵是掌握多邊形的內(nèi)角和定理：（n﹣2）?180° （n≥3且n為整數(shù)）．
【能力提升3】多邊形的外角和
【提升3-1】利用圖形這一直觀性語言，在一定程度上可以降低我們認識和理解抽象邏輯推理的難度；利用圖形建構(gòu)幾何直觀，可以輕松實現(xiàn)空間形式和數(shù)量關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化．讓我們在如下的問題解決中體驗一下吧!
【模塊探究】
如圖1，求證：∠BOC＝∠A+∠B+∠C
【直觀應(yīng)用】
（1）應(yīng)用上述結(jié)論，若圖2中，∠EOF＝α，則∠A、∠B、∠C、∠D、∠E、∠F的度數(shù)之和等于 2α （直接給出結(jié)論，不必說明理由）
（2）應(yīng)用上述結(jié)論，求圖3所示的五角星中，∠A、∠B、∠C、∠D、∠E的度數(shù)之和是多少？證明你的結(jié)論；
【類比聯(lián)系】
如圖4，求∠A、∠B、∠C、∠D、∠E、∠F、∠G的度數(shù)之和是多少？證明你的結(jié)論．
【分析】模塊探究，由三角形外角的性質(zhì)，即可證明；
直觀應(yīng)用，應(yīng)用模塊探究的結(jié)論，即可解決問題；
類比聯(lián)系，應(yīng)用模塊探究的結(jié)論，即可解決問題．
【解答】
模塊探究，證明：延長BO交AC于D，
∵∠BOC＝∠C+∠CDO，∠CDO＝∠A+∠B，
∴∠BOC＝∠A+∠B+∠C；
直觀應(yīng)用，解：（1）由上述結(jié)論得：∠BOC＝∠A+∠B+∠C，∠EOF＝∠D+∠E+∠F，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝∠BOC+∠EOF＝2α，
故答案為：2α．
（2）∠A、∠B、∠C、∠D、∠E的度數(shù)之和是180°，
證明：∵∠BOC＝∠A+∠B+∠C，∠COD＝∠E+∠D，
∴∠A+∠B+∠C+∠E+∠D＝∠BOC+∠COD＝180°；
類比聯(lián)系：∵∠DMN＝∠G+∠GNM，∠GNM＝∠BNC＝∠F+∠B+∠C，
∴∠DMN＝∠G+∠F+∠B+∠C，
∵∠EMD＝∠A+∠E+∠D
∴∠A+∠E+∠D+＝∠G+∠F+∠B+∠C＝∠EMD+∠DMN＝180°．
【點評】本題考查角的計算，關(guān)鍵是注意應(yīng)用題目中的結(jié)論．
【提升3-2】（1）問題發(fā)現(xiàn)：由“三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和”聯(lián)想到四邊形的外角．
如圖①，∠1，∠2是四邊形ABCD的兩個外角．
∵四邊形ABCD的內(nèi)角和是360°，
∴∠A+∠D+（∠3+∠4）＝360°，
又∵∠1+∠3+∠2+∠4＝360°，
由此可得∠1，∠2與∠A，∠D的數(shù)量關(guān)系是 ∠1+∠2＝∠A+∠D ；
（2）知識應(yīng)用：如圖②，已知四邊形ABCD，AE，DE分別是其外角∠NAD和∠MDA的平分線，若∠B+∠C＝220°，求∠E的度數(shù)；
（3）拓展提升：如圖③，四邊形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠CDN和∠CBM是它的兩個外角，且，，求∠P的度數(shù)．
【分析】（1）根據(jù)兩個等式，可以得出∠1，∠2與∠A，∠D的數(shù)量關(guān)系．
（2）根據(jù)第（1）問結(jié)論，先確定∠MDA與∠DAN的和，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可以確定∠EDA與∠DAE的和．這樣就可以確定∠E的度數(shù)．
（3）先確定∠CDN與∠CBM之和，再確定∠CDP與∠CBP之和，進而確定∠ADC與∠ABP之和，再根據(jù)四邊形內(nèi)角和，就可以確定∠P的度數(shù)．
【解答】解：（1）∵四邊形ABCD的內(nèi)角和是360°，
∴∠A+∠D+（∠3+∠4）＝360°，
又∵∠1+∠3+∠2+∠4＝360°，
∴∠1+∠2＝∠A+∠D．
故答案為：∠1+∠2＝∠A+∠D．
（2）根據(jù)第（1）問的結(jié)論，可知：
∠MDA+∠DAN＝∠B+∠C＝220°，
∵AE，DE分別是∠NAD和∠MDA的平分線，
∴2∠EDA+2∠DAE＝220°，
∴∠EDA+∠DAE＝110°．
