空間向量與立體幾何 學(xué)習(xí)目標(biāo) ．空間向量的基礎(chǔ):了解空間向量的概念、基本定理及其意義；掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo) 表示、線性運算及其坐標(biāo)表示，數(shù)量積及其坐標(biāo)表示；能運用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直． ．空間向量的應(yīng)用:理解直線的方向向量與平面的法向量；掌握用向量語言表述線線、線面、面面 的垂直、平行關(guān)系；掌握用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計算問題． 考試數(shù)據(jù) 知識模塊 考點 新高考卷 ?？碱l次（頻率） 空間向量與立體幾何 空間向量與立體幾何 山東&海南2020-20 35（100%） 注：?？紨?shù)據(jù)來自于2021年搜集自濟(jì)南、南京、蘇州、廣州、深圳、重慶、武漢七所分校的35套優(yōu)質(zhì)試卷. 高頻考點 ．求異面直線所角；． 直線與平面所成的角；．平面與平面所成的角． 難點性等探索性問題； ．立體幾何中的最值問題； 易錯點 ．夾角的范圍問題； ．坐標(biāo)中的計算問題； 一、 空間向量的基礎(chǔ) 1. 空間向量的基本定理 ．共線（平行）向量定理：對空間兩個向量 ，  ，  的充要條件是存在實數(shù) ，使得 ． ．共面向量定理：如果兩個向量 ， 不共線，則向量 與向量 ， 共面的充要條件是存在唯 一一對實數(shù) ， ，使得 ． ．空間向量分解定理：如果三個向量 ， ， 不共面，那么 對空間任一向量 ，存在唯一的 有序?qū)崝?shù)組 ， ， ，使得 ． 2. 空間向量數(shù)量積 ．空間向量的數(shù)量積的定義：  ； ．空間向量的數(shù)量積的性質(zhì)： ① ； ② ； ③ ； ④ ． ．空間向量的數(shù)量積的運算律：  ； 交換律： ； 分配律： ． 3. 空間向量運算的坐標(biāo)表示 ．空間向量的正交分解：建立空間直角坐標(biāo)系  ，分別沿 軸， 軸， 軸的正方向引單位向 量 ， ， ，則這三個互相垂直的單位向量構(gòu)成空間向量的一個基底 ，由空間向量分解 定理，對于空間任一向量 ，存在唯一數(shù)組 ，使 ，那么有序數(shù)組 就叫做空間向量 的坐標(biāo)，即 ． ．空間向量線性運算及數(shù)量積的坐標(biāo)表示： 設(shè) ， ， ， ， ， ，則 ① ； ② ； ③ ； ④ ． ．空間向量平行和垂直的條件： ① ， ， ； ② ． ．向量的夾角與向量長度的坐標(biāo)計算公式： 設(shè) ， ，則 ① ， ； ② ； ③在空間直角坐標(biāo)系中，點 ， ，則 ， 兩點間的距離是 ． 經(jīng)典例題 1. 假設(shè)地球是半徑為 的球體，現(xiàn)將空間直角坐標(biāo)系的原點置于球心，赤道位于 平面上， 軸的正 方向為球心指向正北極方向，本初子午線（弧 ）是 度經(jīng)線，位于 平面上，且交 軸于點 ，如圖所示．已知赤道上一點 位于東經(jīng) 度，則地球上位于東經(jīng) 度、 北緯 度的空間點 的坐標(biāo)為（ ）． A. B. C. D. 【備注】（1）選本題的目的和作用的說明：重點考查在球體中求空間坐標(biāo)． （2）本題關(guān)鍵的解題步驟：找到 點在 平面上的投影，根據(jù)幾何關(guān)系求得 點的坐 標(biāo)． （3）本題的易錯點：求 點的豎坐標(biāo)． （4）本題需要注意的地方以及難點：題目給出的經(jīng)緯度條件在坐標(biāo)系中的轉(zhuǎn)化，需要在各個平面分析邊長等數(shù)量關(guān)系． 【答案】A 【解析】∵圖中 ， 在赤道上的射影點為 ， ， ∴ ， ， ， 圖中 軸， 軸， ∴ ， ， ∴ ． 故選 ． 【標(biāo)注】【知識點】計算任意角的三角函數(shù)值；圓柱、圓錐、圓臺和球的結(jié)構(gòu)特征 鞏固練習(xí) 2. 如圖，在四面體 中， 、 分別在棱 、 上，且滿足 ， ，點 是線段 的中點，用向量 ， ， 表示向量 應(yīng)為（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵在四面體  中， 、 分別在棱 、 上， 且滿足 ， ，點 是線段 的中點， ∴ ． 故選 ． 【標(biāo)注】【知識點】空間向量的線性運算（非坐標(biāo)） 4. 知識總結(jié) （一）空間向量的基本概念、表示、大小、共線、加減運算； （二）空間向量基本定理 （三）空間向量數(shù)量積定義、性質(zhì)： （四）空間向量運算的坐標(biāo)表示 二、 空間向量的應(yīng)用 1. 向量法證明平行、垂直 用空間向量刻畫空間中平行與垂直的位置關(guān)系： 設(shè)直線 ， 的方向向量分別是 ， ，平面 ， 的法向量分別是 ， ，則 ① ， ； ② ； ③ ； ④ ， ； ⑤ ， ； ⑥ ． 