空間向量運(yùn)算
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1．理解空間向量概念及相關(guān)概念．
2．掌握向量的加（減）、數(shù)乘運(yùn)算及數(shù)量積運(yùn)算．
3．掌握空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示．
【備注】1．重點(diǎn)是理解空間向量相關(guān)概念、掌握向量的加（減）、數(shù)乘運(yùn)算及數(shù)量積運(yùn)算、掌握空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示；難點(diǎn)是空間向量的共面向量定理及空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)運(yùn)算的綜合運(yùn)算．
2．關(guān)聯(lián)知識：立體幾何．
一、 空間向量及其運(yùn)算
1. 空間向量及其運(yùn)算
（1）空間向量的概念
①在空間中，把具有大小和方向的量叫做空間向量．
②向量的大小叫做向量的長度或模長．
③空間向量的表示法：
幾何方法：用有向線段表示；
字母表示法：用一個(gè)字母表示，如 ，若向量的起點(diǎn)是 ，終點(diǎn)是 ，可記作 ，其模記為 或
．
（2）其他相關(guān)概念
①零向量：長度為 的向量叫做零向量，記為 ．②單位向量：模長為 的向量稱為單位向量．
③相等向量：方向相同且模長相等的向量稱為相等向量．在空間中，同向且等長的有向線段表示同一向
量或相等向量．
④相反向量：與向量 長度相同而方向相反的向量，為 的相反向量，記為 ．
⑤共線向量：如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫做共線向
量或平行向量．
（3）加法、減法及數(shù)乘運(yùn)算如下圖：
1
① ② ③當(dāng)
時(shí)，
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，
（4）線性運(yùn)算滿足的運(yùn)算規(guī)律（
）
①交換律：
②結(jié)合律：
,
③分配律：,,
（5）方向向量
①空間向量共線的充要條件：類似于平面向量共線的充要條件，對任意兩個(gè)空間向量
(
），
的充要條件是存在實(shí)數(shù) ，使．
如圖， 是直線 上一點(diǎn)，在直線 上取非零向量 ,則對于直線 上任意一點(diǎn) ,由數(shù)乘向量的定義及向量共
線的充要條件可知，存在實(shí)數(shù) ，使得量．
λ
.我們把與向量 平行的非零向量稱為直線 的方向向
（6）共面向量
如圖，如果表示向量 的有向線段 所在的直線 與直線 平行或重合，那么稱向量 平行于直線 .如果直線 平行于平面 或在平面 內(nèi)，那么稱向量 平行于平面 .平行于同一平面的向量，叫做共面向量．
共面向量定理：如果兩個(gè)向量 、 不共線，那么向量 與向量 、 共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)?br>數(shù)對，使;
推論 :空間一點(diǎn) 位于平面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對，使;或?qū)?br>空間任意一點(diǎn) ，有;
推論 :空間一點(diǎn) 位于平面的充要條件是存在實(shí)數(shù)組，對空間任一點(diǎn) ，有
,其中
經(jīng)典例題
1. 已知點(diǎn) ， 分別是空間四面體的邊 和 的中點(diǎn)， 為線段 的中點(diǎn)，若
，則實(shí)數(shù)．
【備注】本題運(yùn)用向量的加法運(yùn)算及數(shù)乘運(yùn)算求解即可【答案】
【解析】如圖所示，
．
即．
故答案為： ．
【標(biāo)注】【知識點(diǎn)】空間向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示；空間向量的線性運(yùn)算（非坐標(biāo)）
2. 如圖，四面體中， 為 中點(diǎn)，點(diǎn) 在 上，，則（ ）．
A.B.
C.D.
