目錄
【考點一 等腰三角形性質】
【考點二 等腰三角形判定】
【考點三 等腰三角形判定性質綜合應用】
【聚焦考點1】
等腰三角形的概念
有兩邊相等的三角形是等腰三角形。
等腰三角形的性質
1、等腰三角形的性質：
（1）等腰三角形的兩個底角相等（簡寫成“等邊對等角”）．
（2）等腰三角形的頂角平分線，底邊上的中線、底邊上的高互相重合（通常稱作“三線合一”）．
2、解題方法：設輔助未知數(shù)法與拼湊法．
3、重要的數(shù)學思想方法：方程思想、整體思想和轉化思想．
在解決等腰三角形邊長的問題時，如果不明確底和腰時，要進行分類討論，同時要養(yǎng)成檢驗三邊長能否組成三角形的好習慣，把不符合題意的舍去。
【典例剖析1】
【典例1-1】如圖，點D是△ABC的BC邊上一點，AB＝AD＝DC．若∠BAD＝80°，則∠C＝（ ）
?
A．50°B．40°C．20°D．25°
【典例1-2】如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD＝BD，DE⊥AB于點E，若BC＝4，△BDC的周長為10，則AE的長為（ ）
A．2.5B．3C．3.5D．4
【典例1-3】如圖，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠C＝45°，AD是邊BC上的高，∠ABC的平分線交AD于點F，交AC于點E，則圖中等腰三角形的個數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【典例1-4】在如圖所示的網(wǎng)格中，在格點上找一點P，使△ABP為等腰三角形，則點P有（ ）
A．6個B．7個C．8個D．9個
針對訓練1
【變式1-1】如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，交AC于點D．若∠A＝36°，則∠BDC＝（ ）
A．36°B．54°C．72°D．108°
【變式1-2】如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD＝BD，DE⊥AB于點E，若BC＝4，△BDC的周長為10，則AE的長為（ ）
A．2.5B．3C．3.5D．4
【變式1-3】如圖，△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝36°，D，E是BC上的兩點，且∠BAD＝∠DAE＝∠EAC，則圖中等腰三角形的個數(shù)是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【變式1-4】如圖，在正方形網(wǎng)格中，A，B兩點都在小方格的頂點上，如果點C也是圖中小方格的頂點，且△ABC是等腰三角形，那么點C的個數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【能力提升1】
【提升1-1】如圖，中，，，則等于（ ）
A．B．C．D．
【提升1-2】在等腰△ABC中，AB=AC，其周長為16cm，則AB邊的取值范圍是（ ）
A．1cm＜AB＜4cmB．3cm＜AB＜6cm C．4cm＜AB＜8cmD．5cm＜AB＜10cm
【提升1-3】探究與發(fā)現(xiàn)：如圖①，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D在底邊BC上，AE=AD，連結DE.
（1）當∠BAD=60°時，求∠CDE的度數(shù)；
（2）當點D在BC （點B、C除外） 上運動時，試猜想并探究∠BAD與∠CDE的數(shù)量關系；
（3）深入探究：若∠BAC≠90°，試就圖②探究∠BAD與∠CDE的數(shù)量關系.
【聚焦考點2】
等腰三角形的判定
判定定理：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等．【簡稱：等角對等邊】
說明：①等腰三角形是一個軸對稱圖形，它的定義既作為性質，又可作為判定辦法．
②等腰三角形的判定和性質互逆；
③在判定定理的證明中，可以作未來底邊的高線也可以作未來頂角的角平分線，但不能作未來底邊的中線；
④判定定理在同一個三角形中才能適用
【典例剖析2】
【典例2-1】在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝2：2：5，則△ABC是（ ）
A．等腰三角形B．等邊三角形C．直角三角形D．銳角三角形
【典例2-2】已知：如圖，下列三角形中， ，則經過三角形的一個頂點的一條直線能夠將這個三角形分成兩個小等腰三角形的有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
針對訓練2
【變式2-1】如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD平分∠ABC交AC于點D，過點A作AE∥BC，交BD的延長線于點E．
（1）求∠ADB的度數(shù)；
（2）求證：△ADE是等腰三角形．
【變式2-2】如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為BC邊上一點，∠B＝30°，∠DAB＝45°．求證：△ADC是等腰三角形．
【能力提升2】
【提升2-1】．已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=100°，BD是∠ABC的平分線，BD=BE．求證：
(1)△CED是等腰三角形；
(2)BD+AD=BC．
【提升2-2】下列給出的5個圖中，能判定△ABC是等腰三角形的有（ ）
A．2個B．3個C．4個D．5個
【聚焦考點3】
等腰三角形的性質的作用
性質1證明同一個三角形中的兩角相等.是證明角相等的一個重要依據(jù)．
性質2用來證明線段相等，角相等，垂直關系等．
等腰三角形的判定是證明兩條線段_相等_的重要定理，是將三角形中的角的相等關系轉化為邊的相等關系的重要依據(jù).等腰三角形的性質定理和判定定理是互逆定理
【典例剖析3】
【典例3-1】如圖，在中，平分于點D，交于點E，若，求的長．
【典例3-2】如圖，△ABC中，∠C=2∠A，BD平分∠ABC交AC于D，求證：AB=CD+BC．（用兩種方法）
針對訓練3
【變式3-1】如圖，AC＝BC，∠ACB＝90°，∠A的平分線AD交BC于點D，過點B作BE⊥AD于點E.
求證：BE＝AD.
【變式3-2】如圖， 是的兩條高線，且它們相交于F，于點H，與相交于點G，已知．
（1）求證： ．
（2）若平分．求證： ．
【變式3-3】如圖，和均為等腰三角形，，，點A，D，E在同一直線上，連接．
（1）如圖1，若．
①求證：；
②則的度數(shù)為_______．
（2）如圖2，若，為中邊上的高，試猜想，，之間的數(shù)量關系，并簡要證明你的結論．
【能力提升3】
【提升3-1】已知在△ABC中，AB=AC．
（1）若D為AC的中點，BD把三角形的周長分為24cm和30cm兩部分，求△ABC三邊的長；
（2）若D為AC上一點，試說明AC＞（BD+DC）．
【提升3-2】如圖，在中，為的中點，，，動點從點出發(fā)，沿方向以3個單位長度每秒的速度向點運動；同時動點從點出發(fā)，沿方向以3個單位長度每秒的速度向點運動，運動時間是秒．
（1）在運動過程中，當______秒時，；
（2）在運動過程中，當時，求出的值；
（3）是否存在某一時刻，使？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
【提升3-3】如圖，BD和CD分別平分△ABC的內角∠EBA和外角∠ECA，BD交AC于F，連接AD．
（1）求證：∠BDC= ∠BAC；
（2）若AB=AC，請判斷△ABD的形狀，并證明你的結論；
（3）在（2）的條件下，若AF=BF，求∠EBA的大小．

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