經(jīng)典例題 3. 如圖，在三棱錐  中，  平面  ，  ，  ，  ，  ， ． 求證：  平面  ． 【備注】 （1）選本題的目的和作用的說明：給出用建系的方法去證明線面垂直的思路． （2）本題關(guān)鍵的解題步驟：證DE與平面SCD的兩條線垂直，重點證幾何法證CD與DE垂直． （3）本題的易錯點：證CD與DE垂直． （4）本題需要注意的地方以及難點：D點的位置是一個關(guān)鍵的點，需要用到基礎(chǔ)的幾何知識，考察功底；無論是用幾何方法還是向量的方法都是要從D點入手． 【答案】（ 1 ）證明見解析． 【解析】（ 1 ）如圖示： 以 為原點建立空間直角坐標(biāo)系， 由題意得： ， ， ， ， ， ∵ ， ， ， ∴ ， ， 即 ， ， ∵ ， ∴ 平面 ． 【標(biāo)注】【知識點】向量法求空間距離；向量法解決空間中的平行問題；向量法解決二面角問題； 向量法解決空間中的垂直問題 鞏固練習(xí) 4. 如圖，四棱錐 （ 1 ）證明： （ 2 ）當(dāng)直線 與平面 的底面 是邊長為 的正方形， ． 所成角的正弦值最大時，求此時二面角 ．  的大?。? 【備注】（1）選本題的目的和作用的說明：本題可以用向量和幾何兩種方法證明，提供多種解題思 路． （2）本題關(guān)鍵的解題步驟：①幾何法：證明三角形△PAD≌△PBC．②向量法：證明兩個角 的余弦值相等． （3）本題的易錯點：找不到思路． （4）本題需要注意的地方以及難點：建坐標(biāo)系寫坐標(biāo)，尤其是設(shè)Ｐ點的坐標(biāo)；最值問題需要帶參數(shù)表示坐標(biāo)，處理二次式取最值． 【答案】（ 1 ）證明見解析． （ 2 ） ． 【解析】（ 1 ）方法一：如圖，分別取 ， 的中點 、 ，連接 、 、 ． ∵ ， 為 的中點， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， 又 平面 ， 平面 ． ∵ 垂直平分 ， ∴ ． 在 與 中， ， ∴ ． ∴ ． 方法二：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系， 則 ， 設(shè) ， ， ∴ ． （ 2 ）方法一：由（ ） 是二面角 的平面角， 設(shè) ，則 ， 在 中， ， 過點 作 的垂線，垂足為 ， 則  ， ∵ 平面平面  ， ∴平面 平面 ， 平面 平面 又∵ ， 平面 ∴ 平面 ． ∵ 平面 ， ∴ ， 設(shè)直線 與平面 所成的角為 ， ∴ ， 令 ， ， 則 ， 當(dāng)且僅當(dāng) ，即 時， 有最大值 ， ∴ ． ∴當(dāng)直線 與平面 所成角的正弦值最大時，二面角 的大小為 ． 方法二： ， 設(shè)平面 的法向量 ， ∴ ， 設(shè) 與平面 所成的角為 ， 與 所成的角為 ， ∴ ， 令 ， ， 當(dāng)且僅當(dāng) ， 時，取“ ”，此時 ． 此時 ， ， 設(shè)平面 的法向量 ， ， 易知平面 的一個法向量 ， 設(shè)二面角 的平面角為 ， 故 ， ． 【標(biāo)注】【知識點】幾何法求空間角；向量法解決異面直線所成角問題 2. 異面直線的夾角 異面直線所成的角：設(shè) ， 是兩條異面直線，過空間任意一點 作直線  ，  ，則 與 所夾 的銳角或直角叫做異面直線 與 所成的角． 設(shè)異面直線 與 的方向向量分別是 ， ， 與 的夾角為 ，顯然  ，則 ． 經(jīng)典例題 5. 如圖 ，在四棱錐  中，底面  為矩形．  底面  ，  ， . 為 的中點，則異面直線 與 所成角的余弦值為（ ）． 圖 A. B. C. D. 【備注】（1）選本題的目的和作用的說明：強(qiáng)調(diào)異面直線夾角的公式． （2）本題關(guān)鍵的解題步驟：建系，求兩條直線的方向向量，帶公式． （3）本題的易錯點：夾角的范圍． （4）本題需要注意的地方以及難點：注意計算． 【答案】B 【解析】∵ 底面 ， ∴ ， ， ∵底面 為矩形， ∴ ， 以 為原點， ， ， 所在直線分別為 軸， 軸， 軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示， 圖 ∵ ， ， 是 中點， ∴ ， ， ， ， ， ， ∴ ， ， ∴ ， 則異面直線 與 所成角的余弦值為 ，故選 ． 【標(biāo)注】【知識點】向量法解決異面直線所成角問題 鞏固練習(xí) 6. 如圖，長方體 中， ， 為 的中點，則異面直線 與 所成角的正切值為（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】以 原點， 為 軸， 為 軸，  為 軸，建立空間直角系， 設(shè) ，則 ， ， ， ， ， ， 設(shè)異面直線 與 所成角為 ， 則 ， ，解得 ． 【標(biāo)注】【知識點】向量法解決異面直線所成角問題 7. 如圖，在正三棱柱 中，側(cè)棱長為 ，底面三角形的邊長為 ，則 與側(cè)面 所成的角是 ． 【答案】 【解析】方法一：取 的中點 ，連接  ， ， ∵三棱柱 為正三棱柱， ∴ 平面 ， ∴ 在平面 上的射影為 ， 設(shè) 與側(cè)面 所成的角為 ， ∴ ， ∴ ． 