【備注】本題同樣考查空間向量的運(yùn)算；作出空間幾何體，運(yùn)用向量的加法及數(shù)乘運(yùn)算即可【答案】B
【解析】四面體中， 為 中點(diǎn)，點(diǎn) 在 上，，
∴
．
故選 ．
【標(biāo)注】
【知識點(diǎn)】空間向量的線性運(yùn)算（非坐標(biāo)）
鞏固練習(xí)
1. 設(shè) 是所在平面外的一點(diǎn)， 是的重心．
求證：．
【答案】
【解析】
連接 ，延長后交 于 ，由 為
的重心，知 為 的中點(diǎn)，且
．
∴．
∴
【標(biāo)注】
．
【知識點(diǎn)】空間向量的線性運(yùn)算（非坐標(biāo)）；空間向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示
2. 已知 ， ， 是三個(gè)不共面的向量，若，，，若向量
， ， 共面，則 （ ）．
A.B.C.D.
【答案】B
【標(biāo)注】【知識點(diǎn)】空間向量的線性運(yùn)算（非坐標(biāo)）
2. 空間向量的數(shù)量積運(yùn)算
如圖已知兩個(gè)非零向量，在空間中任取一點(diǎn) ，作，則叫做向量的
夾角，記作．
如果，那么 與 垂直，記作．
已知兩個(gè)非零向量，則叫做的數(shù)量積，記作，即
．
①特別地，零向量與任意向量的數(shù)量積為 ．②由向量的數(shù)量積定義，可以得到：
經(jīng)典例題
1. 已知為正方體，給出下列四個(gè)命題：
①；
②；
③向量 與向量 的夾角是 ；
④正方體的體積為．
其中正確的序號是．
【備注】本題比較難，首先可畫出草圖，根據(jù)圖形，可判斷 、、相互垂直，所以可得
①正確；在③中主要對向量進(jìn)行平移然后觀察夾角即可
【答案】①②
【解析】①中，
，
故①正確，
②中，
，
因?yàn)?，故②正確，
③中，兩異面直線 與 所成的角為 ，
但 與 的夾角為 ，故③不正確，
④中，
【標(biāo)注】
，故④也不正確．
【知識點(diǎn)】空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示
2. 如圖，正四面體的棱長為 ，點(diǎn) 、 分別為棱 ， 的中點(diǎn)，則的值為（ ）．
A.B.C.D.
【備注】本題考查向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積運(yùn)算；本題難點(diǎn)主要是運(yùn)用向量的線性運(yùn)算進(jìn)行轉(zhuǎn)換；
由于 是與 點(diǎn)乘，所以將 轉(zhuǎn)化為與 有交點(diǎn)的邊
【答案】C
【解析】∵，
∴
．
故選 ．
【標(biāo)注】
【知識點(diǎn)】空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示；空間向量的線性運(yùn)算（非坐標(biāo)）
3. 如圖所示，正方體的棱長為 ，若動(dòng)點(diǎn) 在線段 上運(yùn)動(dòng)，則的取值范圍
是．
【備注】本題利用同樣考查空間向量的線性運(yùn)算，根據(jù)正方體中角的特殊性，轉(zhuǎn)化求解即可【答案】
【解析】由題意，設(shè)，其中，
，
因此的取值范圍是 ．
故答案為： ．
【標(biāo)注】【知識點(diǎn)】空間向量的線性運(yùn)算（非坐標(biāo)）；空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示
鞏固練習(xí)
1. 已知四面體，，，，，則
．
【答案】
【解析】
∵已知四面體
．
．
，，．
∴．
．
．
則．
．
故答案為： ．
【標(biāo)注】【知識點(diǎn)】空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示
2. 平行六面體（由六個(gè)平行四邊形所圍成的多面體）中，若，，
，且 ， ， 兩兩均成 角，則對角線 的長度為．
【答案】
【解析】
平行六面體
中，
向量 、 、 兩兩夾角為 ，
，，，
∴，
∴
，
∴，
∴答案為 ．
【標(biāo)注】【知識點(diǎn)】空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示
3. 已知 ， 是空間兩個(gè)單位向量，它們的夾角為 ，那么．
【答案】
【解析】
∵
，
；
∴；
∴
【標(biāo)注】
．
【知識點(diǎn)】空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示
4. 已知正四面體的棱長為 ，點(diǎn) ， 分別是棱 ， 的中點(diǎn)，則的值是（ ）．
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】如圖所示，
∵正四面體的棱長為 ,點(diǎn) ， 分別是棱 ， 的中點(diǎn)，
∴，．
∴
．
故選 ．
【標(biāo)注】
【素養(yǎng)】邏輯推理
【素養(yǎng)】數(shù)學(xué)運(yùn)算【素養(yǎng)】直觀想象
【知識點(diǎn)】空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示
3. 知識總結(jié)
（1）共線向量：如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫做共
線向量或平行向量.
