專題13 函數(shù)的概念及構(gòu)成要素（原卷版+解析版）-【初升高銜接】2023年新高一數(shù)學(xué)暑假銜接講義（通用版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1、“函數(shù)的概念
設(shè)集合是非空的數(shù)集，對于中的任意實(shí)數(shù)，按照確定的對應(yīng)法則，都有唯一確定的實(shí)數(shù)值與它對應(yīng)，則這種對應(yīng)關(guān)系叫做集合上的一個(gè)函數(shù)．記作．
其中，叫做自變量，自變量的取值范圍（數(shù)集）叫做這個(gè)函數(shù)的定義域；與的值相對應(yīng)的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域．
函數(shù)也常寫作函數(shù)或函數(shù)．
2、同一函數(shù)的概念
如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，并且對應(yīng)法則完全一致，我們就稱這兩個(gè)函數(shù)是同一函數(shù)．
3、求函數(shù)定義域的原則:
①用列表法表示的面數(shù)的定義域, 是指表格中實(shí)數(shù)x的集合;用圖象法表示的面數(shù)的定文城, 是指圖象在x軸上的投影所對應(yīng)的實(shí)數(shù)的集合;當(dāng)函數(shù)y=f(x)用解析法表示時(shí)，函數(shù)的定義城是指使解析式有意義的實(shí)數(shù)的集合，一般通過列不等式(組)求其解集。常見的限制條件有:分式的分母不等于0，對數(shù)的真數(shù)大于0，偶次根式下的被開方數(shù)大于或等于0等。
②求抽象函數(shù)的定義域常用轉(zhuǎn)移法，若y=f(x)的定義域?yàn)椋╝,b），則解不等式a< g(x)< b即可求出y= f(g(x))的定義域；若y= f(g(x))的定義城為(a，b），則求出g(x)在(a，b)上的值城，即得y=f(x)的定義域.
4、復(fù)合函數(shù)的定義域
①復(fù)合函數(shù)的概念：
如果是的函數(shù)，記作，是的函數(shù)，記為，且的值域與的定義域的交集非空，則通過確定了是的函數(shù)，這時(shí)叫做的復(fù)合函數(shù)，其中叫做中間變量，叫做外層函數(shù)，叫做內(nèi)層函數(shù)．
②求解策略：1°括號等于括號。2°定義域永遠(yuǎn)是x的取值范圍。
5、求抽象函數(shù)的解析式
①換元法②配湊法③待定系數(shù)法④方程組法
【考向精析】
考向一：函數(shù)的定義
1．（多選）中文“函數(shù).（functin）”一詞，最早是由近代數(shù)學(xué)家李善蘭翻譯出來的，之所以這么翻譯，他給出的原因是“凡此變數(shù)中函彼變數(shù)者，則此為彼之函數(shù)”，即函數(shù)指一個(gè)量隨著另一個(gè)量的變化而變化，下列關(guān)于函數(shù)的命題正確的是（）

A．與表示同一函數(shù)
B．函數(shù)的定義域是
C．已知函數(shù)，則在區(qū)間的值域?yàn)?br>D．上圖所示的橢圓圖形可以表示某一個(gè)函數(shù)的圖像
【答案】AC
【分析】對于A，根據(jù)同一函數(shù)的定義即可判斷；對于B，求解定義域即可判斷；對于C，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷；對于D，根據(jù)函數(shù)的概念即可判斷.
【詳解】對于A，與的定義域都為，且解析式一樣，
所以與表示同一函數(shù)，A對；
對于B，，解得且，所以函數(shù)的定義域是，B錯(cuò)；
對于C，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，又，
所以在區(qū)間的值域?yàn)?，C對；
對于D，上圖所示的橢圓圖形不可以表示某一個(gè)函數(shù)的圖像，D錯(cuò).
故選：AC
2．（多選）下列四個(gè)圖象中，是函數(shù)圖象的是（）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根據(jù)函數(shù)的概念，逐項(xiàng)判定，即可求解.
【詳解】由函數(shù)的定義可知，對任意的自變量，有唯一的值相對應(yīng)，
選項(xiàng)B中的圖像不是函數(shù)圖像，出現(xiàn)了一對多的情況，
其中選項(xiàng)A、C、D皆符合函數(shù)的定義，可以表示是函數(shù).
