【專題導(dǎo)航】
目錄
【考點(diǎn)一 一線三垂直（等角）】
【考點(diǎn)二 手拉手】
【考點(diǎn)三 旋轉(zhuǎn)模型】
【聚焦考點(diǎn)1】
一線三等角模型
【模型解讀】基本圖形如下：此類圖形通常告訴BD⊥DE，AB⊥AC，CE⊥DE，那么一定有∠B=∠CAE.

如圖，
【典例剖析1】
【典例1-1】如圖1，在長方形中，，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以的速度沿向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C處時(shí)停止運(yùn)動(dòng)），設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．
（1）_____________．（用含t的式子表示）
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，？
（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)B開始運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以的速度沿向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D處時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)中有一點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)后另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)），是否存在這樣的值使得與全等？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）存在，或，理由見解析．
【分析】（1）由路程=速度時(shí)間，解得，再由即可解題；
（2）由全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)得，即，據(jù)此解題；
（3）分兩種情況討論，當(dāng)時(shí)或當(dāng)時(shí)，與全等，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，分別計(jì)算求出的值即可解得的值．
【詳解】解：（1）由題意得，，
，
故答案為：；
（2）若
則
即
當(dāng)時(shí)，；
（3）存在，理由如下：
當(dāng)時(shí)，
；
當(dāng)時(shí)，
綜上所述，當(dāng)或時(shí)，與全等．
【點(diǎn)評】本題考查四邊形綜合題、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，是重要考點(diǎn)，難度一般，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．
【典例1-2】如圖，在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三點(diǎn)都在直線m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，若DE＝10，BD＝3，求CE的長．
【分析】
由∠AEC＝∠BAC＝α，推出∠ECA＝∠BAD，再根據(jù)AAS證明△BAD≌△ACE得CE＝AD，AE＝BD＝3，即可得出結(jié)果．
【解析】
解：∵∠AEC＝∠BAC＝α，
∴∠ECA+∠CAE＝180°﹣α，
∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，
∴∠ECA＝∠BAD，
在△BAD與△ACE中，
∠BDA=∠AEC∠BAD=∠ACEAB=AC，
∴△BAD≌△ACE（AAS），
∴CE＝AD，AE＝BD＝3，
∵DE＝AD+AE＝10，
∴AD＝DE﹣AE＝DE﹣BD＝10﹣3＝7．
∴CE＝7．
【點(diǎn)評】由一線三等角尋找全等三角形的條件，證明三角形全等是關(guān)鍵.
針對訓(xùn)練1
【變式1-1】如圖，點(diǎn)A是線段DE上一點(diǎn)，∠BAC=90°，AB=AC，BD⊥DE，CE⊥DE．
（1）求證：DE=BD+CE．
（2）如果是如圖2這個(gè)圖形，BD、CE、DE有什么數(shù)量關(guān)系？并證明．
【答案】（1）見解析；（2）BD=DE+CE，理由見解析.
【分析】（1）先證△AEC≌△BDA得出AD＝CE，BD＝AE，從而得出DE＝BD+CE；
（2）先證△ADB≌△CEA得出AD＝CE，BD＝AE，從而得出BD＝DE+CE．
【詳解】（1）∵BD⊥DE，CE⊥DE，∴∠D＝∠E＝90°，∴∠DBA+∠DAB＝90°．
∵∠BAC＝90°，∴∠DAB+∠CAE＝90°，∴∠DBA＝∠CAE．
∵AB＝AC，∴△ADB≌△CEA，∴BD＝AE，CE＝AD，∴DE＝AD+AE＝CE+BD；
（2）BD＝DE+CE．理由如下：