（2）線性運(yùn)算的運(yùn)算規(guī)律（）
①交換律：
②結(jié)合律：
,
③分配律：
,,
（3）空間向量的數(shù)量積運(yùn)算
．
①特別地，零向量與任意向量的數(shù)量積為 . ②由向量的數(shù)量積定義，可以得到：
二、 空間向量基本定理與坐標(biāo)運(yùn)算
1. 空間向量基本定理
定理：如果三個(gè)向量不共面，那么對空間任一向量 ，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組，使
．任意三個(gè)不共面的空間向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底．
如果三個(gè)向量不共面，則的線性組合能生成所有的空間向量，這時(shí)
叫做空間的一個(gè)基底，記作，其中都叫做基向量．
據(jù)此，任意三個(gè)不共面的空間向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底．
特別地，如果空間的一個(gè)基底中的三個(gè)基向量兩兩垂直，且長度都為 ，那么這個(gè)基底叫做單位正交基
底，常用表示.由空間向量基本定理可知，對空間中任意向量 ，均可以分解為三個(gè)向量
，使．像這樣，把一個(gè)空間向量分解為三個(gè)兩兩垂直的向量，叫做把
空間向量進(jìn)行正交分解．
經(jīng)典例題
1. 已知是空間的一個(gè)基底，且，，
，試判斷能否作為空間的一個(gè)基底．
【備注】本題考查向量共面的充要條件：存在唯一的有序?qū)崝?shù)對，使；
及構(gòu)成空間的基底的條件：三個(gè)向量不共面
【答案】不可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底．
【解析】假設(shè) ， ， 共面，由向量共面的充要條件知存在實(shí)數(shù) ， ，
使成立．
所以
得
，解得
，
故 ， ， 共面，不可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底．
【標(biāo)注】【知識點(diǎn)】空間向量的線性運(yùn)算（非坐標(biāo)）；空間向量基本定理
2. 已知 ， ， 是不共面向量，，，，
若 ， ， 三個(gè)向量共面，則實(shí)數(shù)．
【備注】共面向量定理的考查：如果兩個(gè)向量 、 不共線，那么向量 與向量 、 共面的充要條件是
存在唯一的有序?qū)崝?shù)對，使;
本題轉(zhuǎn)化為的形式,建立二元一次方程組，求解出 、 ，再求 即可
【答案】
【解析】
∵ ， ， 三個(gè)向量共面，∴可以寫成
的形式，整理可得
，解得，，
∵，∴．
【標(biāo)注】【知識點(diǎn)】空間向量的線性運(yùn)算（非坐標(biāo)）
【素養(yǎng)】數(shù)學(xué)運(yùn)算【素養(yǎng)】邏輯推理
鞏固練習(xí)
1. 已知空間向量 ， ， ， ，若存在實(shí)數(shù)組和，滿足，
，且，試證明向量 ， ， 共面．
【答案】證明見解析．
【解析】∵存在實(shí)數(shù)組和，滿足，
，
∴
，
∵，
∴，
∴向量 ， ， 共面．
【標(biāo)注】【知識點(diǎn)】空間向量的線性運(yùn)算（非坐標(biāo)）；空間向量基本定理
2. 已知平面，四邊形為正方形， 為的重心，，，，
試用基底表示 ， ， ．
【答案】，，．
【解析】如圖所示，
延長 ，交 于點(diǎn) ，則 為 的中點(diǎn)．
，
，
．
故答案為：，，．
【標(biāo)注】【知識點(diǎn)】空間向量的線性運(yùn)算（非坐標(biāo)）；空間向量基本定理
3. 已知三個(gè)向量 ， ， 不共面，并且，，
，向量 ， ， 是否共面？
【答案】向量 ， ， 共面．
【解析】假設(shè)存在實(shí)數(shù) ， ，使，
則．
， ， 不共面，解得
即存在實(shí)數(shù)，，使， 向量 ， ， 共面．
【標(biāo)注】【知識點(diǎn)】空間向量的線性運(yùn)算（非坐標(biāo)）
2. 空間直角坐標(biāo)系
（1）空間直角坐標(biāo)系
如圖，在空間選定一點(diǎn) 和一個(gè)單位正交基底
．以點(diǎn) 為原點(diǎn)，分別以
的方向?yàn)檎?br>方向、以它們的長為單位長度建立三條數(shù)軸： 軸、 軸、 軸，它們都叫做坐標(biāo)軸．這時(shí)就建立了一個(gè)
空間直角坐標(biāo)系， 叫做原點(diǎn)，都叫做坐標(biāo)向量，通過每兩條坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平
面，稱為 平面， 平面， 平面．
畫空間坐標(biāo)系時(shí)，一般使或．