方法二：分別取 、  的中點 、 ，連接 ，  ，易知  平面  ，且 ，故以 為坐標(biāo)原點， 、 、 所在的直線分別為 軸、 軸、 軸，建 立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 易得 ， ， ∴ ， 設(shè) 與側(cè)面 所成的角為 ， ∵平面 的一個法向量為 ， ∴ ， ∴ ． 故答案為： ． 【標(biāo)注】【知識點】向量法解決空間中的平行問題；向量法解決線面角問題 8. 如圖 ，圓錐的軸截面為等腰直角 ， 為底面圓心， 為底面圓周上 的三等分點， ．則 與 的夾角為( )． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】如圖7，在底面圓周上取 的另一個三等分點 ，  ．由圓周角定理，知 ， 從而， ． 所以， 與 的夾角就是 與 的夾角． 又由 為圓周的 知， ． 在等腰三角形 中，有 ． 得 ． 即異面直線 與 的夾角為 【標(biāo)注】【知識點】圓柱、圓錐、圓臺和球的結(jié)構(gòu)特征 3. 直線與平面所成的角 直線和平面所成的角：直線和平面所成的角是指直線與它在這個平面內(nèi)的射影所成的角．設(shè)直線 的方向向量是 ，平面 的法向量是 ，直線 與平面 的夾角為 ，顯然 ， 則 ． 經(jīng)典例題 9. 如圖，四棱錐  中，  平面  ，  ，  ，  ， 為棱 上一 點． 若 ，且 平面 ，求直線 與平面 所成角的正弦值． 【備注】（1）選本題的目的和作用的說明：考查直線與平面的夾角，強(qiáng)調(diào)線面角的公式，以及基本 幾何關(guān)系的轉(zhuǎn)化． （2）本題關(guān)鍵的解題步驟：需先找到關(guān)系建系，求直線 的方向向量與平面 的法 向量代入公式求夾角的正弦值． （3）本題的易錯點：由線面平行求平面  的法向量． （4）本題需要注意的地方以及難點：注意計算，以及線面平行、線面垂直條件的轉(zhuǎn)化． 【答案】（ 1 ） ． 【解析】（ 1 ）取 中點 ，作  交 于 ， ∵ ， ∴ ， 平面 ， 平面 ， ∴ ，又 ， ∴ 平面 ， 以 為坐標(biāo)原點， 為 軸正方向， 為 軸正方向， 為 軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系， ， ， ， ， ， 設(shè)平面 的法向量 ， ∴ ， ， 由 平面 ， ， 取 ， ， ， ， ， ∴ ， ∴直線 和平面  所成角正弦值為 ， ． 【標(biāo)注】【知識點】線面平行的證明問題；向量法解決線面角問題 10. 在邊長為 的菱形 中， ，點 是邊 的中點（如圖 ），將 沿 折起 到 的位置，連接 ， ，得到四棱錐 （如圖 ）． 圖 圖 若 ，連接 ，求直線 與平面 所成角的正弦值． 【備注】（ ）選本題的目的和作用的說明：折疊問題與線面角結(jié)合，考查空間幾何關(guān)系的轉(zhuǎn)化， 對空間想象能力要求較高． （ ）本題關(guān)鍵的解題步驟：建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)原圖找出四棱錐的幾何關(guān)系，寫 各點坐標(biāo)，求直線 的方向向量與平面 的法向量． （ ）本題的易錯點： 求四棱錐各點坐標(biāo)及法向量． （ ）本題需要注意的地方以及難點：平面圖形與立體圖形之間邊長關(guān)系的轉(zhuǎn)換． 【答案】（ 1 ） ． 【解析】（ 1 ）方法一：因為  ，  ，  ， 故以點 為原點，以射線 ， ， 分別為 軸， 軸， 軸， 建立空間直角坐標(biāo)系 ， 圖 因為菱形 的邊長為 ， ， 所以 ， ， ， 則 ， ， ， ， 所以 ， ， ， 設(shè)平面 的法向量為 ， 由 ， ，得 ， ， 令 ，得 ， 所以平面 的一個法向量為 ， 設(shè)直線 與平面 所成角為 ， 則 ， 所以直線 與平面 方法二：因為 所成角的正弦值為 ，又 ， ．  ， 所以 平面 ， 因為 ， 所以 平面 ， 因為 平面 ， 所以平面 平面 ， 因為平面 平面 ， 作 于 ，則 平面 ， 連接 ，則 是直線 與平面 所成角， 圖 因為菱形 的邊長為 ， ， 所以 ， ， ， 在 中， ， 在 中， ， 在 中， ， 所以直線 與平面 所成角的正弦值為 ． 【標(biāo)注】【知識點】幾何法求空間角；折疊問題；向量法解決線面角問題 鞏固練習(xí) 11. 如圖四棱錐 中， 是以 為斜邊的等腰直角三角形， ， ， ， ， 為 的中點． （ 1 ）求直線 與平面 所成角的正弦值． （ 2 ）設(shè) 是 的中點，判斷點 是否在平面  內(nèi)，并證明結(jié)論． 【答案】（ 1 ）（ 2 ） ． 在平面  內(nèi)，證明見解析． 