∵BD⊥DE，CE⊥DE，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，∴∠ABD+∠BAD＝90°．
∵∠BAC＝90°，∴∠ABD+∠EAC＝90°，∴∠BAD＝∠EAC．
∵AB＝AC，∴△ADB≌△CEA，∴BD＝AE，CE＝AD．
∵AE＝AD+DE，∴BD＝CE+DE．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，根據(jù)同角的余角相等可得∠DBA＝∠CAE，熟練掌握全等三角形的判定方法：SSS、SAS、AAS、ASA；對于證明線段的和或差，本題運(yùn)用全等三角形的對應(yīng)邊相等將三條線段轉(zhuǎn)化到同一直線上，使問題得以解決．
【變式1-2】如圖，在中，，點(diǎn)D，E分別為上的點(diǎn)，，若，求證：．
【答案】詳見解析
【分析】先根據(jù)條件得出∠ACD=∠BDE，BD=AC，再根據(jù)ASA判定△ACD≌△BDE，即可得到CD=DE；
【詳解】證明：，，
．
，
．
在和中，
，
．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形外角的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定方法有：SSS、SAS、ASA、AAS和HL；全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊上的中線相等、對應(yīng)邊上的高線相等、對應(yīng)角的角平分線相等．
能力提升1】 一線三等角
【提升1-1】（1）如圖（1）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線m經(jīng)過點(diǎn)A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點(diǎn)D、E．求證：DE＝BD+CE；
（2）如圖（2）將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三點(diǎn)都在直線m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α為任意銳角或鈍角．請問結(jié)論DE＝BD+CE是否成立？如成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．
【答案】（1）見解析；（2）成立，理由見解析
【分析】（1）根據(jù)AAS證明△ADB≌△CEA，得到AE＝BD，AD＝CE，即可證明；
（2）同理證明△ADB≌△CEA，得到AE＝BD，AD＝CE，即可證明；
【詳解】證明：（1）∵BD⊥直線m，CE⊥直線m，
∴∠BDA＝∠CEA＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°，
∵∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠CAE＝∠ABD，
∵在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE；
（2）∵∠BDA＝∠BAC＝α，
∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，
∴∠CAE＝∠ABD，
∵在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE．
【點(diǎn)評】此題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知全等三角形的判定定理.
【提升1-2】.CD是經(jīng)過∠BCA定點(diǎn)C的一條直線，CA=CB，E、F分別是直線CD上兩點(diǎn)，且∠BEC=∠CFA=∠β．
（1）若直線CD經(jīng)過∠BCA內(nèi)部，且E、F在射線CD上，
①若∠BCA=90°，∠β=90°，例如左邊圖，則BE CF，EF |BE - AF|
（填“＞”，“＜”，“＝”）；
②若0°＜∠BCA＜180°，且∠β＋∠BCA=180°，例如中間圖，①中的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？并說明理由；
（2）如右邊圖，若直線CD經(jīng)過∠BCA外部，且∠β=∠BCA，請直接寫出線段EF、BE、AF的數(shù)量關(guān)系（不需要證明）．

【答案】（1）①=，= ②兩結(jié)論依然成立，證明見解析 （2）EF=BE+AF
【分析】
（1）①本題考查全等三角形的判定，可利用AAS定理進(jìn)行解答；
②本題考查全等三角形判定，可通過三角形內(nèi)角和定理運(yùn)用AAS解答．
（2）本題考查全等三角形的判定，運(yùn)用三角形內(nèi)角和以及平角定義，通過AAS解答．
【詳解】
（1）①∵∠BCA=90°，∠β=90°
∴∠FCA+∠BCF=90°，∠FCA+∠CAF=90°
∴∠BCF=∠CAF
又∵∠BEC=∠CFA，CA=CB