在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向 軸的方向，食指指向 軸的正方向，如果中指指向 軸的正方向，則稱這個(gè)坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系．
（2）空間向量的坐標(biāo)表示
在空間直角坐標(biāo)系中， 為坐標(biāo)向量，對空間任意一點(diǎn) ，對應(yīng)一個(gè)向量 ，且點(diǎn) 的位置由向
量 唯一確定，由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使．
在單位正交基底下與向量 對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)組，叫做點(diǎn) 在空間直角坐標(biāo)系中的坐
標(biāo)，記作，其中 叫做點(diǎn) 的橫坐標(biāo)， 叫做點(diǎn) 的縱坐標(biāo)， 叫做點(diǎn) 的豎坐標(biāo)．
若，則，可簡記為．
經(jīng)典例題
1. 在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于 軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ）．
A.B.C.D.
【備注】關(guān)于 軸對稱，只需 、 值對應(yīng)變?yōu)槠湎喾磾?shù)【答案】A
【解析】點(diǎn)關(guān)于 軸對稱的點(diǎn)只需 值以及 值對應(yīng)變?yōu)槠湎喾磾?shù)，
故其對稱點(diǎn)坐標(biāo)為．
故選 ．
【標(biāo)注】
【知識點(diǎn)】建立空間直角坐標(biāo)系
2. 在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面 對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）．
A.B.C.D.
【備注】在空間直角坐標(biāo)系，關(guān)于面對稱，只需另一個(gè)軸的點(diǎn)變?yōu)橄喾磾?shù)；如本題關(guān)于 面對稱，
只需將 值變?yōu)橄喾磾?shù)
【答案】C
【解析】在空間直角坐標(biāo)系中，
點(diǎn)關(guān)于平面 對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為．
故選 ．
【標(biāo)注】【知識點(diǎn)】建立空間直角坐標(biāo)系
鞏固練習(xí)
1. 點(diǎn)關(guān)于 平面的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）．
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】點(diǎn)關(guān)于 平面對稱，
則橫縱坐標(biāo)不變，
豎坐標(biāo)變?yōu)橄喾磾?shù)，
則關(guān)于 平面的對稱點(diǎn)為．
故選 ．
【標(biāo)注】
【知識點(diǎn)】建立空間直角坐標(biāo)系
2. 在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，給出下列 條描述：
①點(diǎn) 關(guān)于 軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是，
②點(diǎn) 關(guān)于 平面的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是，
③點(diǎn) 關(guān)于 軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是，
④點(diǎn) 關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是．
其中正確的個(gè)數(shù)是（ ）．
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】空間中，關(guān)于 軸對稱的點(diǎn)， 相等， ， 互為相反數(shù)，則 關(guān)于 軸對稱點(diǎn)為
，故①錯(cuò)誤，
關(guān)于 平面對稱的兩點(diǎn)， ， 相等， 互為相反數(shù)，則 關(guān)于 平面的對稱點(diǎn)為
，故②
錯(cuò)誤，
關(guān)于 軸對稱的兩點(diǎn) 相等， ， 互為相反數(shù)，則 關(guān)于 軸對稱點(diǎn)為
，故③錯(cuò)誤，
關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn) ， ， 皆互為相反數(shù)，則 關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為