【解析】（ 1 ）取 中點 ，連接 ， ， 由已知 是以 為斜邊的等腰直角三角形， ∴ ， 又 ， ∴ ， ， 而 ， ， ， 所以四邊形 為正方形，即 ， 而 ， ， ， 所以 ，即 ， 而 ， 所以 平面 ， 以 為 軸， 為 軸， 為 軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 所以 ， ， ， ， 設(shè)平面 的一個法向量為 ， 而 ， ， ， 由 得 ，可取 ， 設(shè)直線 與平面 所成角為 ， 則 ， （ 2 ） 所以直線 與平面 在平面 內(nèi)， 所成角的正弦值為 ． 為 中點，由（ ）知 ， 又 是 的中點， 所以 ， ， ， ， 設(shè) ，即 ，解得 ， 故有唯一一組實數(shù)對 使得 ， 因此符合向量基本定理，故 與 ， 共面，即 在平面 內(nèi)． 【標(biāo)注】【知識點】向量法解決線面角問題；空間向量共面問題 12. 如圖，四棱錐 的底面 是菱形， ，且 ． 若 ，棱 上一點 滿足 ，求直線 與平面 所成角的正弦值． 【備注】可以用幾何、建系兩種方法去解決 【答案】（ 1 ） ． 【解析】（ 1 ）方法一：由（ ）知：平面  平面  ， 平面 平面 ， 又 ， 平面 ， 故 平面 ， 在菱形 中， 因為 ， 所以 ， 所以 為等邊三角形， 所以 ， 在 和 中， ， ， ， 所以 ≌ ， 所以 ， 在 和 中， ， ， ， 所以 ≌ ， 所以 ， 因為 ，所以 為等腰直角三角形， 所以 ， 所以 ， 所以 為 中點，  ， 又 平面 ， 所以 平面 ， 設(shè) 到平面 的距離為 ， 與平面 所成角為 ， 則 ， 由 ，知 所以 ， 在 中， ， 在 中， ， 在 中， ， 所以 ， 所以 ， 所以  ，  ， 即直線 與平面 所成角的正弦為 ． 方法二：以 為原點，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系， 則 ， ， ， ， 設(shè) ， 則有 ， 所以 ， 由 ，得 ， 即 ， 所以 ， 即 ， 解得 或 （舍去）， 所以 ， 設(shè)平面 的法向量為 ， 則 ， ， 即 ， 可取 ， 設(shè) 與平面 所成的角為 ， 則 ， ． 【標(biāo)注】【知識點】面面垂直的證明問題；幾何法求空間角；向量法解決線面角問題 13. 如圖，在四棱錐 中，側(cè)面 為鈍角三角形且垂直于底面 ，底面為直角梯形且 ， ， ，點 是 的中點． 若直線 與底面 所成的角為 ，求 與平面 所成角的正弦值． 【答案】（ 1 ） ． 【解析】（ 1 ）過點 作 的垂線，交 的延長線于點 ，連接 ， ∵平面 底面 ，平面 底面 ， ， 平 面 ， ∴ 底面 ， 故 為斜線 在底面 內(nèi)的射影， 為斜線 與底面 所成的角，即 ． 由（ ）得， ， ∴在 中， ， ， 在 中， ， ， ， 由余弦定理得 ， ∴ ，從而 ，過點 作 ， ∴ 底面 ， ∴ 、 、 兩兩垂直， 如圖，以點 為坐標(biāo)原點， 為 軸正方向， 為 軸正方向， 為 軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系， 則 ， ， ， ， ， 設(shè)平面 的法向量為 ， ， 取 ，得 ， ， ∴所成的角的正弦值為 ． 【標(biāo)注】【知識點】向量法解決線面角問題；線面垂直的證明問題 14. 在四棱錐 中， 平面 ， ， ， ， ， ，點 ， 在線段 上， ， ， 為線段 上的一點． 若平面 與平面 所成銳二面角的余弦值為 ，求直線 與平面 所成角的正 弦值． 【答案】（ 1 ） ． 【解析】（ 1 ）由 知：  ，以 為坐標(biāo)原點， 以 為 軸，以 為 軸，以 為 軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示． 所以 ， ， ， ， ， ， 設(shè) ， ， 則 ， 所以 ， ， 設(shè)平面 的法向量為 ， 由 得 ， 令 得 ， 因為 平面 ，所以平面 的法向量為 ， 因為平面 與平面 所成銳二面角 的余弦值為 ， 所以 ， 解得 ，即 ， 所以 ， 因為平面 的法向量為 ， 所以直線 與平面 所成角的正弦值為 ． 【標(biāo)注】【知識點】線面垂直的證明問題；向量法解決線面角問題；向量法解決二面角問題 4. 兩個平面所成的角 二面角及其度量：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角．記作  ．在二面 角的棱上任取一點 ，在兩個半平面內(nèi)分別作射線 ， ，則 叫做二面角 的平 面角． 設(shè)平面 的法向量是 ，平面 的法向量是 ，平面 與平面 的夾角為 ， 備注：利用向量求二面角的平面角有兩種方法： 方法一：如圖，若 ， 分別是二面角 的兩個面內(nèi)與棱 垂直的異面 直線，則二面角 的大小就是向量 與 的夾角的大小． 方法二：如圖， ， 分別是二面角的兩個半平面 ， 的法向 量，則 與該二面角的大小相等或互補(bǔ)． 根據(jù)題目特點，同學(xué)們可以靈活選擇運用向量方法與綜合方法，從 不同角度解決立體幾何問題． 經(jīng)典例題 15. 四棱錐 中， 面 ，直角梯形 中， ， ， ， ，點 在 上且 ． 與平面 所成角為 ． 求二面角 的余弦值． 