∴△BEC△CFA(AAS)
∴BE=CF，CE=AF
∴
②在△FCA中，∠CFA+∠FCA+∠CAF=180°
又∵∠BEC=∠CFA=∠β，∠β＋∠BCA=180°
∴∠FCA+∠CAF=∠BCA
∵∠BCA=∠BCE+∠FCA
∴∠CAF=∠BCE
∵CA=CB
∴△BEC△CFA(AAS)
∴BE=CF，CE=AF
∴
（2）在△BEC中，∠B+∠BEC+∠BCE=180°
又∵∠BEC=∠CFA=∠β，∠BCE+∠BCA+∠ACF=180°，∠β=∠BCA
∴∠B=∠ACF
∵CA=CB
∴△BEC△CFA(AAS)
∴BE=CF，CE=AF
EF=EC+CF=AF+BE
【點(diǎn)評】本題考查全等三角形證明以及性質(zhì)的應(yīng)用，并結(jié)合一定的探究思路，按照題目指引利用AAS判別定理解答即可．
【提升1-3】已知，在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三點(diǎn)都在直線m上，且DE＝9cm，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC
（1）如圖①，若AB⊥AC，則BD與AE的數(shù)量關(guān)系為 ，CE與AD的數(shù)量關(guān)系為 ；
（2）如圖②，判斷并說明線段BD，CE與 DE的數(shù)量關(guān)系；
（3）如圖③，若只保持∠BDA＝∠AEC，BD＝EF＝7cm，點(diǎn)A在線段DE上以2cm/s的速度由點(diǎn)D向點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)C在線段EF上以xcm/s的速度由點(diǎn)E向點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)，它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）．是否存在x，使得△ABD與△EAC全等？若存在，求出相應(yīng)的t的值；若不存在，請說明理由．
【解答】解：（1）∵∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，
∴∠BAD+∠CAE＝∠BAD+∠ABD，
∴∠CAE＝∠ABD，
∵∠BDA＝∠AEC，BA＝CA，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD＝AE，CE＝AD，
故答案為：BD＝AE，CE＝AD；
（2）DE＝BD+CE，
由（1）同理可得△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD＝AE，CE＝AD，
∴DE＝BD+CE；
（3）存在，當(dāng)△DAB≌△ECA時(shí)，
∴AD＝CE＝2cm，BD＝AE＝7cm，
∴t＝1，此時(shí)x＝2；
當(dāng)△DAB≌△EAC時(shí)，
∴AD＝AE＝4.5cm，DB＝EC＝7cm，
∴t＝，x＝7÷＝，綜上：t＝1，x＝2或t＝，x＝
【點(diǎn)評】本題考查全等三角形證明以及性質(zhì)的應(yīng)用，并結(jié)合一定的探究思路，按照題目指引利用AAS判別定理解答即可．
【聚焦考點(diǎn)2】
手拉手模型
將兩個(gè)三角形繞著公共頂點(diǎn)（即頭）旋轉(zhuǎn)某一角度后能完全重合，則這兩個(gè)三角形構(gòu)成手拉手全等，也叫旋轉(zhuǎn)型全等，常用“邊角邊”判定定理證明全等．
【模型圖示】

公共頂點(diǎn)A記為“頭”，每個(gè)三角形另兩個(gè)頂點(diǎn)逆時(shí)針順序數(shù)的第一個(gè)頂點(diǎn)記為“左手”，第二個(gè)頂點(diǎn)記為“右手”．對應(yīng)操作：左手拉左手（即連結(jié)BD），右手拉右手（即連結(jié)CE），得．
【常見模型】

（等腰）
（等邊）
（等腰直角）
【典例剖析2】
【典例2-1】如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB邊上一點(diǎn)（點(diǎn)D與A，B不重合），連結(jié)CD，將線段CD繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段CE，連結(jié)DE交BC于點(diǎn)F，連接BE．當(dāng)AD＝BF時(shí)，∠BEF的度數(shù)是（ ）
A．45°B．60°C．62.5°D．67.5°
【答案】D
【分析】
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得CD＝CE和∠DCE＝90°，結(jié)合∠ACB＝90°，AC＝BC，可證△ACD≌△BCE，依據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到∠CBE＝∠A＝45°，再由AD＝BF可得等腰△BEF，則可計(jì)算出∠BEF的度數(shù)．
解：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得： CD＝CE，∠DCE＝90°．