【標(biāo)注】【知識點(diǎn)】建立空間直角坐標(biāo)系
，故④正確．
3. 空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示
（1）空間兩點(diǎn)的中點(diǎn)坐標(biāo)公式
設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，則線段 的中點(diǎn) 的坐標(biāo)為：
（2）空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示
設(shè)，
；
；
．
設(shè)
，
，
（1），，；
（2）．
設(shè)，，則
，．
．
（3）空間相關(guān)運(yùn)算公式
設(shè)
，
經(jīng)典例題
1. 已知，，．
（ 1 ）求，．
（ 2 ）（ 3 ）
計(jì)算：
寫出與向量
，
平行的單位向量．
，
．
（ 4 ）寫出與向量 ， 同時(shí)垂直的，且長度為 的向量．
（ 5 ）當(dāng)實(shí)數(shù) 的值為多少時(shí)，．
【備注】向量的坐標(biāo)運(yùn)算考查，運(yùn)用公式求解即可
【答案】（ 1 ）（ 2 ）
,
, , ．
．
（ 3 ）或．
（ 4 ）或．
（ 5 ） ．
【解析】（ 1 ）
（ 2 ）
，
．
．
．
．
（ 3 ）∵，
故與平行的單位向量為，即或．
（ 4 ）
設(shè)
是滿足條件的向量，則有
，
故，又，故有，
解得，故滿足條件的向量為或．
（ 5 ），解得．
【標(biāo)注】【知識點(diǎn)】空間向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示
【素養(yǎng)】數(shù)學(xué)運(yùn)算
2. 已知向量，，．
（ 1 ）當(dāng)時(shí)，若向量與 垂直，求實(shí)數(shù) 和 的值．
（ 2 ）若向量 與向量 ， 共面，求實(shí)數(shù) 的值．
【備注】(1)利用 的模長求解 ,再利用兩個(gè)向量垂直，向量點(diǎn)乘為 求
(2)利用向量共面定理求解即可
【答案】（ 1 ），．
（ 2 ）．
【解析】（ 1 ）∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴．
∵，
∴，
（ 2 ）
∴．
∵向量 與向量 ， 共面，∴，
∴，
∴．
【標(biāo)注】【知識點(diǎn)】空間向量基本定理；空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示；空間向量線性運(yùn)算的
坐標(biāo)表示；空間向量的線性運(yùn)算（非坐標(biāo)）
3. 已知空間三點(diǎn)，，，設(shè)，．
（ 1 ）求 和 的夾角的余弦．
（ 2 ）若向量與互相垂直，求 的值．
【備注】（1）空間向量數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算
（2）空間向量垂直時(shí)向量點(diǎn)乘為 求參
【答案】（ 1 ）（ 2 ）
夾角的余弦值為
或．
．
【解析】（ 1 ），
，
∴．
∴ 和 的夾角的余弦值為．
（ 2 ）方法一：，
，
∵，
∴，
即，解得或．
方法二：由（1）知，，，
∴
，
解得
或
．
【標(biāo)注】【知識點(diǎn)】空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示；空間向量基本定理
4. 點(diǎn) 是棱長為 的正方體的底面上一點(diǎn)，則的取值范圍是．
【備注】建立空間直角坐標(biāo)系，求出相應(yīng)點(diǎn)中標(biāo)運(yùn)算即可；本題注意在化簡完式子需要根據(jù) 、 的范圍找最值，所以在設(shè)坐標(biāo)時(shí)不要忘記 、 的取值范圍；其次在求解出下面的式子，主要根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)找最值
【答案】
【解析】
以點(diǎn) 為原點(diǎn)，以
所在的直線為 軸，以
所在的直線為 軸，以 所在的直線
為 軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：
則點(diǎn)，，
設(shè)點(diǎn) 的坐標(biāo)為，由題意得，，．
∴，．
∴，．
由二次函數(shù)的性質(zhì)可得，當(dāng)時(shí)，取得最小值為 ；
當(dāng)或 ，且或 時(shí)，取得最大值為 ，
則的取值范圍是．
故答案為：．
【標(biāo)注】【知識點(diǎn)】空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示
鞏固練習(xí)