【備注】（ ）選本題的目的和作用的說明：強(qiáng)調(diào)異面直線夾角的公式． （ ）本題關(guān)鍵的解題步驟：建系，求兩個平面的法向量，帶公式． （ ）本題的易錯點：注意夾角的范圍． （ ）本題需要注意的地方以及難點：注意計算． 【答案】（ 1 ） ． 【解析】（ 1 ）以 為原點， ， ， 所在直線為 軸、 軸、 軸， 面 ，所以 ， 又因為 ，所以 面 ， 所以 在面 的射影為 ． 所以 為 與平面 所成角， 所以 ， ， 所以 ， ， ， ， ， ， 面 法向量 ， 面 法向量 ， ， 所以 ， 所以 所以二面角 ， ， 所成角的余弦值為 ． 【標(biāo)注】【知識點】直線和平面平行的判定；線面平行的證明問題；向量法解決二面角問題 16. 如圖，已知多面體 的底面 是邊長為 的正方形， 底面 ， ，且 ． 若二面角 的大小為 ，求 的值． 【備注】（ ）選本題的目的和作用的說明：強(qiáng)調(diào)二面角夾角的公式． （ ）本題關(guān)鍵的解題步驟：建系，求平面BCF與平面CFE的法向量，代入公式． （ ）本題的易錯點：平面CFE法向量帶參數(shù)，計算要注意． （ ）本題需要注意的地方以及難點：求平面的法向量，解二次方程． 【答案】（ 1 ） 或 （舍去）． 【解析】（ 1 ）以 為坐標(biāo)原點，分別以 ， ， 所在直線為 軸、 軸、 軸， 建立如圖空間直角坐標(biāo)系． 由 得， ， ， ， ， ， ． 設(shè)平面 的法向量為 ， 由已知得， ， ， 由 得 不妨取 ，則 ， ． 從而平面 的一個法向量為 ． 設(shè)平面 的法向量為 ， 又 ， 由 得 不妨取 ，則 ， ， 所以平面 的一個法向量為 ． 所以 ． 因為二面角 的大小為 ， 所以 ，化簡得 ， 解得 或 （舍去）． 【標(biāo)注】【知識點】直線和平面垂直的性質(zhì)；線面平行的證明問題；向量法解決二面角問題 17. 如圖，在四棱錐 中， ， ， ， ． （ 1 ）求證：平面 平面 ． （ 2 ）求二面角 的余弦值． 【備注】（ ）選本題的目的和作用的說明：強(qiáng)調(diào)二面角的夾角的公式． （ ）本題關(guān)鍵的解題步驟：證明面面垂直是建系的前提，求量平面的法向量，代入公 式． （ ）本題的易錯點：建系之前要找到三條兩兩互相垂直的線，注意夾角的范圍． （ ）本題需要注意的地方以及難點：建系需要找準(zhǔn)條件，充分利用題目條件． 【答案】（ 1 ）證明見解析． （ 2 ） ． 【解析】（ 1 ）如圖所示， 取 的中點 ，連接 ，  ． ∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ 是直角三角形， ∴ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ 平面 ， 又∵ 平面 ， ∴平面 平面 ． （ 2 ）方法一：由（ ）可知， 平面 ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， ， 四點共圓， ∴ ． ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ． 以 為坐標(biāo)原點， 為 軸， 為 軸，過點 平行于 的直線為 軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 易得 ， ， ， ， 則有 ， ， ， 分別設(shè)平面 和平面 的法向量為 和 ， 則 ，即 ， 則平面 的一個法向量為 ， 同理，平面 的一個法向量為 ， ， 設(shè)二面角 的平面角為 ，則 ． 方法二： 以 為坐標(biāo)原點，過點 平行于 的直線為 軸，平行于 的直線為 軸， 為 軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，易得 ， ， ， ， 則有 ， ， ， 分別設(shè)平面 和平面 的法向量為 和 ， 則 ， 即 ， 則平面 的一個法向量為 ， 同理，平面 的一個法向量為 ， ． 設(shè)二面角 方法三：如圖所示， 的平面角為 ， ． 過點 ， 分別作 的垂線，并交 于點 ， ． 在等腰 中，由 ， 得 ， 解得 ， 在 中，由 ， 同理， ， ， 則 ， 由 ， 可得 ， 則 ， 解得 ， 易知二面角 的平面角就是 與 的夾角， 設(shè)二面角 的平面角為 ， 則 ． 【標(biāo)注】【知識點】面面垂直的證明問題；向量法解決二面角問題 18. 如圖，四邊形 是一個邊長為 的菱形，且 ，現(xiàn)沿著 將 折到 的位 置，使得平面 平面 ， ， 是線段 ， 上的兩個動點（不含端點），且 ，平面 與平面 相交于直線 ． 為 上一個動點，求平面 與平面 所成銳二面角的最小值． 【備注】（1）選本題的目的和作用的說明：本題屬于動點探究性問題，較難，讓學(xué)生接觸難題，找 準(zhǔn)自己的卡殼點． （2）本題關(guān)鍵的解題步驟：建系，表示出兩個平面的法向量，代入公式，含參的二次式函 數(shù)求最值． （3）本題的易錯點：建系、寫坐標(biāo)、計算． （4）本題需要注意的地方以及難點：用含參的式子表示平面EPD的法向量、求二次含參式子的最值． 