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠A＝45°．
∴∠ACB?∠DCB＝∠DCE?∠DCB．
即∠ACD＝∠BCE．
∴△ACD≌△BCE．
∴∠CBE＝∠A＝45°．
∵AD＝BF，
∴BE＝BF．
∴∠BEF＝∠BFE＝ 67.5°．
故選：D．
【點(diǎn)評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)找出相等的線段和角，并能準(zhǔn)確判定三角形全等，從而利用全等三角形性質(zhì)解決相應(yīng)的問題．
【典例2-2】如圖，圖1等腰△BAC與等腰△DEC，共點(diǎn)于C，且∠BCA＝∠ECD，連結(jié)BE、AD，若BC＝AC、EC＝DC．
（1）求證：BE＝AD；
（2）若將等腰△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)至圖2、3、4情況時(shí)，其余條件不變，BE與AD還相等嗎？為什么？（請你用圖2證明你的猜想）
【答案】（1）證明見分析；（2）BE＝AD，理由見分析．
【分析】
（1）證出∠BCE＝∠ACD，根據(jù)SAS推出△BCE≌△ACD，即可得出結(jié)論；
（2）圖2、圖3、圖4同樣證出∠BCE＝∠ACD，根據(jù)SAS推出△BCE≌△ACD，即可得出結(jié)論．
解：（1）證明：∵∠BCA＝∠ECD，
∴∠BCA+∠ECA＝∠ECD+∠ECA，
∴∠BCE＝∠ACD，
在△BCE和△ACD中，
，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴BE＝AD；
（2）解：圖2、圖3、圖4中，BE＝AD，以圖2為例，理由如下：
∵∠BCA＝∠ECD，
∴∠BCA－∠ECA＝∠ECD－∠ECA，
∴∠BCE＝∠ACD，
在△BCE和△ACD中，，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴BE＝AD．
【點(diǎn)評】本題考查三角形全等的判定，熟練掌握三角形全等的判定定理是解題關(guān)鍵．
針對訓(xùn)練2
【變式2-1】如圖，是一個(gè)銳角三角形，分別以、為邊向外作等邊三角形、，連接、交于點(diǎn)，連接．
(1)求證：≌；
(2)求的度數(shù)；
(3)求證：平分．
【答案】(1)見解析
(2)
(3)見解析
【分析】（1）由、是等邊三角形，易證，繼而可證；
（2）由≌，得到，進(jìn)一步得到，由三角形內(nèi)角和得到答案；
（3）作于點(diǎn)于點(diǎn)，證明，由，即可得到結(jié)論．
【詳解】（1）證明：、是等邊三角形，
，
，
即，
≌；
（2）解：≌，
，
，
；
（3）證明：如圖，作于點(diǎn)于點(diǎn)，

，
，
，，
，
，
，
平分．
【點(diǎn)評】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、角平分性的判定知識，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式2-2】如圖，D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，AB＝AC，∠BAC＝50°，將AD繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)50°能與線段AE重合．
（1）求證：EB＝DC；
（2）若∠ADC＝115°，求∠BED的度數(shù)．
【答案】（1）見解析；（2）50°
【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得AD=AE，∠DAE=∠BAC＝50°，從而得到∠BAE=∠CAD，可證得△BAE≌△CAD，即可求證；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得∠BEA=∠ADC=115°，再由等腰三角形的性質(zhì)，可得∠AED=65° ，即可求解．
【詳解】證明（1）∵將AD繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)50°能與線段AE重合，
∴AD=AE，∠DAE=∠BAC＝50°，
∴∠DAE-∠BAD=∠BAC-∠BAD，即∠BAE=∠CAD，
∵AB=AC，
∴△BAE≌△CAD，
∴EB=DC；
（2）∵△BAE≌△CAD，
∴∠BEA=∠ADC=115°，
∵∠DAE=50°，AD=AE，
∴∠AED=12180°?∠DAE=65° ，
∴∠BED=∠BEA-∠AED=115°-65°=50°．
【點(diǎn)評】本題主要考查了圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
【能力提升2】
【提升2-1】如圖，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，將線段CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到CE，連接BE，若∠DAB＝10°，則∠ABE是( )