故選：ACD
3．（多選）歐拉公式（）被數(shù)學(xué)家們稱為“宇宙第一公式”.（其中無理數(shù)），如果記小數(shù)點(diǎn)后第位上的數(shù)字為，則是關(guān)于的函數(shù)，記為.設(shè)此函數(shù)定義域（）為，值域（）為，則關(guān)于此函數(shù)，下列說法正確的有（）
A．B．函數(shù)的圖像是一群孤立的點(diǎn)
C．是的函數(shù)D．
【答案】ABD
【分析】根據(jù)的定義可知A正確；由可知B正確；根據(jù)函數(shù)定義可知C錯(cuò)誤；根據(jù)，可知D正確.
【詳解】對于A，小數(shù)點(diǎn)后第位上的數(shù)字為，，A正確；
對于B，，的圖像是一群孤立的點(diǎn)，B正確；
對于C，由的值可知：當(dāng)時(shí)，，不符合函數(shù)的定義，C錯(cuò)誤；
對于D，由題意知：；又，，D正確.
故選：ABD.
4．（多選）下列各組函數(shù)不是同一個(gè)函數(shù)的是（）
A．與
B．與
C．與
D．與
【答案】ABD
【分析】從定義域和對應(yīng)法則兩方面來判斷是否是同一函數(shù).
【詳解】對于A，的定義域是，的定義域是R，定義域不同，故不是同一函數(shù)，A錯(cuò)；
對于B，與的對應(yīng)關(guān)系不同，故不是同一函數(shù)，B錯(cuò)；
對于C，經(jīng)過化簡可知兩函數(shù)的解析式與定義域都一樣，所以為同一函數(shù)，C對；
對于D，的定義域是，的定義域是，定義域不同，故不是同一函數(shù)，D錯(cuò).
故選：ABD
5．下列等量關(guān)系中，y是x的函數(shù)的是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用函數(shù)定義判斷各項(xiàng)正誤即可．
【詳解】A：當(dāng)時(shí)，不符合函數(shù)的定義，故錯(cuò)誤；
B：當(dāng)時(shí)，不符合函數(shù)的定義，故錯(cuò)誤；
C：顯然任意都有唯一y值與之對應(yīng)，滿足函數(shù)的定義，故正確；
D：當(dāng)時(shí)，不符合函數(shù)的定義，故錯(cuò)誤．
故選：C
6．下列圖象中，表示函數(shù)關(guān)系的是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用函數(shù)的概念即可求解.
【詳解】根據(jù)函數(shù)的定義知，一個(gè)有唯一的對應(yīng)，由圖象可看出，只有選項(xiàng)D的圖象滿足.
故選：D.
考向二：函數(shù)的定義域
7．已知集合，則（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出集合B中函數(shù)的定義域，得到集合B，再求.
【詳解】函數(shù)有意義，則有，即，所以，
又，所以.
故選：D
8．已知函數(shù)的定義域是，則的定義域是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)的定義域求出的定義域，從而可求解.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域是，
所以，所以,即的定義域?yàn)椋?br>所以，解得，即的定義域是.
故選:C.
9．若函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋? ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】定義域?yàn)榈娜≈捣秶Y(jié)合同一對應(yīng)法則下括號內(nèi)范圍相同，求出答案.
【詳解】由題意得，故，故函數(shù)的定義域?yàn)?
故選：D
10．已知函數(shù)的值域是，則x的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】畫出的圖像，數(shù)形結(jié)合即可判斷出答案．
【詳解】，畫出圖像，如圖所示，

令，則，解得或，
令，則，解得（舍去）或，
對于A：當(dāng)時(shí)，結(jié)合圖像，得，故A錯(cuò)誤；
對于B：當(dāng)時(shí)，結(jié)合圖像，得，故B錯(cuò)誤；
對于C：當(dāng)時(shí)，結(jié)合圖像，得，故C錯(cuò)誤；
對于D：當(dāng)時(shí)，結(jié)合圖像，得，故D正確；
故選：D．
11．設(shè)集合，則（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先分別求出集合，再根據(jù)交集的定義即可得解.
【詳解】或，
，
所以.
故選：B.
12．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)開_____.