【答案】（ 1 ） ． 【解析】（ 1 ） ，由（ ）可得 ， ∴ ， ∴ ， ， ， 四點共面， 平面 平面 ， ∴點 在 上， 如圖，取 的中點為 ，  ， 則 ， ， 平面 平面 ， 平面 平面 ， ∴ 平面 ， 法一：以 為坐標(biāo)原點，分別以 ， ， 所在直線為 軸， 軸， 軸建立空間直角坐標(biāo)系， 則 ， ， ， ， ， 設(shè) ， ， 則 ， ， 設(shè)平面 的法向量 ， 則 ， 令 ，則 ， ， ，平面 的一個法向量為 ， ∴ ， ∵平面 與平面 所成角為銳二面角，令 ， ∴ ， 當(dāng)且僅當(dāng) 時取等號，此時平面 與平面 所成銳二面角有最小值 ， 法二： ，過點 作 于點 ，連接 ， 則 ， ∴ 為所求銳二面角的平面角，記為 ， ∴ ，當(dāng) 最大時， 最小， ∵ ， ∴點 在以 為直徑的圓上，當(dāng)點 與點 重合時，  ， ∴ ， ∴ 的最小值為 ． 【標(biāo)注】【知識點】向量法解決二面角問題；幾何法求空間角；線線平行的證明問題 鞏固練習(xí) 19. 在四棱錐 中，側(cè)面 底面 ，底面 為直角梯形， ， ， ， ， ， 分別為 ， 的中點． 若 與 所成角為 ，求二面角 的余弦值． 【答案】（ 1 ） ． 【解析】（ 1 ）由 為正方形可得 ， 由 為平行四邊形可得 ． ∴ 為 與 所成角，即 ， ∵ ， 為 中點， ∴ ． ∵側(cè)面 底面 ，側(cè)面 底面 ， 平面 ， ∴ 平面 ， ∴ ， ∴ ． 取 中點 ，連 ， ． ∵面 面 ，且面 面 ， ， ∴ 平面 ， ∴ 為 的平面角． 又∵ ， ， ， ∴ ． 所以二面角 的余弦值為 ． 【標(biāo)注】【知識點】線面平行的證明問題；幾何法求空間角 20. 如圖所示，在四棱錐 中，底面 是正方形，對角線 與 交于點 ，側(cè)面 是邊長為 的等邊三角形，點 在棱 上． 若平面 平面 ，求二面角 的余弦值． 【備注】可以通過建系做，不用考慮E點 【答案】（ 1 ） ． 【解析】（ 1 ）取 為 中點，過 作  交 于 ，連接  ， 因為平面 平面 ，平面 是正方形， 所以 平面 ，平面 平面 ，側(cè)面 是邊長為 的等邊三角 形， 所以 ， 所以 平面 ， 于是 ， ， 所以 平面 ， 于是 ， 為二面角 的平面角， 故二面角 的余弦值為： ． 【標(biāo)注】【知識點】直線和平面平行的性質(zhì)；幾何法求空間角 21. 如圖，直角三角形 所在的平面與半圓弧 所在平面相交于 ， ， ， 分別 為 ， 的中點， 是 上異于 ， 的點， ． 若點 為半圓弧 上的一個三等分點（靠近點 ），求二面角  的余弦值． 【答案】（ 1 ） ． 【解析】（ 1 ）由已知  ，以 為坐標(biāo)原點，分別以垂直于 ， 向量 ， 所在方向作為 軸， 軸， 軸的正方向， 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 ， 則 ， ， ， ， ， ， ， 設(shè)平面 的一個法向量為 ， 則 即 ，取 ，得 ， 設(shè)平面  的法向量  ， 則 即 ，取 ，得 ， 所以 ， 又二面角 為銳角，所以二面角 的余弦值為 ． 【標(biāo)注】【知識點】面面垂直的證明問題；向量法解決二面角問題；建立空間直角坐標(biāo)系 22. 如圖，四邊形 是邊長為 的正方形， ，將三角形 沿 折起使平面 平 面 ． 若二面角 的余弦值為 ，求 的長． 【備注】折疊問題，求長度【答案】（ 1 ） ． 【解析】（ 1 ）取 中點 ，以 為坐標(biāo)原點，分別以 ， ， 方向為 ， ， 軸正方向， 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 設(shè) ，則有 ， ， ， ， 可得 ， ， ， 設(shè) 為平面 的一個法向量， 則有 ，即 ， 令 ，則 ， 設(shè) 為平面 的一個法向量， 則有 ，即 ， 令 ，則 ， 因為 ，可得 ， 解得 ， 所以 ． 【標(biāo)注】【知識點】建立空間直角坐標(biāo)系 23. 四棱錐 中，底面 為直角梯形， ， ， ，側(cè)面 面 ， ． （ 1 ）求證： （ 2 ）已知平面 ． 與平面  的交線為 ，在 上是否存在點 ，使二面角  的余弦值 為 ？若存在，請確定 點位置，若不存在，請說明理由． 【答案】（ 1 ）證明見解析． （ 2 ）存在 ， 為 中點． 【解析】（ 1 ）連接 ， ， ， 所以 ，所以 ， 因為平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ，因為 平面 ， 所以 ． （ 2 ）延長 ， 相交于點 ，連接 ， 因為 平面 ， 平面 ，所以 ， 又 ，所以 即為交線 ， 取 中點 ，連 ，則  ， 過 在平面 內(nèi)作 的垂線 ，則 平面 ， 以 ， ， 所在直線為 軸， 軸， 軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系， 則 ， ， ， ， 所以 ， ， 設(shè)平面 的法向量為 ，則 ， ， 所以 ，取 ， 設(shè) ， ， 則 ， 所以 ， ， ， ， ， 設(shè)平面 的法向量為 ，則 ， ， 所以 ， 取 ． 