A．75°B．78°C．80°D．92°
【答案】C
【分析】證明△BCE≌△ACD，求出∠EBC度數(shù)，利用∠ABE=∠EBC+∠ABC求解．
【詳解】解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠BAC=45°．
∴∠DAC=45°-10°=35°．
在△BEC和△ADC中，
DC=EC∠ECB=∠DCAAC=BC ，
∴△BCE≌△ACD（SAS）．
∴∠EBC=∠DAC=35°．
∴∠ABE=∠EBC+∠DAC=80°．
故選C．
【點(diǎn)評】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得到全等判定的條件，利用全等轉(zhuǎn)化角，是解決這類問題的方法．
【提升2-2】（1）如圖①，在四邊形中，，E，F(xiàn)分別是邊上的點(diǎn)，且．請直接寫出線段之間的數(shù)量關(guān)系： ；
（2）如圖②，在四邊形中，，E，F(xiàn)分別是邊上的點(diǎn)，且，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請寫出證明過程；
（3）在四邊形中，，E，F(xiàn)分別是邊所在直線上的點(diǎn)，且．請直接寫出線段之間的數(shù)量關(guān)系： ．
【答案】（1）；（2）（1）中的結(jié)論仍然成立，理由見解析；（3） 或 或
【分析】（1）如圖1，延長到G，使，連接，即可證明，可得，再證明，可得，即可解題；
（2）如圖2，同理可得：；
（3）如圖3，作輔助線，構(gòu)建，同理證明和．可得新的結(jié)論：；如圖4，作輔助線，同理證明和，可得新結(jié)論；
【詳解】解：（1）如圖1，延長到G，使，連接．
在與中，
，
∴．
∴，
∴．
∴．
又∵，
∴．
∴．
∵．
∴；
（2）（1）中的結(jié)論仍然成立．
理由如下：如圖2，延長到G，使，連接．
∵，
∴，
在與中，
，
∴．
∴，
∴．
∴．
又∵，
∴．
∴．
∵．
∴；
（3）圖2中，成立，
圖3中，，理由如下：
在上截取，使，連接．
∵，
∴．
在與中，
，
∴．
∴．
∴．
∴．
在和中，
，
∴．
∴，
∵，
∴．
圖4中，，理由如下：
在上截取，使，連接，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和 中，
，
∴，
∴，
∴；
綜上所述，線段 之間的數(shù)量關(guān)系為： 或 或，
故答案為： 或 或．
【點(diǎn)評】本題是三角形的綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平角的定義等知識，本題綜合性強(qiáng)，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵，屬于中考常考題型
【聚焦考點(diǎn)3】
旋轉(zhuǎn)模型【模型解讀】將三角形繞著公共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度后，兩個(gè)三角形能夠完全重合，則稱這兩個(gè)三角形為旋轉(zhuǎn)型三角形，識別旋轉(zhuǎn)型三角形時(shí)，涉及對頂角相等、等角加（減）公共角的條件.
【常見模型】

【典例剖析3】
【典例3-1】如圖，，
求證：（1）；（2）．
【答案】（1）見解析；（2）見解析
【分析】（1）根據(jù)垂直得到，求出，即可得到結(jié)果；（2）設(shè)交于，交于，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，再根據(jù)已知條件轉(zhuǎn)換即可；
【詳解】證明：，，，
，，
在和中，，；
如圖，設(shè)交于，交于，
，，，，
，，．
【點(diǎn)評】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，準(zhǔn)確證明是解題的關(guān)鍵．
【典例3-2】如圖，已知AE∥BC，∠B＝∠ADB，∠BAD＝∠EAC＝∠E．
（1）求證：△ABC≌△ADE；
（2）若∠BAE＝110°，求∠E的度數(shù)．
【分析】（1）利用AAS證明△ABC≌△ADE即可；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠B＝180°﹣110°＝70°，然后利用等腰三角形的性質(zhì)即可解決問題．
【解答】（1）證明：∵∠B＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD+∠CAD＝∠CAE+∠CAD，
∴∠BAC＝∠DAE，
∵AE∥BC，
∴∠EAC＝∠C，
∵∠EAC＝∠E，
∴∠C＝∠E，
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（AAS）；
（2）解：∵∠BAE＝110°，AE∥BC，
∴∠B＝180°﹣110°＝70°，
