專題12 三個二次之間的關(guān)系（原卷版+解析版）-【初升高銜接】2023年新高一數(shù)學(xué)暑假銜接講義（通用版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

“三個二次”指一元二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式，是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，具有豐富的內(nèi)涵和廣泛的應(yīng)用，在研究有關(guān)于二次曲線的問題時，常常轉(zhuǎn)化成二次方程、二次函數(shù)、二次不等式的問題解決。
”三個二次”將等與不等、數(shù)與形緊密的結(jié)合在一起，對數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)方程思想、等價轉(zhuǎn)化思想有較高的要求。因而在高考試題函數(shù)問題中，非常多的試題與“三個二次”問題有關(guān)。
初中階段對函數(shù)、方程、不等式的學(xué)習(xí)都是彼此獨(dú)立的，但對于“三個二次”的橫向聯(lián)系缺乏認(rèn)識。升入高中才真正揭開三者的內(nèi)在聯(lián)系，逐步形成用函數(shù)、方程、不等式“三位一體”的思考方式審視問題、解決問題。
1、二次函數(shù)
①二次函數(shù)的三種形式
在“三個二次”中一元二次函數(shù)是重點(diǎn)，它的一般形式：
它的配方形式：
配方形式中充分反映了函數(shù)值y隨自變量x的變化而變化的規(guī)律，可以容易的觀察出何時取最值，也能考查出自變量x取關(guān)于對稱值時函數(shù)值的取值特點(diǎn)。
從而它的對稱軸：
它的頂點(diǎn)坐標(biāo)：
它的因式分解形式：，其中是一元二次方程的兩根.
從二次函數(shù)的因式分解形式，運(yùn)用實(shí)數(shù)運(yùn)算的符號法則，很容易看出函數(shù)y值何時等于0、y何時大于0、y何時小于0等特點(diǎn)?？傊辉魏瘮?shù)反映y與x對應(yīng)關(guān)系的全貌：既包括了方程的根、又包括了不等式等式的解。
②二次函數(shù)的最值
設(shè)，則二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最大、最小值有如下的分布情況：
對于開口向下的情況，討論類似。其實(shí)無論開口向上還是向下，都只有以下兩種結(jié)論：
（1）若，
則，
（2）若，則，
另外，當(dāng)二次函數(shù)開口向上時，自變量的取值離開軸越遠(yuǎn)，則對應(yīng)的函數(shù)值越大；反過來，當(dāng)二次函數(shù)開口向下時，自變量的取值離開軸越遠(yuǎn)，則對應(yīng)的函數(shù)值越小。
二次方程與不等式
2、一元二次方程根分布問題（數(shù)形結(jié)合法）
說明：找一個一元二次方程根的分布注意三個條件：①判別式②對稱軸位置③端點(diǎn)函數(shù)值的符號．
3、一元二次不等式的解集
二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象、一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根與一元二次不等式ax2＋bx＋c>0與ax2＋bx＋c