∴∠E＝180﹣（∠EDA+∠DAE）＝70°．
（3）根據(jù)第（1）問的結(jié)論，可得：∠CDN+∠CBM＝∠ABC+∠ADC，
∵∠A＝∠C＝90°，
∴∠CDN+∠CBM＝360°﹣（∠A﹣∠C）＝180°．
∵∠CDP＝∠CDN，∠CBP＝∠CBM，
∴∠CDP+∠CBP＝（∠CDN+∠CBM）＝60°，
∵∠A＝∠C＝90°，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
∴∠CDN+∠CBM+∠CDN+∠CBM＝180°+60°＝240°，
即∠ADP+∠ABP＝240°，
∵∠A＝90°，
∴∠P＝360°﹣（∠ADP+∠ABP）﹣∠A＝30°．
【點評】本題是一道閱讀題，主要考查四邊形的兩個外角和的性質(zhì)，先讀清題目所給材料是關(guān)鍵，然后在此基礎(chǔ)上進行拓展和延伸．屬于考查能力的題型，新的中考改革比較側(cè)重考查學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的活學(xué)活用的能力．
【提升3-3】如圖，AB⊥CD，垂足為O，點P、Q分別在射線OC、OA上運動（點P、Q都不與點O重合），QE是∠AQP的平分線．
（1）如圖1，在點P、Q的運動過程中，若直線QE交∠DPQ的平分線于點H．
①當∠PQB＝60°時，∠PHE＝ 45 °；
②隨著點P、Q分別在OC、OA的運動，∠PHE的大小是否是定值？如果是定值，請求出∠PHE的度數(shù)；如果不是定值，請說明理由；
（2）如圖2，若QE所在直線交∠QPC的平分線于點E時，將△EFG沿FG折疊，使點E落在四邊形PFGQ內(nèi)點E′的位置，猜測∠PFE′與∠QGE′之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【分析】（1）①先根據(jù)垂直的定義求出∠POQ＝90°，即可利用三角形內(nèi)角和定理和鄰補角的定義求出∠QPO＝30°，∠AQP＝120°，再由角平分線的定義分別求出∠EQP＝60°，∠HPQ＝15°，最后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求解即可；②同①方法求解即可；
（2）如圖所示，連接EE'，先求出∠CPQ+∠PQA＝270°，再由角平分線的定義求出∠EPQ+∠EQP＝135°，則∠PEQ＝45°，由折疊的性質(zhì)可知∠GE'F＝∠PEQ＝45°，進而推出∠EFE'+∠EFE'＝270°即可得到答案．
【解答】解：（1）①∵AB⊥CD，
∴∠POQ＝90°，
∴∠PQO+∠QPO＝90°，
∵∠PQB＝60°，
∴∠QPO＝30°，∠AQP＝120°，
∵EQ平分∠AQP，PH平分∠QPO，
∴，，
∴∠H＝∠EQP﹣∠HPQ＝45°，
故答案為：45；
②∠PHE 是一個定值，∠PHE＝45°，理由如下：
∵AB⊥CD，
∴∠POQ＝90°，
∴∠PQO+∠QPO＝90°，
∴∠QPO＝90°﹣∠PQO，∠AQP＝180°﹣∠PQO，
∵EQ平分∠AQP，PH平分∠QPO，
∴，，
∴∠H＝∠EQP﹣∠HPQ＝45°；
（2）∠PFE'+∠QGE'＝90°，理由如下：
如圖2所示，連接EE'，
∵AB⊥CD，
∴∠POQ＝90°，
∴∠PQO+∠QPO＝90°，
∵∠CPQ+∠QPO＝180°，∠PQA+∠PQO＝180°，
∴180°﹣∠CPQ+180°﹣∠PQA＝90°，
∴∠CPQ+∠PQA＝270°，
∵QE，PE分別平分∠PQA，∠CPQ，
∴，
∴，
∴∠PEQ＝180°﹣∠EPQ﹣∠EQP＝45°，
由折疊的性質(zhì)可知∠GE'F＝∠PEQ＝45°，
∵∠FEE'+∠EFE'+∠EE'F＝180°＝∠GEE'+∠EGE'+∠EE'G，
∴∠FEG+∠FE'G+∠EFE'+∠EGE'＝360°，
∴∠EFE'+∠EFE'＝270°，
∵∠EFE'+∠PFE'＝180°＝∠EGE'+∠QGE'，
∴∠PFE'+∠QGE'＝360°﹣∠EFE'﹣∠EFE'＝90°．
【點評】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，角平分線的定義，鄰補角，熟知三角形內(nèi)角和定理和角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．

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