所以 ， 所以 ， 所以 或 ，經(jīng)檢驗 時，不合題意，舍去， 所以存在 ， 為 中點． 【標(biāo)注】【知識點】建立空間直角坐標(biāo)系；向量法解決二面角問題；線線垂直的證明問題 24. 如圖，已知圓 的直徑 長為 ，上半圓圓弧上有一點 ， ，點 是弧 上的動點， 點 是下半圓弧的中點，現(xiàn)以 為折線，將下半圓所在的平面折成直二面角，連接 、 、． 當(dāng)三棱錐 體積最大時，求二面角 的余弦值． 【答案】（ 1 ） ． 【解析】（ 1 ）∵下半圓所在的平面折成的二面角為直二面角， 平面 平面 ， 平面 平面 ，且 平面 ， 又∵ ， ∴ 平面 ， 而 ， ∴當(dāng) 時，三棱錐 體積最大， ∵ ， ， 兩兩垂直， ∴以 ， ， 所在直線分別為 軸， 軸， 軸建立空間直角坐標(biāo)系，其中 為原點，如圖所示： ， ， ， ， ， 設(shè)平面 的法向量為 ， 則 ， ， 令 ，則 ， ， ∴ ， 又取平面 的法向量為 ， 設(shè)二面角 的平面角為 ， ， 故二面角 的余弦值為 ． 【標(biāo)注】【知識點】線面平行的證明問題；折疊問題；向量法解決二面角問題 25. 如圖，四棱錐 的底面為直角梯形， ， ， （ 1 ）求證：（ 2 ）若平面  平面 平面 ， 為 的中點． ． ，異面直線 與 所成角為 ，且  為鈍角三角形，求二 面角 的正弦值． 【答案】（ 1 ）證明見解析． （ 2 ） ． 【解析】（ 1 ）取 的中點 ，連接 ，  ， 因為 為 的中點，則 ，且 ， 又 ，且 ， 所以 ， ， 所以四邊形 為平行四邊形， 所以 ， 平面 ， 平面 ， 所以 平面 （ 2 ）由題意可知 ． ，所以  或其補(bǔ)角為異面直線 與 所成角， 又 ， 為鈍角三角形，所以 ， 又平面 平面 ，平面 平面 ， ， 所以 平面 ， 以 為坐標(biāo)原點， ， 所在直線為 軸、 軸建立空間直角坐標(biāo)系， 則 ， ， ， ， ， 向量 ， ， 設(shè)平面 的法向量為 ， 由 ，得 ， 令 ，得平面 的一個法向量為 ， 同理可得平面 的一個法向量為 ， 設(shè)二面角 的平面角為 ， 則 ， 則 ， 故二面角 的正弦值為 ． 【標(biāo)注】【知識點】向量法解決二面角問題；直線和平面平行的判定；線面平行的證明問題 26. 如圖，在三棱錐 中， 底面 ， ， ， ， 分別是 ， 的中點， 在 上，且 ． （ 1 ）求證： 平面 ． （ 2 ）在線段上 上是否存在點 ，使二面角 的大小為 ？若存在，求出 的長． 若不存在，請說明理由． 【答案】（ 1 ）證明見解析． （ 2 ）存在，此時  ，理由見解析． 【解析】（ 1 ）由 ， ， 是 的中點，得 ． 因為 底面 ，所以 ． 在 中， ，所以 ． 因此 ，又因為 ， 所以 ， 則 ，即 ． 因為 底面 ，所以 ，又 ， 所以 底面 ，則 ． 又 ，所以 平面 ． （ 2 ）結(jié)論：在線段上 上存在點 使二面角 的大小為 ，此時 ． 理由如下： 假設(shè)滿足條件的點 存在，并設(shè)  ． 過點 作 交 于點 ， 又由 ， ，得 平面 ． 作 交 于點 ，連結(jié) ，則 ． 于是 為二面角 的平面角， 即 ，由此可得 ． 由 ，得 ， 于是有 ， ． 在 中， ， 即 ，解得 ． 于是滿足條件的點 存在，且 ． 【標(biāo)注】【知識點】向量法解決二面角問題；線面垂直的證明問題；直線和平面垂直的判定 27. 如圖，已知 ， 平面 ， 平面 ，過點 且垂直于 的平面 與平面 的交線為 ， ， ， ． 設(shè)點 是 上任意一點，求平面 與平面 所成銳二面角的最小值． 【答案】（ 1 ） ． 【解析】（ 1 ）作  ，以 為原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系  ，則 ， ， ， ， 設(shè) ，平面 、平面 的法向量分別為 ， ， 則 ， ， ， ， 因為 平面 ， 所以 ， 令 ，得 ， ，即 ， 同理 ， 令 ，得 ， ，即 ， 因為 ，當(dāng)且僅當(dāng) 時取等號， 所以平面 與平面 所成銳二面角的最小值為 ． 【標(biāo)注】【知識點】建立空間直角坐標(biāo)系；向量法解決二面角問題；線面垂直的證明問題 5. 點到平面的距離 點到平面的距離： 為平面 外一點，則 、 分別為平面 過 點的斜向量、法向量， 為 到 的距離， 經(jīng)典例題 28. 在四面體 中， ， ， 兩兩垂直，設(shè) ，則點 到平面 的 距離為（ ）． A. B. C. D. 【備注】（1）選本題的目的和作用的說明：強(qiáng)調(diào)點到直線的距離公式． （2）本題關(guān)鍵的解題步驟：畫圖，建系，求直線的方向向量與平面ABC的法向量，代入公式求解． （3）本題的易錯點：寫各點坐標(biāo)、向量坐標(biāo)． （4）本題需要注意的地方以及難點：本題沒有圖，注意畫圖、建系、寫坐標(biāo)的過程． 