【答案】
【分析】結(jié)合抽象函數(shù)與具體函數(shù)定義域的求法，解不等式組即可得出答案.
【詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)椋?br>要使有意義，
則，解得，
所以函數(shù)的定義域?yàn)?
故答案為：
考向三：由函數(shù)的定義域求參數(shù)范圍
13．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的范圍________.
【答案】
【分析】利用函數(shù)定域?yàn)椋瑢栴}轉(zhuǎn)化成關(guān)于不等式的恒成立問題，從而求出實(shí)數(shù)的取值范圍，得出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，所恒成立?br>當(dāng)時(shí)，恒成立，
當(dāng)時(shí)，則，解得，
綜上所述，.
故答案為：.
14．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，則的取值范圍是_______．
【答案】
【分析】由，可知，解不等式即可.
【詳解】由，可知，
解得，
故答案為：.
考向四：求函數(shù)的解析式
15．已知二次函數(shù)滿足，且的最大值是8，則此二次函數(shù)的解析式為（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)條件設(shè)二次函數(shù)為，代入條件求解即可.
【詳解】根據(jù)題意,由得:的對稱軸為，
設(shè)二次函數(shù)為，
因的最大值是8,所以,當(dāng)時(shí), ，
即二次函數(shù)，
由得:,解得：，
則二次函數(shù)，
故選：A.
16．已知函數(shù)，則（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用換元法令，運(yùn)算求解即可.
【詳解】令，則，且，則，
可得，
所以.
故選：B.
17．若，且，則______．
【答案】1
【分析】利用換元法求函數(shù)的解析式，再代入求.
【詳解】設(shè)，，
所以，即，
，得.
故答案為：1
18．寫出一個(gè)滿足：的函數(shù)解析式為______.
【答案】
【分析】賦值法得到，，求出函數(shù)解析式.
【詳解】中，令，解得，
令得，故，
不妨設(shè)，滿足要求.
故答案為：
19．已知求的解析式
【答案】
【分析】令，運(yùn)用換元法進(jìn)行求解即可.
【詳解】令，則，代入，
得，
即
20．定義在R上的函數(shù)f(x)滿足，并且對任意實(shí)數(shù)x，y都有，求的解析式.
【答案】
【分析】對進(jìn)行賦值，解方程求得的解析式.
【詳解】對任意實(shí)數(shù)，，，
令，得，即，
又，所以.
21．若函數(shù)滿足方程且，則：
（1）___________；（2）___________．
【答案】
【分析】令可得；用替換，再解方程組可得答案.
【詳解】令可得：，所以；
由①得，②，
聯(lián)立①②可得：.
故答案為：①；②.
【鞏固檢測】
1.已知集合，，則下列圖象中，能表示從集合到集合的一個(gè)函數(shù)的是
A．B．C．D．
【解析】解：由題意可知函數(shù)的定義域?yàn)榧?，值域?yàn)榧系淖蛹?br>對于選項(xiàng)：函數(shù)圖像滿足定義域和值域的要求，且定義域內(nèi)一個(gè)對應(yīng)值域內(nèi)唯一的一個(gè)值，所以選項(xiàng)正確，
對于選項(xiàng)：函數(shù)圖像滿足定義域和值域的要求，但是當(dāng)時(shí)，的值有2個(gè)，不符合函數(shù)的定義，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，
對于選項(xiàng)：函數(shù)的定義域不符合題意，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，
對于選項(xiàng)：函數(shù)的定義域不符合題意，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，
故選：．
2.（多選）中國清朝數(shù)學(xué)家李善蘭在1859年翻譯《代數(shù)學(xué)》中首次將“”譯做：“函數(shù)”，沿用至今，為什么這么翻譯，書中解釋說“凡此變數(shù)中函彼變數(shù)者，則此為彼之函數(shù)”，1930年美國人給出了我們課本中所學(xué)的集合論的函數(shù)定義，已知集合，1，2，，，1，2，4，，給出下列四個(gè)對應(yīng)法則，請由函數(shù)定義判斷，其中能構(gòu)成從到的函數(shù)的是
A．B．C．D．
【解析】解：對于選項(xiàng)，，，故不能構(gòu)成從到的函數(shù)；
對于選項(xiàng)，，，故能構(gòu)成從到的函數(shù)；
對于選項(xiàng)，，，故不能構(gòu)成從到的函數(shù)；
對于選項(xiàng)，，，故能構(gòu)成從到的函數(shù)；
故選：．
3.下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是
A．B．
C．D．
【解析】
解：中，的定義域是，，的定義域是，，，不是同一函數(shù)；
中，，，對應(yīng)關(guān)系不同，不是同一函數(shù)；
中，，，對應(yīng)關(guān)系不同，不是同一函數(shù)；
中，，，它們的定義域相同，對應(yīng)關(guān)系也相同，是同一函數(shù)；
故選：．
4.函數(shù)的定義域?yàn)?