1. 已知，，計(jì)算：
（ 1 ）（ 2 ）
．
．
（ 3 ）．
（ 4 ）（ 5 ）
．
，且
，求 ， 的值．
（ 6 ）若，且，則．
【答案】（ 1 ）（ 2 ）（ 3 ）（ 4 ）（ 5 ）（ 6 ）
； ．
【標(biāo)注】【知識點(diǎn)】空間向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示；空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示
2. 在棱長為 正方體中， 為棱 的中點(diǎn)，點(diǎn) 是側(cè)面上一動(dòng)點(diǎn)，且
，則線段 的取值范圍為（ ）．
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】如圖，以 為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，
則，，
∵，
∴，即，
則
，
∵，
∴當(dāng)時(shí)， 取得最小值，當(dāng)或 時(shí)， 取得最大值 ，
故線段 的取值范圍是．
故選 ．
【標(biāo)注】
【知識點(diǎn)】空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示；向量法解決空間中的垂直問題
3.
已知空間三點(diǎn)（ 1 ）若向量（ 2 ）若向量
，與與
， 是 ， 的中點(diǎn)，設(shè)互相垂直，求實(shí)數(shù) 的值．同向，求實(shí)數(shù) 的值．
，
．
【答案】（ 1 ）或．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）
．
點(diǎn)坐標(biāo)為
，
即，
∴
．
∵向量與互相垂直，
∴，
即，
又∵，
，
，
∴，
∴，
解得或．
（ 2 ）由（ ）得：，，
∴
，
∵向量與同向，
∴，
∴，
解得：．
【標(biāo)注】【知識點(diǎn)】空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示；空間向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示；空間向量
的線性運(yùn)算（非坐標(biāo)）
4. 設(shè)，，，點(diǎn) 是線段 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足，若
，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是．
【答案】
【解析】
設(shè)
，
則，，
由，得，，，
∴，
由，得，
解得，又，
∴．
故答案為．
【標(biāo)注】【知識點(diǎn)】空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示
4. 知識總結(jié)
（1）空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示
設(shè)，
①；
②；
③；
④，，；
⑤；
⑥，；
⑦．
（2）空間中常用公式
設(shè)，
①
②線段 的中點(diǎn) 的坐標(biāo)
思維導(dǎo)圖
你學(xué)會(huì)了嗎？畫出思維導(dǎo)圖總結(jié)本節(jié)課所學(xué)吧！
【備注】
出門測
1. 如圖，在四面體中，設(shè) 是 的中點(diǎn)，則等于（ ）．
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】∵ 是 的中點(diǎn)，
∴
【標(biāo)注】
．
【知識點(diǎn)】空間向量的線性運(yùn)算（非坐標(biāo)）
2. 平行六面體中，向量 、 、 兩兩的夾角均為 ，且，，
，則等于．
【答案】
【解析】
由平行六面體
可得：
，
，
．
故答案為： ．
【標(biāo)注】【知識點(diǎn)】空間向量的線性運(yùn)算（非坐標(biāo)）；空間向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示
3. 已知是空間的一個(gè)基底，且，，
，試判斷能否作為空間的一個(gè)基底？若能，試以此基底表示向量；
若不能，請說明理由．
【答案】能；證明見解析．
【解析】假設(shè) ， ， 共面，由向量共面的充要條件知存在實(shí)數(shù) ， 使成
立，
所以
．
因?yàn)槭强臻g的一個(gè)基底，
所以 ， ， 不共面．
所以，此方程組無解，
即不存在實(shí)數(shù) ， 使
成立．
所以 ， ， 不共面．
故能作為空間的一個(gè)基底．
設(shè)，
則有
．
因?yàn)?br>為空間的一個(gè)基底，
所以，
解得．
所以
【標(biāo)注】
．