【答案】B 【解析】根據(jù)題意，可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 ， 則 ， ， ， ， 過點 作 平面 ，交平面 于點 ， 則 的長即為點 到平面 的距離， ∵ ， ， ， 兩兩垂直， ∴ 為正三角形，且 為 的重心， ∴點 的坐標(biāo)為 ， ∴ ． 故選 ． 【標(biāo)注】【知識點】向量法求空間距離 鞏固練習(xí) 29. 在空間直角坐標(biāo)系 中，平面 的一個法向量 ，已知 ，則點 到平面 的距離 等于（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】連接 ，因為  是平面  的一條斜線上的向量， 為平面 的一個法向量， 所以 ． 故選 ． 【標(biāo)注】【知識點】向量法求空間距離 6. 知識總結(jié) 1.異面直線所成的角： 設(shè)異面直線 與 的方向向量分別是 ， ， 與 的夾角為 ，顯然  ，則 ． 2.直線和平面所成的角： 設(shè)直線 的方向向量是 ，平面 的法向量是 ，直線 與平面 的夾角為 ，顯然  ，則 ． 3.二面角及其度量： 設(shè)平面 的法向量是 ，平面 的法向量是 ，平面 與平面 的夾角為 ， 根據(jù)題目特點，同學(xué)們可以靈活選擇運用向量方法與綜合方法，從不同角度解決立體幾何問題． 4.點到平面的距離： 為平面 外一點， 、 分別為平面 過 點的斜向量、法向量， 為 到 的距離，則 三、 思維導(dǎo)圖 四、 出門測 30. 已知正方體 的棱長為 ， 是棱 上的一條線段，且 ，點 是棱 的中點，點 是棱 上的動點，則下面結(jié)論中正確的是（ ）． A. 與 一定不垂直 B. 二面角 的正弦值是 C. 的面積是 D. 點 到平面 的距離是常量 【答案】BCD 【解析】A 選項：當(dāng) 與點 重合時，  ，故 錯誤； B 選項：由于點 是棱 上的動點， 是棱 上的一條線段， 所以平面 即平面 ， 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則  ，  ，  ， 所以 ， ， 平面 即平面 ， 設(shè)平面 的法向量為 ， 則 ，即 ， 令 ，則 ， 同理可求得平面 的法向量為 ， 設(shè)二面角 為 ， 所以 ， 故 ， 故 正確； C 選項：由于  平面  ，又  平面  ， 所以 ， 所以 ， 所以 是 的高， 所以 ， 故 正確； D 選項：由于  ，且  平面  ，  平面  ， 所以 平面 ， 又點 在 上， 所以點 到平面  的距離為常量， 故 正確． 故選 B C D . 【標(biāo)注】【知識點】向量法解決二面角問題 31. 如圖所示，正方體  的棱長為 ， 是  上的點，則點 到平面  的距 離是 ． 【答案】 【解析】以點 為坐標(biāo)原點， ， ，  所在直線分別為 軸， 軸， 軸， 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 設(shè)點 ， 連接 ，則 ， 連接 ，易知 平面 ， 則 為平面 的一個法向量， 所以點 到平面 的距離 ． 故答案為： ． 【標(biāo)注】【知識點】向量法求空間距離 32. 在多面體 中，底面 是梯形，四邊形 是正方形， ， ， ， ． （ 1 ）求證：平面 平面 ． （ 2 ）設(shè) 為線段 上一點， ，求二面角 的平面角的余弦值． 【答案】（ 1 ）證明見解析． （ 2 ） ． 【解析】（ 1 ）∵ ， ， ， ∴ ， ∴ 為直角三角形，且 ， 同理∵ ， ， ， ∴ ， ∴ 為直角三角形，且 ， 又四邊形 是正方形， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， 在梯形 中，過點 作 于 ， ∴四邊形 是正方形， ∴ ， 在 中， ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ， 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 ， 又∵ 平面 ， ∴ ， 因為 ， 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 ， 平面 ， ∴平面 平面 ． （ 2 ）以 為原點， ， ， 所在直線為 ， ， 軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖， ， ， ， ，令 ， 則 ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ， ， ∵ 平面 ， ∴ 是平面 的一個法向量， 設(shè)平面 的法向量為 ， 則 ，令 ，得 ， ∴ ， ∴二面角 的平面角的余弦值為 ． 【標(biāo)注】【知識點】向量法解決二面角問題；平面和平面垂直的判定；面面垂直的證明問題 54 55

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