目錄
【考點一 全等三角形的判定：邊邊邊】
【考點二 全等三角形的判定：邊角邊】
【考點三 全等三角形的判定：角邊角、角角邊】
【聚焦考點1】
全等三角形的判定1：邊邊邊（SSS）
文字：在兩個三角形中，如果有三條邊對應相等，那么這兩個三角形全等.
圖形：
符號：在與中，
證明的書寫步驟：
①準備條件：證全等時要用的條件要先證好；②指明范圍：寫出在哪兩個三角形中；
③擺齊根據(jù)：擺出三個條件用大括號括起來；④寫出結(jié)論：寫出全等結(jié)論.
注意：（1）說明兩三角形全等所需的條件應按對應邊的順序書寫.
（2）結(jié)論中所出現(xiàn)的邊必須在所證明的兩個三角形中.
用尺規(guī)作一個角等于已知角:已知：∠AOB．求作： ∠A′O′B′=∠AOB．
作法：（1）以點O 為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA，OB 于點C、D；
（2）畫一條射線O′A′，以點O′為圓心，OC 長為半徑畫弧，交O′A′于點C′；
（3）以點C′為圓心，CD 長為半徑畫弧，與第2 步中所畫的弧交于點D′；
（4）過點D′畫射線O′B′，則∠A′O′B′=∠AOB．
【典例剖析1】
【典例1-1】如圖，AC＝FD，BC＝ED，要利用“SSS”來判定△ABC和△FED全等時，下面的4個條件中：①AE＝FB；②AB＝FE；③AE＝BE；④BF＝BE，可利用的是（ ）
A．①或②B．②或③C．①或③D．①或④
【典例1-2】用直尺和圓規(guī)畫一個角等于已知角，是運用了“全等三角形的對應角相等”這一性質(zhì)，其運用全等的方法是 （用字母寫出）．
針對訓練1
【變式1-1】如圖，已知AD=BC，根據(jù)“SSS”，還需要一個條件________，可證明△ABC≌△BAD；
【變式1-2】如圖，點A，B，C，D在同一直線上，，，．求證：．


【變式1-3】如圖，已知AB＝AC，AD＝AE，BE＝CD．
（1）求證：∠BAC＝∠EAD；
（2）寫出∠1，∠2，∠3之間的數(shù)量關(guān)系，并予以證明．
【能力提升1】 全等形的判定：邊邊邊
【提升1-1】如圖，已知AB=AD，AC=AE，BC=DE，直線BC與AD，DE分別交于點F，G，且∠DGB=65°，∠EAB=120°，則∠CAD的度數(shù)為___________．
【提升1-2】莆仙戲是現(xiàn)存最古老的地方戲劇種之一，被稱為“宋元南戲的活化石”，2021年5月莆仙戲《踏傘行》獲評為“2020年度國家舞臺藝術(shù)精品創(chuàng)作扶持工程重點扶持劇目”．該劇中“油紙傘”無疑是最重要的道具，依傘設(shè)戲，情節(jié)新穎，結(jié)構(gòu)巧妙，譜寫了一曲美輪美奐、詩意盎然的傳統(tǒng)戲曲樂歌．“油紙傘”的制作工藝十分巧妙．如圖，傘圈D沿著傘柄滑動時，總有傘骨，，從而使得傘柄AP始終平分同一平面內(nèi)兩條傘骨所成的．為什么？
【提升1-3】如圖，已知AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE，且B，D，E三點共線，求證：∠3＝∠1+∠2．
【聚焦考點2】
全等三角形的判定2：邊角邊（SAS）
文字：在兩個三角形中，如果有兩條邊及它們的夾角對應相等，那么這兩個三角形全等；
圖形：
符號：在與中，
“SAS”判定方法證明兩個三角形全等及進行簡單的應用．
1.證明線段相等或者角相等時，常常通過證明它們是全等三角形的對應邊或?qū)莵斫鉀Q.
2判斷三角形全等時，注意兩邊與其中一邊的對角相等的兩個三角形不一定全等．解題時要根據(jù)已知條件的位置來考慮，只具備SSA時是不能判定三角形全等的．
【典例剖析2】
【典例2-1】如圖，AD⊥AB，AE⊥AC，AD＝AB，AE＝AC，則判定△ADC≌△ABE的根據(jù)是____．
【典例2-2】（2021?洪山區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝6，BC＝5，AC＝4，AD平分∠BAC交BC于點D，在AB上截取AE＝AC，則△BDE的周長為（ ）
針對訓練2
【變式2-1】如圖，把長短確定的兩根木棍AB、AC的一端固定在A處，和第三根木棍BM擺出△ABC，木棍AB固定，木棍AC繞A轉(zhuǎn)動，得到△ABD，這個實驗說明（ ）
A．△ABC與△ABD不全等
B．有兩邊分別相等的兩個三角形不一定全等
C．兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等
D．有兩邊和其中一邊的對角分別相等的兩個三角形不一定全等
【變式2-2】如圖，已知AB⊥AC，AD⊥AE，AB＝AC，AD＝AE．
（1）求證△ADB≌△AEC；
（2）DB⊥EC．
【能力提升2】
【提升2-1】如圖，點P是∠BAC平分線AD上的一點，AC＝9，AB＝5，PB＝3，則PC的長可能是（ ）
A．6B．7C．8D．9
【提升2-2】如圖，在中，是的中點，點在上，則圖中全等三角形共有_____對．
【提升2-3】某中學計劃為新生配備如圖1所示的折疊凳，圖2是折疊凳撐開后的側(cè)面示意圖（木條等材料寬度忽略不計），其中凳腿AB和CD的長度相等，O是它們的中點，為了使折疊凳坐著舒適，廠家將撐開后的折疊凳寬度AD設(shè)計為35cm，由以上信息能求出CB的長度嗎？如果能，請求出CB的長度；如果不能，請說明理由．
【聚焦考點3】
全等三角形的判定3：角邊角（ASA）
文字：在兩個三角形中，如果有兩個角及它們的夾邊對應相等，那么這兩個三角形全等；
圖形：