∵AB＝AD，
∴∠ADB＝∠B＝70°，
∴∠BAD＝180°﹣2×70°＝40°，
∴∠E＝∠BAD＝40°．
∴∠E的度數(shù)為40°．
【點(diǎn)評】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形全等的條件．
針對訓(xùn)練3
【變式3-1】如圖，△ABC與△DCE中，CA＝CD，∠1＝∠2，BC＝EC．求證：∠A＝∠D．
【分析】由角的和差求出∠ACB＝∠DCE，邊角邊證明△ABC≌△DCE，其性質(zhì)得∠A＝∠D．
【解答】證明：如圖所示：
∵∠ACB＝∠1+∠ACE，∠DCE＝∠2+∠ACE，
∠1＝∠2，
∴∠ACB＝∠DCE，
在△ABC和△DCE中，
∴△ABC≌△DCE（SAS），
∴∠A＝∠D．
【點(diǎn)評】本題綜合考查了角的和差，全等三角形的判定與性質(zhì)相關(guān)知識，重點(diǎn)掌握全等三角形的判定與性質(zhì)．
【變式3-2】．如圖，∠A＝∠B，AE＝BE，點(diǎn)D在AC邊上，∠CED＝∠AEB，AE交BD于點(diǎn)F．
（1）求證：△AEC≌△BED；
（2）求證：DE平分∠BDC．
【分析】（1）由∠CED＝∠AEB，推導(dǎo)出∠AEC＝∠BED，即可根據(jù)全等三角形的判定定理“ASA”證明△AEC≌△BED；
（2）由△AEC≌△BED，得∠C＝∠EDB，CE＝DE，由“等邊對等角”得∠C＝∠EDC，則∠EDB＝∠EDC，即可證明DE平分∠BDC．
【解答】證明：（1）∵∠CED＝∠AEB，
∴∠CED+∠AED＝∠AEB+∠AED，
∴∠AEC＝∠BED，
在△AEC和△BED中，
，
∴△AEC≌△BED（ASA）．
（2）∵△AEC≌△BED，
∴∠C＝∠EDB，CE＝DE，
∴∠C＝∠EDC，
∴∠EDB＝∠EDC，
∴DE平分∠BDC．
【點(diǎn)評】此題重點(diǎn)考查全等三角形的判定與性質(zhì)、等式的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識，正確地找到全等三角形的對應(yīng)邊和對應(yīng)角并且證明∠AEC＝∠BED是解題的關(guān)鍵．
【能力提升3】
【提升3-1】．如圖，點(diǎn)D在△ABC的外部，點(diǎn)E在BC邊上，DE與AB交于點(diǎn)O，∠1＝∠2，AB＝AD，BC＝DE．
（1）求證：AC＝AE；
（2）若∠C＝50°，∠BAE＝20°，求∠D的度數(shù)．
【分析】（1）由∠1＝∠2，得∠BOD﹣∠2＝∠BOD﹣∠1，則∠B＝∠D，即可根據(jù)全等三角形的判定定理“SAS”證明△ABC≌△ADE，得AC＝AE；
（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠AEC＝∠C＝50°，而∠BAE＝20°，則∠B＝∠AEC﹣∠BAE＝30°，所以∠B＝∠D＝30°．
【解答】（1）證明：∵∠1＝∠2，
∴∠BOD﹣∠2＝∠BOD﹣∠1，
∵∠B＝∠BOD﹣∠2，∠D＝∠BOD﹣∠1，
∴∠B＝∠D，
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴AC＝AE．
（2）解：∵AC＝AE，
∴∠AEC＝∠C＝50°，
∵∠BAE＝20°，
∴∠B＝∠AEC﹣∠BAE＝50°﹣20°＝30°，
∵△ABC≌△ADE，
∴∠B＝∠D＝30°，
∴∠D的度數(shù)是30°．
【點(diǎn)評】此題重點(diǎn)考查全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和等知識，證明△ABC≌△ADE是解題的關(guān)鍵．
【提升3-2】如圖，在△ABC和△ADE中，AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2，AD、BC相交于點(diǎn)F．
（1）求證：∠B＝∠D；
（2）若AB∥DE，AE＝3，DE＝4，求△ACF的周長．
【分析】（1）根據(jù)題意利用SAS證明△ABC≌△ADE，即可得結(jié)論；
（2）根據(jù)已知條件可得FA＝FB，F(xiàn)A+FC＝FB+FC＝BC，進(jìn)而可得△ACF的周長為AC+BC．
【解答】解：（1）證明：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠CAD＝∠2+∠CAD，
∴∠CAB＝∠EAD，
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴∠B＝∠D；
（2）∵AB∥DE，
∴∠D＝∠1，
∵∠B＝∠D，
∴∠1＝∠B，
∴FA＝FB，
∴FA+FC＝FB+FC＝BC，
∵△ABC≌△ADE，
∴AC＝AE＝3，BC＝DE＝4，
∴△ACF的周長為：AC+AF+CF＝AC+BC＝7．
【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定與性質(zhì)．

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