【知識點(diǎn)】空間向量的線性運(yùn)算（非坐標(biāo)）
4. 點(diǎn)，， 為線段 上一點(diǎn)，且，則點(diǎn) 坐標(biāo)為（ ）．
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】設(shè) 點(diǎn)坐標(biāo)，
則向量，
向量，
∵，
∴，
∴，
∴，，，
因此點(diǎn) 的坐標(biāo)為．
故選 ．
【標(biāo)注】
【知識點(diǎn)】空間向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示
5. 若，，且 與 的夾角為鈍角，則 的取值范圍是．
【答案】
【標(biāo)注】
【知識點(diǎn)】空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1．理解空間向量概念及相關(guān)概念．
2．掌握向量的加（減）、數(shù)乘運(yùn)算及數(shù)量積運(yùn)算．
3．掌握空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示．
【備注】1．重點(diǎn)是理解空間向量相關(guān)概念、掌握向量的加（減）、數(shù)乘運(yùn)算及數(shù)量積運(yùn)算、掌握空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示；難點(diǎn)是空間向量的共面向量定理及空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)運(yùn)算的綜合運(yùn)算．
2．關(guān)聯(lián)知識：立體幾何．
三、 空間向量及其運(yùn)算
1. 空間向量及其運(yùn)算
（1）空間向量的概念
①在空間中，把具有大小和方向的量叫做空間向量．
②向量的大小做向量的長度或模長．
③空間向量的表示法：
幾何方法：用有向線段表示；
字母表示法：用一個(gè)字母表示，如 ，若向量的起點(diǎn)是 ，終點(diǎn)是 ，可記作 ，其模記為 或
．
（2）其他相關(guān)概念
①零向量：長度為 的向量叫做零向量，記為 ．②單位向量：模長為 的向量稱為單位向量．
③相等向量：方向相同且模長相等的向量稱為相等向量．在空間中，同向且等長的有向線段表示同一向
量或相等向量．
④相反向量：與向量 長度相同而方向相反的向量，為 的相反向量，記為 ．
⑤共線向量：如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫做共線向
量或平行向量．
（3）加法、減法及數(shù)乘運(yùn)算如下圖：
①
②
③當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，
（4）線性運(yùn)算滿足的運(yùn)算規(guī)律（
）
①交換律：
②結(jié)合律：
,
③分配律：,,
（5）方向向量
①平面向量共線的充要條件：類似于平面向量共線的充要條件，對任意兩個(gè)空間向量
(
），
的充要條件是存在實(shí)數(shù) ，使．
如圖， 是直線 上一點(diǎn)，在直線 上取非零向量 ,則對于直線 上任意一點(diǎn) ,由數(shù)乘向量的定義及向量共
線的充要條件可知，存在實(shí)數(shù) ，使得λ.我們把與向量 平行的非零向量稱為直線 的方向向
量．
（6）共面向量
如圖，如果表示向量 的有向線段 所在的直線 與直線 平行或重合，那么稱向量 平行于直線 .如果直線 平行于平面 或在平面 內(nèi)，那么稱向量 平行于平面 .平行于同一平面的向量，叫做共面向量．
共面向量定理：如果兩個(gè)向量 、 不共線，那么向量 與向量 、 共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)?br>數(shù)對，使;
推論 :空間一點(diǎn) 位于平面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對，使;或?qū)?br>空間任意一點(diǎn) ，有;
推論 :空間一點(diǎn) 位于平面的充要條件是存在實(shí)數(shù)組，對空間任一點(diǎn) ，有
,其中
經(jīng)典例題
鞏固練習(xí)
2. 空間向量的數(shù)量積運(yùn)算
如圖已知兩個(gè)非零向量，在空間中任取一點(diǎn) ，作，則叫做向量的
夾角，記作．
如果，那么 與 垂直，記作．
已知兩個(gè)非零向量，則叫做的數(shù)量積，記作，即
．
①特別地，零向量與任意向量的數(shù)量積為 ．②由向量的數(shù)量積定義，可以得到：
經(jīng)典例題
鞏固練習(xí)
3. 知識總結(jié)
（1）共線向量：如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫做共線向量或平行向量.