符號：在與中，
全等三角形的判定4：角角邊（AAS）
文字：在兩個三角形中，如果有兩個角及其中一個角的對邊對應相等，那么這兩個三角形全等；
圖形：
符號：在與中，
1.方法總結(jié)：利用全等三角形可以解決線段之間的關(guān)系，比如線段的相等關(guān)系、和差關(guān)系等，解決問題的關(guān)鍵是運用全等三角形的判定與性質(zhì)進行線段之間的轉(zhuǎn)化．
2.全等三角形對應邊上的高也相等.
【典例剖析3】
【典例3-1】如圖，在△ABC和△DEF中，點A，E，B，D在同一條直線上，AC∥DF，AC＝DF，且添加一個條件，不能判斷△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AE＝DBB．∠C＝∠FC．BC＝EFD．∠ABC＝∠DEF
【典例3-2】如圖，已知BC＝EF，AC∥DF，∠A＝∠D．求證：△ACB≌△DFE．
【典例3-3】已知△ABC≌△DCE，且B、C、E三點在同一直線上，△ABC與△DCE在直線BE的同一側(cè)，AC與BD交于點F，圖中還有全等三角形嗎？請寫出來，并說明理由．
針對訓練3
【變式3-1】如圖，點B，E，C，F(xiàn)在一條直線上，∠A＝∠D，∠B＝∠DEF，BE＝CF，求證：△ABC≌△DEF．
【變式3-2】如圖，△ABC中，D是BC延長線上一點，滿足CD＝AB，過點C作CE∥AB，過點D作∠D＝∠ACE，與CE交于點E，求證：△ABC≌△DCE．
【變式3-3】如圖，已知△ABC和△EDC，點D在AB邊上，若CD＝CB，ED＝AB，∠EDB＝2∠CDB．求證：△ABC≌△EDC．
?
【能力提升3】
【提升3-1】．如圖（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．點P在線段AB上以1cm/s的速度由點A向點B運動，同時，點Q在線段BD上由點B向點D運動．它們運動的時間為t（s）．
（1）若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，當t＝1時，△ACP與△BPQ是否全等，并判斷此時線段PC和線段PQ的位置關(guān)系，請分別說明理由；
（2）如圖（2），將圖（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改為“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他條件不變．設(shè)點Q的運動速度為xcm/s，是否存在實數(shù)x，使得△ACP與△BPQ全等？若存在，求出相應的x、t的值；若不存在，請說明理由．
【提升3-2】已知：如圖∠1＝∠2，∠3＝∠4，求證：△ABE≌△ADE．
【提升3-3】如圖所示，傳說在19世紀初，一位將軍率領(lǐng)部隊在一河邊與敵軍激戰(zhàn)，為使炮彈準確地落在河對岸的敵軍陣地，將軍站在河這岸，將帽檐壓低，使視線沿著帽檐恰好落在河對岸的邊線上，然后他向后退（保證B′、B、C在一條直線上），一直退到視線落在河這岸的邊線上為止，這時，他后退的距離就等于河寬，這是為什么？請給予證明．

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