A．，B．，，
C．，，D．，，
【解析】
解：由題意得：，
解得：且，
故選：．
5.函數(shù)的定義域?yàn)?
A．，， B．，C．，D．，
【解析】解：使得函數(shù)的表達(dá)式有意義，
則且，解得，．
故選：．
6.函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)的取值范圍是
A．B．，C．，D．
【解析】
解：的定義域是，則恒成立，
即恒成立，則，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，．
故選：．
7.函數(shù)的定義域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A．B．C．D．
【解析】
解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>對任意恒成立，
當(dāng)時(shí)，有，不合題意；
當(dāng)時(shí)，需要，即．
實(shí)數(shù)的取值范圍是，．
故選：．
8.（2021秋?虎丘區(qū)校級月考）已知函數(shù)．
（1）若函數(shù)的定義域?yàn)?，求?shí)數(shù)的取值范圍；
（2）若函數(shù)在，上有意義，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【解析】
解：（1）根據(jù)題意得：在上恒成立，
當(dāng)時(shí)，不滿足題意，
當(dāng)時(shí)，有，解得．
綜上，的取值范圍是，；
（2）根據(jù)題意得在，上恒成立，
令，
當(dāng)時(shí)，滿足題意；
當(dāng)時(shí)，，解得滿足題意；
當(dāng)時(shí)，對稱軸且，同時(shí)（1），
此時(shí)滿足在，上恒成立，滿足題意．
綜上，的取值范圍是，．
9.設(shè)在，上有定義，要使函數(shù)有定義，則的取值范圍為
A．B．
C．D．
【解析】解：由條件得：即
函數(shù)的定義域就是集合與的交集．
（1）當(dāng)時(shí)，，
集合與的交集為空集，
此時(shí)，函數(shù)沒有意義；
（2）當(dāng)時(shí)，，
集合與的交集為，
即函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>（3）當(dāng)時(shí)，，
集合與的交集為，
即函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>（4）當(dāng)時(shí)，，
集合與的交集為空集，
此時(shí)，函數(shù)沒有意義．
要使函數(shù)有定義，
故選：．
10.函數(shù)的定義域?yàn)?，，則函數(shù)定義域?yàn)?
A．，B．，C．D．，
【解析】解：的定義域?yàn)?，?br>，解得：，
故函數(shù)定義域?yàn)?，?br>故選：．
11.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，則函數(shù)的定義域?yàn)?
A．，B．，C．，D．，
【解析】解：函數(shù)的定義域?yàn)?，?br>，解得：，
故選：．
12.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)?
A．B．
C．，，D．，，
【解析】解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>，再由，得，
即的定義域?yàn)椋?br>又，即．
函數(shù)的定義域?yàn)?，，?br>故選：．
13.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)?
A．B．C．D．，
【解析】解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>，
解得：，
故選：．
14.已知，則函數(shù)（3）．
【解析】解：令，，
，
（3）；
故答案為11．
15.已知，則．
【解析】解：設(shè)，則，
，
．
故答案為：．
16.如果，則一次函數(shù) ．
【解析】
解：設(shè)，則．
由于該函數(shù)與是同一個(gè)函數(shù)，
即且．
由可得．
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，．
故答案為：或
17.（2022春?成都期末）我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休．”在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，常用函數(shù)的解析式來分析函數(shù)的圖象特征，如函數(shù)的大致圖象為
A．B．C．D．
【解析】解：的定義域?yàn)?，，?br>當(dāng)時(shí)，，故排除，，
當(dāng)時(shí)，，故排除，
故選：．

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