（2）線性運(yùn)算的運(yùn)算規(guī)律（）
①交換律：
②結(jié)合律：
,
③分配律：
,,
（3）空間向量的數(shù)量積運(yùn)算
．
①特別地，零向量與任意向量的數(shù)量積為 . ②由向量的數(shù)量積定義，可以得到：
四、 空間向量基本定理與坐標(biāo)運(yùn)算
1. 空間向量基本定理
定理：如果三個(gè)向量不共面，那么對空間任一向量 ，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組，使
．任意三個(gè)不共面的空間向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底．
如果三個(gè)向量不共面，則的線性組合能生成所有的空間向量，這時(shí)
叫做空間的一個(gè)基底，記作，其中都叫做基向量．
據(jù)此，任意三個(gè)不共面的空間向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底．
特別地，如果空間的一個(gè)基底中的三個(gè)基向量兩兩垂直，且長度都為 ，那么這個(gè)基底叫做單位正交基
底，常用表示.由空間向量基本定理可知，對空間中任意向量 ，均可以分解為三個(gè)向量
，使．像這樣，把一個(gè)空間向量分解為三個(gè)兩兩垂直的向量，叫做把
空間向量進(jìn)行正交分解．
經(jīng)典例題
鞏固練習(xí)
2. 空間直角坐標(biāo)系
（1）空間直角坐標(biāo)系
如圖，在空間選定一點(diǎn) 和一個(gè)單位正交基底
．以點(diǎn) 為原點(diǎn)，分別以
的方向?yàn)檎?br>方向、以它們的長為單位長度建立三條數(shù)軸： 軸、 軸、 軸，它們都叫做坐標(biāo)軸．這時(shí)就建立了一個(gè)
空間直角坐標(biāo)系， 叫做原點(diǎn)，都叫做坐標(biāo)向量，通過每兩條坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平
面，稱為 平面， 平面， 平面．
畫空間坐標(biāo)系時(shí)，一般使或．
在空間中交坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向 軸的方向，食指指向 軸的正方向，如果中指指向 軸的正方向，則稱這個(gè)坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系．
（2）空間向量的坐標(biāo)表示
在空間直角坐標(biāo)系中， 為坐標(biāo)向量，對空間任意一點(diǎn) ，對應(yīng)一個(gè)向量 ，且點(diǎn) 的位置由向
量 唯一確定，由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使．
在單位正交基底下與向量 對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)組，叫做點(diǎn) 在空間直角坐標(biāo)系中的坐
標(biāo)，記作，其中 叫做點(diǎn) 的橫坐標(biāo)， 叫做點(diǎn) 的縱坐標(biāo)， 叫做點(diǎn) 的豎坐標(biāo)．
若，則，可簡記為．
經(jīng)典例題
鞏固練習(xí)
3. 空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示
（1）空間兩點(diǎn)的中點(diǎn)坐標(biāo)公式
設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，則線段 的中點(diǎn) 的坐標(biāo)為：
（2）空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示
設(shè)，
；
；
．
設(shè)
，
，
（1），，；
（2）．
設(shè)，，則
，．
．
（3）空間相關(guān)運(yùn)算公式
設(shè)
，
經(jīng)典例題
鞏固練習(xí)
4. 知識總結(jié)
（1）空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示
設(shè)，
①；
②；
③；
④，，；
⑤；
⑥，；
⑦．
（2）空間中常用公式
設(shè)，
①
②線段 的中點(diǎn) 的坐標(biāo)
思維導(dǎo)圖
你學(xué)會(huì)了嗎？畫出思維導(dǎo)圖總結(jié)本節(jié)課所學(xué)吧！
【備注】
出門測
38

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊電子課本

1.1 空間向量及其運(yùn)算

版本： 人教A版 (2019)

年級： 選擇性必修 第一冊

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